IME ITA
Álgebra Linear
01 - (FUVEST SP)
⎡sen θ cos θ 0 1⎤
⎢
⎥
sen θ cos θ 0 0⎥
A matriz ⎢
⎢sen θ
1
0 0⎥
⎢
⎥
0
1 0⎥⎦
⎢⎣ 0
somente se:
é inversível, se e
a. θ ≠ nπ / n ∈ Z
b. θ ≠ 2nπ/n ∈ Z
π
c. θ ≠ + nπ /n ∈ z
2
π
d. θ ≠ + nπ/n ∈ Z
4
e. θ ∈ R
02 - (Mauá SP) Determine as condições que x deve
satisfazer para que a matriz A seja invertível.
⎛1 2 3 4 ⎞
⎜
⎟
⎜1 3 x 5 ⎟
A=⎜
1 3 4 3⎟
⎜
⎟
⎜1 6 5 x ⎟
⎝
⎠
03 - (ITA SP) Sejam A, B e C matrizes reais 3 x 3,
satisfazendo às relações AB = C-1, B = 2 A. Se o
determinante de C é 32, qual é o valor do módulo
do determinante de A ?
a) 1/16
b) 1/8
c) 1/4
d) 8
e) 4
04 - (INTEGRADO RJ) O valor de a tal que
7 ⎤
⎡ −11
⎡3 7 ⎤
⎢ 5 2 -32 ⎥ seja a matriz inversa de ⎢
⎥ é:
⎢⎣ 2
⎥
⎣ a 11 ⎦
2⎦
a) –1
b) 3
c) 1/5
d) 2
e) 5
05 - (ITA SP) Sejam as matrizes
0 1 / 2 −1 ⎤
3 −1 / 2
⎡1
⎡1
⎢
⎥
⎢
2
5
2
3
1
2 −2
−
−
−
⎥ e B=⎢
A=⎢
⎢ 1 −1 2
⎥
⎢
1
1
−1 1
⎢
⎥
⎢
⎢⎣ − 5 1 3 / 2 0 ⎥⎦
⎢⎣ 5 − 1 1 / 2
1⎤
⎥
3⎥
1⎥
⎥
5⎥⎦
Determine o elemento c34 da matriz C = (A + B) −1 .
06 - (ITA SP) Uma matriz real quadrada A é
ortogonal se A é inversível e A −1 = A t .
Determine todas as matrizes 2 x 2 que são
simétricas e ortogonais, expressando-as, quando
for o caso, em termos de seus elementos que
estão fora da diagonal principal.
07 - (UNICAMP SP) Uma matriz real quadrada P é
dita ortogonal se PT = P–1, ou seja, se sua
transposta é igual a sua inversa.
a) Considere a matriz P abaixo. Determine os
valores de a e b para que P seja ortogonal.
Dica: você pode usar o fato de que P–1P = I,
em que I é a matriz identidade.
⎡ − 1 / 3 − 2 / 3 − 2 / 3⎤
P = ⎢− 2 / 3
a
− 1/ 3⎥
⎢
⎥
b
2 / 3 ⎥⎦
⎢⎣− 2 / 3
b) Uma certa matriz A pode ser escrita na forma
A = QR, sendo Q e R as matrizes abaixo.
Sabendo que Q é ortogonal, determine a
solução do sistema Ax = b, para o vetor b
dado, sem obter explicitamente a matriz
A.
Dica: lembre-se de que x = A–1b.
⎡ 1/ 2
− 1 / 2 − 2 / 2⎤
0 ⎤
⎡2 0
⎢
⎥
Q = ⎢ 1/ 2
− 1/ 2
2 /2 ⎥ ,
R = ⎢0 − 2 0 ⎥ ,
⎥
⎢
⎢ 2 /2
2 ⎦⎥
2 /2
0 ⎥
⎣⎢0 0
⎣
⎦
⎡6⎤
b = ⎢ − 2⎥ .
⎢ ⎥
⎢⎣ 0 ⎥⎦
⎡ i 0 0⎤
08 - (CEFET PR) Considere a matriz A = ⎢0 i 0⎥ ,
⎢⎣0 0 i ⎥⎦
na qual
“i” é a unidade imaginária.
afirmar que A9 é igual a:
(I3 ⇒ identidade de ordem 3)
a)
b)
c)
d)
É correto
A.
– A.
i . A.
I3 .
e) – I3 .
09 - (ITA SP) Seja A ∈ M3x3 tal que det A = 0.
Considere as afirmações:
I.
Existe X ∈ M3x1 não nula tal que AX é
identicamente nula
II. Para todo Y ∈ M3x1, existe X ∈ M3x1 tal que AX
= Y.
1
5
III. Sabendo que A 0 = 1
0
2
então a primeira linha da transposta de A é [5 1
2]. Temos que:
a) todas são falsas
b) apenas (II) é falsa
c) todas são verdadeiras.
d) apenas (I) e (II) são verdadeiras.
e) n.d.a
Matemática – Ney
10 - (UnB DF) Um industrial instalou cinco fábricas,
que serão representadas pelos números 1, 2, 3,
4, 5. Ele necessita de instalar uma oficina de
manutenção de máquinas em uma das fábricas.
Na matriz (C = cij)5x5, o elemento cij representa o
custo (em mil Reais) de transporte de uma
máquina da fábrica i para a fábrica j. Na matriz
coluna M = (mi1)5x1, o elemento mi1 fornece o
número de máquinas da fábrica i. Considere as
⎡0
⎢6
⎢
matrizes C = ⎢ 4
⎢
⎢6
⎢⎣ 5
⎡ 2 1 2⎤
c. ⎢⎢2 2 1⎥⎥
⎢⎣1 2 2⎥⎦
⎡1 2 2 ⎤
e. ⎢⎢2 2 1⎥⎥
⎢⎣1 1 2⎥⎦
5 4 5 4⎤
⎡5⎤
⎥
⎢2⎥
0 2 3 1⎥
⎢ ⎥
3 0 2 1 ⎥ e M = ⎢ 3 ⎥ e julgue
⎥
⎢ ⎥
4 3 0 1⎥
⎢4⎥
⎢⎣ 3 ⎥⎦
2 3 2 0 ⎥⎦
⎡ 2 1 2⎤
d. ⎢⎢1 2 2⎥⎥
⎢⎣1 2 2⎥⎦
14 - (UERJ) João comeu uma salada de frutas com a,
m e p porções de 100 g de abacaxi, manga e
pêra, respectivamente, conforme a matriz X. A
matriz A representa as quantidades de calorias,
vitamina C e cálcio, em mg, e a matriz B indica
os preços, em reais, dessas frutas em 3
diferentes supermercados. A matriz C mostra que
João ingeriu 295,6 cal, 143,9 mg de vitamina C e
93 mg de cálcio.
os itens seguintes.
00. Para transportar todas as máquinas para a
fábrica 4, o custo é de 43.000 Reais.
01. Se x é o custo de transporte de todas as
máquinas das outras fábricas para a fábrica i,
então o custo de retorno dessas máquinas
para as fábricas de origem é x, qualquer que
seja 1 ≤ i ≤ 5.
02. Considerando que as máquinas encontram-se
em igual estado de conservação, como opção
mais econômica, o industrial deverá instalar a
oficina de manutenção na fábrica 5.
11 - (PUC RJ) Calcule a vigésima potência da matriz
⎛1 a ⎞
⎟⎟ .
⎜⎜
⎝0 1⎠
Considerando que as matrizes inversas de A e B
–1
são A–1 e B , o custo dessa salada de frutas,
12 - (UERJ) Considere as matrizes A e B:
A = ( a ij ) é quadrada de ordem n em que a
⎧ 1, se i é par
a ij = ⎨
⎩− 1, se i é ímpar
B=(b
ij
) é de ordem n x p em que b
ij
em cada supermercado, é determinado pelas
seguintes operações:
a) B . A–1 . C
b) C . A–1 . B
–1
c) A–1 . B
.C
–1
–1
d) B
.A
.C
= ji
a) Calcule a soma dos elementos da diagonal
principal da matriz A.
b) O elemento da quarta linha e da segunda
coluna da matriz produto AB é igual a 4094.
Calcule o número de linhas da matriz B.
⎡0
⎢
13 - (UERJ) Multiplicando-se A = 0
⎢
⎢⎣1
⎡a ⎤
⎡b⎤
⎢b⎥
⎢ ⎥
⎢ ⎥ , obtêm-se AX = ⎢ c ⎥ ,
⎢⎣ c ⎥⎦
⎢⎣ a ⎥⎦
15 - (ITA SP) Sejam A e B matrizes quadradas de
ordem n tais que AB = A e BA = B . Então, [(A +
B)t]2 é igual a
a) (A + B)2.
b) 2(At . Bt).
c) 2(At + Bt).
c) At + Bt.
e) At Bt .
1 0⎤
0 1⎥⎥ por X =
0 0⎥⎦
que
é
16 - (ITA SP) Seja A uma matriz real 2 x 2.
Suponha que α e β sejam dois números distintos,
e V e W duas matrizes reais 2 x 1 não-nulas, tais
que AV = αV e AW = βW. Se a, b ∈ R são tais
que a V + b W é igual à matriz nula 2 x 1, então
a + b vale
a) 0
b) 1
c) –1
d) 1
2
e) − 1
2
uma
permutação dos elementos de X. Existem cinco
outras matrizes de mesma ordem da matriz "A",
com apenas elementos 0 e 1, que, multiplicadas
por X, formam as outras permutações dos
elementos de X. A soma destas cinco matrizes é:
⎡1 2 2 ⎤
a. ⎢⎢2 1 2⎥⎥
⎢⎣2 2 1⎥⎦
⎡ 2 1 2⎤
b. ⎢⎢1 2 2⎥⎥
⎢⎣2 2 1⎥⎦
2
Exercícios Complementares
2. +⊥ A que transforma a matriz Am x n numa
outra matriz A’’1 x n onde cada elemento da única
linha de A’’ é obtido somando-se os elementos
da coluna correspondente de A.
Nestas condições, se A for a matriz identidade de
ordem p a expressão +/(+⊥A) vale:
a) 2p
b) p
c) p2
d) p . m
e) 2 x 2
17 - (ITA SP) 1.Mostre que se uma matriz quadrada
não-nula A satisfaz a equação:
A3 + 3A2 + 2A = 0 (1)
então (A + I)3 = A + I, em que I é a matriz
identidade.
⎡ −1 1 ⎤
2. Sendo dado que
A=⎢
⎥ satisfaz à
⎣ 0 − 2⎦
equação (1) acima, encontre duas matrizes
não-nulas B e C tais que B3 + C3 = B + C =
A. Para essas matrizes você garante que o
⎡ x ⎤ ⎡0⎤
sistema de equações ( B − C) ⎢ ⎥ = ⎢ ⎥ .
⎣ y ⎦ ⎣0⎦
21 - (UNIFICADO RJ) Cláudio anotou as suas
médias bimestrais de matemática, português,
ciências e estudos sociais em uma tabela com
quatro linhas e quatro colunas, formando uma
matriz, como mostra a figura:
⎡1 1⎤
⎥ de
⎣0 1⎦
18 - (UFC CE) Considere a matriz A = ⎢
ordem 2x2. Então pode-se afirmar que a soma A
+ A2 + ... + An é igual a:
a)
b)
⎡1 n ⎤
⎢0 1 ⎥
⎣
⎦
⎡n n 2 ⎤
⎢
⎥
⎣⎢0 n ⎦⎥
c)
⎡1 n (n + 1) / 2⎤
⎢0
⎥
n
⎣
⎦
d)
⎡n (n 2 + n ) / 2⎤
⎢
⎥
n
⎣⎢ 0
⎦⎥
e)
⎡n n ⎤
⎢0 n ⎥
⎣
⎦
1º b
2º b
3º b 4º b
matemática ⎛ 5,0
⎜
português ⎜ 8,4
ciências ⎜ 9,0
⎜
est. sociais ⎜⎝ 7,7
4,5
6,5
7,8
5,9
6,2
7,1
6,8
5,6
5,9 ⎞
⎟
6,6 ⎟
8,6 ⎟
⎟
6,2 ⎟⎠
Sabe-se que as notas de todos os bimestres têm
o mesmo peso, isto é, para calcular a média
anula do aluno em cada matéria basta fazer a
média aritmética de suas médias bimestrais. Para
gerar uma nova matriz cujos elementos
representem as médias anuais de Cláudio, na
mesma ordem acima apresentada, bastaria
multiplicar essa matriz por:
a)
b)
19 - (UFRJ) O agente id Ota inventou o seguinte
código secreto para a transmissão de datas de
certos fatos importantes: o código transforma
uma data d-m-a, onde d é o dia, m é o mês e a
representa os dois últimos algarismos do ano, em
uma nova tripla de números d´-m´,a´, de
acordo com a regra:
c)
⎛ − 2 3 1 ⎞ ⎛ d ⎞ ⎛ d´ ⎞
⎜
⎟ ⎜ ⎟ ⎜
⎟
⎜ − 1 2 1 ⎟ ⎜ m ⎟ = ⎜ m´ ⎟
⎜ − 2 3 1 ⎟ ⎜ a ⎟ ⎜ a´ ⎟
⎝
⎠ ⎝ ⎠ ⎝
⎠
d)
O código revelou-se um desastre. De fato, várias
datas originais distintas (d,m,a) correspondem a
um mesmo código transmitido (d´, m´, a´).
Por exemplo, as datas 1/1/97 e 2/2/96
correspondem ao mesmo código 98-98-98, pois:
e)
⎛ − 2 3 1 ⎞ ⎛ 1 ⎞ ⎛ - 2 3 1 ⎞ ⎛ 2 ⎞ ⎛ 98 ⎞
⎜
⎟ ⎜
⎟ ⎜
⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎜ − 1 2 1 ⎟ ⎜ 1 ⎟ = ⎜ - 1 2 1 ⎟ ⎜ 2 ⎟ = ⎜ 98 ⎟
⎜ − 2 3 1 ⎟ ⎜ 97 ⎟ ⎜ - 2 3 1 ⎟ ⎜ 96 ⎟ ⎜ 98 ⎟
⎝
⎠ ⎝
⎠ ⎝
⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
1
2
⎡1
⎢4
⎣
1
4
1
4
1⎤
4 ⎥⎦
⎡1⎤
⎢ 12 ⎥
⎢2⎥
⎢1⎥
⎢2⎥
⎢1⎥
⎣2⎦
1
4
⎡1⎤
⎢ 14 ⎥
⎢4⎥
⎢1⎥
⎢4⎥
⎢1⎥
⎣4⎦
⎡1 1⎤
⎥ de
⎣0 1⎦
22 - (UFC CE) Considere a matriz A = ⎢
ordem 2x2. Então pode-se afirmar que a soma A
+ A2 + ... + An é igual a:
Id Ota pensou em alterar o coeficiente central da
matriz, a22, igual a 2, para um outro valor k.
Determine, se possível, os valores de k que
fazem o código funcionar bem.
20 - (FCChagas SP) Dada uma matriz Am x n e as
operações:
1.
+/ A que transforma a matriz A numa outra
matriz A’m x 1 onde cada elemento da única coluna
de A’ é obtido somando-se os elementos da linha
correspondentes de A.
3
a)
⎡1 n ⎤
⎢0 1 ⎥
⎣
⎦
b)
⎡n n 2 ⎤
⎢
⎥
⎢⎣0 n ⎥⎦
c)
⎡1 n (n + 1) / 2⎤
⎢0
⎥
n
⎣
⎦
d)
⎡n (n 2 + n ) / 2⎤
⎢
⎥
n
⎢⎣ 0
⎥⎦
e)
⎡n n ⎤
⎢0 n ⎥
⎣
⎦
Matemática – Ney
28 - (UEM PR) Sobre matrizes e determinantes,
assinale a(s) alternativa(s) correta(s).
01. Se o determinante de uma matriz quadrada A
é 10 e se a segunda linha for multiplicada por
23 - (UFG GO) Dadas as matrizes
⎛ sen θ cos θ ⎞
⎛ cos θ − sen θ ⎞
⎟⎟ e N = ⎜⎜
⎟⎟
M = ⎜⎜
⎝ sen θ cos θ ⎠
⎝ cos θ − sen θ ⎠
Onde θ é um ângulo compreendido entre 0 e π/2
rad.
Abaixo estão relacionadas algumas operações
envolvendo estas matrizes. As igualdades
corretas são:
⎛0 1⎞
⎟⎟ ;
01. M.N = ⎜⎜
⎝1 0⎠
4
a
quinta
linha
por
1
,
2
então
o
determinante da matriz resultante é 20.
02. Uma matriz quadrada A de ordem 3 é tal que
seus elementos satisfazem aij + aji = 0 para
todo 1 ≤ i, j ≤ 3. Então, det(A) ≠ 0.
04. Se uma matriz quadrada A de ordem n tem
determinante satisfazendo a equação det(A2)
+ 2det(A) + 1 = 4, então o det(A) é igual a 1
ou – 3.
⎡k 1 − 1⎤
⎢
⎥
08. Se A é a matriz dada por ⎢1 1 2 ⎥ , então o
⎣⎢k 0 k ⎦⎥
02. det M + det N = 2;
04. M.N = N.M;
⎛ 2 0⎞
⎟ no caso em que θ = π/4 rd;
08. M + N = ⎜
⎜ 2 0⎟
⎠
⎝
16. N–1 = N, onde N–1 é a inversa de N;
32. det kM = k det M, onde K ∈ R.
único valor de k que torna o determinante de
A2 nulo é zero.
16. A equação matricial Xt ⋅ A ⋅ X = 3 onde A é a
⎡ 3 4⎤
matriz dada por ⎢
⎥ , tem como solução o
⎣− 4 3⎦
24 - (ITA SP) Sejam A = (ajk) e B = (bjk) duas
matrizes quadradas n x n, onde ajk e bjk são,
respectivamente, os elementos da linha j e
coluna k das matrizes A e B, definidos por
⎛j⎞
⎛k⎞
a jk = ⎜⎜ ⎟⎟ , quando j ≥ k , a jk = ⎜⎜ ⎟⎟ quando j < k e
⎝k⎠
⎝j⎠
⎡x ⎤
conjunto das matrizes X 2×1 = ⎢ ⎥ , tais
⎣ y⎦
+ y2 = 1.
⎡1 0
⎢
32. Se A = B ⋅ C, onde B = ⎢ 13 1
⎢4
1
⎣⎢ 3
jk
⎛ jk ⎞
b jk = ∑ (−2) p ⎜⎜ ⎟⎟ .
p =0
⎝ p⎠
O traço de uma matriz quadrada (cjk) de ordem n
x n é definido por ∑ np =1 c pp . Quando n for ímpar, o
traço de A + B é igual a
a) n(n − 1)/3
b) (n −1)(n + 1)/4
c) (n2 − 3n +2)/(n − 2)
d) 3(n − 1)/n
e) n − 1)/(n − 2)
que x2
0⎤
⎥
0⎥
⎥
1⎥
⎦
e
⎡3 2 4 ⎤
⎢
⎥
C = ⎢0 13 23 ⎥ , então o determinante de A é
⎢⎣0 0 − 4⎥⎦
igual a – 4.
29 - (UFAC) Considere a função
∂ : C → M 2 (R )
25 - (UFU MG) Seja A uma matriz de ordem 3
inversível tal que (A – 2I)2 = 0, em que I é a
matriz identidade de ordem 3. Assim, pode-se
afirmar que a matriz inversa A–1 é igual a
a)
I− 1 A
b)
2A
c)
4I – A
d)
1I
2
4
e
y⎤
⎡x
z = x + yi → ∂ ( z) = ⎢
⎥
−
y
x
⎣
⎦
que a cada número complexo em C associa uma
matriz quadrada de ordem 2 em M2(R). A
proposição errada dentre as dos itens abaixo é:
26 - (FGV ) O montante aplicado de R$ 50.000,00
foi dividido em duas partes, x e y, uma tendo
rendido 1% em um mês, e a outra 10% no
mesmo período. O total dos rendimentos dessa
aplicação foi de R$ 4.000,00. Sendo M, P e Q as
⎡x ⎤
⎡50⎤
⎡1 0,01⎤
matrizes M = ⎢ ⎥ , P = ⎢ ⎥ e Q = ⎢
⎥, a
⎣y⎦
⎣4⎦
⎣1 0,1 ⎦
Det (∂ ( z )) = z ; ∀z ∈ C
b)
c)
∂ ( z.w ) = ∂ ( z ).∂ ( w ); ∀ z, w ∈ C
∂ ( z + w ) = ∂ ( z ) + ∂ ( w ); ∀ z, w ∈ C
d)
e)
matriz M pode ser obtida pelo produto:
a) 1 000 ⋅ (Pt ⋅ Q)–1
b) Pt ⋅ Q ⋅ 1 000
c) Q–1 ⋅ P ⋅ 1 000
d) 1 000 ⋅ (Qt)–1 ⋅ P
e) (Q–1)t ⋅ P ⋅ 1 000
30
27 - (IME RJ) Considere uma matriz A, n x n, de
coeficientes reais, e k um número real diferente
de 1. Sabendo-se que A3 = k A, prove que a
matriz A + I é invertível, onde I é a matriz
identidade n x n.
4
2
a)
-
⎡1 - 1 ⎤
∂ ((1 − i) −1 ) = ⎢
⎥
⎣1 1⎦ 2 x 2
∂ (1) = 12
(UFBA BA) Considerando-se a matriz
⎛ u 2 + log v 0 u 2 − log v ⎞
⎜
⎟
⎟ , sendo u, w∈R e
B=⎜
0
2w
0
⎜ 2
⎟
2
⎜ u − log v 0 u + log v ⎟
⎝
⎠
v∈R*+, é correto afirmar:
01. A matriz B é simétrica, para quaisquer u,
w∈R, v∈R*+.
02. O determinante de B é negativo se e somente
se u ≠ 0 e v > 1 .
Exercícios Complementares
01. a coluna central não contém números
compostos.
02. a linha de ordem k contém (2k −1) números
naturais, k =1,2, …
04. a quantidade de números naturais escritos
até o final da linha k é k2, k =1,2,…
08. a soma de todos os números naturais escritos
até o final da 20.ª linha é 80.200.
16. o número natural 628 é o quarto número da
26.ª linha.
04. Se u = 6, e v = 0,0001, então existe um
único w∈R tal que os elementos da diagonal
principal de B são medidas de um triângulo
eqüilátero.
08. Se u = 0, existem v∈R*+ e w∈R tais que B2 é
uma matriz nula.
16. Para qualquer w∈R, o sistema de equações
BX = 0 tem uma infinidade de soluções
⎛x⎞
⎜ ⎟
X = ⎜ y ⎟ se e somente se v = 1 .
⎜z⎟
⎝ ⎠
34 - (ITA SP) Sejam A e P matrizes reais quadradas
de ordem n tais que A é assimétrica (isto é, A =
At) e P é ortogonal (isto é, P . Pt = I = Pt . P), P
diferente da matriz identidade. Se B = PtAP
então:
a) AB é simétrica
b) BA é simétrica
c) det A = det B
d) BA = AB
e) B é ortogonal
31 - (UEM PR) Considere a equação matricial
2
a ⎤ ⎡ x ⎤ ⎡ 3⎤
⎡− a
⎢
⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥
3
a
−
a ⎥ ⎢ y ⎥ = ⎢1 ⎥ .
⎢
⎢⎣ 2 − 4a − 2⎥⎦ ⎢⎣ z ⎥⎦ ⎢⎣6⎥⎦
a) Para qual(is) valor(es) de a a equação
matricial
possui
uma
única
solução?
Justifique.
b) Determine a solução da equação matricial
para a = −1 , justificando sua resposta.
35 - (ITA SP) Seja A uma matriz real quadrada de
ordem n e B = I – A, onde I denota a matriz
identidade de ordem n. Supondo que A é
inversível e idempotente (isto é, A2 = A)
considere as afirmações:
32 - (UFAL) Considere:
a matriz A = (aij)2x2, tal que aij = 2j − i;
•
que traço de uma matriz quadrada A é a
•
soma dos elementos da diagonal principal de
A;
1.
2.
3.
4.
5.
3n
⎛ 2 2⎞
⎜ x + ⎟ , em que n é um
x⎠
⎝
número natural.
Use essas informações para concluir se as
afirmações seguintes são falsas ou verdadeiras.
3
00. O traço da matriz inversa de A é .
2
01. Se At é a matriz transposta de A, então
⎡5 3 ⎤
A ⋅ At = ⎢
⎥.
⎣3 2 ⎦
•
o binômio
Com respeito a estas afirmações temos:
a) Todas são verdadeiras.
b) Apenas uma é verdadeira.
c) Apenas duas são verdadeiras.
d) Apenas três são verdadeiras.
e) Apenas quatro são verdadeiras.
36 - (UFG GO) Após uma prova de 4 questões
aplicada a 4 alunos, o professor construiu uma
matriz (A) onde cada linha corresponde a um
aluno e cada coluna às questões da prova,
colocou 0 (zero) se o aluno errou a questão e 1
(um) se acertou. Com base nesse enunciado
podemos afirmar:
01. Se cada aluno acertou apenas 1 questão a
matriz pode ser a matriz identidade se as
questões acertadas são distintas;
02. Se um aluno tirou zero na prova o
determinante da matriz é zero;
04. A única situação em que A2 = 0 é se todos os
alunos tirarem zero na prova;
⎧1 se i ≥ j
08. Se A = A ij
onde a ij = ⎨
, então um
4x 4
⎩0 se i < j
02. Se n é o traço de A , então o 4o termo do
desenvolvimento do binômio dado, segundo
as potências decrescentes de x, é 168x9.
03. Se n = 2, a soma dos coeficientes do binômio
dado é 243.
04. Se n = 3, então, no desenvolvimento do
binômio dado, o termo independente de x é
168.
33 - (UEM PR) Considere os números naturais
colocados
ordenadamente
em
linhas
da
disposição triangular mostrada na figura e
suponha
que
a
distribuição
continue,
indefinidamente, obedecendo ao mesmo padrão.
[ ]
aluno acertou todas as questões
16. Considere a função f definida em { aij, 1 ≤ i, j
≤ 4}cuja lei de formação é f (aij) = aji Se A =
I (identidade) a função f é a função nula;
32. Se todos os alunos acertarem todas as
questões da prova então de A ≠ 0.
1
5
...
2
3
4
6
7
8
9
10
11
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
B é idempotente
AB = BA
B é inversível
A 2 + B2 = I
AB é simétrica
...
37 - (ITA SP) Sejam A e P matrizes nxn inversíveis
e B = P–1 AP. Das afirmações:
Sobre o exposto, é correto afirmar que:
5
Matemática – Ney
I. BT é inversível e (BT)–1 = (B–1)T.
II. Se A é simétrica, então B também o é.
III. det(A – λI) = det(B – λI), ∀λ ∈ R.
para o ponto 3B. Então, a área do
paralelogramo gerado por 2A e 3B é igual a 5
vezes a área de P.
02. O produto da matriz M pela matriz
é (são) verdadeira(s):
a) todas
b) apenas I
c) apenas I e II
d) apenas I e III
e) apenas II e III
⎛ cos 30° − sen 30° ⎞
⎜⎜
⎟⎟ é uma matiz 2 x 2 cujas
⎝ sen 30° cos 30° ⎠
linhas são as coordenadas dos pontos C e D.
Então, a área do paralelogramo gerado por C
e D é igual à área de P.
42 - (PUC SP) Seja a matriz A = (aij)3x3, tal que
38 - (ITA SP) Se A é uma matriz real, considere as
definições:
I. Uma matriz quadrada A é ortogonal se e só
se
A
for inversível e
A −1 = A T
II. Uma matriz quadrada
se a = 0 , para todo
ij
A
7π
⎧
cos
⎪⎪
i
a ij ⎨
7π
⎪sen
j
⎩⎪
.
é diagonal se e só
se i = j
se i ≠ j
O determinante da matriz A é igual a:
i, j = 1, ..., n, com i ≠ j
3
2
1
−
2
−
Determine as matrizes quadradas de ordem 3
que
são,
simultaneamente,
diagonais
e
ortogonais.
a)
39 - (ITA SP) Sejam A e B matrizes 2 x 2 tais que
AB = BA e que satisfazem à equação matricial A2
+ 2AB – B = 0. Se B é inversível, mostre que
(a) AB–1 = B–1A e que (b) A é inversível
c)
–1
d)
1
2
b)
3
2
e)
⎛2 0 1⎞
⎜
⎟
A
=
40 - (ITA SP) Considere as matrizes
⎜ 0 2 0⎟
⎜1 0 2⎟
⎝
⎠
1⎞
⎛ −1 0
⎜
⎟
e B=⎜ 0 −2 0 ⎟.
⎜1
0 − 1⎟⎠
⎝
43 - (UFMS MS) Sejam
⎛ x − 5 1⎞
⎟
A = ⎜⎜
5 ⎟⎠
⎝ 0
e B =
0 ⎞
⎛3
⎜⎜
⎟ matrizes reais de ordem 2 e f : IR
−
1
3
x ⎟⎠
⎝
→ IR a função definida por f(x) = 3.det.(A.B) ,
onde det.(A.B) denota o determinante da matriz
produto de A por B . Calcule o valor máximo da
função f.
Sejam λ0, λ1 e λ2 as raízes da equação det(A λI3) = 0 com o λ0 ≤ λ1 ≤ λ2.
Considere as afirmações:
I. B = A - λ0I3
II. B = (A - λ1I3)A
III. B = A(A - λ2I3)
44) Qualquer que seja x ∈R, tal que
x≠
kπ
(k ∈ z) , o
2
determinante
sec2 x cossec2 x
1
Então:
a) todas as afirmções são falsas.
b) todas as afirmações são verdadeiras
c) apenas I é falsa
d) apenas II é falsa
e) apenas III é falsa
sen 2 x
cos2 x
a)
b)
c)
d)
e)
41 - (UnB DF) Considere os sistema de coordenadas
cartesianas no plano, cuja origem é denotada por
O = (0,0). Sejam A e B pontos dessse plano,
distintos da origem. O paralelogramo P, gerado
pelos pontos A e B, é aquele que tem os
1
tg 2 x
1
cotg 2 x
é igual a:
secx . cossecx
1
–1
zero
n.d.a
45 - (FEI SP) Calcule;
cos2a cos2a sen 2a
cos2b cos2b sen 2b
cos2c cos2c sen 2c
segmentos OA e OB como arestas. A área
desse paralelogramo é o determinante det M da
matriz quadrada M, de ordem 2, cujas linhas são
as coordenadas dos pontos A e B.
Tendo em vista essa informações, julgue os itens
que se seguem.
46 - (FEI SP) Seja M uma matriz quadrada de 3a
ordem; constrói-se uma matriz N em que cada
coluna é a soma das outras duas colunas da
matriz M. Sendo A o determinante de M e B o
determinante de N, tem-se:
a) B = 0
b) B = A
00. Se det M = 0, então os segmentos OA e OB
são colineares.
01. Sejam 2A o ponto cuja coordenadas são duas
vezes as coordenadas de A. Analogamente
6
Exercícios Complementares
c) B = 2A
d) A = 2B
e) n.d.a
1
1
x
b
c
bc cx
bx
47 - (UnB DF) Seja f(x) =
I.
II.
III.
IV.
1
com a, b, c
A respeito dessas afirmações, assinale a
alternativa correta.
a) Todas as afirmativas são falsas.
b) Apenas a afirmação I é verdadeira.
c) Apenas as afirmações I e III são verdadeiras.
d) Apenas a afirmação II é falsa.
e) Todas as afirmações são verdadeiras.
reais não-nulos e distintos.
As raízes de f(x) = 0 são:
00. x = a, x = b, x = c
01. x = a, x = c
02. x = b, x = c
03. x = a, x = b
52 - (ITA SP) Sejam A e I matrizes reais quadradas
de ordem 2, sendo I a matriz identidade. Por T
denotamos o traço de A, ou seja, T é a soma dos
elementos da diagonal principal de A. Se T ≠ 0 e
λ1, λ2 são raízes da equação det(A - λI) = det(A)
– det(λI), então:
a) λ1 e λ2 independem de T
b) λ1 . λ2 = T
c) λ1 . λ2 = 1
T
d) λ1 + λ 2 =
2
e) λ1 + λ2 = T
48 - (PUC SP) Indica-se por det A o determinante
de uma matriz quadrada A. Seja a matriz A =
(aij), de ordem 2, em que
⎧ ⎡π
⎤
⎪sen .(i + j)⎥, se i = j
a ij = ⎨ ⎢⎣ 4
.
⎦
⎪sen[ x.(i − j)], se i ≠ j
⎩
quantos números reais x, tais que –2π < x < 2π,
1
satisfazem a sentença det A = ?
4
a) 10
b) 8
c) 6
d) 4
e) 2
53
b
b
0
0
…
b2 +1
b
0
…
0
b
b2 + 1
b
…
0
0
b
b2 +1
…
…
…
…
…
…
0
0
0
0
…
0
0
0
0
…
(ITA
SP)
2
2x
4x 2
Considere
x
a
equação
2 ⎤
F( x ) ⎥⎥ = 0
[F( x )]2 ⎥⎦
4
3
F( x ) = x + x 2− x +1 e G(x ) =
onde
x 2 −1 , com x ∈ R, x ≠ 0.
x
Sobre as raízes reais dessa equação, temos:
a) Duas delas são negativas.
b) Uma delas é um número irracional.
c) Uma delas é um número par.
d) Uma delas é positiva e outra negativa.
e) n.d.a.
⎫
⎪
0
0
⎪
⎪
0
0
⎪
0
0
⎬n linhas
⎪
…
… ⎪
2
⎪
b +1
b
⎪
b
b2 + 1 ⎭
0
-
⎡ 2
det ⎢⎢ G ( x )
⎢⎣[G ( x )]2
49 - (IME RJ) Calcule o determinante da matriz n x
n em função de b, onde b é um número real tal
que b2 ≠ 1,
b2 +1
Se A = At e B = Bt, então AB = (AB)t.
det(A + B) = det A + det B.
Se AB = CB, então A = C.
A2 – B2 = (A – B)(A + B).
0
54 - (ITA SP) Seja C = {X ∈ M2x2; X2 + 2x = 0}.
Dadas as afirmações:
n colunas
I. Para todo X ∈ C, (X + 2I) é inversível.
II. Se X ∈ C e det (X + 2I) ≠ 0 então X não é
inversível.
III. Se X ∈ C e det X ≠ 0 então det X > 0.
50 - (UFBA BA) Considere a matriz simétrica A =
(aij), 1 ≤ i ≤ 3, 1 ≤ j ≤ 3, que satisfaz as
seguintes condições:
I.
Se j = i + 1 ou i = j + 1, então aij é a
distância do ponto P ao ponto Q, sendo P e Q
interseções da parábola y = x2 – 2x + 1 com
a reta y = – x + 1.
II. Se j = i + 2 ou i = j + 2, então aij é a área do
triângulo PQR, sendo o ponto R o simétrico de
Q em relação à origem do sistema de
coordenadas xOy.
III. Se i = j, então aij é o valor máximo da função
quadrática f(x) = – 2x2 + 4x.
podemos dizer que:
a) Todas são verdadeiras.
b) Todas são falsas.
c) Apenas (II) e (III) são verdadeiras.
d) Apenas (I) é verdadeira.
e) n.d.a.
55 - (UnB DF) Para A e B matrizes quadradas
quaisquer, de ordem 3, denote por A² o produto
de A por si mesmo e por det A o derminante da
matriz A. julgue os itens.
Assim sendo, escreva a matriz A e calcule o seu
determinante.
00. (A + B) . (A – B) = A2 . B2.
01. det (2A) = 2 det A
51 - (UFU MG) Sejam A, B e C matrizes reais
quadradas de ordem 3. Considere as seguintes
afirmações:
7
Matemática – Ney
60 - (UFU MG) Sejam A e B matrizes de elementos
reais, quadradas de ordem 3, e represente por I
a matriz identidade de ordem 3. Se A + B = 3 I e
det(A – B) = 1, determine det(A2 + AB – BA –
B2).
02. Somando-se 4 a todos os elementos da
⎡1 1 1⎤
⎢
⎥
matriz A = ⎢2 1 1⎥ , o determinate da nova
⎢⎣3 a 1⎥⎦
matriz será 4det A
61 - (ITA SP) Considere as afirmações dadas a
seguir, em que A é uma matriz quadrada n × n ,
⎡1 0 0⎤
⎢
⎥
2
03. Se (det A) = 1, então A = ⎢0 1 0⎥ ou
⎢⎣0 0 1⎥⎦
⎡− 1 0 0 ⎤
A = ⎢⎢ 0 − 1 0 ⎥⎥ .
⎢⎣ 0 0 − 1⎥⎦
⎡ a2
(a + 2) 2 (a + 4) 2 ⎤
⎢
⎥
04. Se A = ⎢(a + 2) 2 (a + 4) 2 (a + 6) 2 ⎥ , o det A
⎢(a + 4) 2 (a + 6) 2 (a + 8) 2 ⎥
⎣
⎦
n≥2:
I.
II. Se
III. Se
x
tal
for obtida de
que
aij = 0
demais colunas, então
3 4
para
então
A , multiplicando-se a
2 + 1 e a segunda por
mantendo-se
Então,
podemos
verdadeira(s):
a) apenas II.
b) apenas III.
c) apenas I e II.
d) apenas II e III.
e) todas.
inalteradas as
det B = det A .
afirmar
que
é
(são)
62 - (UECE) Seja X = M + M 2 + M 3 + ... + M k , em que M
⎡1 1 ⎤
é a matriz ⎢
⎥ e k é um número natural. Se o
⎣0 1⎦
2 3
determinante da matriz X é igual a 324, então o
valor de k 2 + 3k − 1 é:
a) 207
b) 237
c) 269
d) 377
58 - (VUNESP SP) Considere as matrizes reais 3x3
⎛ a b c⎞
⎛ m n p⎞
⎜
⎟
⎜
⎟
⎜ x y z ⎟ e ⎜ x y z ⎟ . Se indicarmos por A e
⎜ 1 1 1⎟
⎜ 1 1 1⎟
⎝
⎠
⎝
⎠
63 - (ITA SP) Sejam A e C matrizes n x n inversíveis
tais que det(I + C −1A) = 1 / 3 e det A = 5 . Sabendo-se
(
B, respectivamente, os determinantes dessas
matrizes,
o
determinante
da
matriz
)
t
que B = 3 A −1 + C −1 , então o determinante de B é
igual a
⎛ a + m + 1 b + n + 1 c + p + 1⎞
⎜
⎟
1
1
1 ⎟ é igual a:
⎜
⎜ 2x
2y
2z ⎟⎠
⎝
–
2
2
–
2
B
2 − 1,
vale:
a) -4
b) –4/3
c) 4/3
d) 4
e) 12
a)
b)
c)
d)
e)
é
primeira coluna por
56 - (MACK SP) A é uma matriz quadrada de ordem
4 e det A = -6. o valor de x tal que det (2A) = x
– 97 é:
a) -12
b) zero
c) 1
d) 97/2
e) 194
x y z
1 2 3
9 12 = −12 , então 2
1
y z
A = (a i j )
i > j , com i, j = 1, 2,..., n,
det A = a11 a 22 ... a n n .
não dependerá do valor de a.
57 - (UNIP SP) Se 6
O determinante de A é nulo se e somente se
A possui uma linha ou uma coluna nula.
2A–2B
A+2B+1
A + 2B
2A–2B–1
A – 2 B – 1.
3n
a) 3n
b)
2⋅
c)
1
5
d)
3n−1
5
e)
5 ⋅ 3 n −1
52
64 - (MACK SP) O menor valor positivo de α, para
⎧ (sen α) x − y = 0
tenha mais de
⎩x + (4 cos α)y = 0
59 - (UFU MG) Sejam A e B matrizes quadradas
quaisquer de ordem dois.
Indique qual das afirmações abaixo é verdadeira.
a) (A + B) (A – B) = A2 – B2.
b) (A + B)2 = A2 + 2AB + B2.
c) se AB é a matriz nula então A ou B são nulas.
d) se A e B são inversíveis então A + B é
inversível.
e) se A e B são inversíveis então AB é inversível.
que o sistema ⎨
uma solução, é igual a:
a) 75°
b) 105°
c) 120°
d) 165°
e) 225°
8
Exercícios Complementares
69
65 - (FUVEST SP) Dado um número real a,
considere o seguinte problema:
“Achar números reais x1, x2, …, x6, não todos
nulos, que satisfaçam o sistema linear:
(r – 2) (r – 3)xr – 1 + ((r – 1) (r – 3) (r – 4) (r –
6)a + (-1)r)xr + (r – 3)xr + 1 = 0, para r = 1, 2, …,
6, onde x0 = x7 = 0”.
⎧ a1x1 + (a1 + 1)x 2 + ... + (a1 + n − 1)x n = 0
⎪ a x + (a + 1)x + ... + (a + n − 1)x = 0
⎪ 2 1
2
2
2
n
⎨
..........
..........
..........
..........
..........
..........
...
⎪
⎪⎩a n x1 + (a n + 1)x 2 + ... + (a n + n − 1)x n = 0
a) Escreva o sistema linear acima em forma
matricial.
b) Para que valores de a o problema cima tem
solução?
c) Existe, para algum valor de a, uma solução
do problema com x1 = 1? Se existir,
determine tal solução.
Onde a1, a2, ..., an são números reais dados.
Sobre a solução deste sistema podemos afirmar
que:
a) Se ai > 0, i = 1, 2, ..., n o sistema possui
uma única solução.
b) Se ai < 0, i = 1, 2, ..., n o sistema possui
uma única solução.
c) Se ai > 0, i = 1, 2, ..., n o sistema é
impossível.
d) Se ai < 0, i = 1, 2, ..., n o sistema é
impossível.
e) O sistema possui infinitas soluções quaisquer
que sejam os valores dos números a1, ..., an
dados.
66 - (ITA SP) A seqüência (a1, a2, a3, a4) é uma
progressão geométrica de razão q ∈ R* com q ≠
⎧ a 1x + a 2 y = c
⎩a 3 x + a 4 y = d
1 e a1 ≠ 0. Com relação ao sistema ⎨
podemos afirmar que:
a) é impossível para c, d ∈ [-1, 1]
b) é possível e determinado somente se c = d.
c) é indeterminado quaisquer que sejam c, d ∈
R.
d) é impossível quaisquer que sejam c, d ∈ R*.
e) é indeterminado somente se d = cq2
70 - (FUVEST SP) Discutir o sistema de equações:
ax + by = 0
⎧
⎪
bx + ay = 0
⎨
⎪x 2 + y 2 = a 2 + b 2 + 1
⎩
71 - (UnB DF) Sendo um número real qualquer,
considere o sistema de equações:
⎧ x + y + 3z = 1 - m
⎪
S : ⎨2x − y + z = 2 + m
⎪ 3x + 2 y - mz = m
⎩
Analise os itens a seguir:
00. O sistema S é sempre possível e determinado
01. O sistema S, sempre que possível, é também
determinado
02. Se m = 0 então a única solução de S é tal
que x = 10/22
03. Se m torna possível uma solução de de S,
então qualquer tal soluação satisfaz a
equação 2y – (4+m) z = m – 3
04. Exixtema pelo menos 2 valores de m para os
quais S é impossível
67 - (ITA SP) O sistema abaixo, nas incógnitas x, y
e z,
⎧ 3a x − 9 a y + 3z = 2 a
⎪⎪ a +1
a +1
⎨3 x − 5y + 9z = 2
a
−
1
a
+
1
⎪ x +3 y+3 z =1
⎪⎩
é possível e determinado quando o número a é
diferente de:
1
(− 1 + log 2 5) .
2
1
b) log 2 3 e log 2 5 .
2
1
c) log 2 1 e log 2 3 .
2
1
(− 1 + log 2 1) e 1 (− 1 + log 2 3) .
d)
2
2
1
e) log 3 1 e (− 1 + log 3 5) .
2
a)
- (ITA SP) Considere o sistema linear
homogêneo nas incógnitas x1, x2, ..., xn dado
por:
log 3 2 e
⎛ 0 −1⎞
⎟⎟ .
72 - (UFU MG) Considere a matriz A = ⎜⎜
⎝ −1 0 ⎠
Determine quantas soluções tem o sistema linear
⎛ x ⎞ ⎛0⎞
A 2 + A 3 + A 222 + A 333 ⎜⎜ ⎟⎟ = ⎜⎜ ⎟⎟ .
⎝ y⎠ ⎝0⎠
(
68 - (ITA SP) Sejam a, b, c, d números reais não
nulos que estão nesta ordem em progressão
aritmética. Sabendo que o sistema abaixo:
)
73 - (ITA SP) Considere o sistema Ax = b, em que
⎛1 ⎞
⎛ 1 -2 3 ⎞
⎜ ⎟
⎜
⎟
A = ⎜ 2 k 6 ⎟ , b = ⎜ 6⎟ e k ∈ R .
⎜⎜ ⎟⎟
⎜⎜
⎟⎟
⎝ 0⎠
⎝ - 1 3 k - 3⎠
Sendo T a soma de todos os valores de k que
tornam o sistema impossível e sendo S a soma
de todos os valores de k que tornam o sistema
possível e indeterminado, então o valor de T– S é
a) −4
b) −3
c) 0
d) 1
e) 4
⎧ 4.2 a .x + 2c.y = 2 .2 b
⎪
3
⎨
d
b
⎪⎩3 .x + 9.3 .y = 81
é possível e indeterminado, podemos afirmar que
a soma desta progressão aritmética é:
a) 13
b) 16
c) 28
d) 30
e) n.d.a.
9
Matemática – Ney
79 - (UERJ) Observe a tabela de compras realizadas
por Mariana:
Loja Produto Preço/unid.(R$) Despesa(R$)
3,00
caneta
50,00
A
lapiseira
5,00
caderno
4,00
B
44,00
corretor
2,00
Sabendo que ela adquiriu a mesma quantidade
de canetas e cadernos, além do maior número
possível de lapiseiras, o número de corretores
comprados foi igual a:
a) 11
b) 12
c) 13
d) 14
74 - (UFOP MG) Considerando que um sistema de
equações
lineares
homogêneo
3x3,
nas
incógnitas x, y e z , com coeficientes reais, é
possível e indeterminado, assinale a alternativa
que não representa uma solução geral desse
sistema.
a) {x = 2 t , y = t, z = − 3t , t ∈ R }
b)
c)
d)
t
⎧
⎫
⎨x = , y = − t, z = t , t ∈ R ⎬
2
⎩
⎭
{x = 2t , y = t + 1, z = t , t ∈ R}
{x = t , y = t, z = t , t ∈ R }
75 - (UFPR) Disponho de certa quantia para fazer
compras. Para comprar um par de tênis, uma
camisa e uma calça, faltarão R$ 30,00. Se eu
comprar a calça e a camisa, sobrarão R$ 90,00; e
se eu comprar a calça e o par de tênis, sobrarão
R$ 10,00. Nessas condições, é correto afirmar:
01. Se eu comprar só a calça, sobrarão R$
130,00.
02. Se eu comprar o par de tênis e a camisa,
gastarei R$ 160,00.
03. O par de tênis custa R$ 110,00.
04. A camisa custa R$ 50,00.
80 - (UERJ) Um comerciante gastou R$250,00,
adquirindo as mercadorias A e B para revender.
Observando a tabela abaixo, calculou e comprou
o número de unidades de A e B para obter o lucro
máximo.
Mercadoria
Preço por unidade(R$)
de custo
76 - (FUVEST SP) Um casal tem filhos e filhas. Cada
filho tem o número de irmãos igual ao número
de irmãs. Cada filha tem o número de irmãos
igual ao dobro do número de irmãs. Qual é o total
de filhos e filhas do casal?
a) 3
b) 4
c) 5
d) 6
e) 7
de venda
máximo de unidades libe
rado para o comerciante
A
1,00
2,50
100
B
2,00
3,00
200
Com a venda de todas unidades compradas, o
lucro máximo, em reais, foi:
a) 225
b) 250
c) 275
d) 325
81 - (UFF RJ) Em um restaurante existem mesas de
3, 4 e 6 cadeiras, num total de 16
mesas.Ocupando todos os lugares nas mesas de
3 e 4 cadeiras, 36 pessoas ficam perfeitamente
acomodadas. Sabendo-se que o restaurante
acomoda, no máximo, 72 pessoas, quantas
mesas de cada tipo existem?
77 - (UnB DF) A distância entre duas cidades, A e
B, é de 156 km. De A para B, a extensão das
descidas e 0,7 vezes a extensão das subidas.
Um ciclista pedala a 25 km/h, nas partes planas
da estrada, a 15 km/h, nas subidas, e a 30 km/h,
nas descidas. A diferença entre o tempo de ida e
o tempo de volta do ciclista é de 48 minutos.
Calcule, em quilômetros, a extensão da parte
plana do trajeto, desconsiderando a parte
fracionária de seu resultado, caso exista.
82 - (UFF RJ) Um biscoito é composto por açúcar,
farinha de trigo e manteiga, sendo a quantidade
de farinha o dobro da quantidade de açúcar. Os
preços por quilograma do açúcar, da farinha e da
manteiga são, respectivamente, R$ 0,50, R$ 0,80
e R$ 5,00. O custo por quilograma de massa do
biscoito, considerando apenas esses ingredientes,
é R$ 2,42.
Calcule a quantidade, em gramas,
de cada
ingrediente
presente em 1 kg de massa do
biscoito.
78 - (UnB DF) Em uma corrida de motocross, os
competidores devem seguir um percurso de um
ponto A até um outro ponto B e, em seguida,
retornar ao ponto A pela mesma trilha. Um dos
motociclistas
desenvolve
uma
velocidade
constante de 12km/h em trechos de subida,
30km/h em trechos planos e 60km/h em trechos
de descida. Um segundo motociclista desenvolve
uma velocidade de 10km/h em trechos de subida,
40km/h em trechos planos e 80km/h em trechos
de descida. O primeiro gasta 1h para ir de A até
B e 1h e 10 min para ir de B até A, enquanto o
segundo gasta 1h e 3min para ir de A até B.
Calcule, em quilômetros, a distância que, no
sentido de A para B, corresponde ao trecho de
subida. Despreze a parte fracionária de seu
resultado, caso exista.
83 - (UNICAMP SP) Uma empresa deve enlatar
uma mistura de amendoim, castanha de caju e
castanha-do-pará. Sabe-se que o quilo de
amendoim custa R$5,00, o quilo da castanha de
caju, R$20,00 e o quilo de castanha-do-pará,
R$16,00. Cada lata deve conter meio quilo da
mistura e o custo total dos ingredientes de cada
lata deve ser de R$5,75. Além disso, a
quantidade de castanha de caju em cada lata
deve ser igual a um terço da soma das outras
duas.
10
Exercícios Complementares
a) Escreva o sistema linear que representa a
situação descrita acima.
b) Resolva o referido sistema, determinando as
quantidades, em gramas, de cada ingrediente
por lata
89 - (FUVEST SP) Considere o sistema de equações
lineares
84 - (UFV MG) Em uma urna vazia são colocadas 20
bolas nas cores vermelha e branca. Se
acrescentássemos uma bola vermelha à urna, o
número de bolas brancas passaria a ser igual à
metade do número de bolas vermelha.
Quantas bolas vermelhas e quantas bolas brancas
existem na urna?
a) Para cada valor de m, determine a solução
(xm, ym, zm) do sistema.
b) Determine todos os valores de m, reais ou
complexos, para os quais o produto xmymzm é
igual a 32.
⎧x + y + z = −2m
⎪
⎨ x − y − 2z = 2m
⎪2x + y − 2z = 3m + 5
⎩
90 - (ITA SP) Sejam a, b, c ∈ R* com a2 = b2 + c2.
Se
x,
y
e
z
satisfazem
o
sistema
85 - (UNIFOR CE) Um grupo de amigos comprou
um presente por R$ 6.300,00. Pretendiam dividir
essa quantia entre si, em partes iguais. Como 2
membros do grupo não puderam cumprir o
compromisso, cada um dos restantes teve sua
parcela aumentada de R$ 360,00. O número de
pessoas do grupo era, inicialmente,
a) 11
b) 10
c) 9
d) 8
e) 7
⎧ c cos y + b cos z = a
⎪
⎨c cos x + a cos z = b então cos x + cos y + cos z é
⎪b cos x + a cos y = c
⎩
igual a:
a)
c)
86 - (UNICAMP SP) O IBGE contratou um certo
número de entrevistadores para realizar o
recenseamento em uma cidade. Se cada um
deles recenseasse 100 residências, 60 delas não
seriam visitadas. Como, no entanto, todas as
residências foram visitadas e cada recenseador
visitou 102, quantas residências tem a cidade?
e)
a −b
.
c
b+c
.
a
b)
d)
a+b
.
c
c+a
b
b2 + c2
a
91 - (ITA SP) Se (x, y, z, t) é solução do sistema
⎧ x − y + 2z − t = 0
⎪
⎨3x + y + 3z + t = 0 qual das alternativas abaixo é
⎪ x − y − z − 5t = 0
⎩
87 - (INTEGRADO RJ) Num concurso, a prova de
Matemática apresentava 20 questões. Para cada
questão responda corretamente, o candidato
ganhava 3 pontos e, para cada questão
respondida erradamente ou não respondida,
perdia 1 ponto. Sabendo-se que para ser
aprovado deveria totalizar, nessa prova, um
mínimo de 28 pontos, o menor número de
questões respondidas corretamente para que o
candidato fosse aprovado era de:
a) 12
b) 13
c) 14
d) 15
e) 16
verdadeira?
a) x + y +
b) x + y +
c) x + y +
d) x + y +
e) n.d.a.
z
z
z
z
+
+
+
+
t
t
t
t
e
e
e
e
x tem o mesmo sinal.
t tem o mesmo sinal.
y tem o mesmo sinal.
z tem sinais contrários.
92 - (PUC RJ) Resolva o sistema
⎧x + y - z = 0
.
⎨
⎩x - y + z = 0
Descreva geometricamente o seu conjunto de
soluções.
93 - (UFMA) Sendo (a, b, c) solução do sistema
⎧x − y + 2Z = 1
tal que ab = 2c, então um valor de
⎨
⎩ y + 3Z = 5
88 - (FGV ) “Um galo custa 5 moedas; uma galinha,
3 moedas e 3 frangos custam 1 moeda. Com 100
moedas, compram-se 100 dessas aves.
Quantos galos, galinhas e frangos são?”
Esse é o problema chinês do Cento de Aves, que
foi enunciado pela primeira vez no livro Manual
Matemático, de Zhang Quijian, editado no século
V. O problema ficou famoso e apareceu, mais
tarde, em diversos textos matemáticos na Índia,
no mundo islâmico e na Europa.
a) Expresse o enunciado do problema chinês
mediante um sistema de equações.
b) Dê a solução geral do sistema.
c) Nessa época, o zero não era considerado um
número e, por isso, não entrava na solução
dos problemas. Então, quais as prováveis
respostas que o matemático chinês deve ter
encontrado para o problema do Cento de
Aves?
a é:
a) –3
d) 3
b)
e)
–4
4
c)
2
94 - (FUVEST SP) João, Maria e Antônia tinham,
juntos, R$ 100.000,00. Cada um deles investiu
sua parte por um ano, com juros de 10% ao ano.
Depois de creditados seus juros no final desse
ano, Antônia passou a ter R$ 11.000,00 mais o
dobro do novo capital de João. No ano seguinte,
os três reinvestiram seus capitais, ainda com
juros de 10% ao ano. Depois de creditados os
juros de cada um no final desse segundo ano, o
novo capital de Antônia era igual à soma dos
novos capitais de Maria e João. Qual era o capital
inicial de João?
11
Matemática – Ney
a)
b)
c)
d)
e)
R$
R$
R$
R$
R$
a) Mostre graficamente que esse sistema não
tem solução. Justifique.
b) Para determinar uma solução aproximada de
um sistema linear Ax = b impossível, utilizase o método dos quadrados mínimos, que
consiste em resolver o sistema ATAx = ATb.
Usando esse método, encontre uma solução
aproximada para o sistema dado acima.
Lembre-se de que as linhas de MT (a
transposta de uma matriz M) são iguais às
colunas de M.
20.000,00
22.000,00
24.000,00
26.000,00
28.000,00
95 - (UNICAMP SP) Encontre o valor de a para que
⎧⎪ 2x − y+3z=a
o sistema: ⎨ x + 2y−z=3 seja possível. Para o valor
⎪⎩7x +4y+3z=13
encontrado de a ache a solução geral do sistema,
isto é, ache expressões que representem todas as
soluções do sistema. Explicite duas dessas
soluções.
96
-
(UNICAMP
SP)
Considere
o
101 - (UFAC) Os números reais positivos a e b,
ambos diferentes de 1, soluções do sistema de
1
⎧ b
⎪a = 16
equações ⎨
, quando multiplicados, têm
⎪log 1 a = b
⎩ 2
como produto o número:
a) 2
b) 4
1
c)
2
1
d)
4
e) 8
sistema:
1
⎧
⎪x + 2 ( y + z) = p
⎪⎪
1
⎨ y + ( x + z) = p
2
⎪
⎪z + 1 ( x + y ) = p
⎩⎪ 2
a) Mostre que se tal sistema tem solução (x, y,
z) com x, y e z inteiros, então o parâmetro p
é múltiplo inteiro de 17.
b) Reciprocamente, mostre que se o parâmetro
p for múltiplo inteiro de 17, então este
sistema tem solução (x, y, z) com x, y e z
inteiros.
102 - (FGV ) a. Mostre que existem infinitas triplas
ordenadas (x, y, z) de números que satisfazem a
equação matricial:
⎡1⎤
⎡ 2⎤
⎡ − 1 ⎤ ⎡0 ⎤
⎢ ⎥
⎢ ⎥
⎢
⎥ ⎢ ⎥
x ⋅ ⎢ 2 ⎥ + y ⋅ ⎢0⎥ + z ⋅ ⎢− 10⎥ = ⎢0⎥
⎢⎣− 1⎥⎦
⎢⎣1 ⎥⎦
⎢⎣ 7 ⎥⎦ ⎢⎣0⎥⎦
⎧ x + y + z = 28
97 - (MACK SP) As soluções do sistema ⎨
⎩ 2x - y = 32
onde x > 0, y > 0 e z > 0 obedecem às seguintes
restrições:
a) 2 < x < 8 e 2 < y < 8
b) 16 < x < 20 e 0 < y < 8
c) 10 < x < 20 e 2 < y < 10
d) 1 < x < 3 e 8 < y < 12
e) 7 < x < 15 e 9 < y < 11
b) Resolva o sistema linear abaixo, nas
incógnitas x e y, usando o conceito de matriz
inversa:
⎧2 x + y = a
⎨
⎩5x + 3y = b
Use o fato de que a inversa da matriz
⎡ 2 1⎤
⎡ 3 −1⎤
−1
A=⎢
⎥ é A =⎢
⎥
5
3
⎣
⎣− 5 2 ⎦
⎦
98 - (FUVEST SP)
São dados três números naturais a, b e c, com a
< b < c. Sabe–se que o maior deles é a soma dos
outros dois e o menor é um quarto do maior. Se
a – b + c = 30 então o valor de a + b + c será:
a) 45
b) 60
c) 900
d) 120
e) 150
103 - (UFC CE) Sejam x e y os números reais
positivos que satisfazem o sistema de equações:
⎧⎪log 3 x + log1 / 3 y = 3 + log3 2
.
⎨
⎪⎩log3 x + log3 y = 3 + log 3 2
Assinale a alternativa na qual consta o valor
numérico de x + y .
a) 12
b) 18
c) 24
d) 30
e) 36
99 - (ITA SP) Sendo x, y, z e w números reais,
encontre o conjunto solução do sistema
log[(x + 2y)(w − 3z)−1] = 0,
2x+3z − 8 . 2y−3z+w = 0,
3
2 x + y + 6z − 2 w − 2 = 0
100 - (UNICAMP SP) Seja dado o sistema linear:
⎧− x 1 + 2x 2 = 2
⎪
⎨2x1 - x 2 = 2
⎪x + x = 2
2
⎩ 1
12
Exercícios Complementares
38 As
matrizes
de
ordem
3
que
são,
simultaneamente, diagonais e ortogonais são da
Gabarito
01 a
02 x ≠ 2
03 a
04 e
2
05 −
11
⎛1 0 ⎞
06 ⎜⎜ ⎟⎟,
⎝ 0 1⎠
⎡a 0 0 ⎤
⎢
⎥
forma 0 b 0 tais que a, b, c ∈ {–1, 1}
⎢
⎥
⎢⎣0 0 c ⎥⎦
⎛
b
⎛ -1 0⎞ ⎜ 1- b2
⎜
⎟, ⎜
⎜ 0 - 1⎟
⎝
⎠ ⎜ b
- 1- b
⎝
⎛
2
⎜− 1− b
⎜
b
⎝
07 a)
b)
⎞
⎟
⎟ e
⎟
⎠
⎞
⎟ com - 1 ≤ b ≤ 1 .
1- b ⎟
⎠
2
1
; b=−
a=
3
3
⎡ 1 ⎤
⎢ 1 ⎥
⎢ ⎥
⎢⎣ − 4⎥⎦
b
2
40
41
42
43
44
45
46
47
48
08 a
09 b
10 CEC
⎛ 1 20a ⎞
⎟⎟
⎝0 1 ⎠
11 ⎜⎜
12 a)
13
14
15
16
17
⎧ 0, se n é par
⎩− 1, se n é impar
-1 +1 –1 +1 ...(-1)0 = ⎨
b) n = 11
c
a
c
a
1.
(A + I)³ = (A + I).(A + I).(A + I) =
(A² + 2A + I).(A + I) = A³ + 3A² + 2A + A + I = A + I ,
como A³ + 3A² + 2A + A = 0, temos que: 0 + A
+ I = A + I, ou seja, A + I = A + I
⎡0 1 ⎤
⎡-1 0 ⎤
2. B = ⎢
e
o
sistema
C=⎢
⎥
⎥e
0
1
⎣
⎦
⎣ 0 - 1⎦
49 D n =
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
b 2n +2 − 1
b2 −1
50 Sendo A = (aij) uma matriz simétrica tem-se que
aij = aij.
• Da condição I, obtém-se os elementos a12, a21,
a23 e a32 cujos valores correspondem à distância
dos pontos P e Q, intersecções da parábola y = x2
− 2x + 1 com a reta y = −x + 1
⎧⎪ y = x 2 − 2x + 1
Resolvendo-se o sistema ⎨
, obtem−se
⎪⎩ y = − x + 1
x = 0 ou x = 1.
Para x = 0 encontra-se y = 1 e para x = 1
encontra-se y = 0, assim P(0,1) e Q(1,0) ou P(1,
apresentado admite solução (x, y) ≠ (0, 0)
18 d
19 não há valores de k que solucionem o problema
com o código.
20 b
21 e
22 d
23 VFFVVF
24 c
25 a
26 DE
27
1)Se B é inversível, então existe B–1, tal que
B ⋅ B–1 = I .
2) Sendo AB = BA, temos:
A = A ⇔ A ⋅ I = A ⇔ A ⋅ B ⋅ B–1 = A ⇔
⇔ B ⋅ A ⋅ B–1 = A ⇔ B–1 ⋅ B ⋅ A ⋅ B–1 = B–1 ⋅ A
⇔ I ⋅ A ⋅ B–1 = B–1 ⋅ A ⇔ A ⋅ B–1 = B–1 ⋅ A
b) A2 + 2AB – B = 0 ⇔ B = A2 + 2AB ⇔
⇔ B = A ⋅ (A + 2B) ⇔
det B = det [A ⋅ (A + 2B)] = det A ⋅ det (A +
2B) ≠ 0,
pois B é inversível.
Se det A ⋅ det (A + 2B) ≠ 0, então det A ≠ 0 e,
portanto,
A é inversível.
e
00-C; 01-E; 02-C.
a
45
d
zero
c
00-F; 01-F; 02-V; 03-F
b
39 a)
0) e Q(0, 1) e a distância entre P e Q é
Logo, a12 = a21= a23 = a32 =
2
2
• Da condição II. obtém-se os elementos a13 e a31
cujos valores correspondem à área do triângulo
PQR, sendo R o simétrico de Q em relação à
origem e portanto R(−1, 0) se Q (1, 0) ou R (0,
−1) se Q (0,1)
A área do triângulo PQR em qualquer caso é igual
a 1.
Logo, a13 = a31 = 1.
1
1
A + I é a inversa de A + I
A2 −
1− k
1− k
53
d
05
• Da condição III, obtém-se os elementos da
diagonal
a11,
a22
e
a33.
cujos
valores
correspondem ao valor máximo da função
quadrática f(x) = −2x2 + 4x.
A função quadrática tem valor máximo que ocorre
−4
= 1 . Logo, o valor máximo é f(1) =
para x =
2( −2)
2 e a11 = a22 = a33 = 2.
VFFFF
14
c
e
VVFVFF
d
13
Matemática – Ney
A
matriz
2
2
2
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
e
o
88 a) Sejam x o número de galos, y o número de
galinhas e z o número de ternos de frangos
comprados. Então:
5 ⋅ x + 3 ⋅ y + 1 ⋅ z = 100
5x + 3y + z = 100
⇔
x + y + 3z = 100
x + y + 3z = 100
determinante
1
E,
2 =8+2+2−2−4−4=2
2
1
é
⎛2
2 1 ⎞⎟
⎜
⎜ 2 2
2⎟
⎜
⎟
⎜1
2 2⎟
⎝
⎠
2
2
b)
a
d
e
c
EEEEC
c
d
a
e
det(A2 + AB – BA – B2) = 27
d
d
d
b
⎛
⎜
⎜
65 a) ⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
89
90
91
92
93
94
{
(5
95 a = 2 Z ∈ ℜ / 7 − Z, 7 + Z,− Z
−2
0
0
0
0
0
0
( −8a +1)
0
−1
−1
0
0
0
0
0
0
0
0
2
1
1
0
0
0
0
0
0
0
6
0
( −8a −1)
12
2
1
5
)}
96 a) A proposição é falsa
b) A proposição é falsa
97 b
98 d
⎧⎛ 31
⎫
-8 − 5 ⎞
99 V = ⎨⎜ + w ;
;
; w ⎟ t.q.w ∈ R - {- 5}⎬
3 3
⎠
⎩⎝ 3
⎭
⎞ ⎛ x1 ⎞ ⎛ 0 ⎞
⎟⎜x ⎟ ⎜ ⎟
⎟ ⎜ 2 ⎟ ⎜ 0⎟
⎟ ⎜ x3 ⎟ ⎜ 0 ⎟ ;
⎟ ⎜ x ⎟ =⎜ 0 ⎟
⎟⎜ 4⎟ ⎜ ⎟
⎟ ⎜ x5 ⎟ ⎜ 0 ⎟
⎟ ⎜ x ⎟ ⎜ 0⎟
⎠⎝ 6⎠ ⎝ ⎠
b) a = 1 ou a = − 31 ;
100
a)
8
c) (1, -1/2, 0, 0, 0, 0)
e
e
e
e
a = b = 0 → SPI
a = ± b ≠ 0 → SPD
a ≠ + b e a ≠ − b → SI
71 FVVVF
72
73 a
74 c
75 VVFF
76 e
77 46
78 08
79 b
80 a
81 4 mesas de 3 lugares
6 mesas de 4 lugares
6 mesas de 6 lugares
82 Açúcar 200g, Farinha
4 galos; 18 galinhas; 3 . 26 = 78 frangos;
8 galos; 11 galinhas; 3 . 27 = 81 frangos;
12 galos; 4 galinhas; 3 . 28 = 84 frangos.
a) (-m – 1, m + 3, -2m – 2);
b) 1, -3 –2i e –3 + 2i
c
c
x = 0, y = z. O conjunto solução é a reta y = z
no plano x = 0.
b
a
c)
−1
8
supondo que a moeda não tenha
subdivisões, temos U = N 3 .
5x + 3y + z = 100
5x + 3y = 100 − z
x = −100 + 4z
⇔
⇔
x + y + 3z = 100
x + y = 100 − 3z
y = 200 − 7 z
66
67
68
69
70
83 a)
Cada equação pode ser representada por uma reta no plan
b) x1 = 4/3, x2 = 4/3
101 c
⎡1⎤
⎡2⎤
⎡ − 1 ⎤ ⎡0 ⎤
⎢ ⎥
⎢ ⎥
⎢
⎥ ⎢ ⎥
102 a) x ⋅ ⎢ 2 ⎥ + y ⋅ ⎢0⎥ + z ⋅ ⎢− 10⎥ = ⎢0⎥ ⇔
⎢⎣− 1⎥⎦
⎢⎣1 ⎥⎦
⎢⎣ 7 ⎥⎦ ⎢⎣0⎥⎦
⎧x + 2 y − z = 0
⎪
⇔ ⎨2 x − 10z = 0
⎪− x + y + 7 z = 0
⎩
Como no sistema
página anterior,
1 2 −1
400g, Manteiga 400g
⎧
⎪ x + y + z = 0,5
⎪
⎨5x + 68z = 17,25
(x + z)
⎪
⎪⎩ y = 3
linear
homogêneo
da
D= 2
0 − 10 = 0 , conclui-se que o sistema
−1 1
7
possível e indeterminado e, portanto, infinitas
triplas ordenadas (x, y, z) de números
satisfazem a equação matricial dada.
b) V = {(3a – b; – 5a + 2b)}
103 c
b) 250g de amendoim, 125g de castanha de
caju e 125g de castanha-do-pará.
84 13 vermelha e 7 brancas
85 e
86 3060 residências
87 a
14
IME ITA