Fı́sica I
Exercı́cios das Aulas Práticas
Escola Superior de Tecnologia de Tomar
Ano lectivo 2005/2006 - 1º Semestre
Conteúdo
1 Fichas de Cinemática do ponto material
1.1 Exercı́cios de cinemática escalar - movimentos gerais
1.1.1 Movimentos gerais . . . . . . . . . . . . . . .
1.1.2 Exercı́cios de movimento rectilı́neo . . . . . .
1.2 Exercı́cios de cinemática vectorial . . . . . . . . . . .
1.2.1 Exercı́cios de movimento de projécteis . . . .
1.2.2 Exercı́cios de movimento curvilı́neo e circular
1.2.3 Exercı́cios de movimento relativo . . . . . . .
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3
3
3
6
7
7
9
12
2 Fichas de dinâmica do ponto material
14
3 Fichas de trabalho e energia do ponto material
19
4 Fichas de movimento harmónico simples
24
5 Fichas de mecânica de muitos corpos
27
2
Capı́tulo 1
Fichas de Cinemática do ponto
material
1.1
Exercı́cios de cinemática escalar - movimentos gerais
1.1.1
Movimentos gerais
1. (Alonso, pg 46, 3.1) O que significa a afirmação ”o movimento é relativo”.
2. (Alonso, pg 46, 3.2) Porque é que um observador deve definir um sistema de referência para
analisar o movimento dos corpos?
3. (Alonso, pg 46, 3.11) Os meteoritos atingem o cimo da atmosfera terrestre com velocidade
escalar da ordem de 10000 m/s. Qual a sua velocidade escalar em km/h?
4. (Alonso, pg 32) A quilometragem e tempos realizados por um automóvel num determinado
percurso são dados na tabela:
Instante (h:min)
Conta quilómetros (km)
03:02
1582,6
Calcule a velocidade escalar média
03:06
1586,8
1
03:12
1593,4
03:15
1598,2
03:20
1606,4
03:24
1613,1
do automóvel para o intervalo de tempo entre:
(a) (03:02; 03:06),
(b) (03:06; 03:12),
(c) (03:12; 03:15),
(d) (03:15; 03:20),
(e) (03:20; 03:24),
(f) (03:02; 03:24).
5. (Alonso, pg 32) A velocidade escalar instantânea e tempos realizados por um automóvel num
determinado percurso são dados na tabela:
Instante (h:min)
velocidade escalar (km/h)
09:06
38
09:10
44
09:13
48
09:18
50
09:20
42
09:24
24
1
vm (t1 ; t2 ) =
s(t2 ) − s(t1 )
∆s
d(t1 ; t2 )
deslocamento escalar
=
=
=
t2 − t1
∆t
∆t
intervalo de tempo
3
(1.1)
Supondo que a velocidade escalar instantânea do carro se mantém constante entre cada
intervalo de tempo calcule o deslocamento escalar 2 do automóvel para o intervalo de tempo
entre:
(a) (09:06; 09:10),
(b) (09:10; 09:13),
(c) (09:13; 09:18),
(d) (09:18; 09:20),
(e) (09:20; 09:24),
(f) (09:06; 09:24).
Como resolveria o problema se a velocidade escalar instantânea
mente entre quaisquer instantes sucessivos?
3
do carro variasse linear-
6. O gráfico da figura representa a posição escalar de um carro em função do tempo sobre
a estrada nacional 1, dada pelos sucessivos marcos fı́sicos (situados no limite direito da
estrada). O conta quilómetros do carro no instante t = 2 min é reiniciado para o valor 0 km.
posição em função do instante
106
s(t) = 100 + 50/21t − 5/21t2
104
posição (km)
102
100
98
96
94
92
90
3
4
5
6
7
8
9
instante (min)
10
11
12
(a) Calcule:
i. o deslocamento escalar e a velocidade escalar média do carro entre os instantes:
A. (2;3) min,
B. (3;4) min,
C. (4;5) min,
D. (5;6) min,
2
deslocamento escalar = velocidade escalar média×intervalo de tempo e vm (t1 ; t2 ) =
v(t1 ) × ∆t1 + v(t2 ) × ∆t2 + · · ·
∆t1 + ∆t2 + · · ·
(1.2)
3
v(t1 ) × dt1 + v(t2 ) × dt2 + · · ·
vm (t1 ; t2 ) =
=
dt1 + dt2 + · · ·
R t2
v(t)dt
área sob o gráfico da velocidade escalar, entre t1 e t2
=
R t2
t2 − t1
t1 dt
(1.3)
t1
4
E. (6;7) min,
F. (2;8) min;
ii. o valor indicado pelo conta quilómetros e a velocidade escalar instantânea
instantes:
A. 2 min,
B. 3 min,
C. 5 min,
D. 8 min.
4
nos
Sugestão: Calcule a velocidade escalar instantânea usando o método gráfico e o método
analı́tico.
(b) Obtenha o gráfico da velocidade escalar instantânea em função do tempo.
(c) Obtenha a expressão geral para o deslocamento escalar do corpo entre o instante t = 0 s
e qualquer outro instante t entre [2; 13] min.
7. Uma atleta Olı́mpico descreve uma trajectória circular de raio 100 m e passa no instante
t = 0s em A, deslocando-se no sentido horário (ver figura). Supondo que a velocidade escalar
do atleta é constante e igual a 10 m/s Determine:
(a) o deslocamento escalar do atleta entre
os instantes t = 0s e t = 10s;
(b) o tempo que o atleta demora a dar uma
volta à pista;
(c) a expressão da posição escalar do atleta
na pista em função do tempo, admitindo como origem das posições o ponto
de partida (ponto A) e como sentido
positivo para a medida das posições o
sentido horário.
B
(d) Volte a resolver a alı́nea anterior tomando como origem das posições o
ponto B e como sentido positivo o sentido anti-horário.
A
(e) Calcule os primeiros dois instantes, a
partir do instante t = 10 s, em que o
atleta se encontra na posição escalar
s = 5 m. Tome o ponto A como origem
das posições e como sentido positivo o
sentido horário.
+
Figura 1.1: Trajectória do atleta
Solução: a) 100 m; b) 20π s; c) s(t) = 10t (S.I.) d)150π − 10t (S.I.)
4
v(t1 ) = lim vm (t1 ; t2 ) =
t2 →t1
ds(t)
= declive da recta tangente no instante t1
dt t=t1
5
(1.4)
8. (Alonso, pg 46, 3.5) Como variam a velocidade escalar e a aceleração tangencial escalar de
um corpo quando este se move livremente: (a) para cima; (b) para baixo.
9. (Alonso, pg 46, 3.6) Como se pode distinguir experimentalmente o movimento uniforme do
movimento acelerado?
10. (Alonso, pg 62, 4.1) De que forma varia a velocidade escalar no (a) movimento rectilı́neo
e uniforme, (b) movimento rectilı́neo uniformemente acelerado, (c) movimento rectilı́neo
uniformemente retardado? Explique cada caso.
11. Obtenha as expressões para o deslocamento escalar de um corpo entre os instantes t e to ,
supondo que a sua velocidade escalar inicial é vo (vo = v(t = to ) e que ao longo do tempo:
(a) a velocidade escalar instantânea v(t) se mantém constante (movimento uniforme),
(b) a aceleração tangencial escalar se mantém constante e igual a a (movimento uniformemente variado),
(c) a aceleração tangencial escalar varia segundo a expressão a(t) = 5t − 4 (movimento
variado);
Solução:s(t) − s(to ) = vo (t − to ); s(t) − s(to ) = vo (t − to + 12 a(t − to )2 ); s(t) − s(to ) =
2
vo (t − to ) + 61 (t − to ) (5t + 10to − 12);
1.1.2
Exercı́cios de movimento rectilı́neo
1. A velocidade escalar de um ponto que se desloca numa recta é dada por : v(t) = 1 + 6t2 ,
com v em m/s e t em segundos. Sabendo que quando t = 2s, x = 20m, determine:
(a) as expressões da aceleração tangencial escalar e da posição escalar em qualquer instante;
(b) a posição escalar,a velocidade escalar e aceleração tangencial escalar iniciais (no instante
t=0s).
Solução: a)12t; 2t3 +t+2; b)2 m; 1 m/s; 0 m/s2
2. O gráfico da figura representa a velocidade escalar de um ponto material, em função do
tempo. A trajectória é uma linha recta e inicialmente o ponto desloca-se de Sul para Norte.
6
(a) Indique em qual dos três intervalos de tempo, 2-3s, 4-5s e 6-7s:
i. é mı́nimo o espaço percorrido.
ii. é máximo o módulo da velocidade média;
(b) Determine a aceleração tangencial escalar do ponto material no instante t=3s.
(c) Para o intervalo de tempo de [2,5] s indique:
i. o espaço percorrido pelo ponto material;
ii. o deslocamento escalar do ponto material.
(d) Em que instante esteve o ponto material a maior distância do ponto de partida? Construir o gráfico a(t) para o movimento deste ponto material no intervalo de 0 a 7s,
admitindo que entre os instantes t=6s e t =7s a aceleração tangencial escalar varia
linearmente com o tempo.
Solução: ai)[6;7] s; aii)[2;3] s; b)-5 m/s2 ; ci)12,5 m; cii)7,5 m; d)4 s
3. Uma partı́cula move-se em linha recta com velocidade escalar inicial vo tendo uma aceleração
constante igual a a. Quando a velocidade escalar aumenta para 5vo , a aceleração muda de
sentido ficando a sua grandeza inalterável. Determine a velocidade escalar da partı́cula no
instante em que volta a passar pelo ponto de partida.
Solução: -7vo
4. Uma bola é atirada verticalmente para cima partindo do chão, com uma velocidade escalar
de 25 m/s. Calcule:
(a) o tempo que a bola leva a atingir o ponto mais alto da trajectória;
(b) a altura máxima que a bola atinge;
(c) o instante em que a bola está a 30 metros do chão;
(d) a velocidade escalar da bola nos instantes t = 1,9 s e t = 3,2 s.
Solução: (a)2,55 s; (b)31,9 m; (c)t = 1,9 s e t = 3,2 s; (d) 6,38 m/s
5. (Alonso, pg 46, 3.3) Um corpo é lançado na vertical para cima com uma velocidade escalar
vo . Determine a velocidade escalar e a aceleração tangencial escalar quando: (a) o corpo
atinge o ponto mais elevado da trajectória; (b) o corpo regressa à superfı́cie terrestre.
6. (Alonso, pg 46, 3.4) Trace os vectores que representam a velocidade e a aceleração de: (a)
um corpo em queda livre; (b) um corpo lançado verticalmente para cima.
7. (Alonso, pg 46, 3.7) Um corpo é lançado verticalmente para cima; depois de alcançar uma
certa altura começa a cair. Trace um diagrama que mostre a velocidade escalar e a aceleração
tangencial escalar quando o corpo passa pelo mesmo ponto, na subida e na descida.
8. (Alonso, pg 46, 3.8) Por que motivo são a velocidade e a aceleração grandezas vectoriais?
1.2
Exercı́cios de cinemática vectorial
1.2.1
Exercı́cios de movimento de projécteis
9. (Alonso, pg 62, 4.8) Mostre que o alcance de um projéctil é o mesmo para os ângulos α e
90°-α. O tempo de vôo é o mesmo em ambos os casos.
10. (Alonso, pg 62, 4.10) Dois projécteis são lançados em A com a mesma velocidade escalar
inicial, mas com direcções diferentes, como mostra a figura. Compare a sua velocidade e
aceleração quando passam pelo ponto P.
7
11. (Alonso, pg 62, 4.11) Compare a velocidade e a aceleração de um projéctil quando passa
pelos pontos A e B, que se encontram à mesma altura, como mostra a figura.
12. (Alonso, pg 76, 5.6) Explique por que motivo a aceleração efectiva da gravidade aumenta
com a latitude.
13. Um corpo é lançado horizontalmente do cimo de uma mesa e atinge o solo no ponto B com
uma velocidade de 1, 2 ~ux − 4, 0 ~uy (SI).
Desprezando a resistência do ar, determine:
(a) velocidade com que o corpo foi lançado;
(b) a altura da mesa;
(c) a distância AB;
(d) a aceleração do corpo no instante t=0,1 s.
Solução: a)1,2~ux m/s; b)0,8 m; c)0,48 m: d)-10~uy m/s2 .
14. Lança-se uma bola com velocidade escalar inicial vo = 20 m/s segundo um ângulo α com a
horizontal, tal que sin α = 0, 6 e cos α =0,8 .
(a) Escreva as expressões cartesianas do vector posição e do vector velocidade para t=1s.
8
(b) Determine o raio da trajectória para o instante t=1s.
(c) Calcule a altura máxima atingida pela bola e a velocidade nesse ponto.
(d) Calcule o alcance horizontal da bola.
Solução: a)~v (1) = 16~ux + 2~uy m/s; ~r(1) = 16~ux + 7~uy m; b)27,4 m; c)7,2 m; ~v (1, 2) =
16~ux m/s; d)38,4 m.
15. Um projéctil é lançado por cima de um plano inclinado, ver figura, com uma velocidade
escalar de 30 m/s, fazendo um ângulo de 60°com a direcção horizontal.
d
60°
30°
(a) Mostre que o projéctil percorre uma distância d = 60 m.
(b) Calcular o ângulo de lançamento ao qual corresponde uma distância d máxima.
Solução: 60o
16. Um motociclista acrobata pretende saltar o desfiladeiro de 10 m de largura representado
na figura, indo de A para B. As duas margens do desfiladeiro têm um desnı́vel de 3 m. A
margem mais baixa tem uma inclinação de 30°. A velocidade escalar máxima conseguida na
subida, pela motocicleta utilizada, é de 60 km/h.
(a) Por meio de cálculos, justifique que o salto poderá ser tentado com segurança.
(b) Determine a posição do ponto mais alto atingido pelo motociclista na sua trajectória.
(c) Calcule a que distância de B o motociclista voltará a tocar o solo
Solução: b)~r(0, 85) = 12, 3~ux + 3, 6~uy m; c)7,4 m.
17. Calcule o raio de curvatura no ponto mais alto da trajectória de um projéctil cuja velocidade
de disparo forma um ângulo α com a horizontal.
Solução: vo2 cos2α g −1
1.2.2
Exercı́cios de movimento curvilı́neo e circular
18. (Alonso, pg 62, 4.2) Que aspecto da velocidade permanece constante e que aspecto varia no
movimento curvilı́neo uniforme?
9
19. (Alonso, pg 62, 4.3) Por que motivo no movimento curvilı́neo a velocidade é sempre um
vector tangente à trajectória?
20. (Alonso, pg 62, 4.4) Por que motivo no movimento curvilı́neo o vector aceleração tem o
sentido dirigido para o lado côncavo da trajectória?
21. (Alonso, pg 62, 4.5) Verifique que as unidades da aceleração tangencial e da aceleração
normal correspondem às da aceleração, isto é, m/s2 .
22. (Alonso, pg 62, 4.6) De que movimento se trata quando: (a) a aceleração centrı́peta é zero?
(b) a aceleração tangencial é zero?
23. (Alonso, pg 62, 4.7) Como se explica que o movimento curvilı́neo com aceleração constante
deva estar num plano? Que vectores determinam o referido plano?
24. (Alonso, pg 76, 5.3) É possı́vel que um corpo tenha aceleração centrı́peta e não tenha aceleração tangencial, ou que tenha aceleração tangencial e não tenha aceleração centrı́peta?
25. (Alonso, pg 76, 5.1) O que é um processo periódico? Dê exemplos.
26. (Alonso, pg 76, 5.2) Por que motivo a aceleração do movimento circular uniforme se designa
por ”centrı́peta”? (Procure num dicionário o significado da palavra)
27. (Alonso, pg 76, 5.4) Por que razão a velocidade angular é representada por um vector
perpendicular ao plano do movimento circular?
28. (Alonso, pg 76, 5.5) Demonstre que no movimento circular acelerado a aceleração pode ser
escrita como ~a = α
~ × ~r + w
~ × (w
~ × ~r), onde α
~ = ddtw~ é o vector da aceleração angular.
29. O vector posição de uma partı́cula no instante t é :
~r(t) = cos(πt)~ux + sin(πt)~uy + 3~uz (S.I)
(1.5)
Determinar :
(a) a velocidade em cada instante t ;
(b) o plano do movimento da partı́cula;
(c) o módulo da velocidade em qualquer instante t;
(d) o tipo de movimento, atendendo à variação do módulo da velocidade;
(e) a velocidade no instante t=0s;
(f) a aceleração e o módulo da aceleração num instante t;
(g) os módulos das componentes normal e tangencial da aceleração num instante t;
(h) o raio de curvatura para t=1s;
(i) a trajectória do movimento.
Solução: a)−π sin(πt)~ux + π cos(πt)~uy m/s; b) plano z = 3 m; c) π m/s; d) movimento
→
uniforme; e)π~uy (m/s); f)−π 2 cos (πt)−
u x − π 2 sin(πt)~uy m/s2 ; π 2 m/s2 ; g) π 2 m/s2 ; 0 m/s2 ;
h)1 m; i) movimento circular
30. Um móvel percorre um arco de circunferência de raio 0.4 m com um velocidade escalar que
varia segundo a lei V = 4-30 t (S.I).Determine a aceleração no instante t = 0s. Determine
o ângulo que a aceleração e a velocidade fazem entre si nesse instante.
Solução: −30~uT + 40~uN m/s2 ; α = arctan (− 43 ) ≈ 127°
10
31. Uma partı́cula descreve uma trajectória circular segundo a lei s(t) = −t2 + 4t + 3 (S.I.) e
passa no instante t=0s em A, deslocando-se no sentido anti-horário (ver figura). O raio da
trajectória é tal que o sentido do movimento se inverte em B. Determinar:
(a) o raio da trajectória;
(b) a aceleração do movimento da primeira vez que a partı́cula passa em B;
(c) os instantes em que a partı́cula passa pelo ponto A;
(d) a aceleração do movimento nas sucessivas passagens em A.
√
Solução: a) 8/πm; b) −2~uT m/s2 ; c) t1 = 0 s; t2 = 4 s; tn = 2 + 2 1 + 4n, n = 0, 1, 2, . . .; d)
−2~uT + 2(1 + 4n)π~uN m/s2 , n = 0, 1, . . .
32. Uma partı́cula de massa m desloca-se sobre a calha ABCD da figura, em que AB tem a
direcção horizontal e BCD é circular de raio igual a 4 m. Sabendo que a partı́cula parte do
ponto B em direcção a A e que a sua velocidade escalar é dada por v(t)= 2t-4 (S.I.),
calcular:
(a) Os vectores velocidade e aceleração para t=0s e t=2s.
(b) A distância AB, sabendo que em A a partı́cula inverte o sentido do movimento.
(c) O instante em que a partı́cula atinge o ponto D.
(d) Supondo que a partir do ponto D a partı́cula fica sujeita apenas ao seu peso, calcular:
i. O tempo que a partı́cula demora a atingir a superfı́cie horizontal
ii. Os vectores velocidade e aceleração da partı́cula nesse ponto.
Solução: a) ~v (0) = −4~uT m/s; ~a(0) = 2~uT m/s2 ; ~v (2) = ~0m/s; ~a(2) = 2~uT m/s2 ; b)4 m;
c)5,52 s; d) 1,26 s; e) 6, 09~ux − 16, 07~uy m/s2 .
11
33. Uma partı́cula descreve um movimento cuja trajectória é circular, de raio 6 m, e centrado no
ponto A de coordenadas (3,5,2) m. O vector ω tem a forma ω
~ = ωx ~ux com ωx = constante
>
√
0. No instante t=0s a partı́cula encontra-se no ponto B de coordenadas (3;5+3 3;5) m e
executa 150 voltas em 30s.
(a) Indique em que plano se movimenta a partı́cula e qual o sentido do movimento circular.
(b) Calcular o perı́odo do movimento.
(c) Obter o vector posicional,~r(t), que caracteriza o movimento.
(d) Determinar em que instantes a partı́cula se encontra no plano y=0, e no plano z=0.
(e) Obter os vectores velocidade, ~v (t), e aceleração, ~a(t) .
(f) Escrever a expressão s(t), considerando a origem dos arcos no ponto B, e calcular o
espaço percorrido pela partı́cula até ao instante t=0.15 s.
Solução: b)0,2 s; c)~r(t) = 3~ux + (5 + 6 cos(10πt + π/4)~uy + (2 + 6 sin(10πt + π/4)~uz m;
e)plano y = 0: instantes impares 2nπ+1,77
, instantes pares 2nπ+2,94
; plano z = 0: instantes
10π
10π
2nπ+2,70
2nπ+5,16
impares 10π , instantes pares 10π d)~v (t) = −60π sin(10πt+π/4)~uy +60π cos(10πt+
π/4)~uz m/s; ~a(t) = −600π 2 cos(10πt+π/4)~uy +600π 2 sin(10πt+π/4)~uz m/s2 ; e) 60πt; 9πΓ ≈
28, 3m.
1.2.3
Exercı́cios de movimento relativo
34. (Alonso, pg 62, 4.9) Que resultado fı́sico se deduz da afirmação de que a aceleração de um
corpo permanece constante sob acão da transformação de Galileu?
35. (Alonso, pg 46, 3.9) Um pássaro voa horizontalmente e em linha recta, com velocidade
constante em relação ao solo. Em que condições parece o pássaro estar parado em relação
a um observador que se desloca de carro? E em que condições parece o pássaro voar para
trás?
36. (Alonso, pg 46, 3.10) Explique por que a velocidade de A em relação a B e a velocidade de
B em relação a A têm o mesmo módulo, mas sentidos opostos.
37. (Alonso, pg 76, 5.7) Discuta o efeito da aceleração de Coriolis sobre um corpo que se move
num plano horizontal no Hemisfério Sul.
38. (Alonso, pg 76, 5.8) Verifique que, no caso de um corpo que cai no Hemisfério Norte, a
aceleração de Coriolis aponta para Leste e tem a magnitude de 2wV 0 cos λ, onde λ é a
latitude. Verifique que, se o corpo se mover verticalmente para cima, a aceleração de Coriolis
aponta para Oeste e tem mesma magnitude.
39. (Alonso, pg 76, 5.9) Verifique que, no caso de um corpo que se move no Hemisfério Norte
para Norte, a aceleração de Coriolis aponta para Leste e tem a magnitude de 2wV 0 sin λ.
Verifique que, se o corpo se mover para Sul, a aceleração de Coriolis aponta para Oeste e
tem a mesma grandeza acima dada.
40. (Alonso, pg 76, 5.10) Discuta o efeito da aceleração de Coriolis sobre um corpo que cai no
Hemisfério Sul.
41. O piloto de um avião deseja alcançar um ponto 200 km a leste do lugar que ocupa. Sopra
vento de Noroeste com velocidade escalar de módulo 30km/h. Calcule a velocidade do avião
em relação ao ar se o avião demorar 40min a chegar ao seu destino com velocidade constante.
Solução: 279,6 km/h; 4.35º a norte da direcção Oeste-Este.
42. Um motorista de um automóvel que se desloca a 80 km/h observa que a chuva deixa nas
janelas laterais, marcas inclinadas de 80°com a vertical. Ao parar o carro ele nota que a
chuva cai verticalmente. Calcule a velocidade da chuva relativa ao carro
12
(a) quando este está parado;
(b) quando este se move a 80 km/h.
Solução: a)−14, 11~uy km/h; b)81,23 km/h; 190 °.
43. Um rio tem 1 km de largura. O módulo da velocidade da corrente é de 2km/h. Determine
o tempo que um homem leva num barco a remos, para ir e voltar directamente de uma
margem à outra. Compare esse tempo com o tempo que leva o homem para remar 1km, rio
acima, e voltar ao local de partida. O barco a remos tem velocidade de módulo constante
igual a 4km/h relativamente à água.
Solução: 34 min 38,5 s; 40 min.
44. Um transatlântico navega a 18 km/h. Um passageiro desloca-se em linha recta de A até
B, sobre a coberta, em sentido contrário ao do deslocamento do barco, com velocidade de
módulo 4 m/s (ver figura). Em seguida desloca-se com igual rapidez de B até C. Sabendo
que AB=30m e BC=12m:
(a) calcule a velocidade do passageiro em relação à água
i. no percurso AB;
ii. no percurso BC.
(b) Determine o deslocamento total do passageiro em relação à água.
Solução: 1~ux m/s; 5~ux + 4~uy m/s) 25, 5 m.
13
Capı́tulo 2
Fichas de dinâmica do ponto
material
1. (Alonso, pg 97, 6.1) O que é uma partı́cula ”livre”? Como se reconhece (experimentalmente)
uma partı́cula ”livre”?
2. (Alonso, pg 97, 6.2) Discuta o conceito de observador inercial. Como se pode distinguir um
observador inercial de um não inercial?
3. (Alonso, pg 97, 6.3) Enuncie o princı́pio de conservação do momento aplicado: (a) a uma
molécula de hidrogénio isolada; (b) ao sistema solar.
4. (Alonso, pg 97, 6.4) Por que razão podemos dizer que a ”massa”é uma propriedade de cada
partı́cula, independentemente das forças que actuam sobre ela?
5. (Alonso, pg 97, 6.5) Enuncie a lei da acção e reacção aplicada: (a) ao sistema Terra-Lua; (b)
ao sistema protâo-electrão de um átomo de hidrogénio.
6. (Alonso, pg 97, 6.6) Qual é a relação entre o sentido de uma força e: (a) a variação do
momento; (b) a aceleração de uma partı́cula?
7. (Alonso, pg 97, 6.7) Num dado instante, a intensidade da força que actua sobre uma partı́cula
é F. Algum tempo depois, a intensidade da força duplica. Qual é a relação entre as taxas de
variação do momento da partı́cula nos dois instantes?
8. (Alonso, pg 97, 6.8) Como é que se reconhece que a Terra exerce uma força sobre todos os
corpos próximos da sua superfı́cie? Como se mede e como se designa esta força?
9. (Alonso, pg 97, 6.9) Que quantidades fı́sicas são ”invariantes”por meio da transformação de
Galileu?
10. (Alonso, pg 97, 6.10) O impulso de uma força F~ que actua sobre uma partı́cula durante o
Rt
tempo to até ao tempo t é definido por I = to F~ dt. Mostre que o impulso é igual à variação
~ Prove que quando a força é constante, I~ = F~ ∆t, onde ∆t = t − to .
do momento ∆~
p = I.
11. (Alonso, pg 97, 6.11) Represente graficamente a intensidade da força F que actua sobre um
corpo, em função do tempo. Verifique que a área abaixo da curva correspondente ao intervalo
t − to é igual ao impulso.
12. (Alonso, pg 97, 6.12) Em que condições é que uma força muito intensa, que actua durante
um perı́odo de tempo muito curto, produz a mesma variação de momento que uma força
fraca que actua durante um longo perı́odo de tempo? Faça o diagrama das forças em função
do tempo, para justificar a resposta.
14
13. (Alonso, pg 97, 6.13) Discuta a relação entre os conceitos de ”interacção”e ”força”.
14. (Alonso, pg 97, 6.14) Seja F a força exercida pela Terra sobre um corpo situado na sua
superfı́cie e R o raio da Terra. Represente graficamente os pontos que correspondem à força
sobre o corpo quando a sua distância ao centro da Terra é 2R, 3R e 4R, se a força variar na
proporção inversa do quadrado da distância. Una os pontos com uma linha curva. Sendo a
aceleração da queda livre junto à superfı́cie da Terra 9,8 m/s2, determine a aceleração para
as distâncias 2R, 3R e 4R.
15. (Alonso, pg 97, 6.15) Que relação (ou relações) é (são) a(s) mesma(s) para todos os observadores inerciais, de acordo com o princı́pio clássico da relatividade?
16. (Alonso, pg 97, 6.16) Explique a origem das ”forças inerciais”e dê alguns exemplos.
17. (Alonso, pg 97, 6.17) Um objecto que se move com velocidade V em relação a um observador
inercial O bate numa parede que se move em direcção oposta com velocidade v em relação
a O. Qual é a velocidade do objecto em relação ao muro antes e depois do choque? Qual a
velocidade do objecto em relação a O depois do choque. (Nota: consulte o exercı́cio 6.4)
18. (Alonso, pg 113, 7.1) Explique por que quando a força é constante, o movimento ocorre num
plano determinado pela força e pela velocidade inicial.
19. (Alonso, pg 113, 7.2) Na figura trace as forças que actuam sobre m1 devidas às outras massas.
Suponha que as forças são de atracção.
20. (Alonso, pg 113, 7.3) Um corpo está suspenso numa das extermidades de uma corda. Puxase para cima a outra extremidade da corda. A força do puxão é maior, igual ou menor que o
peso do corpo quando o movimento para cima é (a) uniforme, (b) acelerado, (c) retardado?
21. (Alonso, pg 113, 7.4) Explique o que se pretende significar quando se diz que as forças de
atrito e de viscosidade são estatı́sticas.
22. (Alonso, pg 113, 7.5) Existe uma relação especı́fica entre o sentido da força de atrito e o
sentido da velocidade de um corpo? O sentido da força de atrito está relacionado com o
sentido da aceleração?
23. (Alonso, pg 113, 7.6) Um corpo move-se sobre uma superfı́cie horizontal sob a acção de uma
força aplicada. Que tipo de movimento resulta quando a força aplicada é (a) maior, (b) igual
e (c) menor do que a força de atrito? Que tipo de movimento resulta se a força for igual a
zero?
24. (Alonso, pg 113, 7.7) Explique por que um corpo que cai num fluido viscoso atinge uma
velocidade constante ou limite. Qual é a relação entre o peso do corpo e a força de viscosidade
quando o corpo atinge a velocidade limite? A forma do corpo afecta a velocidade limite?
15
25. (Alonso, pg 113, 7.8) Pode um corpo estar em equilı́brio e em movimento? Que tipo de
movimento? Pode um corpo estar em repouso mas não em equilı́brio?
26. (Alonso, pg 113, 7.9) Existe uma relação especı́fica entre o sentido da força resultante sobre
uma partı́cula e os sentidos da aceleração da partı́cula e da sua velocidade?
27. (Alonso, pg 113, 7.10) Aristóteles afirmou que os corpos diferentes caem com diferentes
velocidades. Galileu demonstrou que todos os corpos caem com a mesma aceleração. Em
que condições ambas as afirmações são correctas?
28. (Alonso, pg 113, 7.11) A equação m~a = F~ − κη~v do movimento num fluido viscoso pode
v
~
ser escrita como m d~
v . Se F~ for o peso, m~g , do corpo, esta equação reduz-se a
dt = F − κη~
κη
d~
v
g − m ~v
dt = ~
(a) verifique por substituição directa que a solução desta equação é ~v =
v~o exp
−κηt
m
−κηt
m~
g
m )+
κη (1 − exp
, onde vo é a velocidade para o instante inicial (t=0 s).
(b) Mostre que a velocidade limite (t −→ ∞) é dada pela equação ~vL =
m~
g
κη .
29. (Alonso, pg 127, 8.1) Um corpo move-se ao longo de uma trajectória curva. A força é
tangente à trajectória para o lado côncavo ou convexo?
30. (Alonso, pg 127, 8.2) Se o módulo da velocidade permanece constante no movimento circular
uniforme, por que é que é necessária uma força centrı́peta?
31. (Alonso, pg 127, 8.3) Que acontece à velocidade angular e ao raio se a força tangencial é
zero e a força centrı́peta aumenta constantemente?
32. (Alonso, pg 127, 8.4) Responda à pergunta anterior considerando que a força tangencial
aumenta constantemente, enquanto a força centrı́peta permanece constante.
33. (Alonso, pg 127, 8.5) Por que é necessária uma inclinação nas vias férreas e nas estradas?
34. (Alonso, pg 127, 8.6) Qual é o efeito sobre a velocidade de (a) uma força centrı́peta? e (b)
uma tangencial?
35. (Alonso, pg 127, 8.7) Que acontece ao módulo da velocidade sob a acção de uma força axial
~ × ~v ? Que acontece à direcção?
F~ = A
36. (Alonso, pg 127, 8.8) Mostre que o momento de uma força também pode ser definido como
produto do comprimento do vector de posição r e a componente da força f perpendicular a
r.
37. (Alonso, pg 127, 8.9) Qual a relação entre a direcção do momento angular de um corpo e a
sua velocidade?
38. (Alonso, pg 127, 8.10) Existe uma relação entre a direcção do momento de uma força e a da
(a) força, (b) momento angular, (c) a taxa de variação do momento angular?
39. (Alonso, pg 127, 8.11) Que equação é mais fundamental: F~ =
d~
p
dt
~ =
ou M
~
dL
dt ?
Porquê?
40. (Alonso, pg 127, 8.12) Que quantidade é uma constante do movimento quando a força é
central? Que quantidade permanece constante quando a força é axial?
41. Os blocos A e B de massas respectivamente iguais a 2 kg e 8 kg, estão assentes numa
superfı́cie horizontal, ligados por um fio inextensı́vel de massa desprezável, existindo atrito
entre os blocos e a superfı́cie horizontal, sendo o coeficiente de atrito µ para ambos os corpos.
Aplica-se, no bloco B, uma força horizontal de módulo 40 N.
16
A
B
F
(a) Efectue a representação de todas as forças que actuam nos dois blocos.
(b) Determine o valor mı́nimo de µ para que os blocos não se movimentem.
(c) Trocando os blocos, passando a força a estar aplicada no bloco A, a tensão no fio
inextensı́vel será a mesma? Justifique, apresentando os cálculos.
Solução: b) 0,4; c) 8N a 32 N
42. Considere a figura
mA=mB=4 Kg
A
B
30º
Os corpos A e B estão ligados por um fio inextensı́vel e deslizam, respectivamente, num plano
horizontal e num plano inclinado, sendo a força aplicada horizontalmente no corpo A com a
intensidade de 40 N. O coeficiente de atrito entre os corpos (A e B) e as superfı́cies sobre as
quais deslizam é o mesmo (µ = 0, 2). A massa da roldana e o atrito no fio inextensı́vel são
desprezáveis.
(a) Faça um esquema marcando todas as forças que actuam nos corpos A e B. Determine:
i. a aceleração dos corpos.
ii. a tensão no fio.
iii. O maior e o menor valor que pode ter a força sem que os corpos se movam. Considere o coeficiente de atrito estático 0,2.
Solução: b1) 0, 634 m/s2 ; b2) 29,5 N; c) 5,07 N e 34,9 N
43. (Alonso pg.164) Calcule a velocidade limite de uma gota de chuva de diâmetro 10−3 m. A
densidade do ar relativamente à água é 1, 3 × 10−3 .
44. Um bloco de 10 kg repousa, sustentado por uma corda sobre um plano inclinado que pode
girar em torno do eixo AB.
17
A
30º
B
(a) Sendo 2 m o comprimento da corda determinar a tensão na corda quando a velocidade
de rotação do conjunto constituı́do pelo plano inclinado e bloco for igual a 10r.p.m.
(b) Determinar a velocidade angular a partir da qual o bloco começa a elevar-se e abandona
o plano.
Solução: a) 66,4N; b) 10 rad/s
45. (Alonso pg.87) Uma arma cuja massa é 0,8 kg dispara um projéctil com massa de 0,016 kg
com a velocidade de 700 m/s. Calcule a velocidade de recuo da arma.
46. (Alonso pg.92) A intensidade da força de atracção gravitacional entre a Terra e a Lua é
F = 1, 985 × 1017 N . A massa da Terra é de 5, 97 × 1022 kg. Calcule para cada corpo o
módulo da aceleração devida a essa força.
47. (Alonso pg.97) O que é uma partı́cula livre? Como se reconhece (experimentalmente) uma
partı́cula livre?
48. (Alonso pg.97) Enuncie a lei da acção-reacção aplicada
(a) ao sistema Terra-Lua.
(b) ao sistema protão-electrão num átomo de hidrogénio.
49. (Alonso pg.107) Um corpo cuja massa é 0,80 kg é colocado sobre um plano com 30° de
inclinação. O coeficiente de atrito de deslizamento com o plano é 0,3. Que força deve ser
aplicada ao corpo para que ele se movimente:
(a) para cima;
(b) para baixo; em ambos os casos suponha que o corpo se move
i. com movimento uniforme;
ii. com aceleração 0, 10 m/s2 .
18
Capı́tulo 3
Fichas de trabalho e energia do
ponto material
1. (Alonso, pg.132) Calcule o trabalho realizado por uma força variável F aplicada num corpo,
quando este se desloca de A para B, numa trajectória curvilı́nea (figura 1).
Solução: Em geral, à medida que um corpo se move, varia a componente tangencial da força,
FT, que actua sobre o corpo. Na figura representamos FT como função da distância s medida
ao longo da trajectória. O trabalho dW = FT ds realizado durante um pequeno deslocamento
ds corresponde à área da estreita faixa rectangular da figura 2. Assim, podemos determinar
o trabalho total realizado sobre a partı́cula da figura 1 para a mover de A até B, primeiro
dividindo toda a área sombreada da figura 2 em rectângulos estreitos e depois somando
essas áreas. Isto é, o trabalho total é dado pela área sombreada da figura 2. Este resultado
é importante do ponto de vista prático para o cálculo do trabalho de diversas máquinas.
Ft
dr4
dr3
B
dr2
dr1
F2
F3
dw=Ftds
F4
Ft
F1
A
A
ds
wAB=área sob a curva
Ft entre A e B
B
2. (Alonso, pg 150, 9.1) Enuncie as condições em que o trabalho realizado por uma força é (a)
zero, (b) positivo e (c) negativo.
3. (Alonso, pg 150, 9.2) Como mede a potência média de uma máquina durante um certo
intervalo de tempo?
4. (Alonso, pg 155, 9.4) Que acontece à energia cinética de uma partı́cula quando o trabalho
da força aplicada é positivo? E quando é negativo?
5. (Alonso, pg 155, 9.5) Que acontece à energia potencial de uma partı́cula quando o trabalho
da força aplicada é positivo? E quando é negativo?
6. (Alonso, pg 155, 9.6) Qual a relação entre a variação de energia cinética e de energia potencial
de uma partı́cula com o trabalho realizado pelo seu peso?
19
s
7. (Alonso, pg 155, 9.3) Observe a figura em baixo e suponha que o carro se move para cima.
Indique as forças que realizam trabalho positivo, as que realizam trabalho negativo e as que
não realizam trabalho nenhum. Repita o exercı́cio supondo que o automóvel se move para
baixo.
8. (Alonso, pg.135) A mola representada nas figuras abaixo tem uma das extremidades fixa a
uma parede vertical e a outra ligada a uma massa m. Desloca-se a massa para a direita a
uma distância a, e depois solta-se. Calcule a sua energia cinética quando ela se encontra a
uma distância x da posição de equilı́brio.
posição de
equilíbrio
(a)
F=0
x=a
(b)
F=−kz<0
x>0
(c)
F=−kx<0
x<0
(d)
F=−kx>0
x=−a
(e)
F=−k(−a)>0
Solução:
1
2
2 k(a
− x2 )
20
9. (Alonso, pg 155, 9.7) Uma partı́cula de massa m cai verticalmente de uma altura h. Escreva uma equação que relacione a variação de energia cinética da partı́cula com o trabalho
realizado pelo seu peso.
10. (Alonso, pg.133) Calcule o trabalho necessário para produzir numa mola a elongação de x,
sem aceleração.
Solução: 1/2kx2
11. (Alonso, pg 155, 9.8) Considere a solução do problema 8. Que significado fı́sico se pode
associar ao facto de a energia cinética depender do negativo do quadrado do deslocamento,
x, da partı́cula? Existe limite para os possı́veis valores de x?
12. (Alonso, pg 155, 9.9) Uma partı́cula de massa m está ligada a uma mola de constante
elástica k. Distende-se a mola a uma distância a e solta-se. Relacione a energia potencial da
partı́cula em x=a com a sua energia cinética em x=0. Qual é a velocidade da partı́cula em
x=0? Recorde o problema 8 deste capı́tulo.
13. (Alonso, pg 155, 9.10) Considere a figura em baixo. Por que podemos ignorar a força F ao
escrever a conservação da energia?
14. (Alonso, pg 155, 9.11) O que a força conservativa ”conserva”?
15. (Alonso, pg 155, 9.12) Qual o significado fı́sico das forças dissipativas?
16. (Alonso, pg 155, 9.13) A partir da representação gráfica de Ep(r) em função de r, explique
como podemos determinar se uma força central é repulsiva ou atractiva. Trace o gráfico de
Ep(r) correspondente a uma força central de repulsão a curtas distâncias e de atracção a
grandes distâncias. Repita o exercı́cio para o caso oposto.
17. (Alonso, pg 155, 9.14) Uma partı́cula move-se para baixo sob a influência de uma força cuja
energia potencial se pode descrever como poço de potencial, com profundidade E0 e largura
b. Trace a curva de energia potencial, com uma margem do poço em x=0 e outra em x=b.
Quando é que o movimento é ligado? E não ligado?
18. (Alonso, pg 155, 9.15) Quais são os três pares de conceitos relacionados, até agora enunciados,
para estudar o movimento de uma partı́cula?
19. (Alonso, pg.133) Um automóvel de massa igual a 1200 kg sobe uma colina com inclinação
de 5°com a velocidade de 36 kmh−1 . Calcule:
(a) o trabalho que o motor realiza em 5 minutos;
(b) a potência desenvolvida.
21
Despreze todos os efeitos do atrito.
Solução: (a) 3, 069 × 106 J ; (b) 1, 023 × 104 W
20. (Alonso, pg.137) Um electrão acelerado num tubo de televisão chega à tela com uma energia
cinética de 10000 eV. Calcule a velocidade do electrão.
Solução: v = 5, 931 × 107 ms−1
21. (Alonso, pg.140) Calcule a energia potencial de uma partı́cula associada às seguintes forças
centrais:
(a) F = −kr;
(b) F =
−k
r2 ,
onde r é a distância do centro à partı́cula. O sinal negativo em ambos os casos significa que
a força é atractiva em relação ao centro. Se o sinal for positivo, a força é repulsiva.
Solução: a) 12 kr2 + C; b) − kr + C.
22. (Alonso, pg.146) Calcule a energia potencial de um pêndulo gravı́tico de comprimento ` que
faz um ângulo θ com a direcção vertical. Tome, como nı́vel zero do potencial, o ponto mais
baixo atingido pela pêndulo.
Solução: mg`(1 − cos θ)
23. (Alonso, pg.150) Um corpo, inicialmente em repouso, cai através de um fluı́do viscoso a
partir de uma altura yo . Calcule a razão da dissipação da sua energia cinética e potencial
gravitacional depois de atingir a velocidade limite.
Solução:
d
dt (Ec
2 2
+ Ep ) = − mkηg
24. Sobre uma partı́cula de massa 2 kg actua, durante 2 s, uma força dada por F~ = 16t ~ux +
21t2 ~uy (N ). Sabendo que quando a força começa a actuar a partı́cula já está animada da
velocidade ~v = 3~ux + 4~uy (m/s), determine:
(a) o impulso comunicado pela força durante os 2 s;
(b) o trabalho realizado pela força durante o mesmo intervalo de tempo.
Solução:(a) 32~ux + 56~uy kgms−1 ; (b)1, 36kJ
25. Determine o trabalho realizado pelo campo de forças F~ = x2 ~ux + y 2 ~uy (|F~ | em N; x e y
em m) sobre uma partı́cula que se move de A(0; 0) para B(2; 4) por cada um dos seguintes
caminhos: (a)ao longo da parábola y = x2 ; (b)de (0; 0) a (2; 0) ao longo do eixo dos xx e
depois ao longo da recta x = 2 até ao ponto (2; 4); (c)ao longo da recta y = 2x.
Solução: a) 24 J; b) 24 J; c) 24 J
26. Um corpo com massa 1 kg é lançado da superfı́cie da Terra com velocidade de módulo 100
m/s na direcção vertical. À altitude de 500 m a velocidade tem módulo 10 m/s. Sabendo
que o trabalho da resistência do ar foi -40 J, calcule a aceleração da gravidade supondo que
é constante durante o movimento.
Solução: 9, 98ms−2
27. Uma partı́cula com 1 kg de massa encontra-se em repouso encostada a uma mola de constante
elástica k = 100 N/m, comprimida de 10 cm como mostra a figura. Larga-se a partı́cula e a
mola impele-a para a direita. Sabe-se que a partı́cula se move sem atrito.
(a) Calcule a energia mecânica da partı́cula.
(b) Com que velocidade a partı́cula passa no ponto A?
22
(c) Quanto tempo a partı́cula demora a atingir o ponto A?
(d) Se houver atrito e µ = 0, 2 calcule a distância que a partı́cula percorre desde que é
largada até parar.
A
60 cm
Solução: 0, 51 J; 1 m/s; 0, 66 s
28. Um corpo de massa m desce, sem atrito, um plano inclinado, e penetra num looping de raio
R. Qual deve ser a altura do plano inclinado para que a partı́cula dê a volta completa no
loop?
h
R
a
Solução: h ≥ 1, 5R
29. Um projéctil de massa 30 g atinge horizontalmente um corpo de massa M de massa 30 kg,
suspenso por uma corda de 1m de comprimento. O projéctil penetra no corpo que oscila
elevando-se
de
3
cm.
Com
que velocidade incidiu o projéctil sobre M?
A
B
3 cm
Solução: 774 m/s
30. A energia potencial de uma partı́cula é da forma U = a/r2 − b/r em que a e b são constantes
positivas e r a distância da partı́cula a um ponto fixo. Determine:
(a) a posição de equilı́brio da partı́cula (verifique que o equilı́brio é estável),
(b) na região em que a força é atractiva, onde é máxima a sua intensidade.
Solução: (a) 2a/b; (b) 3a/b.
23
Capı́tulo 4
Fichas de movimento harmónico
simples
1. (Alonso, pg 185, 10.1) Dê uma definição cinemática do MHS. Dê uma definição dinâmica do
MHS. São completamente equivalentes a duas definições?
2. (Alonso, pg 185, 10.2) Como varia o perı́odo do MHS quando (a) a massa da partı́cula
aumenta sem variar a constante elástica; (b) a constante elástica aumenta sem variar a
massa; (c) a massa e a constante elástica variam na mesma proporção?
3. (Alonso, pg 185, 10.3) Uma partı́cula move-se de acordo a equação x(t) = A sin(ωt + α).
Escreva as equações para a velocidade e aceleração da partı́cula. Move-se com MHS? Qual
é a diferença de fase em relação a x(t) = A cos(ωt + α)?
4. (Alonso, pg 185, 10.4) Dado um deslocamento x(t) = A sin(ωt + α), represente graficamente
o vector rotação para o deslocamento, velocidade e aceleração; indique como se pode medir
o ângulo de fase (ωt + α).
5. (Alonso, pg 185, 10.5) Repita a figura abaixo para várias posições do pêndulo em qualquer
lado de C e determine Ft para cada posição. A que conclusão chega sobre a intensidade e
direcção de Ft ?
6. (Alonso, pg 185, 10.6) Em que condições se move um pêndulo com (a) movimento oscilatório,
(b) MHS, (c) movimento circular modular?
24
7. (Alonso, pg 185, 10.7) O comprimento do pêndulo de um relógio ajusta-se para que dê a
hora correcta quando a amplitude das oscilações é muito pequena. Se, inadvertidamente, se
dão ao pêndulo oscilações com uma grande amplitude, andará o relógio demasiado rápido
ou demasiado devagar?
8. (Alonso, pg 185, 10.8) O pêndulo de um relógio é ajustado para que dê a hora correcta à
latitude de 40°. Que acontecerá ao relógio se for levado para o equador e para um lugar de
80°de latitude? Que ajuste se deve efectuar em cada caso?
9. (Alonso, pg 185, 10.9) Expresse a conservação da energia no MHS em termos de x e de v. A
partir desta expressão, obtenha v em termos de x e compare o resultado com o do problema
8.
10. (Alonso, pg 185, 10.10) Dois MHS com a mesma frequência e direcção estão sobrepostos. Que
tipo de movimento resulta? Quais as propriedades do movimento resultante que dependem
da diferença de fase e quais as que não dependem? Qua aconteceria se os movimentos
oscilatórios fossem não harmónicos?
11. (Alonso, pg 185, 10.11) Dois MHS com a mesma frequência e direcções perpendiculares estão
sobrepostos. Em que condições o movimento resultante é (a) MHS, (b) movimento circular
uniforme? É sempre periódico o movimento resultante?
12. (Alonso, pg 186, 10.12) Em que condições se produzem os batimentos?
13. (Alonso, pg 186, 10.13) Quais são as caracterı́sticas principais dos modos normais dos osciladores acoplados?
14. (Alonso, pg 186, 10.14) Quando é que um movimento oscilatório é não harmónico? Os
osciladores não harmónicos são simétricos em relação à posição de equilibrio?
15. (Alonso, pg 186, 10.15) Por que a adição de uma força −λ~v a uma força elástica -kx produz
um movimento oscilatório amortecido?
16. (Alonso, pg 186, 10.16) Que trocas de energia se dão no movimento oscilatório amortecido?
17. (Alonso, pg 186, 10.17) Por que não são amortecidas as oscilações forçadas de um oscilador
amortecido?
18. (Alonso, pg 186, 10.18) Por que razão devem a força e a velocidade estar em fase na ressonância de energia?
19. (Alonso, pg 186, 10.19) Represente a relação Pmed /Pmed
para vários valores de Q (ver
res
Alonso e Finn, pg 175, nota 10.1)
25
20. (Alonso, pg 186, 10.20) Analize o significado fı́sico do teorema de Fourrier. Em termos deste
teorema, explique a diferença de qualidade da mesma nota musical produzida por diferentes
instrumentos (ver nota 10.2)
21. (Alonso, pg 186, 10.21)Uma partı́cula move-se sob a acção de uma força F=-kr. Escreva
a equação do movimento. O movimento ocorre num plano? O que determina o plano do
movimento? Decomponha a equação nas componentes X e Y. Procure as soluções correspondentes. Que tipo de movimento resulta? Quais devem ser as condições iniciais para que
o movimento resultante seja rectilı́neo? O momento angular é constante?
22. (Alonso, pg 186, 10.22) Substitua a equação x = A exp−γt cos(ωt + α) para o deslocamento
2
de um oscilador amortecido na equação m ddt2x + λ dx
dt + kx = 0 e prove que é uma solução
satisfatória para A e α arbitrários, se ω for dado pela equação ω = (ω02 − γ 2 )1/2 .
23. (Alonso, pg 186, 10.23) Prove que a tensão T da corda de um pêndulo é dada por T =
mg(3 cos θ − 2 cos θo ).
26
Capı́tulo 5
Fichas de mecânica de muitos
corpos
1. (Alonso, pg 269, 13.1) Estabeleça as propriedades do sistema de referência centro de massa
(C). Em que condições C é um sistema de referência inercial?
2. (Alonso, pg 269, 13.2) Qual é a trajectória do centro de massa de um sólido (a) sujeito a
forças que não são exteriores, (b) sujeito apenas ao seu peso quando é lançado próximo da
superfı́cie terreste e (c) quando é lançado horizontalmente a uma grande altitude?
3. (Alonso, pg 269, 13.3) Qual é a trajectória do centro de massa de um mergulhador depois
de ter saltado de um trampolim? Faça um diagrama que mostre a trajectória.
4. (Alonso, pg 269, 13.4) Estabeleça a lei de Newton da acção e reacção referente a dois sistemas
de partı́culas em interação. Aplique-a a dois átomos e a duas galáxias em interação.
5. (Alonso, pg 269, 13.6) Qual é a utilidade do conceito de massa reduzida?
6. (Alonso, pg 269, 13.7) A massa reduzida de um sistema de duas partı́culas é superior, inferior
ou igual à massa de cada partı́cula?
7. (Alonso, pg 269, 13.8) Em que condições a massa reduzida é praticamente igual à massa de
um dos corpos? Dê exemplos de tal situação. Em que condições a massa reduzida é metade
da massa de um dos corpos?
8. (Alonso, pg 269, 13.9) Ilustre, com alguns exemplos, o princı́pio de conservação (i) do momento, (ii) do momento angular para (a) um sistema isolado e (b) dois sistemas em interação.
9. (Alonso, pg 269, 13.10) Você espera encontrar verdadeiros sólidos rı́gidos na natureza, ou
são apenas uma aproximação conveniente, válida em certas circunstâncias?
10. (Alonso, pg 269, 13.11) O momento angular é sempre paralelo à velocidade angular de um
sólido rı́gido? A variação do momento angular de um sólido rı́gido é sempre paralela ao
momento externo?
11. (Alonso, pg 269, 13.12) Discuta o conceito de ”eixo principal”de um sólido rı́gido. Justifique
o facto de eixo de simetria poder ser um eixo principal.
~ = I~
12. (Alonso, pg 269, 13.13) Em que condições são válidas as relações Lz = Iω e L
ω?
13. (Alonso, pg 269, 13.14) Explique porque o único movimento possı́vel de um sólido rı́gido em
relação ao seu CM é uma rotação. Em razão de sua resposta, justifique a possibilidade de
se decompor o momento angular de um sólido rı́gido em dois termos.
27
14. (Alonso, pg 269, 13.15) Qual é a origem do movimento de ”precessão”?
15. (Alonso, pg 269, 13.16) Considere uma mola de constante elástica k. Quando ela está fixa
por uma extremidade e na outra se prende um corpo de massa m, o corpo oscila com uma
certa frequência. Depois, a mesma mola, com a massa m numa das extermidades, tem a
outra extremidade livre e unida a uma massa M (M > m). Esticando a mola e soltando-a
em seguida, a sua frequência de oscilação será superior, inferior ou igual à frequência do
primeiro caso?
16. (Alonso, pg 269, 13.17) Considere uma barra uniforme de comprimento L. Escreva a equação
do movimento para o centro de massa da barra quando é lançada ao ar. A barra é lançada
de modo que a extremidade inferior esteja em repouso no sistema L e uma altura Yo do solo.
A sua posição é vertical e à extremidade superior é comunicada uma velocidade de 2vo na
horizontal. Trace a curva seguida pelo CM.
17. (Alonso, pg 269, 13.18) Escreva a equação do movimento para a extremidade inferior da
barra, dadas as condições iniciais da questão anterior. Trace a curva seguida pela extremidade inferior da barra.
18. (Alonso, pg 270, 13.19) Analise os momentos angulares orbital e interno do sistema solar no
seu movimento em torno do centro da Via Láctea (ver Fig. em baixo).
19. (Alonso, pg 270, 13.20) Analise os momentos angulares orbital e interno de um electrão em
torno do núcleo de um átomo.
20. (Alonso, pg 270, 13.21) Através do teorema de Steiner (Eq. 13.21), verifique que o momento
de inércia de um sólido rı́gido em relação a um eixo que passa pelo seu CM é sempre inferior
ao momento de inércia em relação a qualquer outro eixo paralelo.
21. (Alonso, pg 270, 13.22) Em relação a que pontos devem ser calculados o momento angular
~
~?
e o momento de modo que seja válida a equação ddtL = M
d~
ω
~
22. (Alonso, pg 270, 13.23) Em que condições são equivalentes as relações I dω
dt = Mz e I dt = M ?
23. (Alonso, pg 270, 13.24) Um sólido rı́gido pode oscilar em torno de um eixo horizontal que
passa por ele. O perı́odo depende (a) da massa do sólido, (b) da sua forma (c) do seu
tamanho, (d) da posição do eixo em relação ao seu centro de massa? Qual seria o perı́odo,
se o eixo passasse pelo centro de massa do sólido?
24. (Alonso, pg 270, 13.25) Em que condições as forças internas de um sistema de partı́culas não
contribuem para a variação do momento angular?
25. (Alonso, pg 270, 13.26) Por que o equı́librio de um sólido rı́gido requer mais condições do
que o equilı́brio de uma partı́cula?
28
26. (Alonso, pg276) Duas massas ligadas por uma haste leve, conforme a figura, estão em repouso
sobre uma superfı́cie horizontal sem atrito. Uma terceira partı́cula com 0,5 kg de massa
aproxima-se do sistema com velocidade e colide com a massa de 2 kg. Qual será o movimento
resultante do CM das duas partı́culas se a massa de 0,5 kg afasta-se, após a colisão, com
uma velocidade vf = 1m/s?
SOLUÇÃO: 0, 167~ux − 0, 083~uy m/s
27. (Fundamentos, pg308) Uma escada de comprimento ` e massa m está encostada a uma parede
como mostra a figura. O atrito entre a escada e a parede pode considerar-se desprezável.
Determinar qual deve ser o coeficiente de atrito estático mı́nimo entre a escada e o chão para
que um homem de massa M possa subir a escada sem perigo de ela escorregar.
1
m+M
SOLUÇÃO: µ = cotgα 2m+M
28. (Alonso, pg305) Uma roda girante está submetida a um momento de 10 N.m devido ao atrito
em seu eixo. O raio da roda é 0,6 m, sua massa é 100 kg e ela está girando a 175 rad.s-1.
Quanto tempo leva a roda a parar? Quantas voltas ela dará antes de parar? SOLUÇÃO:
325 s: 452 rev
29. (Alonso, pg306) O volante de uma máquina a vapor tem 200 kg de massa e um raio de 2 m.
Quando ele gira à razão de 120 rpm, a válvula de injecção de vapor é fechada. Supondo que
o volante pára em 5 min, qual é o momento devido ao atrito aplicado ao eixo do volante?
Qual é o trabalho realizado pelo momento durante esse tempo? SOLUÇÃO: 3, 34 × 104 N ×
m; 6, 31 × 107 J
30. (Fundamentos, pg320)
(a) Determinar a aceleração dos corpos representados na figura, bem como as tensões no
fio inextensı́vel e de massa desprezável.
(b) Mostre que as tensões no fio, de um lado e de outro da roldana, seriam iguais caso se
pudesse desprezar a massa da roldana.
(c) Mostre que as tensões no fio, em A e junto oo bloco de massa 10 Kg só podem ser
consideradas iguais se se desprezar a massa do fio entre A e o bloco referido.
29
SOLUÇÃO: 1, 96ms−2 ; 78, 4 N ; 58, 8N
30