&DStWXOR±6pULHV1XPpULFDV
BBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBB
Departamento de Matemática
Universidade de Aveiro
&iOFXOR ,, ± 7%
Acetatos de apoio às aulas,
segundo o texto
³&iOFXORFRPIXQo}HVGHXPDYDULiYHO´
de9LUJtQLD6DQWRV
ZZZPDWXDSWURVDOLDFDGHLUDV&,,
Rosália Rodrigues
BBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBB
&iOFXOR,,5RViOLD5RGULJXHV
&DStWXOR±6pULHV1XPpULFDV
BBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBB
&DStWXOR ± 6pULHV 1XPpULFDV
Å
&RQFHLWRV EiVLFRV
x
Como exemplo, recordemos a VXFHVVmR de WHUPRJHUDO ,
x
Sabemos que a sucessão x
Pretendemos agora saber o que acontece à VRPDGHWRGRVRVWHUPRV,
Q
Q∈´0.
é FRQYHUJHQWH e tem OLPLWH igual a .
Q
Terá esta soma um valor ILQLWR ou LQILQLWR?
E se a soma for finita, qual o seu YDORU?
x
Ou seja, pretendemos estudar a VpULHQXPpULFD de WHUPRJHUDO ,
x
Qual é a QDWXUH]DGHVWDVpULH?
x
Q
Q∈´0.
Será FRQYHUJHQWH ou GLYHUJHQWH?
BBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBB
&iOFXOR,,5RViOLD5RGULJXHV
&DStWXOR±6pULHV1XPpULFDV
BBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBB
x
Para isso, vamos construir a VXFHVVmR das VRPDVSDUFLDLV,
x
Neste caso, tratando-se de uma SURJUHVVmRJHRPpWULFD, é fácil calcular,
x
e também é simples calcular o OLPLWHGDVXFHVVmR VQ GDVVRPDVSDUFLDLV,
x
Por GHILQLomR de FRQYHUJrQFLDGHXPDVpULH podemos concluir que,
x
ou seja, esta VpULHpFRQYHUJHQWH e tem VRPD igual a .
BBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBB
&iOFXOR,,5RViOLD5RGULJXHV
&DStWXOR±6pULHV1XPpULFDV
BBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBB
x
Em termos QXPpULFRV, podemos observar as FRQYHUJrQFLDV do WHUPRJHUDO
para e das VRPDVSDUFLDLV para ,
Q
...
ˆ
x
Q
VQ
Em termos JUiILFRV, podemos visualizar o resultado da VRPD desta série,
BBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBB
&iOFXOR,,5RViOLD5RGULJXHV
&DStWXOR±6pULHV1XPpULFDV
BBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBB
x
Este exemplo é um caso particular de umaVpULHJHRPpWULFD de UD]mRU z que tem forma geral,
D DUDU DU DUQ com VRPDVSDUFLDLV,
VQ
Portanto:
DDUDU DUQ
DDUQ UU DUQ U
Quando
_U_
VQ → D U
_U_!
VQ → ˆ
e a série é FRQYHUJHQWH e tem VRPD
Quando
e a série é GLYHUJHQWH.
x
Uma VpULHJHRPpWULFD de UD]mRU
é da forma,
D DDD
e como as VRPDVSDUFLDLV são,
então
VQ → ˆ
se D
Quando U
VQ
QD
e a série é sempre GLYHUJHQWH.
Note que, se D!
x
V DU
então
então
VQ → ˆ
VQ → ˆ
a série tem a forma,
D DDD
Neste caso, como VQ RVFLOD entre D e , a sucessão VQ QmRWHPOLPLWH e a
série é GLYHUJHQWH.
BBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBB
&iOFXOR,,5RViOLD5RGULJXHV
&DStWXOR±6pULHV1XPpULFDV
BBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBB
Å
$OJXPDV VpULHV FRQYHUJHQWHV IDPRVDV
x
Soma dos inversos das potências de 2, mas com VLQDLVDOWHUQDGRV,
x
Somas dos inversos dos IDFWRULDLV,
x
Soma dos LQYHUVRVGRVtPSDUHV, com VLQDLVDOWHUQDGRV,
x
As VpULHVGH(XOHU,
BBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBB
&iOFXOR,,5RViOLD5RGULJXHV
&DStWXOR±6pULHV1XPpULFDV
BBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBB
Å
3URSULHGDGH $ QDWXUH]DGHXPDVpULHQmRGHSHQGHGRVVHXV
SULPHLURVWHUPRV
x
Consideremos uma série qualquer,
e outra formada pelos seus WHUPRVDSDUWLUGH S
x
!,
Provemos que as duas séries WrPDPHVPDQDWXUH]D.
Sejam VQ e V¶QQ≥S as respectivas VXFHVV}HVGHVRPDVSDUFLDLV,
ou seja,
VS
V¶Q
D D DS DS DS DQ
VQ
Então,
e as VXFHVV}HV VQ e
V¶QQ≥S
ou são DPEDVFRQYHUJHQWHV
ou são DPEDVGLYHUJHQWHV.
BBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBB
&iOFXOR,,5RViOLD5RGULJXHV
&DStWXOR±6pULHV1XPpULFDV
BBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBB
x
Portanto as VpULHV
x
No FDVRGHVHUHPDPEDVFRQYHUJHQWHV, atendendo a que,
e
WrPDPHVPDQDWXUH]D.
podemos concluir que,
x
3RUH[HPSOR as séries,
têm todas D PHVPDQDWXUH]D.
x
E como sabemos que a primeira é FRQYHUJHQWH,
podemos SURYDU que:
BBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBB
&iOFXOR,,5RViOLD5RGULJXHV
&DStWXOR±6pULHV1XPpULFDV
BBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBB
Å
$V VpULHV WHOHVFySLFDV RX VpULHV GH 0HQJROL
x
Comecemos por estudar a VpULH,
que pode ser escrita na forma,
x
Se calcularmos as VRPDVSDUFLDLV,
verificamos que a maior parte dos WHUPRVseFDQFHODPPXWXDPHQWH, só
restando o SULPHLUR e o ~OWLPR.
Calculando o limite,
x
e portanto,
BBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBB
&iOFXOR,,5RViOLD5RGULJXHV
&DStWXOR±6pULHV1XPpULFDV
BBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBB
x
Para toda a VpULHWHOHVFySLFD ou VpULHGH0HQJROL DQ existe uma VXFHVVmR
XQ e um número QDWXUDO S, de modo que o WHUPRJHUDO pode ser escrito
numa das formas,
DQ
x
XQ ± XQS
ou
DQ
XQS±XQ
O designação de WHOHVFySLFD procura
ilustrar o efeito resultante do
FDQFHODPHQWRP~WXR da maior parte
dos termos.
DQ
XQ ± XQS
x
No caso em que
x
A maior parte dos termos cancelam-se mutuamente, só restando os S SULPHLURV
x
temos,
e os S ~OWLPRV.
Assim, a FRQYHUJrQFLD de VQ depende apenas da FRQYHUJrQFLDda VRPD
GRV S ~OWLPRVWHUPRV, que formam umaVXFHVVmR YQ,
BBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBB
&iOFXOR,,5RViOLD5RGULJXHV
&DStWXOR±6pULHV1XPpULFDV
BBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBB
x
Portanto,
x
Se YQ for GLYHUJHQWH, também o serão VQ e a série dada.
x
Se YQ for FRQYHUJHQWH, podemos calcular,
e então,
x
Aplicando directamente o UHVXOWDGRDQWHULRU, podemos verificar que,
porque,
BBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBB
&iOFXOR,,5RViOLD5RGULJXHV
&DStWXOR±6pULHV1XPpULFDV
BBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBB
Å
3URSRVLomR 8PDFRQGLomRQHFHVViULDGHFRQYHUJrQFLD 6H uma série
for convergente,
HQWmR
x
Se a VpULH é convergente, também o é a VXFHVVmR VQ, ou seja,
x
E se a VXFHVVmR VQ é convergente, também o é a sua VXEVXFHVVmR VQ,
x
e VXEWUDLQGR termo a termo,
x
mas como
temos que,
que é o mesmo que,
x
Portanto:
VpULHFRQYHUJHQWHw WHUPRVWHQGHPSDUD]HUR
e por consequência:
WHUPRVQmRWHQGHPSDUD]HURw VpULHGLYHUJHQWH
BBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBB
&iOFXOR,,5RViOLD5RGULJXHV
&DStWXOR±6pULHV1XPpULFDV
BBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBB
WHUPRVQmR WHQGHPSDUD]HURw VpULHGLYHUJHQWH
x
Por exemplo, nos casos de umaVpULHJHRPpWULFD em que a UD]mR_ U _ t como o termo geral tem a forma,
DQ
DUQ
a sucessão DQ ou GLYHUJH ou QmRWHPOLPLWH, pelo que a série é GLYHUJHQWH.
x
Na série,
como o termo geral tem a forma,
DQ é uma VXFHVVmRRVFLODWyULD, pelo que o OLPLWHQmRH[LVWH e portanto a
série dada é GLYHUJHQWH.
x
A série de termo geral,
é também GLYHUJHQWH porque,
x
Note que, do facto da sucessão DQ
→
QDGDVHSRGHFRQFOXLU.
BBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBB
&iOFXOR,,5RViOLD5RGULJXHV
&DStWXOR±6pULHV1XPpULFDV
BBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBB
Å
$V VpULHV KDUPyQLFDV
x
A VpULHKDUPyQLFD mais simples tem a forma,
x
O nome tem origem na P~VLFD, onde representa
as GLIHUHQWHV IUHTXrQFLDV obtidas pela vibração
de uma corda, pressionada em diferentes pontos.
x
Uma simples simulação numérica sugere que, DSHVDUGDVXFHVVmRGRVWHUPRV
FRQYHUJLU para , a VpULHKDUPyQLFDpGLYHUJHQWH.
Q
Q
VQ
...
BBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBB
&iOFXOR,,5RViOLD5RGULJXHV
&DStWXOR±6pULHV1XPpULFDV
BBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBB
x
Existem GH]HQDVGHGHPRQVWUDo}HV da GLYHUJrQFLDGDVpULHKDUPyQLFD.
x
Como veremos, foi utilizado o FULWpULRGHFRPSDUDomR.
x
Já datando de existe uma elegante GHPRQVWUDomRSRUDEVXUGR.
x
O raciocínio seguinte data de cerca do DQR.
6XSRQKDPRV que a série harmónica era FRQYHUJHQWH e tinha soma 6.
Então,
donde concluiríamos que 6
x
!6, o que é DEVXUGR.
Mas veremos mais...
BBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBB
&iOFXOR,,5RViOLD5RGULJXHV
&DStWXOR±6pULHV1XPpULFDV
BBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBB
Å
&RPELQDomR OLQHDU GH GXDV VpULHV
x
Dadas GXDV VpULHV
e GRLVQ~PHURVUHDLV D e E,
e
podemos construir a FRPELQDomROLQHDU,
x
A QDWXUH]D desta série depende naturalmente da natureza das séries dadas.
Se ambas as VpULHVGDGDV forem FRQYHUJHQWHV, com somas V e V,
x
sendo,
x
Calculemos a sucessão VQ das somas parciais da nova série.
Para WRGR o
Q∈´
e WRGRV os
D, E∈¸,
BBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBB
&iOFXOR,,5RViOLD5RGULJXHV
&DStWXOR±6pULHV1XPpULFDV
BBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBB
x
e calculemos o seu OLPLWH, aplicando propriedades dos limites,
x
Portanto, a VpULHFRPELQDomROLQHDU é também FRQYHUJHQWH e sabemos o
valor da sua VRPD,
Se
for FRQYHUJHQWH e
for GLYHUJHQWH, com E
x
se a SULPHLUDpFRQYHUJHQWH, então tem uma soma V,
x
se a VHJXQGDpGLYHUJHQWH, então o limite,
x
z .
ou QmRH[LVWH ou é LQILQLWR (+ˆ ou -ˆ).
Assim, se calcularmos a sucessão VQ das somas parciais da nova série.
Para WRGR o
Q∈´
e WRGRV os
D, E∈¸, com E z ,
BBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBB
&iOFXOR,,5RViOLD5RGULJXHV
&DStWXOR±6pULHV1XPpULFDV
BBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBB
x
x
e calcularmos o OLPLWH, aplicando propriedades dos limites,
verificamos que o limite ou QmRH[LVWH ou é LQILQLWR.
Portanto a VpULHFRPELQDomROLQHDU é GLYHUJHQWH.
Se forem DPEDV GLYHUJHQWHV nada podemos afirmar.
Na maior parte dos casos a série combinação linear será divergente, mas podem
ocorrer efeitos de cancelamento por subtracção que tornam o resultado convergente.
x
Analisemos alguns FDVRVSDUWLFXODUHV da combinação linear de duas séries.
x
6RPDGHGXDVVpULHV:
Basta fazer D
= E = .
Se forem ambas FRQYHUJHQWHV,
então a soma é FRQYHUJHQWH.
Se uma for FRQYHUJHQWH e a outra GLYHUJHQWH,
então a soma é GLYHUJHQWH.
BBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBB
&iOFXOR,,5RViOLD5RGULJXHV
&DStWXOR±6pULHV1XPpULFDV
BBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBB
x
3URGXWRGHXPDVpULHSRUXPQ~PHURUHDO:
Basta fazer
E = .
Se a série for FRQYHUJHQWH,
então o seu produto por
D é FRQYHUJHQWH.
Se a série for GLYHUJHQWH e
então o seu produto por
x
D z ,
D é GLYHUJHQWH.
Estes resultados são de grande XWLOLGDGHSUiWLFD, como por exemplo:
x
x
O SURGXWR da série por permite transformar o problema no estudo de
uma série geométrica de razão ,
BBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBB
&iOFXOR,,5RViOLD5RGULJXHV
&DStWXOR±6pULHV1XPpULFDV
BBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBB
x
x
x
Decompondo na GLIHUHQoDGHGXDVVpULHV,
como a primeira é divergente e a segunda convergente, com soma =
a série dada é GLYHUJHQWH.
,
x
x
x
Escrevendo na forma de uma combinação linear, facilmente calculamos,
Podemos observar o comportamento das primeiras VRPDVSDUFLDLV das
duas séries,
BBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBB
&iOFXOR,,5RViOLD5RGULJXHV
&DStWXOR±6pULHV1XPpULFDV
BBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBB
Å
6pULHV GH WHUPRV QmR QHJDWLYRV
DQ ≥ Q∈´ .
x
Analisemos as séries com WHUPRJHUDO
x
Neste caso, a VXFHVVmRGDVVRPDVSDUFLDLV VQ é PRQyWRQDFUHVFHQWH
pois,
,∀
VQ = VQ + DQ ≥ VQ
x
E como uma sucessão monótona crescente é convergente se e só se for
limitada superiormente, então,
Uma VpULHGHWHUPRVQmRQHJDWLYRV é FRQYHUJHQWH se e só se a
VXFHVVmRGDVVRPDVSDUFLDLV for OLPLWDGDVXSHULRUPHQWH.
x
Por exemplo, na série geométrica deWHUPRVQmRQHJDWLYRV,
x
a VXFHVVmRGDVVRPDVSDUFLDLV é OLPLWDGDVXSHULRUPHQWHSRU,
x
como já vimos, nesta série o PDMRUDQWH é também o OLPLWH da sucessão VQ.
BBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBB
&iOFXOR,,5RViOLD5RGULJXHV
&DStWXOR±6pULHV1XPpULFDV
BBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBB
x
Utilizemos agora esta série para estudar outra VpULHGHWHUPRVQmRQHJDWLYRV,
x
Porque sabemos que N ≥ para todos os N Q, podemos
encontrar um PDMRUDQWH para a sucessão das somas parciais desta série,
x
Portanto esta série é também FRQYHUJHQWH.
x
Neste caso, o PDMRUDQWH não é o OLPLWH da sucessão VQ que, como
N
veremos mais tarde, é igual a
H ±.
x
Observemos o comportamento das primeiras VRPDVSDUFLDLV das duas séries,
x
Este raciocínio está na origem do seguinte critério ...
BBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBB
&iOFXOR,,5RViOLD5RGULJXHV
&DStWXOR±6pULHV1XPpULFDV
BBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBB
Å
&ULWpULR GH &RPSDUDomR SDUD VpULHV GH WHUPRV QmR QHJDWLYRV
x
x
Sejam:
x
como
L
x
x
LL
x
x
VQ
V¶Q
a sucessão das somas parciais de 6
a sucessão das somas parciais de 6
DQ ≤ EQ , ∀ Q∈´,
temos que
DQ
EQ
≤ VQ ≤ V¶Q Se por hipótese 6 EQ for FRQYHUJHQWH, então a sucessão V¶Q é
OLPLWDGDVXSHULRUPHQWH.
Portanto, como VQ
≤ V¶Q
, a sucessão VQ é também OLPLWDGD
VXSHULRUPHQWH e a série 6
DQ
é também FRQYHUJHQWH.
Se por hipótese 6 DQ for GLYHUJHQWH, então a sucessão VQ QmRp
OLPLWDGDVXSHULRUPHQWH.
Portanto, como VQ
≤ V¶Q
, a sucessão V¶Q também QmRpOLPLWDGD
VXSHULRUPHQWH e a série 6
EQ
é também GLYHUJHQWH.
BBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBB
&iOFXOR,,5RViOLD5RGULJXHV
&DStWXOR±6pULHV1XPpULFDV
BBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBB
x
Retomemos as duas séries deWHUPRVQmRQHJDWLYRV,
x
Sabendo que a SULPHLUDpFRQYHUJHQWH, utilizemos o FULWpULRGHFRPSDUDomR
para estudar a segunda.
x
Basta FRPSDUDUWHUPRDWHUPR, pois como,
então a segunda série é também FRQYHUJHQWH.
x
Observemos o comportamento dos SULPHLURVWHUPRV das duas séries,
x
Note como ambas as sucessões tendem necessariamente para ]HUR.
x
Verifique também por que razão do critério de comparação é estabelecido
DSHQDV para séries de WHUPRVQmRQHJDWLYRV.
BBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBB
&iOFXOR,,5RViOLD5RGULJXHV
&DStWXOR±6pULHV1XPpULFDV
BBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBB
x
Consideremos agora as duas séries deWHUPRVQmRQHJDWLYRV,
x
A primeira é a série harmónica básica, que sabemos ser GLYHUJHQWH.
x
&RPSDUDQGR WHUPRDWHUPR, como,
Utilizemos o FULWpULRGHFRPSDUDomR para estudar a segunda.
concluímos que a segunda é também GLYHUJHQWH.
x
Observemos o comportamento dos SULPHLURVWHUPRV das duas séries,
x
Por comparação com uma das anteriores, estude a série,
x
O critério de comparação está na origem do seguinte ...
BBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBB
&iOFXOR,,5RViOLD5RGULJXHV
&DStWXOR±6pULHV1XPpULFDV
BBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBB
Å
&ULWpULR GH &RPSDUDomR SRU 3DVVDJHP DR /LPLWH
SDUD VpULHV GH WHUPRV QmR QHJDWLYRV
x
BBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBB
&iOFXOR,,5RViOLD5RGULJXHV
&DStWXOR±6pULHV1XPpULFDV
BBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBB
x
Consideremos de novo as duas séries,
Atendendo a que,
pelo critério da SDVVDJHPDROLPLWH, podemos concluir que WrPDPHVPD
QDWXUH]D.
x
Para estudar a série,
começamos por confirmar que se trata de uma série de WHUPRVQmRQHJDWLYRV.
Efectivamente, para Q ≥ tem-se < Q≤ , pelo que o valor desta
função seno é sempre positivo.
Podemos então FRPSDUDUSRUSDVVDJHPDROLPLWH com a série harmónica
básica,
donde concluímos que as duas séries WrPDPHVPDQDWXUH]D.
BBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBB
&iOFXOR,,5RViOLD5RGULJXHV
&DStWXOR±6pULHV1XPpULFDV
BBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBB
x
Consideremos agora as duas séries,
das quais sabemos que D SULPHLUDpFRQYHUJHQWH.
Sendo ambas de termos positivos, calculemos,
Podemos então concluir SRUSDVVDJHPDROLPLWH que a segunda série é
também FRQYHUJHQWH.
x
x
Por FRPSDUDomRSRUSDVVDJHPDROLPLWH com a série harmónica básica,
confirme a divergência a série,
O critério seguinte tem por base o critério de comparação, bem como a
HVWUHLWDUHODomR entre as noções GHLQWHJUDOLPSUySULRGHHVSpFLH
e de soma infinita ou VpULH.
BBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBB
&iOFXOR,,5RViOLD5RGULJXHV
&DStWXOR±6pULHV1XPpULFDV
BBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBB
Å
&ULWpULR GR ,QWHJUDO SDUD VpULHV GH WHUPRV QmR QHJDWLYRV
x
x
Observemos por exemplo a UHODomR entre a série harmónica básica e o integral
impróprio, que sabemos ser divergente,
Como a área limitada pela curva é LQILQLWD, a soma das áreas dos rectângulos
também é LQILQLWD.
BBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBB
&iOFXOR,,5RViOLD5RGULJXHV
&DStWXOR±6pULHV1XPpULFDV
BBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBB
x
Aplicando o FULWpULRGRLQWHJUDO, estudemos a série,
x
Como referência, consideremos a IXQomR,
x
Verifiquemos se é GHFUHVFHQWH no intervalo,
x
Sendo o denominador sempre positivo, o numerador será negativo quando
x
OQ[! , ou seja, [ ! H | ...
Então, para [ t ,
a derivada é sempre negativa e a IXQomRVHPSUHGHFUHVFHQWH.
Portanto, segundo o critério do integral, a série dada tem D PHVPD
QDWXUH]D do integral impróprio,
x
Estudando o LQWHJUDO,
x
Verificamos que R LQWHJUDOLPSUySULRpFRQYHUJHQWHpelo que podemos
finalmente concluir que D VpULHGDGDpFRQYHUJHQWH.
BBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBB
&iOFXOR,,5RViOLD5RGULJXHV
&DStWXOR±6pULHV1XPpULFDV
BBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBB
Å
$ VpULH KDUPyQLFD GH RUGHP S
x
Para todo o
S  ¹ existe uma
VpULHKDUPyQLFD com a forma,
cuja QDWXUH]D depende do valor de S.
x
Para S d , a VXFHVVmRGRVWHUPRV Q
harmónica é GLYHUJHQWH.
x
Para S
S
→ +ˆ , pelo que a série
, trata-se da VpULHKDUPyQLFDEiVLFD.
Como a função I[ [ definida em [ˆ[ é sempre decrescente, pelo
FULWpULRGRLQWHJUDO, esta série tem a mesma natureza do integral impróprio,
que sabemos ser divergente.
E assim, mais uma vez provamos que a série harmónica básica é GLYHUJHQWH.
x
Para S
! , consideremos a função,
que é sempre decrescente em [ˆ[ , porque neste intervalo,
BBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBB
&iOFXOR,,5RViOLD5RGULJXHV
&DStWXOR±6pULHV1XPpULFDV
BBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBB
x
x
Então, pelo critério do integral, a série harmónica de ordem S tem a natureza do
integral impróprio,
Tal como foi provado (pp. 300-301),
converge se S
diverge
x
x
se S
>
<
Podemos portanto concluir que a VpULHKDUPyQLFDGHRUGHPS,
FRQYHUJH
se
S>
GLYHUJH
se
Sd
Por exemplo:
x para S
, já vimos que é divergente a série,
x para S
, /HRQKDUG(XOHU provou que,
BBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBB
&iOFXOR,,5RViOLD5RGULJXHV
&DStWXOR±6pULHV1XPpULFDV
BBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBB
Å
1RWD VREUH R FRPSRUWDPHQWR DVVLPSWyWLFR GD VpULH KDUPyQLFD
x
Sabendo que uma dada série é GLYHUJHQWH, em diversas aplicações práticas
interessa também saber FRPRGLYHUJH, isto é, qual o seu JUDXGHGLYHUJrQFLD.
x
Vejamos FRPRGLYHUJH a VpULHKDUPyQLFDEiVLFD.
x
/HRQKDUG(XOHU mostrou que,
ou seja, que as sucessivas VRPDVKDUPyQLFDV VQ têm o mesmo JUDXGH
FUHVFLPHQWR que a IXQomRORJDULWPR
x
Significa isto que a série GLYHUJH sim, mas ³PXLWROHQWDPHQWH´
Por exemplo, para que uma soma parcial atinja o valor VQ
≈ são necessários
termos e para que VQ ≈ são necessários mais de termos!
BBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBB
&iOFXOR,,5RViOLD5RGULJXHV
&DStWXOR±6pULHV1XPpULFDV
BBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBB
x
d S d , quanto PHQRU for o valor de S tanto PDLRU é o JUDXGH
GLYHUJrQFLD, que varia entre OQQ e Q, para S .
x
Para valores de S < , a divergência torna-se evidentemente ³PXLWRUiSLGD´,
porque são séries do tipo,
Para onde T
x
S> .
Uma curiosidade:
Demonstra-se que é possível empilhar uma
torre inclinada de blocos iguais (tijolos, livros,
CDs, ...) de tamanho (teoricamente) infinito,
se os blocos estiverem sucessivamente
desalinhados segundo os termos da série
harmónica básica.
BBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBB
&iOFXOR,,5RViOLD5RGULJXHV
&DStWXOR±6pULHV1XPpULFDV
BBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBB
Å
&ULWpULRV GH FRQYHUJrQFLD SDUD VpULHV GH WHUPRV QmR SRVLWLYRV
x
Como vimos, para determinar a natureza de séries numéricas de WHUPRVQmR
QHJDWLYRV podemos utilizar:
x
&ULWpULRGHFRPSDUDomR
x
&ULWpULRGRLQWHJUDO
x
x
&ULWpULRGHFRPSDUDomRSRUSDVVDJHPDROLPLWH
Como estudar então uma série GHWHUPRVQmRSRVLWLYRV?
Como por exemplo,
x
Obviamente que,
e como o SURGXWR de uma série por um número real não nulo PDQWpPDVXD
QDWXUH]D, basta estudar a série de termos não negativos.
x
Portanto a designação ³SDUDVpULHVGHWHUPRVQmRQHJDWLYRV´,
x
A seguir vamos ver o que fazer quando os termos não têm sinal constante.
deve ser entendida no sentido de ³SDUDVpULHVGHWHUPRVGRPHVPRVLQDO´.
BBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBB
&iOFXOR,,5RViOLD5RGULJXHV