Álgebra Linear para Computação
Lista de Exercícios
Prof. Thelmo de Araujo
4.1 Determinante de uma Matriz
1. Calcule, usando a denição, os determinantes abaixo.
(a) (b) (c) 3
0
0
1
(d) −1
3
(e) −2
1
3
2
(f) 1
−6
−2 .
5 3
−3
−7 9 4 3 .
0 2 −1 −1
1 4
3
0 .
2
1 −2 3
2
7 1
2
3
−1
2 .
−4 −1 1 1 3 .
4 5 −2 −3
4 3
2
1 .
−2
1 −2 5
2
7 2. Dê contra-exemplos para mostrar que as armações abaixo são falsas.
(a) Sejam A m × n e B n × m, com m 6= n, então det(AB) = det(BA).
(b) det(A + B) = det(A) + det(B).
(c) det(kA) = k det(A).
3. Seja A uma matriz 2 × 2. Mostre que det(A + I) = det(A) + 1 se, e somente se, tr(A) = 0.
4. Mostre, usando indução nita e a denição de determinante, que o determinante de uma
matriz triangular inferior é dado pelo produto dos elementos da diagonal principal da matriz.
5. Mostre, usando indução nita, que o número de operações aritméticas (soma, subtração e
produto) no cálculo do determinante de uma matriz n × n é n × n! − 1.
6. Calcule det(A − λI) e det(B − λI) para
A=
2
5
0
3

5
e B= 0
1

6
2
−1 −8  .
0 −2
Quais valores de λ tornam, respectivamente, as matrizes A − λI e B − λI singulares?
4.2 Propriedades dos Determinantes
1. Utilize as propriedades dos determinantes para calcular:
(a) 1
2
0
2
2
1
0
2
0 4 0 1 .
−1 1 0 1 1
(b) 1
1
1
a
b
c
b+c
a+c
a+b
.
2. Considere uma matriz 3×3 e a matriz elementar que troca a segunda e a terceira linhas desta
matriz. Mostre como realizar a mesma troca de linhas utilizando quatro matrizes elementares
dos outros tipos, i.e., que combinam linearmente linhas ou multiplicam uma linha por número
diferente de zero.
3. Se Q é uma matriz ortogonal, calcule det(Q).
4. Se P é um projetor, calcule det(P ).
5. Se A é uma matriz n × n e k é um escalar, calcule det(kA).
6. Qual é a relação entre o determinante de uma matriz (invertível) e o de sua inversa?
7. Considere a matriz de
Vandermonde
de ordem 4

1
 1
V4 = 
 1
1
a
b
c
x
a2
b2
c2
x2

a3
b3 
.
c3 
x3
Utilizando o teorema do texto, mostre que
det(V4 ) = (b − a)(c − a)(c − b)(x − a)(x − b)(x − c) .
8. Mostre que, se os elementos de cada coluna de uma matriz somam zero, então seu determinante é zero.
9. Usando o resultado do exercício anterior, mostre que se os elementos de cada coluna de uma
matriz A somam 1, então det(A − I) = 0. Isso, porém, não signica que det(A) = 1. Dê um
exemplo de uma matriz cujas colunas somam 1 e seu determinante não é 1.
10. Mostre que o determinante de uma matriz hermitiana é sempre real.
4.3 Aplicações
1. Utilizando a equação da inversa da matriz dos cofatores, encontre, se existir, as inversas das
seguintes matrizes:
(a)
3
−2
4
1

−5 4
12 7 
.
17 8 
7 4

−2 1
−1 4  .
−3 5

1
1
1
(f)  −1 −1 −1  .
2
2
2

1
 2
(d) 
 3
1

1
(e)  2
3

.

−2 1
−1 4  .
−3 2

1
(b)  2
3

8
(c)  4
−8

4 2
3 1 .
−2 0
2
5
5
1
2. Encontre, utilizando a regra de Cramer, a solução do sistema Ax = b, sendo:

1
(a) A =  2
3

1
 1

(b) A = 
2
1

−2 1
−1 4 
−3 6

2
e b= 8 ;
9


2
3 4
−1 −1 1 

1
1 2 
1
1 1

e

1
 2 

b=
 −1  .
1
2
3. Encontre, usando determinantes, as equações da circunferência e da esfera que contêm, respectivamente, os pontos:
(1, 0), (−1, −2) e (3, −2)
e
(−1, 1, 4), (1, 1, 4), (2, 0, 0) e (3, −1, 2) .
Encontre os respectivos centros e raios e escreva as equações na forma
(x − c1 )2 + (y − c2 )2 + (z − c3 )2 = r2 .
3