Lista 2 com respostas
Professora Nataliia Goloshchapova
MAT0112 - 1◦ semestre de 2015
Exercı́cio 1.
Sejam OABC um tetraedro e M o ponto médio de BC. Explique por que
−−→ −−→ −−→
−−−→
(OA , OB , OC ) é base e determine as coordenadas de AM nessa base.
Solução 1.
−−→
−−→
−−−→
−→
Note que AM = −OA + 12 OB + 12 OC.
Exercı́cio 2.
Sejam E = (e~1 , e~2 , e~3 ) uma base, f~1 = 2e~1 − e~2 + e~3 , f~2 = e~2 − e~3 , f~3 = 3e~3 .
(a) Mostre que F = (f~1 , f~2 , f~3 ) é base.
(b) Calcule m para que (0, m, 1)E e (0, 1, −1)F sejam LD.
Solução 2.
(b) m = −1/4. Dica: ache as coordenadas de vetor (0, 1, −1)F na base E ou
seja ache α, β, γ tais que (0, 1, −1)F = f~2 − f~3 = αe~1 + β e~2 + γ e~3 .
Exercı́cio 3.
Verifique se os pontos dados abaixo são colineares:
(a) A = (1, 0, 1), B = (2, 2, 0) e C = (0, −2, 2);
(b) A = (0, 1, −1), B = (1, 2, 0) e C = (0, 2, 1);
(c) A = (3, 1, 4), B = (2, 7, 1) e C = (0, 1, 5);
Solução 3.
−−→
−−→
(a) Temos que AB = (1, 2, −1) e que AC = (−1, −2, 1). Se os pontos fossem
−−→
−−→
colineares AB = λAC , para algum λ real não nulo. Isso é possı́vel?
Exercı́cio 4.
Dados os pontos A = (1, 0, 1), B = (−1, 1, 1) e C = (0, 1, 2).
(a) Determine o ponto D tal que A, B, C e D sejam os vértices consecutivos
de um paralelogramo.
(b) Determine o ponto médio entre A e C e o ponto médio entre B e D.
1
Solução 4.
−−→ −−→
(a) Escreva os vetores DC , AB explicitamente considerando D = (x, y, z) a
determinar. Após isso note que, como estamos querendo construir um paralelo−−→ −−→
gramo, DC = AB .
Exercı́cio 5.
Considere um hexagono regular ABCDEF de centro O. Determine as coordenadas dos pontos O, A, B, C, D, E e F nos seguintes sitemas de coordenadas:
−−→ −−→
(a) (O, OC , OD )
−−→ −−→
(b) (O, OC , OE )
−−→ −−→
(c) (B, BC , BO )
−−→ −−→
(d) (B, BC , BE )
Solução 5.
−−→
−−→
−−→
(a) A = (0, −1), pois OA = 0 · OC + (−1) · OD .
−−→
−−→
−−→
B = (1, −1), pois OA = 1 · OC + (−1) · OD e assim por diante.
Exercı́cio 6.
Encontre as coordenadas dos seguintes vetores nas bases do exercı́cio anterior:
−−→
(a) CD
−−→
(b) BD
−−→
(c) AC
−−→
(d) BE
Solução 6.
−−→
−−→
−−→
−−→
−−→
−−→
−−→
Observe que CD = 1· OD +(−1)· OC = 0· OC +1· OE = 0· BC +1· BO =
−−→ 1 −−→
−−→
−−→ −−→ −−→
0 · BC + 2 · BE . Portanto, CD = (1, −1) na base (OC , OD ), CD = (0, 1)
−−→ −−→ −−→
−−→ −−→ −−→
na base (OC , OE ), CD = (0, 1) na base (BC , BO ), CD = (0, 12 ) na base
−−→ −−→
(BC , BE ).
Exercı́cio 7.
Prove:
(a) (2~u + w,
~ ~u − ~v , ~v + w)
~ são LI ⇔ (~u − w,
~ ~u + ~v , ~u + w)
~ são LI.
(b) (2~u + w,
~ ~u − ~v , ~v + w)
~ são LD ⇔ (~u − w,
~ ~u + ~v , ~u + w)
~ são LD.
2
Solução 7.
No primeiro, denote 2~u + w
~ = ~a, ~u − ~v = ~b, ~v + w
~ = ~c supondo que ~a, ~b e ~c são
LI. Exprima ~u − w,
~ ~u + ~v , ~u + w
~ em função de ~a, ~b e ~c. Depois use mesma ideia
para caso contrario.
Exercı́cio 8.
Escreva ~t = (4, 0, 13) como combinação linear de ~u = (1, −1, 3), ~v = (2, 1, 3), w
~=
(−1, −1, 4)
Solução 8.

 α
−α
Note que t = α~u + β~v + γ w
~⇒

3α
+2β
+β
+3β
−γ = 1
−γ = 0 e resolva esse sistema.
+4γ = 13
Exercı́cio 9.
Sejam E = (e~1 , e~2 , e~3 ) uma base, ~u = e~1 + e~2 ,~v = e~1 + e~2 + e~3 , w
~ = ae~1 +be~2 +ce~3 .
Deduza uma condição necessária e suficiente sobre a, b e c para que (~u, ~v , w)
~ seja
base.
Solução 9.
Os vetores são LI somente se a matriz formada incluindo em cada uma de
suas
linhas os coeficientes de cada vetor em relação da mesma base é não nulo:
1 1 0 1 1 1 6= 0 ⇔ b 6= a.
a b c Exercı́cio 10.
Dados os vetores ~a = (5, −1, 0), ~b = (2, 0, 1) e ~c = (0, 1, 3), escreva o vetor
x = (2, −1, −1) como combinação linear de ~a, ~b e ~c.
Solução 10.

 α
α
Note que ~u = α~u + β~v + γ w
~⇒

1α
+0β
+β
+1β
+γ = 1
+γ = 1 e resolva esse sistema.
+0γ = 1
Exercı́cio 11.
Sejam ~u = (1, 1, 1), ~v = (0, 1, 1) e w
~ = (1, 1, 0) vetores no espaço. Encontre as
componentes de um vetor ~z = (a, b, c) na base formada por ~u, ~v , w.
~
Solução 11.
Note que ~u − ~v = (1, 0, 0), ~u − w
~ = (0, 0, 1) e ~v + w
~ − ~u = (0, 1, 0).
Exercı́cio 12.
−−→
−−→
Dado o paralelogramo retângulo ABCDEF GH, sejam e~1 = AB , e~2 = AC e
−−→
e~3 = AF .
3
Determine as coordenadas dos pontos A, B, C, D, E, F, G e H nos seguintes
sistemas de coordenadas:
(a) (G, −e~2 , 21 e~1 , 3e~3 )
(b) (A; 21 e~1 , 12 e~2 , 12 e~3 )
Solução 12.
Escrever um ponto X qualquer num sistema de coordenadas (O, B) onde O é
origem e B é uma base é o mesmo que encontrar o vetor que parte de O e chega no
ponto X. Então, no caso do ponto A para o ı́tem (a) deste exercı́cio, temos que:
−→
−−→ −−→
−−→ −−→
−−→ −−→ −−→
GA = −(AC + CG ) = −(AC + BF ) = −(AC + AF − AB ) = −e~2 − e~3 + e~1 =
1 · (−e~2 ) + 2 · ( 12 e~1 ) + (− 13 ) · (3e~3 ). Observe que, assim, A = (1, 2, − 31 ). Para os
outros pontos é bem parecido.
Exercı́cio 13.
Os pontos medios dos lados de um triângulo são (2, 5), (4, 2) e (1, 1). Determine
as coordenadas dos três vertices.
Solução 13.
Considere o triângulo ABC tal que M1 = (2, 5), M2 = (4, 2) e M3 = (1, 1) são os
−−→ −→ −−→
pontos médios respectivamente dos segmentos AB, AC e CB. Se A = (a1 , a2 ),
B = (b1 , b2 ) e C = (c1 , c2 ). Então, temos que:


2 = 12 (b1 + a1 )








5 = 12 (b2 + a2 )




 M1 = (2, 5) = 21 (b1 + a1 , b2 + a2 )

4 = 21 (c1 + a1 )
M2 = (4, 2) = 12 (c1 + a1 , c2 + a2 ) ⇒
2 = 12 (c2 + a2 )




 M3 = (1, 1) = 12 (c1 + b1 , c2 + b2 )



1 = 12 (c1 + b1 )






1 = 12 (c2 + b2 )
Resolva o sistema acima para determinar quem são os vértices do triângulo.
Exercı́cio 14.
Determine m, n de modo que os vetores ~u, ~v sejam LD, onde:
(a) ~v = (1, m, n + 1), w
~ = (m, n, 2)
(b) ~v = (1, m − 1, m), w
~ = (m, n, 4)
Solução 14.
Note que, no item (a), se eles são LD existe um λ real não nulo tal que ~u = λ~v ⇒

= λm
 1
m
= λn e resolva esse sistema. O item (b) é muito parecido.

n + 1 = 2λ
4
Exercı́cio 15.
Dados A = (4, 8, 11), B = (−3, 1, 4) e C = (2, 3, −3). No triângulo ABC ache:
• O comprimento dos três lados do triângulo;
• Os pontos médios dos três lados do triângulo;
−−→ −−→
• Os ângulos entre AB e BC .
Solução 15.
Dica: use as formulas para comprimento de um vetor, ponto medio de um
semento, produto escalar dos vetores.
Exercı́cio 16.
Mostre que se os vetores ~u e ~v têm o mesmo comprimento, então ~u + ~v e ~u − ~v
são perpendiculares.
Solução 16.
Note que (~u + ~v ) · (~u − ~v ) = ||~u||2 − ||~v ||2 = 0.
Exercı́cio 17.
(a) Decompor o vetor w
~ = (1, 3, 2) como soma de dois vetores w
~ = ~u +~v , onde
~u é paralelo ao vetor (0, 1, 3) e ~v é ortogonal a (0, 1, 3)
(b) Encontre um vetor
√ ~u que seja ortogonal aos vetores (2, 3, −1) e (2, −4, 6)
tal que ||~u|| = 3 3.
Solução 17.
(a) Metodo 1: Use o fato que, pelo definição, ~u = P roj(0,1,3) w.
~
Metodo 2: Leve em consideração as informações do enunciado para obter
que ~u = (0, λ, 3λ) para algum λ ∈ R não nulo. Além disso, ~v ⊥(0, 1, 3) ⇒
~v = (x, −3γ, γ) para
 alguns x, γ ∈ R não nulos. Então basta resolver o
 x+0=1
9
λ − 3γ = 3 Para obter que x = −1, λ = 10
seguinte sistema:
, γ = −7
10 .

3λ + γ = 2
(b) Seja ~u =(u1 , u2 , u3 ). Note que hipoteses do problema implicam seuinte
=0
 2u1 + 3u2 − u3
2u1 − 4u2 + 6u3 = 0
sistema

= 27
u21 + u22 + u23
5
Exercı́cio 18.
(a) Demonstre que não existe x tal que os vetores ~v = (x, 2, 3) e ~u = (x, −2, 3)
sejam perpendiculares.
(b) Encontre o ângulo entre os vetores ~u = (2, 1, 0) e ~v = (0, 1, −1) e entre os
vetores w
~ = (1, 1, 1) e ~z = (0, −2, −2).
Solução 18.
(a) Suponha que exista tal x. Teremos que ~u · ~v = 0 Logo, x2 − 4 + 9 = 0,
consequentemente, x2 = −5. Portanto x 6∈ R.
(b) Como ~u · ~v = 1 e ~u · ~v = cos θ||~u|| · ||~v || teremos que
a função arccos para obter a resposta.
√1
10
= cos θ. Aplique
Exercı́cio 19.
Prove que os vetores ~u = 7~i − 3~j + 6~k, ~v = 3~i + 3~j − 2~k e w
~ = 6~i − 16~j − 15~k
são dois a dois perpendiculares.
Solução 19.
Como ~u · ~v = 21 − 9 − 12 = 0, ~u · w
~ = 42 + 48 − 90 = 0 e ~v · w
~ = 18 − 48 + 30 = 0
segue que eles são dois a dois perpendiculares.
Exercı́cio 20.
Mostre que o ângulo entre as projeções P roj~v ~u e P roj~u~v é igual ao ângulo entre
os vetores ~u e ~v .
Solução 20.
Observe que P roj~v ~u é a projeção de ~u sobre ~v , isto é, trata-se de um vetor
paralelo ~v . Além disso P roj~u~v é a projeção de ~v sobre ~u, isto é, trata-se de
um vetor paralelo ~u.
Agora é fácil deduzir que o ângulo entre as projeções é o mesmo ângulo entre
os vetores ~u e ~v .
6