Dinâmica dos corpos rígidos
Movimento em 2D
Métodos de resolução
Num instante particular: Equações de movimento
Movimento finito: Princípio da conservação de energia
mecânica (forças conservativas)
Problemas de impacto etc.: Princípio do impulso das
forças e da quantidade de movimento
Equações de movimento
Em cada instante: cada corpo rígido e também o conjunto de corpos
rígidos está em equilíbrio
Além das forças externas e, caso necessário, das forças internas é
necessário considerar as forças de inércia que actuam no sentido
contrário à aceleração
Equação de equilíbrio é equação vectorial para a resultante de forças,
ou seja corresponde em 2D a 3 equações escalares (por exemplo 2 de
forças em 2 direcções e uma de momentos)
Sistemas de corpos: analogia com a estática, existem equações
globais ou relacionadas com cada corpo separadamente, 3 destas
equações são linearmente dependentes com as outras.
Forças de inércia
Para a sua expressão serão precisos os momentos de inércia de
massas estudados no cap. 1
Massa uniformemente distribuída: centróide coincide com o centro de massa
Separação do movimento em translação ~ G e rotação em torno de G
Translação ~ G
y

aG
G
Actuação contra a aceleração

mia G

ri
m i
Força de inércia de translação
x


 a G  dm  m a G

Rotação em torno de G

mv
Quantidade de movimento
d
 HG
dt
Força de inércia de rotação
onde HG é a quantidade
do movimento angular


 

H G   ri  m i v i   ri  m i   ri 
y
i

ri
G
Vector, Unidade [kgm/s]
i

m i v i
m i

 2

H G   r dm   I G

x
IG
Momento polar de inércia
Força de inércia de rotação
Actuação contra a aceleração angular

 IG
As forças de inércia actuam no cento de massa:
a de translação tem intensidade igual ao produto de massa e da
intensidade de aceleração absoluta e actua na direcção da aceleração,
no sentido oposto
a de rotação é um momento que roda no sentido oposto da aceleração
angular e tem intensidade igual ao produto do momento de inércia
baricéntrico de massa e da aceleração angular
Para a determinação das forças de inércia torna-se indispensável
determinar as acelerações no centro de gravidade de cada corpo
Quando a trajectória não é conhecida, não se podem distinguir as
componentes das acelerações em componente normal e tangencial
Nos pontos de contacto de dois corpos rígidos as componentes
tangenciais de aceleração são iguais
Quando o movimento inicia-se do repouso, as velocidades inicias são
nulas e consequentemente as componentes de aceleração normal são
nulas
Para determinar aceleração de qualquer ponto (B) do corpo rígido é
preciso saber a aceleração absoluta de um ponto qualquer (A), a
velocidade angular e a aceleração angular
A é o ponto de referência


a
A
Rotação em torno de A
Translação com A
 B

a
A

a
2 AB
A
B

a
Aceleração absoluta em B
é a resultante de todas
componentes
2 AB
B
AB
B

AB
Translação
Derrubamento
A linha de acção da força resultante
tem que atravessar a base para
evitar a rotação (derrubamento)
Rotação
Forças de atrito
Teoria de Coulomb
Coeficiente de atrito estático e dinâmico (cinemático)
G
G
mg
F
Sem movimento
mg
F  Fa   e N
Fa
N
Em movimento
Fa   c N
e  c
Princípio da conservação da energia mecânica (forças conservativas)
Movimento finito, a diferença entre os estados
é dada na forma de distância percorrida
Desvantagem: 1 equação escalar (1 incógnita)
Mais sobre a energia potencial
V  mgh
m
Trabalho do peso
    mg   y fin  yini    mgh
y
h
Nível zero
V    mgh
Energia cinética
A energia cinética tem duas partes:
a de translação tem valor igual a metade do produto de massa e da
intensidade de velocidade ao quadrado
a de rotação tem valor igual a metade do produto do momento de
inércia baricéntrico de massa e da velocidade angular ao quadrado
Para a determinação da energia cinética torna-se indispensável
determinar as velocidades no centro de gravidade
G
1
TT  mv 2
2

v

1
TR  I G 2
2
Forças de atrito
Forças não-conservativas:
O trabalho depende do caminho percorrido,
Causam perca de energia mecânica irrecuperável (térmica, acústica, etc.)
► Não se deveria usar o princípio da conservação da energia mecânica
quando actuam as forças de atrito em escorregamento.
► Pode-se usar quando se introduz a perca de energia.
► A perca de energia corresponde ao trabalho executado pelas forças
de atrito.
Forças de atrito em rolamento não fazem trabalho, em cada instante cria-se
uma força no ponto de contacto, assim ela não faz trabalho porque não se
desloca (a velocidade do ponto de contacto é nula, assim ds=vdt=0)
Princípio da conservação da energia mecânica: a energia
mecânica mantém o seu valor em cada instante num sistema
conservativo;
É possível utilizar este princípio num sistema não-conservativo,
desde que se contabilize a perca de energia mecânica causada
pelas forças não-conservativas
Para a energia cinética pode-se usar o CIR em vez do centro de
gravidade.
G

v
T

1
1
2
T  I CIR   I G  md 2 2
2
2
1
1
1
1
2
 I G 2  m d  I G 2  mv 2
2
2
2
2
CIR

d
1
1
mv 2  I G 2
2
2

v
G
Não existe nenhuma simplificação
semelhante para as forças de inércia!!!
Rolamento com deslizamento
Para contabilizar correctamente a perca de energia pelas forças de
atrito, tem que se separar a distância percorrida em parte
correspondente ao escorregamento e ao rolamento
Lança-se uma esfera com a velocidade indicada na figura abaixo

v0
0  0
a
s
Rolamento com deslizamento
(uniformemente desacelerado)
Esfera
2 2
I G  mr
5

v1
IG
a

r
mg
ma
Fa   c N
N
v1
1 
r
Fa   c mg
a  cg
5 c g

2r
Tempo necessário para terminar o deslizamento
1r  v1
5 c g
v1  v 0  at  v 0  c gt
1  0  t  0 
t
2r
2v 0
5v 0
5v 0
 t
, v1 
, 1 
7 c g
7
7r
Distância percorrida
2
 2v0 
1 2
2v0 1
12 v 02
 
s  s 0  v 0 t  at  0  v 0
  c g 
2
7 c g 2
49 c g
 7 c g 
Parte de rolamento
2

1 2 
1 5 c g  2 v 0  
5v 02


 r 
r   0  0 t  t  r  0  0 
2
2 2 r  7 c g  
49 c g

 

Parte de escorregamento
12 v 02
5v 02
v 02
d


49 c g 49 c g 7 c g
Verificação energética
2
2
1
1
1
1  5v 0  1 2 2  5v 0 
v 02
2
2
2
mv 0  mv1  I G 1  Fa d  m
mr 
 
   c mg
2
2
2
2  7  25
7 c g
 7r 