1
Universidade Estadual de Goiás
Unidade Universitária de Ciências Exatas e Tecnológicas
Licenciatura em Física
Cálculo do Elemento de Matriz de elétron – fônons
Longitudinais Ópticos em Pontos Quânticos Semicondutores para o
Potencial Parabólico
Ana Virgínia Passos Abreu
Anápolis, GO
2012
2
Universidade Estadual de Goiás
Unidade Universitária de Ciências Exatas e Tecnológicas
Licenciatura em Física
Cálculo do Elemento de Matriz de elétron – fônons
Longitudinais Ópticos em Pontos Quânticos Semicondutores para o
Potencial Parabólico
Ana Virgínia Passos Abreu
Monografia apresentada à
Banca
Examinadora
da
Universidade Estadual de
Goiás, Unidade de Anápolis
como parte dos requisitos
para obtenção do título de
Licenciada em Física sob a
orientação do Professor Dr.
Solemar Silva Oliveira.
Anápolis, GO
2012
3
Universidade Estadual de Goiás
Unidade Universitária de Ciências Exatas e Tecnológicas
Folha de Aprovação
Autora: Ana Virgínia Passos Abreu
Título: Cálculo do Elemento de Matriz de elétron – fônons
Longitudinais Ópticos em Pontos Quânticos Semicondutores para o
Potencial Parabólico.
Natureza e objetivo do trabalho: O trabalho consiste no estudo de
semicondutores na área da Física do Estado Sólido. O objetivo caracteriza o
cálculo do elemento matriz de interação elétron – fônons onde o potencial é
caracterizado pelo parabólico.
Aprovada em Anápolis, 07 de Novembro de 2012.
Anápolis, GO
2012
4
AGRADECIMENTOS
Agradeço primeiramente a Deus por ter me dado força para chegar até
aqui, e aos meus pais Darcy de Abreu Neto e Durcilene de Oliveira Passos pelo
esforço e trabalho a mim dedicado. Foram eles que sempre estiveram ao meu lado,
dando conselhos, ajudando e confiando, meu muito obrigado aos meus amados
pais. Agradeço ao meu orientador Dr. Solemar Silva Olivera pelo apoio dedicado
na realização deste trabalho, orientando e participando do crescimento do mesmo.
E por fim, agradeço a todos os meus mestres que participaram deste crescimento
durante os quatro anos desta jornada, professores guerreiros e altamente
qualificados. A todos meu muito obrigada.
5
Dedico este trabalho primeiramente a Deus, pois foi ele que meu forças para chegar até aqui.
Em seguida, dedico aos meus pais Darcy de Abreu Neto e Durcilene de Oliveira Passos que lutaram e
trabalharam para que eu pudesse conquistar meu espaço e a toda minha família que sempre esteve ao
meu lado apoiando meus estudos.
6
“ A paciência é fundamental na vida; sem ela muita coisas não podem ser resolvidas e
não possível ser feliz. A paciência nos leva à perfeição. Não devemos nos assustar com as
provações da vida porque são elas exatamente que nos tornam pacientes”
7
Sumário
Capítulo 1 – Introdução ......................................................................................................... 12
Capítulo 2 – Autofunção e Auto - energia ............................................................................ 17
Capítulo 3 – Efeito Polarônico na Densidade de Estados em Pontos Quânticos .............. 23
Capítulo 4 – Interação Elétron-Fônon .................................................................................. 27
Capítulo 5 – Resultados e Discussão ..................................................................................... 31
Capítulo 6 – Conclusões ......................................................................................................... 34
Referências Bibliográficas ..................................................................................................... 35
8
Lista de Figuras
1.1 – Esquema de estrutua de baixa dimensionalidade. (a) material de Bulk (volume) (3D), (b)
poço quântico (2D), (c) fio quântico (1D) e (d) ponto quântico (0D) ...................................... 01
1.2- Rede recíproca de GaAl e AlAs mostrando os pontos de alta simetria............................. 11
5.1- Comparação entre os resultados da densidade espectral do elétron acoplado com os
fônons LO em um disco cilíndrico considerando dois níveis de energia (0,0,0) e (1,0,0) (curva
sólida) com o resultado para quatro níveis de energia (0,0,0), (1,0,0), (0,1,0) e (1,1,0) (curva
pontilhada). Considerando três valores de frequência de confinando ΩErro! Indicador não
definido.
9
Resumo
O seguinte trabalho consiste no estudo da densidade de estados, no qual Foi calculado
o elemento de matriz interação elétron- fônons Longitudinais Ópticos que descreve os estados
de energia. Inserimos as propriedades de um ponto quântico para a compreensão da estrutura
cristalina. Analisamos o ponto quântico para uma geometria específica que caracteriza o
potencial parabólico. Para o formalismo matemático foi utilizado o formalismo da função de
Green para avaliar o espectro de energia e a densidade de estados na presença do efeito
polarônico.
Palavras chave: ponto quântico, polaron, arseneto de gálio e arseneto de gálio alumínio,
Hamiltoniano de Frölich
10
Abstract
The following work is a study of the density of states, which was calculated matrix
element electron-phonon interaction Longitudinal Optical describing the energy states. Insert
the properties of a quantum dot for understanding the crystal structure. We analyze the
quantum dot to a specific geometry that characterizes the parabolic potential. For the
mathematical formalism, we used the formalism of Green's function for evaluating the energy
spectrum
and
density
of
states
in
the
presence
of
polarônico
effect.
Keywords: quantum dot polaron, gallium arsenide and aluminum gallium arsenide, Frölich
Hamiltonian
11
Capítulo 1 – Introdução
As indústrias de tecnologia têm se beneficiado com os estudos na área de
semicondutores que promovem a criação de dispositivos eletrônicos, optoeletrônicos e
fotônicos.
A explicação do funcionamento dessas estruturas permite a aplicação na
construção de transistores, diodo retificador e diodo emissor de luz (LED), fotodetectores
(fotodiodo, fototransistor) e Laser, nos quais são utilizados dia a dia melhorando a qualidade
de vida das pessoas.
Esaki e Tsu [1] iniciaram uma proposta para a criação de super-redes semicondutoras,
visando à compreensão dos estados eletrônicos associados com super- redes, poços quânticos
e heterojunções. As técnicas utilizadas para o crescimento desses cristais consiste na Epitaxia
por Feixe Molecular (MBE) e Deposição de Vapor Químico Organometálico (MOCVD), no
qual é produzido sistemas com camadas alternadas de dois semicondutores com controle
sobre a espessura das camadas e interfaces abruptas entre elas. As estruturas obtidas pela
diminuição das dimensões dos materiais semicondutores são chamadas de estrutura de baixa
dimensionalidade [2]. Se uma das dimensões do cristal é reduzida à escala nanométrica
obtemos uma estrutura bidimensional (2D) conhecida como ponto quântico. Para restrição em
duas dimensões temos uma estrutura unidimensional (1D), o poço quântico. Quando as três
dimensões do cristal é reduzida temos o zero- dimensional (0D) e então obtemos o ponto
quântico [3]. A Figura 1 representa o esquema de estruturas de baixa dimensionalidade.
Figura1.1 – Esquema de estrutura de baixa dimensionalidade. (a) material de Bulk (volume)
(3D). (b) poço quântico (2D). (c) fio quântico (1D). (d) ponto quântico (0D) [3]
12
Quando num cristal, as dimensões espaciais são reduzidas a valores abaixo do
comprimento de onda de De Broglie (≈ 10 nm) para o elétron, o confinamento resultante
modifica fortemente o espectro de energia da estrutura, ou seja, modifica a sua densidade de
estados, com relação ao material bulk, visto que a energia cinética da partícula passa a ter
valores discretos permitidos na direção do confinamento.
1.1- Pontos Quânticos e suas Aplicações
Como resultado do confinamento tridimensional obtemos um ponto quântico [4]. Esta
estrutura apresenta propriedades eletrônicas que são influenciadas pela forma do tipo função-ᵟ
da sua densidade de estados. Nos sistemas que apresentam um confinamento em três
dimensões a estrutura de bandas de energia sofre uma mudança da forma de bandas contínuas
para um conjunto de níveis discretos. Depois a obtenção do ponto quântico, reduzirmos ainda
mais as suas três direções espaciais do ponto, os portadores de carga estarão submetidos a um
confinamento ainda maior, causando um gap de energia [5].
No caso do ponto quântico, esse regime, torna a energia cinética dos portadores de
carga (elétrons e buracos) quantizada e a banda de valência e a banda de condução, que antes
eram representadas por uma faixa continua, desdobra-se num conjunto discretos de energia
semelhantes aos níveis de energia de um átomo. Por esse motivo os pontos quânticos também
são conhecido como átomos artificiais [6].
Para a produção de pontos quânticos podemos usar a Epitaxia por Feixe Molecular
(Moleuclar Beam Epitaxy-BEM) e Deposição por Vapor Químico-Organometálico (MetalOrganic Chemical Vapour Deposition-MOCVD) [7, 8]. Para a confecção de pontos quânticos,
é inicialmente, a produção de uma estrutura bidimensional, como um poço quântico fabricado
a partir de epitaxia que controla precisamente a espessura do filme e em seguida a obtenção
do confinamento lateral através da definição das bordas da estrutura. Faz-se um desenho
geométrico para as laterais da estrutura da amostra, após o crescimento, através de litografia
de alta resolução. Logo após, um ataque químico corrói a estrutura da amostra até a camada
bidimensional produzindo a nanoestrutura desejada. Vários modelos são utilizados para
calcular as propriedades Físicas dos pontos quânticos. Por exemplo: a determinação da
estrutura eletrônica estudando as bandas de valência e a não-parabolicidade da banda de
condução através de modelos multisubandas.
13
1.2 - Arseneto de Gálio e Arseneto de Gálio -Alumínio
AlGaAs e GaAs são ligas ternárias e binárias formando um poço quântico, dando
origem a heteroestrutura ( AlxGa1 x As / GaAs) onde a liga ternária forma a barreira e o material
binário o poço quântico.
Estas estruturas são utilizadas nas indústrias opto eletrônicas, verificando inúmeros
fenômenos quânticos como a formação de níveis discretos de energia em poços quânticos,
estruturas de bandas, fenômenos de tunelamento quântico, investigação de modos de fônons
confinados e de interfaces e outros fenômenos quânticos.
A formação de poços quânticos se deve ao crescimento de materiais semicondutores
com energia de gap diferente entre si, onde o material de gap menor é intercalado entre o de
gap maior. Os portadores de carga nos poços quânticos são quantizados na direção z, tendo o
movimento livre em (x-y). Um exemplo é a formação de super-redes QWs, que são formadas
por uma sequência de poços quânticos. Super-redes são criadas fazendo-se o crescimento
alternado e periódico de dois semicondutores de gaps de energia distintos.
Arseneto de gálio (GaAs) e arseneto alumínio (AlAs) cristalizam-se na estrutura
blenda de zinco (zinc-blend). Essa estrutura consiste de duas redes cúbicas de faces centradas
interpenetradas e deslocadas entre si por um quarto da diagonal principal do cubo. A rede
recíproca da rede cúbica de face centrada é uma rede cúbica de corpo centrado.
A Figura 1.2 mostra a primeira zona de Brillouin da rede recíproca como um octaedro
truncado.
14
Figura 1.2 – Rede recíproca de GaAl e AlAs mostrando os pontos de alta simetria.
Todos os átomos que compõem uma rede cristalina oscilam em relação a uma posição
de equilíbrio. Essas oscilações são quantizadas e o quantum da oscilação é denominado fônon.
1.3 - Interação Elétron-Fônon
O fônon é gerado através das oscilações dos átomos que constituem uma rede
cristalina em torno de uma posição de equilíbrio devido à agitação térmica. Se a frequência de

oscilação de um fônon for  q , onde q é o vetor de onda. São estudados dois modos de
oscilação: óticos e acústicos, que podem se dividir em longitudinais e transversais. Os fônons,
cujas frequências satisfazem uma relação de dispersão acústica são chamados de fônons
acústicos e os que satisfazem uma relação de dispersão óptica recebem o nome de fônons
ópticos [9]. Neste trabalho o estudo será restrito aos fônons longitudinais ópticos e sua
interação com os átomos.
A intensidade da interação elétron – fônon LO é medida por meio da constante
adimensional α, ou constante de Frölich, como

1

 2 1 1 


   
2 LO  2m * LO      0 
e²
Onde e é a carga do elétron,   0 são constantes dielétricas do material semicondutor para
altas e baixas frequências, m* é a massa especifica de banda do elétron, LO é a energia do
15
fônon LO. Podemos definira constante de Frölich como “número de fônons que envolvem um
elétron que se move lentamente num cristal” [13].
A maioria dos pontos quânticos semicondutores são produzidos usando materiais
semicondutores III-V polares onde a interação elétron-fônon longitudinal óptico (LO) é
considerada importante. Em semicondutores III-V, o acoplamento elétron- fônon (LO) é
considerado como um acoplamento fraco devido ao fato que a constante do acoplamento
elétron – fônon LO é pequena α << 1.
No seguinte trabalho realizamos um estudo da função de onda para um potencial de
acoplamento parabólico em três dimensões e calculamos o elemento de matriz da interação
elétron-fônon, útil para a determinação da densidade de estados eletrônica de um elétron
acoplado com fônons longitudinais ópticos presentes em um ponto quântico semicondutor
composto de GaAs-AlGaAs.
No segundo capítulo introduzimos o formalismo da mecânica quântica analisando o
potencial de confinamento parabólico nas três direções e determinamos as autofunções e autoenergias para o potencial proposto.
No terceiro capítulo o formalismo da função de Green que pretende obter a densidade
de estados eletrônica.
No quarto capitulo apresentamos o hamiltoniano que descreve a interação elétronfônon LO, Hamiltoniano de Fröhlich. Calculamos essa interação por meio do elemento de
matriz da interação elétron-fônon LO.
Os resultados analisados do estudo dos níveis de energia e da densidade de estados de
um elétron acoplado como os fônons LO foram discutidos no capítulo cinco impondo o
método matemático conhecido como função de Green.
16
Capítulo 2 – Autofunção e Auto - energia
2.1 – Introdução
Em 1926 a física quântica ganha uma nova etapa com o trabalho do físico austroalemão Erwin Schrödinger que com as ideias do trabalho desenvolvido por de De Broglie
desenvolveu uma teoria que abriu as portas da física moderna. Ele formulou uma equação que
descreve como as ondas materiais mudam sob a influência de forças externas. As ondas
materiais na equação de Schorödinger são entidades matemáticas não observáveis, no qual a
equação nos fornece um modelo puramente matemático. Na equação de Schrödinger a “onda”
é a amplitude de onda, que é imaterial – entidade matemática chamada de função de onda,
representada pelo símbolo ψ (letra grega psi). A função de onda representa a possibilidade de
encontrar um elétron em uma determinada região, ela não fornece a posição exata, mas sim a
probabilidade. Para calcular a posição provável deve-se multiplicar a função de onda por si
mesma (  ² ), produzindo uma segunda entidade matemática chamada de função densidade
de probabilidade, que nos dá a probabilidade por unidade de volume,num determinado
instante de tempo, de cada uma das possibilidades representadas por ψ.
A partícula se movimentando em uma direção de massa não relativística m e sob a
ação de um potencial V(x) tem a seguinte característica:

² d²
  V ( x)  E
2m dx ²
(2.1)
No caso do movimento em três dimensões, temos:

²  ² ² ² 



  V ( x, y, z )  E
2m  x² y ² z ² 
ou

onde ²    
²
²  V ( x, y, z )  E ,
2m
² ² ²
é o operador Laplaciano e


x ² y ² z ²
quadrado que é ² 
(2.2)
² é a constante de Planck ao
h
.
2
A equação de Shrödinger independente do tempo pode ser escrita como
H  E
(2.3)
17
onde H é o operador hamiltoniano do sistema que é representado por
H 
²
²  V ( x, y, z ) .
2m
(2.4)
O primeiro termo da equação (2.4) é associado à energia cinética e o segundo
representa o potencial de confinamento.
As autofunções são quantidades complexas que descrevem um estado quântico. Para
que a autofunção ψ seja fisicamente aceitável, solução válida para a equação de Shröedinger
independente do tempo, ela deve ser: finita, unívoca e contínua.
2.2 – Modelo Teórico e Estrutura Eletrônica dos Pontos Quânticos
Vamos definir o potencial de confinamento para os pontos quânticos semicondutores
como
V ( x, y, z )  V ( x, y)  V ( z) .
(2.5)
Onde os termos V ( x, y) e V ( z ) são os potenciais de confinamento no plano x-y na direção z
respectivamente. O potencial de confinamento no plano x-y-z é a combinação de três
potenciais parabólicos, em cada direção dados por
V ( x, y, z ) 
1 * 2
1
1
m x x²  m*y2 y ²  m*z2 z ²
2
2
2
(2.6)
onde m* é a massa efetiva do elétron na banda de condução no semicondutor e as frequências
de confinamento possuem si a relação y  x sendo σ uma constante. O potencial V ( z ) é
considerado como sendo um poço simples finito ou dois poços acoplados correspondendo um
poço quântico simples (SQD) ou dois pontos quânticos acoplados (CQD). Neste trabalho será
estudado o potencial parabólico em três direções. As frequências de confinamento são
representadas por x  y  z e o potencial representado por (2.6) torna-se:
V ( x, y , z ) 
1
m * ²( x ²  y ²  z ²)
2
18
2.3 – Auto –Energia
O Hamiltoniano do elétron confinado em um ponto quântico será representado por
Ho 
p²
 V ( x, y , z )
2m *
(2.7)
onde p  ( px , p y , pz ) é o momento linear tridimensional do elétron. Os níveis de energia, do
confinamento quântico são: com nx , ny , nz  0,1, 2...
Enx ,ny ,nz  Enx  Eny  Enz
1
1
1



Enx ,ny ,nz   nx   x   ny   y   nz   z .
2
2
2



(2.8)
1

Se considerarmos En    n   podemos concluir que o espectro de energia do oscilador
2

harmônico simples é discreto, sendo seu menor valor de sua energia igual a
1
 , quando n =
2
0. Tal valor é conhecido como energia do ponto zero do oscilador harmônico ou energia
fundamental do oscilador.
Considerando as frequências em três direções iguais de confinamento vamos ter
x  y  z , a equação (2.8) torna-se:
3

Enx ,ny ,nz   nx  ny  nz    .
2

(2.9)
Tal equação representa a auto – energia de um elétron confinado em um potencial
parabólico e isotrópico (igual nas três direções). O espectro de energia que descreve este
potencial é o oscilador harmônico simples.
2.4 – Autofunção
1

Para cada autovalor de energia, En    n   , existe uma autofunção  ni (i)
2

correspondente. O cálculo para encontrar a função de onda exigida é demonstrado a seguir,
em seguida será feita a normalização para o cálculo do Hamiltoniano.
O cálculo considerado caracteriza o potencial parabólico em três dimensões (3D) para
o oscilador harmônico, consistindo em:
19
Fazendo uso da equação (2.6) para o potencial parabólico em três dimensões e
considerando as frequências e a constante da mola iguais, temos:
V ( x, y , z ) 
1
m * ²( x ²  y ²  z ²)
2
(2.6)
Substituindo (2.6) na equação de Schröedinger independente do tempo

²
1
2x  2y  2z  ( x, y, z )  m * ²( x²  y ²  z ²) ( x, y, z)  E ( x, y, z )

2m
2
onde  2x 
(2.10)
²
.
x ²
Usando separação de variáveis, obtemos:
 ( x, y, z)  X ( x).Y ( y).Z ( z) .
(2.11)
Substituindo (2.11) em (2.10) temos:
 1
1
² d²X 1
² d ²Y 1
² d ²Z 1
 1

 x²    
 y ²    
 z ²   Ex  E y  Ez

X  2m dx² 2
 Y  2m dy ² 2

 Z  2m dz ² 2
(2.12)
Devido à forma quadrática do potencial, este sistema só apresenta estados ligados, ou
seja, estados em que a partícula se encontra confinada em uma região. Qualquer que seja E
existe uma região dada x 
2E
e V ( x)  E que é classicamente proibida.
m²
Resolvendo para x , y e z obtemos:
2
d ² ( x)  2mE  m  


 x ²  ( x)  0
dx ²
 
 ² 
(2.13)
2

d ² ( y )  2mE  m 


 y ²  ( y )  0
dy ²

 ² 

(2.14)
2
d ² ( z )  2mE  m  


 z ²  ( z )  0
dz ²
 
 ² 
(2.15)
20
onde:  x2 
m
m
m
x ² ,  y2 
y ² e  z2 
z² .
²
²
²
Expandindo em série de potências, ficamos com:
 n ( )  e
 2 2
2
H n ( )
(2.16)
Para que  n ( ) seja uma função bem comportada, ela deve ser contínua em todo
espaço de definição e finita para os valores extremos da variável  e deve ser normalizável.
Multiplicando a autofunção por uma constante de normalização obtemos.
 n ( )  Ae
 2 2
2
H n ( )
(2.17)
Normalizando a função de onda correspondente para calcular o Hamiltoniano, temos:



e H n2i ( )d  1 .

A



2
 n (i) dx  1
i
2
(2.18)
Onde    i i .
Utilizaremos a propriedade dos polinômios de Hermite para resolver (2.18),
representada por



H n ( ).H n ( )e d   2n n!
2
(2.19)
Depois de normalizada a função, temos o valor da constante de normalização:
1

2
i
Ani  

ni
  2 ni ! 
(2.20)
Conclusão dos cálculos adquiridos é igual a:
1

 2  2x x
x
 nx ( x)  
H nx ( )
 e
nx
  2 nx ! 
2 2
(2.21)
1

 2  y y
y
 ny ( y )  
 e 2 H ny ( )
  2n y n ! 
y 

2 2
(2.22)
1

 2 2z z
z
 nz ( z )  
H nz ( )
 e
nz
  2 nz ! 
2 2
(2.23)
21
Com nx , ny , nz  0,1, 2... e H ni (i) são os polinômios de Hermite.
A função de onda do elétron obtida na equação de autovalor H  E , fica
 n ,n ,n ( x, y, z)   n ( x). n ( y). n ( z)
x
y
z
x
y
(2.24)
z
Fazendo a substituição de (2.21), (2.22) e (2.23) em (2.24), ficamos com:


x
 nx ,ny ,nz ( x, y, z )  

nx
  2 nx ! 
1
2
1
(2.25)
1
1

2 
2
y
   x2  y2  z2 
z
2
H
(

x
)
H
(

y
)
H
(

z
)
e




ny
y
nz
z
  2ny n !    2nz nz !  nx x
y 

A equação (2.25) é autofunção para o confinamento do potencial parabólico.
22
Capítulo 3 – Efeito Polarônico na Densidade de Estados em Pontos
Quânticos
3.1 – Introdução
O método da função de Green (formalismo matemático), neste trabalho, tem com
objetivo de estudar a modificação de energia na densidade de estados de um elétron acoplado
com os fônons LO em um ponto quântico. Descrevemos um ponto quântico teoricamente por
três potenciais parabólicos, com diferentes confinamentos nas direções x, y e z.
Na literatura, a densidade de estados (ou função densidade espectral) do polaron
(acoplamento elétron – fônon LO) em pontos quânticos obtida pelo método da função de
Green, é uma função contínua em relação à energia, para uma temperatura finita [12]. O
tratamento da densidade de estados utilizando a função de Green resulta em um espectro
composto por uma série de funções de delta de Dirac.
3.2 – O método da função de Green
Este é um dos métodos para o cálculo da função espectral do elétron confinado no
ponto quântico e interagindo com o sistema de fônons. A função espectral Ai ( E ) Para um
determinado nível de energia e pode ser escrita da seguinte forma


Ai ( E )   Im  E  Ei   ( E ) 

i


1
1
(3.1)
Ou
Ai ( E )  
onde o termo
(E)
Im  ( E )
1
 
i
2
 

 E  Ei  Re  ( E )    Im  ( E ) 
i
i

 

2
(3.2)
é a auto – energia do elétron e Ei é a energia do i-ésimo nível de
i
energia. A auto-energia do elétron depende da densidade espectral, o que nos fornece um
cálculo auto-consistente para obtermos duas funções.
Para a inclusão dos fônons LO, a auto-energia pode ser escrita como:
23
2
N q  1  nF ( s ) 
 N q  nF ( s )
dsAj ( s) 



 E  LO  s  i E  LO  s  i 
 ( E )   M 
ij
i
i
q
j

(3.3)
onde i e j indicam os índices dos níveis do elétron no ponto quântico, LO é a frequência do
fônon com vetor de onda q,N q é a função de distribuição dos bósons dada pela expressão
Nq 
1

e

nF ( s ) 
1
LO
k BT
e nF ( s) é a função de distribuição de férmions dada por

 1

.
 e s k BT  1 




Fazendo auto – energia adimensional em termos da energia do fônon LO ( LO )
temos a expressão
(E)  
i
1
LO
2
N  1  nF ( s )  
 N  nF ( s )
dsAj ( E )  q
 q
M qij 




 E  1  s  i E  1  s  i   q


 
2
j

 ( E )  Im  ( E )  Re  ( E )
i
i
(3.4)
i
Onde
M
ij
q
2
  V ( q)
q
2
2
i ei q. r j
q


 V ( q)
V







(2 )³
2
2
i ei q. r j
  LO 

Sij
2 ²
dqx dq y dqz
2
(3.5)
e

rp
  
q²
Sij  


 
2
ie
i q. r
j dqx dq y dqz .
(3.6)
A equação acima é a integral adimensional do quadrado do elemento matriz, que será
calculado no capítulo 4.
A expressão (3.4) podes ser escrita como:

 ( E )  2 ²  
i
j







E 1 s

E 1 s

dsAj ( E )  N q  nF ( s )  
i
 ( N q  1  nF ( s ) 
i
Sij
( E  1  s)²   ² 
( E  1  s)²   ²  
 ( E  1  s)²   ²
 ( E  1  s)²   ²

(3.7)
24
Separando a parte real e imaginária temos, utilizando o método de Kramers- Kroning,
a seguinte expressão para parte imaginária da auto – energia, onde fizemos o limite   0
Im  ( E )     N q  nF ( E  1)  Aj ( E  1)   N q  1  nF ( E  1)  Aj ( E  1) C Sij (3.8)
i
com C 
j

.
2 ²
A parte real da auto – energia, depois de alguns arranjos e fazendo também   0
pode ser escrita como

1
1

 
Re  ( E )    dsAj ( E )  N q  nF ( s) 
  N q  1  nF ( s ) 
Sij . (3.9)

E 1 s
E  1  s  2 ²

i
j
Fazendo a seguinte transformação de variáveis: na primeira integral s  E  1   e na
segunda s  E  1   , e rearranjado os termos temos:
Re  ( E )  
i
1


0

    N q  nF ( E  1   )  Aj ( E  1   ) 
j

  N q  1  nF ( E  1   )  Aj ( E  1   )  C Sij
(3.10)
   N q  nF ( E  1   )  Aj ( E  1   )
j
  N q  1  nF ( E  1   )  Aj ( E  1   )  C Sij
 d
Observe que
   N q  nF ( E  1   )  Aj ( E  1   )   N q  1  nF ( E  1   )  Aj ( E  1   )  C  Im  ( E   )
j
i
(3.11)
   N q  nF ( E  1   )  Aj ( E  1   )   N q  1  nF ( E  1   )  Aj ( E  1   )  C  Im  ( E   )
j
i
(3.12)
Substituindo (4.11) e (4.12) em (4.10) temos
Re  ( E )  
i
1


0

 d
 Im  ( E   )  Im  ( E   )  
i
i


(3.13)
Resolvendo os cálculos da auto – energia, aproximamos a função espectral por uma função
delta, que é a forma da densidade de estados eletrônica em um ponto quântico. Então fazemos
uso da expressão
25
Ai ( E )   ( E  Ei ) 

 ( E  Ei )²   ²
1
(3.14)
No limite  0 a expressão acima é uma delta de Dirac. Ajustamos a constante  para nos
fornecer um bom chute inicial para os cálculos. Utilizamos esta expressão para obter a auto –
energia e através de cálculos auto-consistentes obtermos a função espectral renormalizada que
inclui a interação elétron- fônon LO.
26
Capítulo 4 – Interação Elétron-Fônon
4.1 – Introdução
A física do estado sólido começou seu desenvolvimento em 1930, instigando o
problema que trata do movimento de um elétron presente em um cristal iônico. O interesse
pelo estudo da física do sólido teve duas justificativas: a primeira se refere à importância de
suas aplicações na Física de semicondutores. A segunda, é que possibilita um padrão
simplificado de uma partícula interagindo com as vibrações da rede, e serve como teste
fundamental para novos modelos [7].
As estruturas mais estudadas são os elementos III-V e II-VI da tabela periódica que
são fracamente polares. Citando como exemplos os poços quânticos e heterojunções de
AlGaAs-GaAs e MOS de InSb. Nestes materiais os elétrons polarizam a rede e o acoplamento
do elétron com o campo de polarização auto-induzido dos fônons longitudinais ópticos (LO)
chama-se polaron [10].
Em 1962 H. Fröhlich publicou seu trabalho “Introdução à Teoria do Polaron” que
consistia na dedução da interação elétron – fônon, que recebeu o nome de Hamiltoniano de
Fröhlich em sua homenagem. Seu trabalho determinava o espalhamento e a auto – energia de
elétrons em cristais iônicos e também introduziu o conceito de campo de polarização.
4.2 – Hamiltoniano de Fröhlich
O Hamiltoniano de um elétron interagindo com o sistema de fônons (LO)
tridimensionais do bulk, ou Hamiltoniano de Fröhlich, pode ser escrito como:

H ef  V (q) bq eiq.r  b q eiq.r

(4.1)
q
onde bq e b†q são os operadores de destruição e criação de fônons respectivamente, r é o
vetor posição do elétron, q denota o vetor de onda dos fônons e o termo V(q) é o potencial da
interação elétron-fônon, cuja expressão para os modos de fônons longitudinais ópticos (LO)
[11].
27


V (q)  LO 

 2m * LO 
onde
1
4
q 2Vol
4
(4.2)
LO é a energia do fônon LO, Vol é o volume do material semicondutor e α é a
constante de acoplamento da interação elétron – fônon LO, ou simplesmente de Fröhlich,
sendo dada pela expressão:
1
e2  m *  2  1 1 
 
   .
 2 LO      0 
(4.3)
Substituindo (3.2) em (3.1), e reorganizando os cálculos obtemos o seguinte
Hamiltoniano:
H eq  
q
onde M 0 

M 0 ei q . r
bq  b†q
Vol q

(4.4)
 LO  ² .
1
 2m * 2
4
A interação Coulumbiana de um elétron com os íons de um cristal iônico produz uma
polarização. Esta polarização institui um potencial ao redor do elétron, que fica aprisionado
neste potencial. O Hamiltoniano de Fröhlich trata deste efeito. Nos cálculos apresentados
usamos a expressão do Hamiltoniano de Fröhlich para fônons tridimensionais em um
potencial parabólico e utilizamos as propriedades de um ponto quântico quando usamos a
função de onda para calcular o elemento de matriz da interação elétron – fônon LO.
4.3 – Elemento de matriz interação elétron-fônon LO
O acoplamento do elétron com os fônons é medido pelo elemento de matriz da
interação elétron – fônon, dado por
M ij  V (q) i eiq.r j  V (q) nx ny nz eiq.r nx' n'y nz'
(4.5)
onde V(q) é o potencial de interação elétron – fônon LO.
Podemos reescrever o elemento de matriz da interação elétron – fônon utilizando a
notação de Dirac
28
M nx n y nz ,n' n' n'  nx eiqx x nx'
x y z
ny e
iq y y
nz eiqz z nz'
n 'y
(4.6)
Representamos as expressões analíticas para as integrais em x, y e z. Para isso
utilizamos  x ,  y e  z para adimensionalizar as quantidades x, y, z e q da equação (4.6).
Utilizamos algumas transformações de variáveis, na integral de em x temos:  x x   e
d   x dx
Finalizando o cálculo proposto obtemos o resultado da integral para o potencial
parabólico da seguinte forma:
Em x:
1
1
M n n'  nx eiqx x nx'
x x
 2   2 iqx x *

2 
x
x
d
 n
e e H nx ( ) H n' ( )


'


n
'
x
 x

x
x
 2  nx !   2  nx !  
(4.7)
Realizando alguns cálculos obtemos:
nx nx
 n'
'
 q2 
 iq1 
x
Lnnx' nx  1  , nx'  nx
2 nx ! 
x
 2 

 2

n  n'
 nx '  iq1  x x nx nx'  q12 
Lnx   , nx  nx'
2 nx ! 2 
 
 2

'
M n n' ( q1 )  nx eiqx x nx' 
x x
Onde q1 
e
2
nx
q2
 1
4
nx'

'
x
nx !2 n !
1
2
(4.8)
qx
x
Fazendo o mesmo para em y, temos
n y n y
2
 n'
n' n  q 
 iq2 
y
Lny' y  2  , n 'y  n y
2 n y !  
y
 2 

 2

n n'
 n y '  iq2  y y n y n'y  q22 
Ln y   , n y  n 'y
2 n y !  2 
 
 2

'
M n n' ( q2 )  n y e
y y
onde q2 
qy
y
iq y y
n 'y 
e
2
ny
q2
 2
4
n 'y
'
y

n y !2 n !
1
2
(4.9)
.
Novamente, para z, temos
29
nz  nz
 '
'
 q2 
 iq3 
nz
Lnnz' nz  3  , nz'  nz
 2 nz !  
z
 2 

 2

n n'
 nz '  iq3  z z nz nz'  q32 
Lnz   , nz  nz'
 2 nz !  2 
 
 2

'
M n n' ( q3 )  nz e
z z
onde q3 
qz
z
iqz z
n 
'
z
e
2
nz

q32
4
nz'
'
z

nz !2 n !
1
2
(4.10)
.
Para o caso das frequências de confinamento x  y  z   as equações acima
tornam-se mais simples, trocando apenas  x , y e  z .
A partir de (4.5) podemos calcular o elemento de matriz da interação elétron-fônon LO
e utilizá-lo para determinar os efeitos deste acoplamento para a densidade de estados e autoenergia.
30
Capítulo 5 – Resultados e Discussão
Como exemplo do método da função de nós cálculos apresentados foram analisados
para dois e quatro níveis de energia eletrônicos. Considerando o potencial isotrópico,
x  y  z   nas três direções, podemos a densidade de estados de um ponto quântico
considerando os níveis (0, 0, 0), (0, 1, 0), (1, 0, 0) e (1, 1, 0).
A figura 5.1 mostra os resultados da densidade espectral para os dois primeiros níveis
de energia do disco cilíndrico (curva sólida) comparados com o resultado da densidade
espectral quando incluímos mais dois níveis de energia (curva pontilhada). A inclusão de mais
níveis de energia deve renormalizar os níveis mais baixos. Em suma os efeitos qualitativos
são pequenos, o que nos permite tratar o sistema com apenas dois níveis sem grande perda de
generalidade. Os cálculos foram realizados a uma temperatura de 100K.
31
GaAs
T=T0/4
A1,2(E)
A3(E)
Ai(E)
A0(E)
=1.2
=1.0
=0.8
-1,0
-0,5
0,0
0,5
1,0
1,5
2,0
2,5
3,0
3,5
E
Figura 5.1: Comparação entre os resultados da densidade espectral do elétron acoplado com
os fônons LO em um disco cilíndrico considerando dois níveis de energia (0,0,0) e (1,0,0)
(curva sólida) com o resultado para quatro níveis de energia (0,0,0), (1,0,0), (0,1,0) e (1,1,0)
(curva pontilhada). Considerando três valores da frequência de confinamento Ω.
32
Consideramos o confinamento parabólico com diferentes frequências de confinamento
nestas duas direções. Consideramos x variando de 0,8 a 1,2 (os valores são adimensionais
em termos da frequência dos fônons LO). Os picos da densidade espectral possuem uma
largura diferente de zero, significando a representação das funções delta de Dirac.
Na presença da interação elétron- fônon LO os níveis de energia eletrônicos são
deslocados para energias mais baixas (estado fundamental) ou mais altas (primeiro estado
excitado).
33
Capítulo 6 – Conclusões
Como proposto fizemos o cálculo do elemento de matriz da interação elétron-fônon
LO para um ponto quântico semicondutor composto de GaAs-AlGaAs com uma geometria
parabólica em três dimensões. O empenho matemático é interessante para determinar a autoenergia no formalismo da função de Green útil para determinação da densidade de estados de
elétrons nesse sistema.
Fizemos uma aplicação como exemplo em ponto quântico esférico considerando dois
e quatro níveis de energia eletrônicos. Foi utilizada a função de Green, um método complexo,
que permite calcular a interação elétron-fônon com a auto-energia calculada autoconsistentemente para renormalizar a densidade espectral. Neste sistema calculamos a
densidade espectral (densidade de estados). Comparamos os resultados e concluímos que
utilizando o modelo da função de Green a renormalização dos dois níveis de energia mais
baixo pelos níveis mais altos não sofre grandes modificações qualitativas.
34
Referências Bibliográficas
1. ESAKI, L. E TSU, R. IBM Res. Note. RC – 2418
2. R.V.T. Aspectos de modelagem numéricas de transistores de fios quânticos.
Dissertação de mestrado, USP (2010).
3. LELLO DI, B.C. Síntese de pós de nitreto de gálio por reação gás – sólido utilizando
carbono como agente redutor.Tese de Doutorado, PUC-RJ (2002).
4. BINBERG,D; IEDENTSOV, N. N. Quantum Dot Heteroestructures. John Wiley and
sons Ltd, 1999.
5. SILVA, A. G. Propriedades ópticas e elétricas de pontos quânticos semicondutores de
InAs. Tese de Doutorado, UFMG (2008).
6. WICS.
C.
G.
P.
Localização
de
pontos
quânticos
semicondutores
via
nanocristalografia por oxidação anôdica. Dissertação de Mestrado, UFMG (2009).
7. OLIVEIRA, S. S. Ressonância de Cicloton de polarons em hetoroestruturas
semicondutoras. Dissertação de Mestrado, UFG (2000).
8. PIRES, M. P. Crescimento e caracterização de pontos quânticos. Disponível em:
<http://omnis.if.ufg.br/~pires/crescimento.htm> Acesso em: 13 de setembro de 2012.
9. OLIVEIRA, I. S; JESUS, V. L. B. Introdução a Física da Matéria Condensada. São
Paulo: Editora Livraria da Física, 2005.
10. OSÓRIO, A. P. Efeitos Polarônicos em Estruturas Semicondutoras em uma e duas
dimensões. Dissertação de Mestrado, Instituto de Física e Química de São Carlo (1988).
11. H. FRÖHLICH, Introduction to the Theory of the Polaron, Scottish Universities
Summer School; Oliver and Boyd, Edinburgh and London. (1962).
12. KITTEL, C. Introdução à Física do Estado Sólido. Guanabara dois, Rio de Janeiro,
1978.
13. NETO, B. G. E. Efeito de Campos Elétricos, dopagem não – abruptas e interfaces
graduais na estrutura eletrônica de poços quânticos de GaAs/AlGaAs e GaN/AlGaN.
Tese de doutorado, UNB (2007).
14. PEARTON, S. J; ZOLPER, J.C; SCHUL, R. J; REN, F. J. AppL. Phys. 86, 1(1999).
15. SANTOS, E.C. Polarização de spin em heteroestruturas semicondutoras contend
pontos quânticos de InAs. Dissertação de Mestrado, UFSCAR (2010).
16. COLOSSI, M. L. Estudo teórico da estabilidade e propriedades eletrônicas de defeitos
em nanotubos de GaN, Dissertação de Mestrado, UFSM (2008).
35
17. PEETERS, F. M; DEVREES, J. T. Phys. Rev. B 25, 7302(1982).
18. PEETERS, F. M; DEVREES, J. T. Phys. Rev. B 28, 6051(1983).
19. PEETERS, F. M; DEVREES, J. T. Phys. Rev. B 34, 7246(1986).
20. FILHO, W. W. Mecânica Quântica. Goiânia: Editora UFG, 2002.
21. MUNDIN, K C. Aula 8. Introdução a Mecânica Quântica. Disponível
http://vsites.unb.br/iq/kebler/CursosVirtuais/QQ/aula-8/aula-8.htm> Acesso em:
2010.
22. MUNDIN, K C. Aula 9. Introdução a Mecânica Quântica. Disponível
http://vsites.unb.br/iq/kebler/CursosVirtuais/QQ/aula-9/aula-9.htm> Acesso em:
2010
em: <
28 out.
em: <
28 out.
EISBERG, R; RESNICK, R. Física quântica átomos, moléculas, sólidos, núcleos e
partículas. Tradução de Paula Costa Ribeiro, Enio da Silveira e Marta Feijó Barroso. Rio de
Janeiro: Campus, 1994.
36