QUANTIZAÇÃO
1.. INTRODUÇÃO
N O UÇ O
•
No final do século XIX acreditava-se, em geral, que todos os fenômenos naturais
poderiam ser descritos mediante:
Leis de Newton,
Leis da Termodinâmica, e
Leis do Eletromagnetismo.
•
Século XX: A Mecânica clássica passava a ser substituída pela mecânica
relativística,
l i í i quando
d a velocidade
l id d da
d partícula
í l era próxima
ó i a velocidade
l id d da
d luz.
l
As leis clássicas não se aplicavam a sistemas microscópicos como partículas no
interior do átomo => Só podem ser descritos em termos da teoria quântica.
•
2. A ORIGEM DA CONSTANTE DE
QUANTIZAÇÃO:
QU
N
Ç O: A RADIAÇÃO
Ç O DO
O CO
CORPO
O
NEGRO
Fenômeno intrigante no final do século XIX: A distribuição espectral da radiação
d corpo negro ((sistema
do
it
ideal
id l que absorve
b
toda
t d radiação
di ã incidente
i id t sobre
b ele):
l )
Seja:
λ – Comprimento de onda,
T – Temperatura em ºK
K,
K – Constante de Boltzmann,
f(λ, T) – Distribuição espectral,
KT – Energia
g média por
p onda.
Pela física clássica (Lei de Rayleigh-Jeans):
f (λ , T ) = 8πKTλ−4
Quando λ → 0, então, f(λ,T) → ∞ => o que caracteriza a Catástrofe do Ultravioleta
(Furo)
Lei de Planck (empírica e de Max Planck)
8πhcλ−5
f (λ , T ) = hc λKT
e
−1
onde:
h – Constante de ajustamento.
Pode-se verificar que:
8πhc λ −5
hc
hc λKT
= 8πKT λ − 4
≈ 1+
Para λ grande: e
então: f (λ , T ) →
hc λ KT
λKT
Para λ → 0: e hc λKT >> 1 então: f (λ , T ) → 8πhcλ−5 e − hc λKT → 0
Logo, (após alguma manipulação matemática) pode-se concluir que:
h = 6,626x10
6 626x10-34 J.s
J s = 4,13x10
4 13x10-15 eV.s
eV s (Constante de Planck)
Aspecto
p
Físico:
•
•
•
•
•
Modificação do cálculo da energia média por onda (KT),
Considerou a emissão e absorção da radiação representada por um conjunto de
osciladores
il d
de
d todas
d as freqüências,
f üê i
No equilíbrio, energia média de um oscilador com freqüência f estaria associada a
energia média de radiação eletromagnética nessa freqüência,
No caso de um oscilador unidimensional, a energia E = KT,
Planck admitiu que a energia de um oscilador fosse discreta (quantizada) =>
En=nhf onde: (f = c/λ e n é um número inteiro).
Planck chegou a conclusão que a energia média era:
E med =
hc λ
em vez de KT
hc λKT
e
−1
(Esta idéia não foi apreciada até Einstein usá-la para explicar o efeito foto-elétrico).
3. QUANTIZAÇÃO DA RADIAÇÃO
ELETROMAGNÉTICA FÓTONS
ELETROMAGNÉTICA:
Experimento:
•
•
Resultados:
A luz incidindo sobre uma substância fotoelétrica arranca um elétron do cátodo da
sua placa metálica que sai em direção ao ânodo e, somente, aqueles elétrons com
uma energia cinética (mv2/2) maior que a energia potencial entre as placas (eV)
chegarão ao ânodo.
Para atingir o equilíbrio (corrente I = 0): aumenta-se a ddp (V) até que: (mv2/2)max =
eVo
(Surpreendente: Experimento mostrou que Vo independe da intensidade da luz => Aumento
d energia
da
i luminosa
l i
incidente
i id
não aumenta energia
i cinética
i é i dos
d elétrons
lé
que saem do
d
cátodo.)
Explicação (Einstein):
• Energia luminosa não é distribuída no espaço, mas quantizada em pequenos pacotes
chamados fótons,
• O elétron emitido do cátodo recebe energia de um único fóton (independentemente se
aumentar a intensidade da luz),
• Quando
Q d se aumenta
t a iintensidade
t id d da
d luz
l (para
(
uma certa
t freqüência),
f üê i ) aumenta-se
t
o
número de fótons incidentes por unidade de tempo.
• Equação de Einstein para o efeito fotoelétrico:
 mv 2

 2

 = eVo = hf − φ
 max
onde:
h – Constante de Planck ,
f – Freqüência da radiação,
Ԅ – Função trabalho (é uma característica do material e é a energia necessária para
remover um elétron da superfície).
•
Experiência de Millikan – 1914 (prova da equação de Einstein)
Experimentos mostraram que:
Vo =
h
φ
f −
e
e
coef angular
coef.
•
Relação entre o limiar da freqüência fl e o comprimento de onda correspondente λl:
φ = hff l =
hc
λl
(Fótons com freqüência menor que fl não tem energia para arrancar elétrons da
p
do metal).
)
superfície
• Unidades:
Ԅ – Eletron-volt
El t
lt
λ – Nanometros
hc = 1,24x10-6 eV.m = 1240 eV.nm
•
Exemplo: Dados do potássio: λl = 564nm (limiar do comprimento de onda). Pedese:
a) Função trabalho:
φ = hf l =
hc
λl
=
1240
= 2,20eV
564
b) Energia de um fóton incidente de uma radiação de λ = 400nm
E=
hc
=
1240
= 3,10eV
400
λ
c) Energia cinética máxima:
 mv 2

 2

 = hf − φ = 3,10 − 2,20 = 0,90eV
 max
d) Potencial frenador:
eVo = 0,90eV ⇒ Vo = 0,90V
•
Outra evidência dos fótons: Arthur Compton mediu o espalhamento de raios X
pelos elétrons livres. Temos que:
g e p-momento
p
onda eletromagnética)
g
)
- Teoria clássica: E = pp.c ((E-energia
-Teoria relativística: E² = p²c² + (mc²)²
massa do fóton = 0
(neste caso, ambas equações geram o mesmo
resultado para energia.)
Na colisão de um fóton com um elétron, temos,
pela conservação do momento:
p1 = p 2 + p e
antes
depois
ou:
pe2 = p12 + p22 − 2 p1 . p2
Pela conservação da energia:
p1c + mc =
2
antes
(mc )
2 2
+ pe2 c 2 + p2 c
depois
Resultado: λ 2 − λ1 =
h
(1 − cos θ ) = λc (1 − cos θ )
mc
onde: λc = h mc = 2,43 pm - Comprimento de onda de Compton
Só depende da massa do elétron
4. QUANTIZAÇÃO DAS ENERGIAS ATÔMICAS: O
MODELO DE BOHR
•
•
•
•
Emissão de luz por átomos num gás excitado por descarga elétrica (elétrons vão
para camadas
d mais
i externas e no retorno emitem
i
luz
l com determinado
d
i d λ) =>
observada por um espectroscópio com uma fenda estreita na entrada => aparecia
como conjunto discreto de raias de cores (diferentes λ).
Característica do elemento: espaçamento e intensidade das raias de cores.
cores
É possível medir o comprimento de onda, λ, com precisão.
Equação de Johan Balmer (1884): Para raias do espectro de hidrogênio, temos:
m2
(nm )
λ = 364,9 2
m −4
•
Equação de Rydberg-Ritz:
Rydberg Ritz:
1 
 1
= R 2 − 2 , n > m
λ
n 
m
1
m = 3, 4, 5...
•
Constante de Rydberg: tem o mesmo valor para todas as séries de um mesmo
componente e varia de elemento para elemento. Para o espectro do hidrogênio: R =
10,96776µm-1.
PROBLEMA: Construir um modelo de átomo que levasse a estas fórmulas para o
espectro de radiação.
J.J. Thompson (1911): Elétrons contidos numa espécie de fluído que continha
maior parte da massa do átomo e carga positiva suficiente para fazer o átomo
neutro. Buscou configurações estáveis com vibrações de freqüências iguais ao dos
espectros dos átomos
átomos.
Dificuldade: impossível de se ter equilíbrio de forças estáveis exclusivamente pela
ação de forças elétricas.
Niehls Bohr: Propôs modelo que combinava com o trabalho de Planck (radiação do
corpo negro), de Einstein (dependência da temperatura com a capacidade calorífica)
e Rutheford (experiência com espalhamento das partículas alfa) e previa com êxito
os espectros observados.
b
d
Modelo de Bohr: Como o sistema de solar.
Estabilidade Mecânica:
Órbita dos elétrons: elíptica ou circulares.
Força (centrípeta) de atração: força de Coulomb.
Problema: Elétron estaria acelerado ao se deslocar sobre a órbita circular
irradiaria energia eletromagnética com freqüência igual a de seu movimento.
1º Postulado de Bohr: Elétron p
pode se mover em certas órbitas sem irradiar
(órbitas estáveis chamados estados estacionários). O átomo só irradia quando o
elétron faz uma transição de um estado estacionário para o outro.
2º Postulado de Bohr: A freqüência de radiação emitida não é a freqüência do
g das órbitas por
p :
movimento em órbitas estáveis,, mas está relacionada a energia
f =
Wi − W f
h
Onde :
f : Frequência
h : Constante de Planck
Wi e Wf : Energia total nas órbitas inicial e final (Conservação de energia do fóton)
Equação para o Momento Angular
Seja : +Ze Carga Nuclear
Carga do elétron
-ee
A energia potencial a uma distância r será dada por :
Ze 2 onde K = 1
U = −K
4πεo
r
A energia total do elétron movendo-se em uma órbita circular com velocidade v será
dada por :
1 2
1 2
Ze 2
W = mv + U = mv − K
2
2
r
No caso , a força coulombiana é igual a força centrípeta :
Ze 2
v2
1 2 1 Ze 2
− K 2 = m ⇒ mv = K
r
2
2
r
r
Então :
Ze 2 1
W = −K
.
r 2
Logo:
f =
Wi − W f
h
1 KZe 2  1 1 
=
 2 − 1
2 h r
r 
Para que esta equação apresente os mesmos resultados das equações de Balmer eRitz os
raios das órbitas (r) devem ser múltiplos de números inteiros
3º Postulado de Bohr: Quantização do momento angular
mvr =
nh
= nh
2π
logo :
1 2
n 2 h 2 KZe 2
Ze 2 1
2
mv = K
⇒v = 2 2 =
2
r 2
mr
m r
ou:
n2h2
2 ro
r=
n
=
Z
mKZe 2
onde
ro =
logo o primeiro raio de Bohr é dado por :
logo:
mK 2 Z 2 e 4
f =
4πh 3
 1
1
 −
 n2 n1 
h
≈ 0,0529 nm
2
mKe
Então a constante de Rydberg será dada por:
1 mK 2 Z 2 e 4
R=
c 4πh 3
Os valores possíveis para o átomo de hidrogênio previsto pelo modelo de Bohr são:
1 KZe 2
K 2e4m Z 2
2 Eo
W =−
=−
=
−
Z
= Whidr .
2
2
2 r
2h n
n
onde:
K 2e4m
Eo =
≈ 13,6eV ((energia
g da pprimeira órbita))
2
2h
Correção para o movimento do núcleo:
=>Suposição anterior : núcleo do átomo estava estacionário
=> No átomo do hidrogênio:
massa do núcleo ≈ 2000 x massa do elétron
=> Energia cinética total = energia cinética do núcleo + energia cinética do elétron
p2
p2 M + m p2 p2
EK =
+
=
=
2 M 2m
mM 2
2µ
Onde :
M - massa do núcleo
m - massa do elétron
p - momento (conservação momento : p <núcleo> + p<elétron> = 0)
µ - massa reduzida ((usada no lugar
g de m no cálculo de f e a constante de Rydberg)
y
g)
µ=
m
Mm
=
M + m 1+ m M
Exemplo: Calcular a energia e o comprimento de onda da raia de maior comprimento
de onda na série de Lyman.
Estado fundamental: W = - 13,6eV
Temos que: f =
c
λ
=
∆W
⇔↑ λ ⇒↓ ∆W (escolha nível de energia)
h
Logo: W2-W1= -3,4-(-13,6) = 10,2eV (energia fóton emitido)
λ=
hc 1240eV .nm
=
= 121,6nm
∆W
10,2eV
5. O ELÉTRON ONDULATÓRIO
Vimos que a luz possui características ondulatórias e corpusculares (fótons).
L. De Broglie (1924) sugeriu que matéria (elétron) possuam características
corpusculares e ondulatórias (novidade).
Relações de de Broglie:
f =
f
λ
P
E
E
h
e
λ=
h
p
-freqüência
-comprimento de onda
-momento
-energia do elétron
Já vimos que tais equações são válidas para os fótons.
De Broglie apontava que:
C di ã quântica
Condição
â ti de
d Bohr
B h = Condição
C di ã de
d onda
d estacionária
t i ái
Temos que :
λ=
hc
hc
hc
=
⇒
=
mc
E mc 2
λ
daí :
h
h
h =>
n λ = 2πr = c
mvr = n
⇒ r=n
2π
λ
2π
⇒ Numa órbita circular está contido um número inteiro de ondas eletrônicas
⇒ Explica
E li estados
d discretos
di
de
d energia(orbital)
i ( bi l) em termos de
d ondas
d estacionárias
i ái
⇒ Energia associada a freqüência de uma onda estacionária => existência de energia
quantizada
Schrodinguer (1925):
*Descobriu equação de onda para ondas eletrônicas
*Proporcionou um método geral de encontrar a quantização de um sistema
(mecânica ondulatória)
Exemplo: Calcular o comprimento de onda de de Broglie de uma partícula de massa
m = 10-6 g e v = 10-6 m/s
Solução :
h
h
6,63.10 −34 J .s
λ= =
=
= 6,63.10 −19 m
−9
−6
p mv (10 Kg )(10 m / s )
*Não se pode observar os fenômenos de interferência ou difração das ondas do elétron
do átomo (muito menor que qualquer abertura possível ≈ 10-15)
Elétrons de baixa energia (acelerado por uma ddp V):
p2
h
E=
= eV ⇒ λ = =
2m
p
Então:
λ=
h
2mE
=
h
2meV
1,226
V
Exemplo: Calcular o comprimento de onda de Broglie de um elétron com energia
E = 13,6eV (=> V = 13,6V)
Solução:
λ=
1,226
13,6
= 0,332nm
6. DUALIDADE ONDA PARTÍCULA
•
O efeito Compton e efeito foto-elétrico => Luz atua como partícula
•
De Broglie mostrou que o elétron apresenta propriedades ondulatórias como
interferência e difração
•
Coisa alguma podia ser , ao mesmo tempo , uma partícula clássica ou uma onda
clássica até o século XX
•
Existem certas circunstâncias que ambas levam ao mesmo resultado
7. O PRINCÍPIO DA INCERTEZA
Em virtude da dualidade onda-partícula é impossível , em princípio , medir posição e
velocidade de uma partícula com exatidão infinita (Werner Heisenberg - 1927)
∆x.∆p ≥
∆x -incerteza da posição
∆p -incerteza do momento
1
h
2
A igualdade só vale se ∆x e ∆p tiverem uma distribuição normal (gaussiana) e se as
experiências forem ideais.
Para se ver um objeto é preciso iluminá-lo => a radiação eletromagnética é portadora
de momento => ela produz modificação do momento de uma partícula e desvio da
radiação =>
*Incerteza no momento será grande se λ for pequeno
*Incerteza
ce e noo momento
o e o será
se pequena
peque se λ for
o ggrande
de
• Romulo afonso omena
• Flavio fabricio