UNIVERSIDADE REGIONAL INTEGRADA DO ALTO URUGUAI E DAS MISSÕES
CAMPUS ERECHIM
DEPARTAMENTO DE CIÊNCIAS EXATAS E DA TERRA
CURSO DE MATEMÁTICA
DANIELE TRENTIN BUSETTO
PROPOSTAS AO ESTUDO DE PROBABILIDADE
NO ENSINO MÉDIO
ERECHIM
2010
DANIELE TRENTIN BUSETTO
PROPOSTAS AO ESTUDO DE PROBABILIDADE
NO ENSINO MÉDIO
Trabalho de conclusão de curso, apresentado
ao Curso de Licenciatura em Matemática, do
Departamento de Ciências Exatas e da Terra,
da Universidade Regional Integrada do Alto
Uruguai e das Missões – Campus de Erechim.
Profª. Orientadora: Simone Maffini Cerezer.
ERECHIM
2010
RESUMO
A presente pesquisa de revisão bibliográfica buscou analisar diferentes estratégias de ensino
de probabilidade para o Ensino Médio, visando identificar se atendiam às orientações
curriculares presentes nos Parâmetros Curriculares Nacionais (PCN), e em que pontos suas
aplicações eram favoráveis à formação do educando como um ser pensante e ativo na
sociedade atual. Num primeiro momento, fez-se necessário a leitura e análise dos documentos
que regulamentam a educação nacional, buscando a compreensão dos objetivos gerais e
específicos do Ensino Médio, destacando e elencando as habilidades e competências em que
se almeja desenvolver com os alunos deste nível de Ensino. As propostas que atenderam com
maior respaldo os objetivos do Ensino Médio previstos nos PCN foram as que envolvem
situações cotidianas do educando. Aliar o estudo de probabilidade aos fatos da rotina do
educando não é uma tarefa difícil, pois o pensamento probabilístico está presente em várias
situações no dia-a-dia do educando. Além disso, o estudo das probabilidades proporciona
também ao educando o desenvolvimento do raciocínio lógico e abstrato, habilidades estas
previstas nas orientações curriculares do Ensino Médio. Constatou-se também que a busca por
novas estratégias de ensino deve ser constante, pois precisará estar adequada à realidade do
educando.
Palavras-chave: Ensino de Probabilidade; Ensino Médio; Parâmetros Curriculares Nacionais.
SUMÁRIO
1
INTRODUÇÃO..................................................................................................... 5
2
REVISÃO BIBLIOGRÁFICA ............................................................................ 6
2.1 LEI DE DIRETRIZES E BASES: ALICERCE DA EDUCAÇÃO NACIONAL...6
2.2 PARÂMETROS CURRICULARES NACIONAIS................................................7
2.3 ENSINO MÉDIO: HABILITAÇÃO DO EDUCANDO PARA A VIDA...............8
2.4 MATEMÁTICA: CIÊNCIA QUE PERMEIA TODAS AS CIÊNCIAS ..............10
2.5 O ESTUDO DE PROBABILIDADE .....................................................................11
3
APRESENTAÇÃO E ANÁLISE DE PROPOSTAS DE ESTUDO ............... 14
3.1 TITANIC................................................................................................................14
3.2 PASSEIOS DE ANDRÉ .......................................................................................16
3.3 INTUIÇÃO E PROBABILIDADE........................................................................20
3.4 PROBLEMA DOS DISCOS..................................................................................22
4
CONSIDERAÇÕES FINAIS .............................................................................25
REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS........................................................................27
5
1 INTRODUÇÃO
As habilidades e competências que os educandos devem desenvolver são cada vez
mais desafiantes, uma vez que o mundo está em constante transformação e, portanto, a
necessidade de adaptar-se e readaptar-se é obrigatória, ou corre-se o risco de isolar-se no
mundo globalizado em que estamos inseridos.
Um dos questionamentos constantes que surgem em rodas de conversa entre os
“pensantes” em educação é: “Que conteúdos devemos abordar nas aulas para formação crítica
e analítica de nossos estudantes?” ou então “Como fazê-los cidadãos conscientes e racionais?”
Para tentar resolver estas questões, inseriu-se na disciplina de Matemática, o estudo de
probabilidades. Embora tenha sido inserida ainda nos meados dos anos 90, observa-se que um
número ainda reduzido de professores fez a inclusão em suas práticas pedagógicas. Para que
esta dificuldade seja resolvida, faz-se necessário uma formação atualizada de profissionais da
área.
O estudo de probabilidade é uma ferramenta fundamental em estudos por amostragem,
onde envolvam interferências de qualquer forma. A tentativa de medir a incerteza
proporcionou o surgimento de diferentes conceitos de probabilidade, pois ela subsidia o
estudo de fenômenos aleatórios que permeiam nossa rotina.
Existe ainda grande dificuldade dos profissionais da educação matemática em
encontrar propostas para se trabalhar este conceito. Este trabalho visa analisar estratégias de
ensino que atendam às orientações curriculares presentes nos Parâmetros Curriculares
Nacionais.
A pesquisa foi realizada em duas etapas. No primeiro momento, fez-se uma revisão
geral dos documentos que regulamentam e educação em nível nacional, com enfoque para o
Ensino Médio, com o objetivo de tornar clara a compreensão dos objetivos em geral, desde os
mais específicos, até os mais amplos, que norteiam esta etapa do ensino. No segundo
momento, apresentou-se algumas atividades que envolvem o estudo de probabilidade, fazendo
em seguida, a análise e relacionando aos objetivos previstos pelos Parâmetros Curriculares
Nacionais.
6
2 REVISÃO BIBLIOGRÁFICA
2.1 LEI DE DIRETRIZES E BASES: ALICERCE DA EDUCAÇÃO NACIONAL
Com a promulgação da Constituição de 1988, a Lei de Diretrizes e Bases (LDB)
anterior foi considerada ultrapassada, e não atendia mais a demanda e os interesses da
população (Lei 4024/61), mas apenas em 1996, o debate sobre a nova lei foi concluído, e
assim surgiu a Lei de Diretrizes e Bases 9.394/96, que é a lei vigente atualmente. A LDB foi
sancionada pelo Presidente Fernando Henrique Cardoso e pelo ministro da Educação Paulo
Renato, em 20 de dezembro de 1996. Baseada no princípio universal de direito à educação
para todos, esta lei trouxe diversas mudanças em relação às leis anteriores.
O texto aprovado em 1996 foi resultado de uma série de debates abertos com
conselhos, ministérios, diversas pessoas que representavam as mais variadas instituições de
ensino. Estas trocas de idéias duraram em média 6 anos. A principal divergência era em
relação ao papel do Estado na educação. A versão final foi influenciada pelas tendências
partidárias do governo do Presidente Fernando Henrique Cardoso, vigente nos últimos anos
de sua tramitação.
A LDB é interpretada e respeitada como a lei maior que orienta os princípios e fins da
educação como um todo, em todo território nacional, abrangendo todos os níveis e
modalidades educacionais. É a lei que regulamenta desde a responsabilidade da União, do
Estado, municípios, instituições de ensino, corpo docente, até mesmo do educando no sistema
educacional.
Dentre as características básicas da LBD estão:
 Ensino Fundamental obrigatório e gratuito (art. 4).
 Carga horária mínima de 800 horas distribuídas em 200 dias na educação básica
(art.24).
 Núcleo comum para o currículo do Ensino Fundamental e Médio, e parte diversificada
em função das peculiaridades locais (art. 26).
 Prevê que a União deve gastar 18% e os municípios, no mínino 25% de seus
respectivos orçamentos no desenvolvimento do ensino público (art. 69).
 Prevê a criação do Plano Nacional de Ensino (PNE) (art. 87).
7
Esta lei também expressa de uma forma bastante clara os princípios gerais que
orientaram a reformulação do Ensino Médio. São eles: busca pela formação geral, em
oposição à formação específica; o desenvolvimento de capacidades de pesquisar, buscar
informações, analisá-las, selecioná-las; a capacidade de interpretar, criar, formular, ao invés
do simples exercício de memorização. São estes os princípios responsáveis pelas mudanças
estruturais provindas da chamada “revolução do conhecimento”. Estas mudanças trouxeram
alterações no modo de trabalho e das relações sociais, a expansão crescente da rede pública,
que deverá atender os padrões de qualidade de acordo com as exigências da sociedade.
(BRASIL, 2000).
2.2 PARÂMETROS CURRICULARES NACIONAIS
Os Parâmetros Curriculares Nacionais (PCN) visam, principalmente, adequar o ensino
às demandas atuais do mercado globalizado. Embora os PCN tenham sido propostos apenas
de maneira indicativa, nos últimos anos, eles passaram a exercer influência direta e de peso
nos sistemas de ensino que sustenta a rede de relações de ensino-aprendizagem.
Eles surgiram nos anos 90, com a finalidade de organizar as propostas curriculares das
práticas pedagógicas docentes do território nacional, consolidando indicativos imprescindíveis
para a educação. Este esforço recebeu de modo direto ou indireto, de instituições nacionais e
internacionais, como o Banco Internacional de Reconstrução e Desenvolvimento (BIRD), o
Banco Interamericano de Desenvolvimento (BID) e até do Fundo Monetário Internacional
(FMI). Tais indicativos foram significativos porque contribuíram para a construção sóciohistórica do currículo, bem como nortearam o processo de reconstrução e recontextualização
dos currículos.
As diretrizes compreendidas nos PCN estão expressas em três áreas: Linguagens,
Códigos e suas Tecnologias; Ciências Humanas e suas Tecnologias; Ciências da Natureza,
Matemática e suas Tecnologias. Cada uma das áreas, é retratada e norteada por abordagens de
competências e habilidades como princípio organizacional do currículo.
A integração curricular que os PCN almejam, visa formar sujeitos capazes de construir
seus próprios saberes e, portanto, autores de suas próprias histórias, habilitando-os para um
mundo competitivo em constante modificação.
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Os PCN regulamentam a Educação Básica como um todo. O Ensino Médio, por sua
vez, recebe uma versão especial, conhecida como Parâmetros Curriculares Nacionais para o
Ensino Médio (PCNEM), que surgiu em 1999. Afirma Alice Casimiro Lopes, Doutora em
Educação pela Universidade Federal do Rio de Janeiro, que o documento PCNEM “é a carta
de intenções governamentais para o Ensino Médio, que orienta a produção do conhecimento
oficial, ou seja, o conhecimento educacional construído e distribuído às redes de ensino pelo
Estado, com intenção de recontextualizar o saber pedagógico”.
As orientações curriculares presentes nos PCNEM tiveram como embasamento a
LDB, partindo da idéia de que o Ensino Médio não seria mais nem estritamente
profissionalizante e nem apenas preparatório para o curso superior, seria então, a união destas
duas intenções, ou seja, preparar um cidadão capaz de refletir sobre a realidade, apto a
desenvolver raciocínios lógicos e abstratos e a interpretar informações. A idéia é que o
cidadão que conclui o Ensino Médio, dominando as habilidades e competências previstas para
o Ensino Médio, estará capacitado tanto para a vida profissional, quando para seguir os
estudos e ingressar no Ensino Superior. A intenção das orientações previstas nos PCNEM é
produzir uma base favorável, positiva à mudanças, bem como orientar a produção e
construção do conhecimento escolar.
2.3 ENSINO MÉDIO: HABILITAÇÃO DO EDUCANDO PARA A VIDA
De acordo com a LDB e com os PCN, o Ensino Médio é a etapa final de uma
educação de caráter geral que situa o educando como sujeito produtor de conhecimento e
participante do mundo do trabalho.
A nova LDB, determinou que o Ensino Médio é Educação Básica e a Constituição
(Conselho Nacional de Educação) defendeu que é direito de todo cidadão. A partir disso, o
Ensino Médio passou a não ser mais obrigatório, mas a sua oferta é dever do Estado, numa
perspectiva de acesso a todos que desejarem.
De acordo com as orientações curriculares presentes na LDB, o Ensino Médio tem por
finalidade o aprimoramento do educando como ser humano, sua formação ética,
desenvolvimento de sua autonomia intelectual e seu desenvolvimento crítico, sua preparação
para o mundo do trabalho e o desenvolvimento de competências para continuar seu
9
aprendizado. A lei também propõe uma organização curricular com os seguintes
componentes:

base nacional comum, a ser complementada, em cada sistema de ensino e
estabelecimento escolar, por uma parte diversificada que atenda especificidades
regionais e locais da sociedade (art. 26);

planejamento e desenvolvimento orgânico do currículo, superando a organização
por disciplinas estanques (art. );

integração e articulação dos conhecimentos em processo permanente de
interdisciplinaridade e contextualização (art. );

proposta pedagógica elaborada e executada pelos estabelecimentos de ensino,
respeitadas as normas comuns e as de seu sistema de ensino (art. );

participação dos docentes na elaboração da proposta pedagógica do
estabelecimento de ensino (art. ).
A organização dos conteúdos, definição de estratégias de aprendizagem e a
organização de todo currículo em si deve ser pensada de modo que o educando esteja
capacitado para a vida em sociedade, atividade produtiva e experiências subjetivas.
De acordo com os princípios previstos na LDB e segundo os PCNEM, espera-se que o
aluno, nesta fase de escolaridade (ensino médio), ultrapasse a leitura de informações e reflita
mais criticamente sobre seus significados.
Neste sentido, o documento do MEC ao analisar o Ensino Médio de formação geral
(MEC, Parecer CEB 15/98, 1998, p.32) sugere que:
Não se trata nem de profissionalizar, nem de deitar na água para fazer mais rala a
teoria. Trata-se, isso sim, de ensinar melhor a teoria – qualquer que seja – de forma
bem ancorada na prática. As pontes entre a teoria e a prática têm que ser construídas
cuidadosamente e de forma explícita. Essas pontes implicam em fazer a relação, por
exemplo, entre o que se aprendeu na aula de matemática na segunda-feira com a
lição sobre atrito na aula de física da terça e com a sua observação de um automóvel
cantando pneus na tarde da quarta. Para a maioria dos alunos, infelizmente, ou a
escola o ajuda a fazer estas pontes ou elas permanecerão sem ser feitas, perdendo-se
assim a essência do que é uma boa educação. (MEC, 1998, p.32)
10
2.4 MATEMÁTICA: CIÊNCIA QUE PERMEIA TODAS AS CIÊNCIAS
A matemática vem do grego máthēma, que significa ciência, conhecimento,
aprendizagem. É a ciência caracterizada por compreender raciocínios lógicos e abstratos. É
uma ciência precisa, que por tal motivo, se enquadra na área das Ciências Exatas. Embora
muitas teorias descobertas há longos anos ainda hoje se mantenham válidas e úteis, a
matemática continua permanentemente a modificar-se e a desenvolver-se.
Medeiros (1985), afirma que a disciplina de matemática possui características muito
próprias, sendo utilizada em praticamente todas as áreas do conhecimento científico, e
principalmente, no cotidiano da sociedade. Porém, de acordo com estudos que vem sendo
realizados sobre seu ensino nas escolas, pode-se concluir que está deixando muito a desejar,
no que se refere à qualidade do aprendizado. Existem muitas pesquisas que afirmam a
necessidade de contextualizar o estudo matemático, inclusive é uma das orientações dos PCN.
No entanto, ainda existe um abismo entre a matemática escolar e a estudada no dia-a-dia.
No mundo moderno, o conhecimento matemático é usado numa gama inimaginável de
situações, como aporte a outras áreas do conhecimento, como instrumento para facilitar a
resolução de situações problematizadoras no cotidiano ou simples e puramente para
desenvolver a habilidade do pensamento lógico.
O estudo matemático se destaca por possuir uma linguagem própria, fator que torna a
disciplina “diferente”, quando comparada com as outras. É esta diferença que, no contexto
social do aluno, evidencia a importância da matemática em seu dia-a-dia, considerando a
presença do raciocínio matemático na resolução das situações problemas cotidianas.
Sendo assim, a matemática vai além de seu caráter instrumental, colocando-se como
ciência com características próprias de investigação e de linguagem e com papel integrador
junto às demais disciplinas.
Notoriamente, pode-se identificar que o fator que dificulta cada vez mais a percepção
dos alunos sobre a importância da matemática é exatamente o que deveria exercer o efeito
contrário, o modo como a matemática é explorada nas escolas.
Martins (2009) destaca que
11
[...] aulas limitadas à exposição de conteúdos, em sua maioria sem nenhuma
referência à história de sua construção são predominantes na sala de aula. E para
fixação de conteúdos, os alunos são sujeitos a uma bateria de exercícios repetitivos,
restritos à aplicação de fórmulas imediatas em várias questões com quase sempre os
mesmos enunciados. Deste modo, a abstração, que é uma virtude do conhecimento
matemático, tende a distanciar-se cada vez mais do aluno. (MARTINS, 2005)
Aprender matemática de uma forma contextualizada traz em si o desenvolvimento de
competências e habilidades que são essencialmente formadoras, à medida que
instrumentalizam e estruturam o pensamento do aluno, capacitando-o para compreender e
interpretar situações, para se aprimorar de linguagens específicas, argumentar, analisar e
avaliar, concluir, posicionar-se e tomar decisões, que são as habilidades e competências
previstas nos PCN+, que é o documento complementar aos PCNEM, tendo surgido em 2002.
2.5 O ESTUDO DE PROBABILIDADE
Uma das principais dificuldades que se encontra quando busca-se a origem das
probabilidades é que ela começou por ser uma ciência empírica e só mais tarde é
que se desenvolveu associada à Matemática. É difícil determinar corretamente
quando é que se registrou a alteração do empirismo para o formalismo matemático.
Porém, todos os livros concordam que os "criadores" das probabilidade foram Pascal
e Fermat (BAYER, et al. 2005).
A necessidade deste estudo surgiu devido aos problemas com seguros, mas o grande
interesse surgiu após os nobres consultarem os melhores matemáticos da época, para pedirem
opiniões nos jogos de acaso com dados e cartas, principalmente.
Mais tarde, no século XIX, Laplace escreveu uma obra grandiosa sob o título de
Teoria Analítica das Probabilidades. Neste livro, Laplace diz o seguinte: “A teoria das
probabilidades consiste na redução de todos os acontecimentos da mesma espécie a um certo
número de casos igualmente prováveis, que são casos que estamos igualmente indecisos sobre
a sua existência, e na determinação do número de casos que são favoráveis ao acontecimento
do qual procuramos a probabilidade”.
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No século XX, Kolmogorov constatou através de seus estudos que a probabilidade
tornara-se uma teoria com inúmeras empregabilidades. E, ainda é possível citar Fisher, como
colaborador na ampliação e utilização das probabilidades.
Frases como “A probabilidade de um jogador de basquete acertar um lance livre é de
90%” indica que em aproximadamente cem lances arremessados, tal jogador acerta,
aproximadamente 90 cestas. Ao fazermos este raciocínio, utilizamos o conceito frequencista
de probabilidade.
Os jogos de azar são popularmente citados no estudo das probabilidades. Ao lançar
uma moeda ao ar, por exemplo, verifica-se que a probabilidade de cair cara é de 50%, pois
como a moeda tem somente dois lados, irá cair em um destes dois lados. No lançamento de
dados, por exemplo, são seis faces possíveis de serem sorteadas, ou seja, a probabilidade de
1
uma das faces ser sorteada é . Utilizar-se destes exemplos no ensino de probabilidade pode
6
facilitar a compreensão da teoria, de forma mais superficial, pois pode-se descobrir a
probabilidade de um acontecimento apenas contando os fatos possíveis e os fatos favoráveis.
No entanto, quando se quer saber a probabilidade de um evento acontecer, dentre infinitas
possibilidades, este raciocínio não conseguirá mais auxiliar no cálculo com a precisão
desejada.
A regra que Laplace anunciou é a seguinte:
A probabilidade de um acontecimento é dada pelo quociente
número de casos favoráveis
número de casos possíveis
quando os casos possíveis são todos equiprováveis
Baseado nesta regra, é que surgiu o conceito clássico de probabilidade. Em
decorrência aos dois conceitos de probabilidade (o conceito frequencista e o clássico), surgiu
uma dúvida: Como relacionar os dois conceitos de probabilidade? Em resposta, surgiu então a
Lei dos Grandes Números, que dizia que quando se repete uma experiência muitas vezes, a
frequência relativa com que determinado acontecimento se realiza, aproxima-se a
probabilidade desse acontecimento. Retomando o exemplo dos dados, se lançarmos muitas
vezes um dado ao ar, a face 3 sairá aproximadamente
1
6
das vezes. Além disso, quanto maior
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for o número de lançamentos, mais próximo de
1
6
deverá ser a frequência relativa da saída da
face 3.
Outra análise interessante sobre estes dois conceitos de probabilidade é sobre a
utilização de medicamentos. Tendo em vista que um medicamento pode trazer a cura para
determinados sintomas para o qual é destinado, ou não. Considerando o conceito clássico de
probabilidade, a chance de eficácia é de apenas 50%, fato que faria com que a maioria dos
medicamentos perdesse a confiabilidade. No entanto, consideramos o conceito frequencista,
poderíamos dizer que a cada 100 pessoas que utilizaram este medicamento, aproximadamente
95 foram curadas. Isso quer dizer que a probabilidade deste medicamento apresentar eficácia
é de 95%, porém não garante que apenas 5% das pessoas que utilizaram o medicamento não
obtiveram a cura. Mas, mesmo assim, neste exemplo, a interpretação pelo conceito
frequencista mudaria a interpretação do consumidor, que baseado nesta probabilidade,
apresentará maior confiabilidade frente a este medicamento. A probabilidade de eficácia de
medicamentos é um exemplo explícito de que o estudo da probabilidade é comum na vida
cotidiana, mesmo que de forma superficial.
Em resumo, a Teoria das Probabilidades é basicamente o estudo teórico de fenômenos
envolvendo a incerteza, se utilizando do Cálculo Matemático como ferramenta. Os fenômenos
probabilísticos, também conhecidos como aleatórios, estocásticos ou não-determinísticos, são
aqueles que, se em condições idênticas, as suas repetições produzem resultados diferenciados,
ou seja, não é possível determinar, com exatidão, qual o seu resultado. Fenômenos como este,
na verdade, são predominantes em todas as áreas do conhecimento.
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3 APRESENTAÇÃO E ANÁLISE DE PROPOSTAS DE ESTUDO
Ao selecionar uma proposta de atividade para o estudo de probabilidade, o professor
precisa analisá-la cautelosamente, verificando se é ou não adequada para seus alunos,
considerando desde se dominam os conteúdos específicos envolvidos na atividade, a que faixa
etária a atividade se destina, se o tema da atividade é compatível com realidade da vida
cotidiana do grupo, e, por fim, a relevância que a proposta em questão representará no
processo de ensino-aprendizagem. A opção por uma proposta adequada propicia que os
alunos a desenvolvam com maior interesse, e, por consequência, melhor aproveitamento.
A seguir, apresentaremos algumas propostas de estudo de probabilidade, seguidas de
uma análise que tem como base os objetivos previstos pelos PCN.
3.1 TITANIC
Proposta adaptada do artigo “Probabilidade na Escola”, de Arno Bayer, et al, 2005.
“O filme Titanic tem atraído e emocionado multidões em todo o mundo. Outras
tragédias mais recentes foram logo esquecidas, mas o caso Titanic continua causando impacto
ainda hoje. O que se sabe é que os passageiros sobreviventes, devido ao número insuficiente
de botes foram selecionados através de um critério onde a condição financeira era a que mais
pesava...”
As tabelas 1 e 2 mostram a distribuição dos passageiros sobreviventes e nãosobreviventes do Titanic por sexo e classe social
Tabela 1: Passageiros Sobreviventes e Não-sobreviventes
Sobreviventes
Não- Sobreviventes
Total
Crianças
57
52
109
Mulheres
296
106
402
Homens
146
659
805
Total
499
817
1316
15
Tabela 2: Passageiros sobreviventes e não-sobreviventes por classe
Classe
Sobreviventes
Não- Sobreviventes
Total
1ª
203
122
325
2ª
118
167
285
3ª
178
528
706
Total
499
817
1316
Nesta atividade o professor poderá explorar as probabilidades dos eventos
relacionados ao sexo/idade e à condição econômica dos passageiros.
Qual foi a probabilidade de um passageiro sobreviver?
Qual foi a probabilidade de um passageiro sobreviver, sabendo que era uma criança?
Qual foi a probabilidade de um passageiro sobreviver, sabendo que era uma mulher?
Qual foi a probabilidade de um passageiro sobreviver, sabendo que era um homem?
Qual foi a probabilidade de um passageiro sobreviver, sabendo que era da 1ª classe?
Qual foi a probabilidade de um passageiro sobreviver, sabendo que era da 2ª classe?
Qual foi a probabilidade de um passageiro sobreviver, sabendo que era da 3ª classe?
Análise:
Esta atividade pode ser utilizada como uma aplicação no estudo da probabilidade,
detendo-se às noções básicas deste estudo. Os questionamentos proporcionam um espaço para
que o educando possa reconhecer o caráter aleatório de fenômenos e eventos. Também
propicia que o educando compreenda a importância da probabilidade como meio de prever
resultados.
No entanto, de acordo com os PCN, as estratégias de ensino devem abranger muito
mais do que o simples cálculo mecânico e memorização através de repetições. O
desenvolvimento desta atividade proporciona um espaço de reflexão ao educando, trazendo
referências históricas sobre a tragédia do naufrágio do Titanic, referências culturais sobre o
respaldo que o filme que foi baseado em fatos reais causou. E ainda faz referência sobre o
peso que a desigualdade social teve como critério para salvar vidas.
16
Numa reflexão crítica sobre a desigualdade social, o educando é levado a posicionarse frente a tal fato, facilitando assim seu entendimento sobre a real situação da sociedade, em
geral. Este posicionamento contribuirá para formação de um cidadão consciente de que a
igualdade social é questão de justiça entre todos que compõem a sociedade.
3.2 PASSEIOS DE ANDRÉ
Proposta adaptada do artigo “Estatística e Probabilidade através das Atividades
Propostas de Alguns Livros Didáticos Brasileiros Recomendados para o Ensino
Fundamental”, de Celi Aparecida Espadin Lopes, Regina Célia Carvalho Pinto Moran, 1999.
Os participantes são organizados em pequenos grupos. Cada grupo receberá um
tabuleiro, conforme a figura 1, e uma moeda.
Figura 1: Tabuleiro da Atividade Passeios de André
O professor contará a seguinte estória:
André tem 5 amigos morando a 4 quadras de distância de sua casa: Bruna, Carlos,
Daiane, Eduardo e Flávia, como mostra a figura 1.
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Todo dia, depois da aula, ele volta pra sua casa, larga sua mochila, pega a bicicleta e
vai até a casa de um deles para brincar.
Para visitar seus amigos, a cada cruzamento, André para sua bicicleta, tira uma moeda
do bolso e joga para cima: se der cara, ele anda uma quadra para Norte; se der coroa, vai para
Leste. Assim, cada jogada, é uma quadra de percurso. E hoje? Qual amigo vai receber a visita
de André?
Neste momento, o professor orientará os participantes que joguem a moeda várias
vezes, simulando todas as vezes que André sai para brincar anotando a sequência obtida e
onde André chegou. Como sugestão os alunos poderão usar para a representação dos
resultados dos lançamentos, N quando cair cara, pois ele anda uma quadra para o norte, e L
quando cair coroa, pois ele anda uma quadra para o leste.
Após estas orientações, o professor apenas circula pelos grupos avaliando, sugerindo
caminhos ou simplesmente observando o direcionamento dos alunos.
Os participantes jogarão a moeda e farão os registros. Com a repetição das jogadas,
perceberão que alguns amigos são mais visitados que os outros. Alguns dos resultados obtidos
são mostrados na Tabela 3.
Tabela 3: Resultados obtidos dos Lançamentos da Moeda
Sequência Obtida
Destino
N–L–L–N
Daiane
L–N–N–N
Carlos
L–N–L–L
Eduardo
N–N–L–L
Daiane
N–N–N–N
Bruna
...
...
18
Após jogarem várias vezes, possivelmente alguns dos conceitos básicos da
probabilidade irão começar a surgir dentre os comentários nos grupos. Para auxiliar na
formação destes conceitos, o professor poderá proporcionar o seguinte questionamento:
a. O que é mais provável: chegar à casa da Daiane ou da Bruna?
Resposta: Daiane
b. Quem é pouco provável que André visite?
Resposta: Bruna e Flávia
c. De quantas e quais maneiras André pode chegar à casa de:
Bruna:
Resposta: 1 maneira (N – N – N – N)
Carlos:
Resposta: 4 maneiras (N – N – N – L, N – N – L – N, N – L – N – N, L – N – N – N )
Daiane:
Resposta: 6 maneiras (N – N – L – L, N – L – N – L, N – L – L – N, L – N – N – L,
L – N – L – N, L – L – N – N)
Eduardo:
Resposta: 4 maneiras (N – L – L – L, L – N – L – L, L – L – N – L, L – L – L – N)
Flávia:
Resposta: 1 maneira (L – L – L – L)
d. Quantos caminhos existem ao todo?
Resposta:16 maneiras
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e. Complemente a árvore de possibilidades (Figura 2).
Figura 2: Árvore de Possibilidades
Análise:
Embora esta seja uma proposta voltada para o Ensino Fundamental, através de sua
ludicidade, proporciona um espaço para que o educando crie seu próprio conceito de
probabilidade, e por isso, pode ser adequada a qualquer nível de ensino em que se pretenda
iniciar o estudo das teorias de probabilidade, desde que o educando tenho o domínio dos
conceitos básicos quantitativos.
Durante o desenvolvimento, o educando identificará todas as possibilidades que André
pode deslocar-se em seus passeios, ou seja, os eventos possíveis. Com a repetição do
lançamento da moeda, o educando poderá perceber qual amigo André, encontra com maior
frequência. Esta etapa da atividade exige um raciocínio por parte do aluno sobre o
20
pensamento probabilístico, que será identificar os eventos favoráveis, e, sem seguida, o
cálculo das probabilidades.
Esta série de etapas proporciona ao educando um artifício para que possa desenvolver
sua capacidade de argumentação, de elaborar posicionamentos que julga ser coerente. É a
contextualização do pensamento probabilístico, inserido em uma situação cotidiana.
3.3 INTUIÇÃO E PROBABILIDADE
Proposta Adaptada do artigo de Raul F. W. Agostino, disponível na Revista do
Professor Fe Matemática – SBM, nº 27.
De tudo que ensinamos aos nossos alunos, os assuntos que despertam mais interesse
são os que envolvem situações do cotidiano. Nestes tempos de AIDS, o problema a seguir tem
servido de boa fonte de motivação e participação, em sala de aula.
Num país, 10% da população é portadora de um vírus. Um teste para detectar ou não a
presença do vírus dá 90% de acertos quando aplicado a portadores e dá 80% de acertos
quando aplicado a não portadores. Qual o percentual de pessoas realmente portadoras do
vírus, dentre aquelas que o teste classificou como portadoras?
Vejamos uma solução que pode ser dada sem citar teoremas de probabilidade ou
estatística.
Tabela 4: Resultados do Teste
Positivo
Negativo
Total
Portadores
0,09
0,01
0,1
Não-Portadores
0,18
0,72
0,9
Total
0,27
0,73
1,0
Considere que o teste foi aplicado aos I habitantes do país. O número de testes que
indicou a presença do vírus foi:
0,9 x 0,1I
90% dos que são
portadores
+
0,2 x 0,9I
20 % não são
portadores
=
0,09I + 0,018I = 0,027I
21
Destas, são portadoras: 0,09I.
Assim, são realmente portadoras do vírus 0,09I/0,27I = 1/3 ≅ 33,3% das pessoas que
o teste classificou como portadoras. Esse número é no mínimo curioso e mostra que uma
pessoa que fez o teste e foi classificada como portadora tem grande possibilidade de ser um
“falso-positivo” (normalmente, quando uma pessoa faz um teste desse tipo e o resultado é
positivo, os médicos recomendam um novo teste). No entanto, o número de testes que
indicaram a ausência do vírus foi 0,73I e, dentre esses, 0,72I não são portadores, o que dá
0,72I / 0,73I = 98,6% de não portadores dentre os classificados como não portadores.
Análise:
Se compararmos o respaldo de atividades que exigem apenas a simples aplicação de
regras e cálculos mecânicos, daquelas que abordam assuntos cotidianos do educando, com
certeza, envolver a realidade desperta muito mais interesse.
O tema “AIDS”, não é mais novidade nas propostas pedagógicas, porém, o seu
enfoque principal geralmente é baseado na prevenção.
Esta atividade faz referência sobre um teste que é usado para identificar portadores do
vírus. Os resultados são baseados no cálculo da probabilidade frequencista, e as conclusões
que esta atividade busca questionar é a confiabilidade deste teste, levando em conta seus
resultados.
O desenvolvimento desta proposta possibilita que o educando identifique na situaçãoproblema dada, as informações ou variáveis relevantes, assim como possíveis estratégias de
resolvê-la. Ao realizar esta etapa, o educando estará desenvolvendo sua capacidade de
interpretação de dados, bem como a sistematização dos mesmos.
Analisando no sentido em que os PCN orientam que as metodologias de ensino
utilizadas no Ensino Médio devem preconizar o aprimoramento do educando como ser
humano, sua formação ética, o desenvolvimento de sua autonomia intelectual e seu
desenvolvimento crítico, esta estratégia de ensino atende tanto ao que se refere aos PCN,
quanto ao objetivo de destacar a aplicabilidade do estudo de probabilidade.
22
3.4 PROBLEMA DOS DISCOS
Atividade adaptada do artigo “O problema dos Discos”, de Roberto Ribeiro Paterlini.
Disponível na “Coleção Explorando o Ensino – vol. 3 – Matemática – Ensino Médio”,
publicado pela Secretaria de Educação Básica (SEB), em 2005.
Uma escola estava preparando uma Feira de Ciências e foi pedido aos estudantes que
inventassem um jogo que servisse para arrecadar fundos. Os estudantes observaram que no
salão da Feira o piso era feito com quadrados de 30 cm de lado, desses quadrados de Paviflex.
Pensaram então em construir discos de papelão de um certo diâmetro d que seriam
comprados pelos visitantes por R$ 1,00 cada um. O visitante jogaria o disco aleatoriamente no
piso. Se o disco, depois de pousar no piso, tocasse um lado de um quadrado, ele perderia para
a escola o que tinha pago. Se, ao contrário, acertasse o disco inteiramente dentro de um
quadrado, ele receberia R$ 2,00 (R$ 1,00 como devolução e mais R$ 1,00 como prêmio),
conforme a Figura 3
Figura 3: Posições em que os discos poderiam cair
O problema dos estudantes consistia em determinar o diâmetro d dos discos de modo
que o jogo resultasse favorável à escola. Observaram que quanto menor d, melhor para o
jogador, e quanto maior d, melhor para a escola. O favorecimento para a escola não deveria
ser exagerado, pois, se o jogo fosse muito desfavorável para o jogador, ninguém iria querer
jogar. Resolveram que uma probabilidade de 60% favorável à escola seria adequada.
Pergunta 1
Como determinar o valor de d que resulta em uma probabilidade de 40% favorável ao
jogador e de 60% à escola?
Sob condições ideais podemos supor que lançar o disco
aleatoriamente no piso é o mesmo que lançar seu centro aleatoriamente.
Assim, a probabilidade p de o jogador ganhar (no nosso caso 40%) é a
23
mesma probabilidade de um ponto, lançado aleatoriamente dentro do quadrado de lado 30cm,
cair dentro do quadrado de lado (30 – d)cm .
Da definição de probabilidade geométrica temos:
p=
área do quadrado menos
área do quadrado maior
Ou seja:
p=
(l - d)² 1
2
= d² - d + 1
l²
l²
l
Como queremos p = 40% = 0,4, obtemos d = 30 - 6 10 ≅ 11,0263.
No caso geral de um quadrado de lado l e probabilidade p do jogador ganhar, uma
solução análoga fornece p =
(l - d)²
l²
1
2
= l² d² - l d + 1, e portanto, d = l (1 - p)
Apresentamos o gráfico de P(d) =
1
30²
d² -
1
15
d + 1, com 0 ≤ d ≤ 30.
Figura 4: Gráfico da Probabilidade de um Jogador Ganhar
24
As duas linhas pontilhadas no gráfico mostram como se obtém o valor de d
tal que P(d) = 0,4 = 40%.
Pergunta 2
Qual será, em média, o ganho da escola se 500 discos forem vendidos na feira?
Se 500 discos forem vendidos na feira, a arrecadação bruta será R$ 500,00. Supondo
que em 40% das jogadas (200 jogadas) os jogadores ganhem, a escola pagará R$ 400,00.
Sobrará R$ 100,00 para a escola.
Análise:
A utilização de uma problematização para abordagens diversas de conteúdos torna o
estudo mais interessante e menos cansativo.
O problema dos discos não só pode ser utilizado como problematização, assim como
pode ser desenvolvido na prática com os educandos.
A proposta é que o educando desenvolva uma série de raciocínios, utilizando-se de
conceitos matemáticos diversos, com maior ênfase no estudo da probabilidade.
O interessante de abordagens como esta é que o aluno acaba aplicando e
desenvolvendo involuntariamente os conceitos matemáticos, objetivando apenas em resolver
a problemática, que é a de decidir o diâmetro dos discos.
A resolução desta problemática exige que o educando desenvolva sua capacidade de
ler e articular informações, consultar, interpretar dados, posicionar-se criticamente sobre
como determinar um diâmetro que seja favorável à escola, mas não de forma exagerada.
Além disso, o educando poderá compreender o uso de representações gráficas,
identificando as regularidades e interpretando o uso de modelos matemáticos. Além do estudo
na área de probabilidade, o educando também utiliza-se do estudo geométrico e seus
conceitos.
De acordo com os PCN(1996), o Ensino Médio deve proporcionar situaçõesproblemas em que o educando possa refletir e posicionar-se, além de tomar decisões, pois são
estas as características fundamentais para que o ser humano possa exercer sua cidadania.
25
4 CONSIDERAÇÕES FINAIS
O Ministério da Educação salienta, através dos PCN (1996), que atualmente, para um
cidadão ser considerado alfabetizado, não basta apenas saber ler e escrever. Deve também ser
capaz de interpretar e obter conclusões de um conjunto de dados, bem como compreender a
natureza aleatória de uma série de fenômenos que ocorrem no dia-a-dia.
A sociedade atual exige que o cidadão seja capaz de tomar decisões e refletir
criticamente como um ser pensante e ativo. E considerando estas tendências, foi necessário a
reformulação da LDB e a criação dos PCN (1996).
As instituições de ensino precisaram adaptar seus planos pedagógicos ao novo
currículo proposto pelos PCN (1996), de modo que a educação básica passou a ter maior
enfoque na formação intelectual do educando, deixando de lado a idéia da simples
transposição dos conteúdos propostos pelo currículo. E as metodologias de ensino precisaram
se adequar a este novo objetivo.
O Ensino Médio, por sua vez, sofreu mudanças bastante relevantes, desde seus
objetivos mais específicos, até os objetivos gerais. A substituição da proposta curricular que
dividia o Ensino Médio em Preparação para o Vestibular e Preparação para o Trabalho, por
uma proposta que buscava a unificação destas duas formações, exigiu que novas estratégias
de ensino fossem adequadas à busca desta formação ampla. Concluiu-se que um cidadão que
apresentasse domínio na interpretação de informações, posicionamento crítico sobre os mais
diversos assuntos, domínio de um raciocínio lógico e abstrato, estava integralmente preparado
tanto para vida profissional, quanto para ingressar no curso superior.
O estudo matemático, por sua vez, tem um papel fundamental na busca por esta
formação almejada pelo Ensino Médio, pois é uma ciência que através de seus estudos e de
seus conceitos, habilita o educando a raciocinar e utilizar-se de artifícios para a análise de
situações-problemas de seu cotidiano, e possivelmente, a solução. Além disso, proporciona ao
educando diversas formas de pensamentos lógicos para que compreenda as mais diversas
informações presentes em seu dia-a-dia.
E, por sua vez, o estudo de probabilidade, incluído no currículo da Educação Básica
em 1997, contribuiu significativamente para a busca da formação intelectual do educando de
Ensino Médio. O aluno que compreende, no mínimo, as noções básicas de probabilidade e
suas aplicações, está apto a interpretar uma série de informações, possivelmente prever
26
acontecimentos e tomar decisões. Isso evidencia a responsabilidade que o pensamento
probabilístico exerce na formação do educando.
Esta pesquisa destinou-se a analisar estratégias de ensino de probabilidade que fossem
de encontro às orientações curriculares apresentadas pelos PCN (1996). A relação da análise
das propostas com as orientações dos PCN (1996) expressa de forma clara que o caminho é
contextualizar, de acordo com o cotidiano que o educando está inserido.
Explorar conteúdos de forma fragmentada, apenas baseando-se em teorias, sem
relacionar com a aplicabilidade, propicia que o aluno apenas decore o conteúdo. A busca por
estratégias de ensino deve ser constante, adequando sempre à realidade do educando. Não se
pode afirmar que uma estratégia é ou não adequada, ou que proporcionará as mesmas formas
de pensamento, indiferente da realidade do educando.
Utilizar-se de estratégias de ensino adequadas é tão importante quanto a seleção dos
conteúdos a serem estudados. O uso incorreto de estratégias, além de não surtir o efeito
almejado, não atrai, pelo contrário, afasta o interesse do educando.
É necessário que sejam produzidos materiais didáticos que sirvam como apoio para as
aulas de matemática, bem como aproximar o professor ao estudo de probabilidade,
evidenciando a importância e essencialmente sua aplicação em situações reais.
27
REFERÊNCIAS
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SBM, n° 27, São Paulo , 1995.
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Curriculares Nacionais: Ensino Médio. Ministérios da Educação. Secretaria de Educação
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GONÇALVES, H.; MUNIZ, C. A Educação Estatística no Ensino Fundamental:
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