Matemática A
Dezembro de 2009
Matemática A
Itens – 10.º Ano de Escolaridade
No Teste intermédio, que se irá realizar no dia 29 de Janeiro de 2010, os itens de grau
de dificuldade mais elevado poderão ser adaptações de alguns dos itens que a seguir
se apresentam.
Matemática A - 10.º Ano de Escolaridade – Página 1
1.
Na figura 1 está representado um triângulo equilátero EFG ‘. Os pontos Hß I e J são os pontos
médios dos lados do triângulo.
A área do triângulo EFG ‘ é igual a 16
Sejam \ß ] e ^ três pontos.
Sabe-se que:
" • \ œ F # EH
" • ] œ G HJ # J E
$ • ^ œ E # ŠGJ % HJ ‹
Determine a área do triângulo \] ^ ‘
Figura 1
2.
Na figura 2 está representado, num referencial o.n. BSC, o hexágono SEFGHI ‘
Sabe-se que:
• os lados do hexágono são paralelos e iguais dois a dois;
• os pontos E e I pertencem aos eixos coordenados
SC e SB, respectivamente;
• o ponto F tem coordenadas Ð%ß &Ñ
• o ponto H tem coordenadas Ð'ß #Ñ
2.1. Determine as coordenadas dos pontos Gß I e E
Figura 2
2.2. Seja Q o ponto simétrico do ponto F em
relação ao eixo SC e seja R o ponto da recta
SH que é colinear com os pontos Q e E
Determine as coordenadas do ponto R
2.3. Escreva uma condição que defina o segmento de recta IH‘
2.4. Escreva uma condição que defina o conjunto dos pontos que constituem o interior do hexágono.
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3.
Na figura 3 está representado, num referencial o.n. BSC, o triângulo EFG ‘
Sabe-se que:
• o ponto S, origem do referencial, é o ponto médio do
lado ÒEGÓ
• o vector EF tem coordenadas Ð"!ß #Ñ
• o vector FG tem coordenadas Ð 'ß )Ñ
3.1. Determine as coordenadas do ponto E e as
coordenadas do ponto G
3.2. Mostre que o ponto F tem coordenadas Ð)ß &Ñ
Figura 3
3.3. Seja H o ponto de intersecção da recta EF com o eixo SC
Determine a área do triângulo ESH‘
3.4. Averigúe qual é a posição da origem do referencial em relação à circunferência de diâmetro ÒEFÓ
4.
Sejam + e , dois números reais positivos.
Num referencial o.n. BSC, considere:
• a recta < de equação reduzida C œ +B ,
• a recta = de equação reduzida C œ #+B ,
• o ponto E, ponto de intersecção da recta < com o eixo das abcissas;
• o ponto F, ponto de intersecção das rectas < e =
• o ponto G , ponto de intersecção da recta = com o eixo das abcissas.
#
4.1. Mostre que a área do triângulo EFG ‘ pode ser dada, em função de + e de , , por $,
%+
4.2. Determine o perímetro do triângulo EFG ‘ß admitindo que este triângulo tem área igual a 225 e
que o vector de coordenadas Ð$ß %Ñ é paralelo a um dos seus lados.
4.3. Na figura 4 está representado o triângulo EFG ‘ para
o caso de + œ $ e , œ *
Os pontos Ew e G w pertencem a EF‘ e a FG ‘,
respectivamente.
)
Sabe-se que EEw G w G ‘ é um trapézio cuja área é *
da área do triângulo EFG ‘
Determine as coordenadas dos pontos Ew e G w
Figura 4
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5.
Na figura 5 está representado, num referencial o.n. BSC , o quadrilátero EFGH‘
Sejam T , U ß V e W os pontos médios dos lados
desse quadrilátero.
5.1. Mostre que o quadrilátero T UVW ‘ é um
paralelogramo,
utilizando
operações
com
vectores.
5.2. Admita que as coordenadas dos pontos T ß Uß
V e E são:
• T Ð#ß %Ñ
• U Ð'ß (Ñ
• V Ð'ß $Ñ
Figura 5
• E Ð!ß #Ñ
Determine as coordenadas do ponto W e as coordenadas dos vértices F, G e H do quadrilátero
EFGH‘
6.
Na figura 6 estão representados, num referencial o.n. BSC, dois paralelogramos semelhantes, EFGH‘
e EIJ K‘
Sabe-se que:
• E tem coordenadas Ð "ß #Ñ
• F tem coordenadas Ð %ß #Ñ
• G tem coordenadas Ð)ß "!Ñ
• EJ œ "!
6.1. Determine as coordenadas do ponto H e as
coordenadas do ponto J
6.2. Defina, analiticamente, o triângulo EFG ‘
Figura 6
(incluindo o seu interior).
6.3. Suponha que, num dado instante, dois pontos partem de E e se deslocam, um sobre a semi-recta
.
Þ
EF e o outro sobre a semi-recta EG . Admita que a unidade do referencial é o centímetro e que
qualquer dos pontos percorre cada centímetro num minuto.
A que distância, um do outro, se encontram os dois pontos, cinco minutos depois de iniciarem o
seu deslocamento?
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7.
Considere, num referencial o.n. BSC , o conjunto dos pontos cujas coordenadas satisfazem a condição
C , B. Seja E esse conjunto de pontos.
7.1. Represente graficamente:
• uma recta < que esteja contida em E
• uma recta = que não intersecte E
• uma recta > tal que o conjunto das abcissas dos pontos de intersecção dessa recta com E seja
‘#ß ∞
Escreva as equações reduzidas das rectas <, = e > que desenhou.
7.2. Determine o conjunto dos valores reais de 5 para os quais o ponto de coordenadas Ð5ß ' 5Ñ
não pertence a E
8.
Na figura 7 está representado, num referencial o.n. SBCD , o cubo EFGHIJ KL ‘
Sabe-se que:
• o centro do cubo coincide com a origem do referencial;
• as arestas do cubo são paralelas aos eixos coordenados;
• os pontos Q , R e T são os pontos médios das
arestas a que pertencemà
• o ponto E tem coordenadas " , " , "
Considere o vector ? e os pontos \ß ] e ^
• ? œ Q R FT
• \ œ E GK
Figura 7
" • ] œ \ # \J
• ^ œ \ Š
? EG ‹
8.1. Represente os pontos \ , ] e ^ (por construção geométrica, sem recorrer a coordenadas).
8.2. Defina, por uma condição, o lugar geométrico dos pontos [ para os quais o ponto \ pertence
ao plano mediador do segmento F[ ‘
Identifique esse lugar geométrico, no contexto do problema.
8.3. A recta definida pela equação B , C , D œ " , " , " 5 ! , " , ", 5 − ‘ intersecta a
recta \H
Determine as coordenadas do ponto de intersecção.
8.4. A secção produzida no cubo pelo plano definido pelos pontos I , ] e ^ divide o cubo em dois
sólidos.
Determine o volume do sólido que contém o ponto K
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9.
Na figura 8 está representado, num referencial o.n. SBCD , o cubo SEFGHIJ K‘
Sabe-se que:
• um dos vértices do cubo coincide com a origem do
referencial;
• os vértices Eß G e I pertencem aos eixos SB, SC
e SD , respectivamente;
• o vértice K tem coordenadas Ð"!ß "!ß "!Ñ
• o ponto T pertence à aresta J K‘ e tem ordenada $
• o ponto U pertence à aresta IH‘ e tem ordenada (
• o ponto W pertence à aresta FG ‘ e tem abcissa &
• a secção determinada no cubo pelo plano T UW é o
pentágono T UVWX ‘
Figura 8
9.1. Determine as coordenadas dos vértices do pentágono ÒT UVWX Ó
9.2. Seja M o ponto de intersecção da recta T U com o plano BSD
Determine a área do triângulo ÒIM GÓ
10.
Na figura 9 está representado, em referencial o.n. SBCD , um prisma quadrangular regular
ÒEFGHIJ KLÓ (o ponto L não está representado na figura).
Sabe-se que:
• o ponto E tem coordenadas Ð"%ß (ß %Ñ
• o ponto F tem coordenadas Ð"'ß %ß "!Ñ
• o ponto G tem coordenadas Ð"!ß 'ß "$Ñ
• o ponto I tem coordenadas Ð)ß &ß !Ñ
10.1. Determine as coordenadas dos restantes vértices
do prisma.
10.2. Determine o volume do prisma.
Figura 9
10.3. Defina, por uma condição, a aresta ÒEFÓ
10.4. Escreva uma equação da superfície esférica que contém os oito vértices do prisma.
10.5. Determine a área da secção produzida no prisma pelo plano EFK
10.6. Determine uma equação do plano HFJ
Apresente a sua resposta na forma +B ,C -D œ .
+, , , - e . designam números reais
Nota: o plano HFJ é o plano mediador de um segmento cujos extremos são dois vértices do
prisma.
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