Universidade Federal de Pelotas
Vetores e Álgebra Linear
Profa: Msc. Merhy Heli Rodrigues
Determinantes
Determinantes
Definição: Determinante é um número associado a uma matriz quadrada.
1. Determinante de primeira ordem
Dada uma matriz quadrada de 1  ordem M= a 11  , chamamos de determinante associado à matriz M o
a
número real a 11 .
Notação: det M ou a 11 = a 11
Exemplos:
1. M1  5  det M1  5 ou 5  5
2. M 2   3  det M1  3 ou - 3  3
2. Determinante de segunda ordem
 a 11 a 12 
 , de ordem 2, por definição, temos que o determinante associado a
a 21 a 22 
Dada a matriz M= 
a
essa matriz, ou seja, o determinante de 2  ordem é dado por:
a 12 
a
det M   11
  a 11a 22  a 12 a 21 
a 21 a 22 
2 3
Exemplo: Sendo M= 
 , então:
 4 5
Assim: det M  a 11a 22  a 12a 21 
Conclusão: O determinante de uma matriz de ordem 2 é dado pela diferença entre o produto dos
elementos da diagonal principal e o produto dos elementos da diagonal secundária.
3. Menor Complementar
Chamamos de menor complementar relativo ao elemento a ij de uma matriz M, quadrada e de ordem
n > 1, o determinante M Cij , de ordem n – 1, associado à matriz obtida de M quando suprimos a linha e a
coluna que passam por a ij .
 a 11 a 12 
 , de ordem 2, para determinarmos o menor complementar relativo
a 21 a 22 
Exemplo 1: Dada a matriz M= 
ao elemento a 11 ( MC11 ), retiramos a linha 1 e a coluna 1;
MC = menor complementar
 a 11 a 12 
a
 , logo, MC11  a 22  a 22
 21 a 22 
Da mesma forma temos que o MC relativo ao elemento a 12 é dado por:
 a 11 a 12 
a
 , logo, MC12  a 21  a 21 e assim por diante.
 21 a 22 
 a 11 a 12

Exemplo 2: Dada a matriz M= a 21 a 22

a 31 a 32
a) MC11
a 13 
a 23  , de ordem 3, vamos determinar:
a 33 
b) MC12
c) MC13
d) MC21
4. Cofator
Chamamos de cofator (ou complemento algébrico) relativo ao elemento a ij de uma matriz quadrada
de ordem n o número A ij , tal que A ij  (1) i  j  MCij .
 a 11 a 12 
 , os cofatores relativos a todos os elementos da matriz M são:
a 21 a 22 
Exemplo 1: Dada M= 
2
A11  (1)11  a
22  ( 1)  a 22  a 22 ;
MC11
3
A12  (1)1 2  a
21  ( 1)  a 21  a 21 ;
MC12
A 21  (1)
2 1
A 22  (1)
2 2
3
 a
12  ( 1)  a 12  a 12 ;
MC 21
4
 a
11  ( 1)  a 11  a 11 .
MC 22
Assim, podemos também determinar a matriz dos cofatores (que será denotada por A ) como sendo:
A 12   a 22
A
A   11

A 21 A 22    a 12
 a 21 
a 11 
 a 11 a 12

Exemplo 2: Sendo M= a 21 a 22

a 31 a 32
a 13 
a 23  , vamos calcular os cofatores A 22 , A 23 e A 31 :
a 33 
5. Matriz Adjunta
A matriz transposta da matriz dos cofatores de uma matriz A é chamada adjunta de A.
 
Assim: adjA  A
t
6. Regra de Sarrus
a
Dispositivo prático para calcular o determinante de 3  ordem.
Exemplo 1: Calcular o seguinte determinante através da Regra de Sarrus.
a 11 a 12
D= a 21 a 22
a 31 a 32
a 13
a 23
a 33
Solução:
a
a
1  Passo: Repetir a duas primeiras colunas ao lado da 3  :
a 11 a 12
a 21 a 22
a 31 a 32
a 13 a 11 a 12
a 23 a 21 a 22
a 33 a 31 a 32
a
2  Passo: Encontrar a soma do produto dos elementos da diagonal principal com os dois produtos
obtidos com os elementos das paralelas a essa diagonal.
OBS.: A soma deve ser precedida do sinal positivo, ou seja:
 a 11a 22a 33  a 12a 23a 31  a 13a 21a 32 
a
3  Passo: Encontrar a soma do produto dos elementos da diagonal secundária com os dois produtos
obtidos com os elementos das paralelas a essa diagonal.
OBS.: A soma deve ser precedida do sinal negativo, ou seja:
 a 13a 22a 31  a 11a 23a 32  a 12a 21a 33 
Assim: D  a 13a 22a 31  a 11a 23a 32  a 12a 21a 33   a 11a 22a 33  a 12a 23a 31  a 13a 21a 32 
Exemplo 2: Calcular o valor dos seguintes determinantes:
2
a) D1  4
3
3 1
1 2
2 1
b) D 2 
2
0
1
0
-1
0
0
1
0
1
-1
1
1
2
0
0
7. Propriedades dos determinantes:
(de matriz quadrada de ordem n)
As propriedades a seguir são relativas a determinantes associados a matrizes quadradas de ordem n.
Estas propriedades, muitas vezes nos permite simplificar os cálculos.
P1-) Quando todos os elementos de uma fila (linha ou coluna) são nulos, o determinante dessa matriz é nulo.
Exemplos:
4 9 8
0 0 0
1-)
3 2 1
18 12 9
7
0
0
3
3
3 0 15
2-) 2 0  3  0
1 0 7
P2-) Se duas filas paralelas de uma matriz são iguais, então seu determinante é nulo.
Exemplo:
2
4
2
9
5
2
5
7
3
9
3
4
5
8
0
5
3
pois, L1 = L3
P3-) Se duas filas paralelas de uma matriz são proporcionais, então o seu determinante é nulo.
Exemplo:
1 4 2
2 1 4 0
3 2 6
pois C3 = 2C1
P4-) Se os elementos de uma fila de uma matriz são combinações lineares dos elementos correspondentes de
filas paralelas, então o seu determinante é nulo.
Exemplos:
1 3 4
1-) 2 4 6  0
3 2 5
pois C1 + C2 = C3
3 4 1
2-) 1 2 3  0
7 10 5
pois 2L1 + L2 = L3
OBS.: Definição de combinação linear:
Um vetor v é uma combinação linear dos vetores v1, v2, ... ,vk, se existem escalares a1, a2, ... ,ak tal que:
v= a1. v1+...+ ak. vk
P5-) Teorema de Jacobi: O determinante de uma matriz não se altera quando somamos aos elementos de
uma fila uma combinação linear dos elementos correspondentes de filas paralelas.
Exemplo:
1 2 3
2 1 2 9
2 4 3
Substituindo a 1ª coluna pela soma dessa mesma coluna com o dobro da 2ª, temos:
C1  2C2


1 2 2 2 3 5 2 3
2  1 2 1 2  4 1 2  9
2  4  2 4 3 10 4 3
P6-) O determinante de uma matriz e o de sua transposta são iguais.
Exemplo:
1 2 3
Det A = 2 1 2  9
2 4 3
1 2 2
Det At = 2 1 4  9
3 2 3
P7-) Multiplicando por um número real todos os elementos de uma fila em uma matriz, o determinante dessa
matriz fica multiplicado por esse número.
Exemplos:
1 2 3
1-) 2 1  1  4
3 2 1
Multiplicando C1 por 2, temos:
5  10 0
1
7
4  145 Multiplicando L1 por , temos:
2-) 3
5
2 0
1
2 2 3
4 1  1  2   4  8
6 2 1
1 2 0
1
3 7
4    145  29
5
2 0 1
P8-) Quando trocamos as posições de duas filas paralelas, o determinante de uma matriz muda de sinal.
Exemplo:
1 2 3
2 1  1  4
3 2 1
Trocando as posições de L1 e L2, por exemplo, temos:
2 1 1
1 2 3  4
3 2 1
P9-) Quando, em uma matriz, os elementos acima ou abaixo da diagonal principal são todos nulos, o
determinante é igual ao produto dos elementos dessa diagonal.
Exemplos:
a 0 0
1-) d b 0  a  b  c
e f c
x g h
2-) 0 y i  x  y  z
0 0 z
P10-) Quando, em uma matriz, os elementos acima ou abaixo da diagonal secundária são todos nulos, o
determinante é igual ao produto dos elementos dessa diagonal, multiplicado por  1
Exemplos:
0 0 a
2-) 0 b x  a  b  c
c y z
0 a
1-)
 a  b
b x
P11-) Para A e B matrizes quadradas de mesma ordem n, temos:
det (AB) = det A  det B
Observação: Como A  A-1 = I, na propriedade acima, temos:
det (A-1) =
1
det A
Exemplo:
Se A =
2 1
4 2
1 0
e AB =
, então:
, B=
3 4
11 8
2 2
det AB  det
A  det B


  
2
10
5
P12-) Se k  , então det (kA) = kn  detA.
Exemplo:
Sendo k=3, A =
6 3
2 1
e kA =
, temos:
12 15
4 5
det k  A   kn  det
A



2
54
3
6
n  n 1
2
.
P13-) det (A+B)  detA + detB
8. Inversão de matrizes com o auxílio da teoria dos determinantes
A inversa de uma matriz quadrada de ordem n pode ser calculada pela aplicação do seguinte
teorema:
A matriz inversa A 1 de uma matriz A (quadrada de ordem n) existe se, e somente se, det A  0 e é
dada por:
A 1 
1
 adjA
det A
 
OBS.: adj A é a matriz transposta da matriz dos cofatores: adj A = A
t
Exemplos:
6
1
1) Verificar se a matriz A  
0
admite inversa
 3
 3
 x
2) Calcular x para que exista a inversa da matriz A 

  2
3) Calcular, se existir, a inversa da matriz
A 1 
1
 adjA
det A
3
1
1
2
0 
x 
  2 3
A
 com o auxílio da fórmula
  1 4