UNIVERSIDADE TÉCNICA DE LISBOA
INSTITUTO SUPERIOR TÉCNICO
Modelação Ambiental
Aula #8
Balanço de Massa
Estado estacionário
Volume de controlo
R Neves | M Mateus | G Riflet
2009-2010
Como desenvolver um modelo de qualidade da água
Primeiros passos
As duas questões mais frequentes que os modelos de qualidade da água tentam
responder:
• “Quanto” irá variar o estado de uma massa de água
(concentrações de poluentes, nutrientes, oxigénio, etc.)
• Quanto tempo será necessário para essa variação acontecer
“Quanto” varia um sistema
Exemplo
Quanto oxigénio é consumido na reacção de degradação de 40 gC m-3
1. Calcular a massa de oxigénio consumida por massa de carbono
decomposta (roc)
roc 
6 mol O 2  32gO/mol O 2
 2.67gO gC-1
6 mol C  12gC/mol C
2. Determinar a quantidade utilizando a razão calculada
gO
 gC 
 gC 
40
r

40
2.67
 106.67gO m -3


3  oc
3 
gC
 m 
 m 
Tempo necessário para esta mudança ocorrer?
Balanço de Massa
Corpo de água bem misturado
Assumindo um corpo de água completamente misturado (Continuously Mixed Tank
Reactor – CMTR) o balanço de massa para o sistema é dado por:
Acumulação = entrada – saída – reacções - sedimentação
•
Este balanço é meramente descritivo
•
Para ter valor preditivo cada termo tem de ser expresso como
uma função de variáveis e parâmetros quantificáveis
Acumulação
Variação de massa (M) no sistema ao longo do tempo
Acumulação 
Relação entre Massa, concentração (ML-3) e Volume (L3):
Logo:
M  Vc
Assim,
Acumulação 
Vc
t
M
t
c
M
V
( MT 1 )
Acumulação
Assumindo um volume constante:
com t  0 temos:
dc
0
dt
dc
0
dt
dc
0
dt
Acumulação  V
Acumulação  V
c
t
dc
dt
Massa acumula (aumento da concentração no tempo)
Massa diminui (diminuição da concentração no tempo)
Equilíbrio
Entrada
• Fontes pontuais
(emissários, ribeiras, tributários, etc.)
• Fontes difusas
(escorrências de terra, entradas na interface ar-água, água-sedimento, etc.)
Para o estudo do balanço de massa passamos a considerar ambos os tipos de
entradas no sistema ao assumir uma distribuição instantânea no volume de água
Entrada  W (t )
Entrada  Qcin (t )
W(t): taxa de entrada de massa em função do tempo (MT-1)
Q: caudal de entrada (somatório de todas as fontes no sistema (L3T-1)
cin(t): concentração média de entrada (ML-3)
Entrada
Pressupostos
1. Caudal constante
2. Variação temporal na entrada deve-se apenas a variação temporal da
concentração
Relacionando a concentração média do caudal de entrada com a carga temos então:
cin (t ) 
W (t )
Q
Saída
A massa sai do sistema através de um caudal de saída
A taxa de transporte da massa pode ser quantificada por:
Saída  Qc
c = cout (pressuposto de mistura completa)
Q = Qin = Qout (pressuposto de volume constante)
Reacções
Forma mais comum (1ª ordem):
reacção  kM
k – coeficiente de primeira ordem (T-1)
Expressa em termos de concentração:
reacção  kVc
Sedimentação
Fluxo de massa através de uma área de superfície na interface água-sedimento
O termo de sedimentação no balanço de massa é:
sedimentação   As c
ν – velocidade aparente de sedimentação (LT-1)
As – Área da superfície dos sedimentos (L2)
Dado que V = H As, podemos transformar este termo em algo semelhante
a uma reacção de 1ª ordem:
sedimentação  ksVc
Em que a taxa constante de sedimentação (ordem 1) é (T-1):
ks 

H
Balanço global
Balanço de massa para um sistema bem misturado
V
dc
 W (t ) - Qc - kVc - As c
dt
Acumulação = entrada – saída – reacções - sedimentação
Nomenclatura
Concentração, c : variável dependente
Tempo, t : variável independente
O modelo calcula a concentração em
função do tempo
W(t)
Função forçadora / forçamento: traduz o modo como o “mundo exterior”
influencia (força) o sistema
(ex: vento, radiação solar, temperatura atmosférica, etc.)
V, Q, k, As
Parâmetros (ou coeficientes): quando especificados permitem aplicar o
modelo a casos (sistemas) particulares
Solução do Estado Estacionário
Se o sistema estiver sujeito a uma entrada constante W durante um intervalo de tempo
suficiente, atingirá uma condição de equilíbrio dinâmico designada de Estado
Estacionário.
Em termos matemáticos isto significa que a acumulação é zero (dc/dt = 0)
Partindo de
V
dc
 W (t ) - Qc - kVc - As c
dt
Podemos reescrever como:
obtemos
c
W
Q  kV  As
1
c W
a
Em que o termo de assimilação é:
a  Q  kV  As
•
A solução de estado estacionário fornece uma primeira ilustração dos benefícios
da aproximação mecanicista.
•
Dá-nos uma formula que define o factor de assimilação em termos de variáveis
quantificáveis que reflectem a física, biologia e química do sistema
Volume de controlo
•
Método que consiste na divisão da massa de água em segmentos finitos ou
volumes de controlo
•
Permite resolver as equações do modelo ecológico/qualidade da água
independentemente do esquema de transporte e geometria do sistema
0
1
2
...
i-1
i
i +1
...
n-1
n
n+1
Entrada
Advecção
Advecção
i
i-1
Difusão
i+1
Difusão
Reacção
Volume de controlo
Esquemas 1D
Horizontal
Vertical
Volume de controlo
Esquemas 2D
transversal / longitudinal
vertical / horizontal
Volume de controlo
Esquemas 3D
Volume de controlo
Radiação
solar
Propriedades
• temperatura
• nutrientes
• produtores
• oxigénio
• ....