Geometria Espacial
Revisão geral
Considere o poliedro cujos vértices são os pontos
médios das arestas de um cubo. O número de faces
triangulares e o número de faces quadradas desse
poliedro são, respectivamente:
Um poliedro convexo tem 25 arestas e todas as suas
faces pentagonais. Então o número de faces e de
vértices do poliedro são respectivamente:
Na figura abaixo tem-se o prisma reto ABCDEF, no
qual DE = 6 cm, EF = 8 cm e DE é perpendicular EF(o
ângulo em E 90°). Se o volume desse prisma é 120
cm3, a sua área total, em centímetros quadrados, é
A tabela traz uma relação de alguns polígonos
regulares, com as respectivas medidas de seus
ângulos internos.
Se um arquiteto deseja utilizar uma combinação de
dois tipos diferentes de ladrilhos entre os polígonos da
tabela, sendo um deles octogonal, o outro tipo
escolhido deverá ter a forma de um
Uma editora pretende despachar um lote de livros,
agrupados em 100 pacotes de 20cm x 20cm x 30cm. A
transportadora acondicionará esses pacotes em
caixas com formato de bloco retangular de 40cm x
40cm x 60cm. A quantidade mínima necessária de
caixas para esse envio é:
Até 1985, as únicas formas conhecidas de organização
de cadeias carbônicas puras e estáveis eram o
diamante e o grafite. Nesse mesmo ano, três
pesquisadores revelaram ao mundo a terceira forma
estável de carbono além do diamante e do grafite. Os
fulerenos, substância cuja molécula possui átomos de
carbono nos vértices de um poliedro denominado de
icosaedro truncado. Esse poliedro possui 12 faces
pentagonais e 20 faces hexagonais. Pode-se afirmar
que o número de vértices do icosaedro truncado é
igual a ?
Uma bola de futebol é feita com 32 peças de couro. 12
delas são pentágonos regulares e as outras 20 são
hexágonos também regulares. Os lados dos
pentágonos são iguais aos dos hexágonos de forma
que podem ser costurados. Cada costura une dois
lados de duas dessas peças. Quantas são as costuras
feitas na fabricação da bola de futebol?
Estuda...
Sólidos geométricos (Todo corpo que
não
podem
estar
contidos
exclusivamente em um plano)
Cálculos de seus volumes.
Poliedro (muitas faces)
Faces planas
Regulares
Todas as suas faces são de mesmo
tamanho.
Elementos
Relação de Euler
V+F=A+2
V > Vértices
F > Faces
A > Arestas
Aplicações
Num poliedro convexo, o número
de arestas excede o número de
vértices em 6 unidades. Calcule o
número de faces.
Um poliedro convexo tem 3 faces
com 4 lados, 2 faces com 3 lados e
4 faces com 5 lados. Qual é o
número de vértices desse poliedro?
Num poliedro convexo, o número
de faces é 8 e o número de arestas
é 12. Qual é o número de vértices
desse poliedro?
Quando João entrou na sala do
professor,
fez
uma
observação sobre a beleza do
objeto de vidro que estava sobre
os papéis do mestre. Este, não
resistindo à tentação de propor um
problema,
característica
do
matemático, apresentou ao aluno a
seguinte
questão:
Calcule
o
número de arestas e de vértices
deste peso de papel, que é um
poliedro convexo de 6 faces
quadrangulares e 2 hexagonais.
Um poliedro convexo tem cinco
faces
triangulares
e
três
pentagonais. O número de arestas
e o número de vértices deste
poliedro são:
Um icosaedro regular tem 20 faces
e 12 vértices, a partir dos quais
retiram-se
12
pirâmides
congruentes. As medidas das
arestas dessas pirâmides são
iguais a 1/3 da aresta do
icosaedro. O que resta é um tipo de
poliedro usado na fabricação de
bolas. Observe as figuras.
Para confeccionar uma bola de
futebol, um artesão usa esse novo
poliedro, no qual cada gomo é uma
face. Ao costurar dois gomos para
unir duas faces do poliedro, ele
gasta 7 cm de linha. Depois de
pronta a bola, o artesão gastou, no
mínimo, um comprimento de linha
igual a:
Um geólogo encontrou, numa de
suas explorações, um cristal de
rocha no formato de um poliedro,
que satisfaz a relação de Euler,
com 60 faces triangulares. Calcular
o número de vértices desse cristal.
(UNIUBE-MG) Um poliedro convexo é
formado por 6 faces quadrangulares e 8
triangulares. O número de vértices
desse poliedro é:
(UEL-PR) Um poliedro convexo tem 16
arestas e nove vértices. Qual é o
número de faces do poliedro?
(PUC-PR) Num poliedro convexo, o
número de faces é 6 e o número de
vértices é 8. Qual o número de arestas
dessa figura?
Um poliedro é constituído de 5 faces
quadrangulares e 6 faces hexagonais.
Determine seu número de arestas:
(UFRS) Um poliedro convexo de onze
faces tem seis faces triangulares e cinco
faces quadrangulares. Os números de
arestas e vértices do poliedro são,
respectivamente:
Esfera
A esfera é um sólido de revolução gerado
pela rotação de um semicírculo em torno de
um eixo que contém o diâmetro.
Chamamos de esfera de centro O e raio R o conjunto de
pontos do espaço cuja distância ao centro é menor ou igual
ao raio R.
Elementos da
esfera
Polos: interseções da superfície com o eixo
Equador: é a seção (circunferência) perpendicular ao
eixo, pelo centro da superfície.
Paralelo: é uma secção (circunferência) perpendicular ao
eixo. É “ paralela” ao equador.
Meridiano: é uma secção
passa pelo eixo.
circunferência) cujo plano
Toda secção plana de
uma esfera é um
círculo.
Se a secção passa pelo
centro da esfera, temos
como secção um círculo
máximo da esfera.
Superfície Esférica
Chama-se superfície da esfera de centro O e raio r
ao conjunto dos pontos P do espaço, tais que a
distância OP seja igual ao raio.
A superfície de uma esfera é também a superfície
de revolução gerada pela rotação de uma
semicircunferência com extremidades no raio.
Área da superfície esférica
A superfície esférica tem uma massa igual à massa de
quatro círculos máximos.
admitindo que a espessura da superfície esférica é a
mesma dos círculos máximos.
Desta forma, então:
Ase  4.r
2
Volume da esfera
Vamos imaginar uma esfera como a reunião
de infinitas pirâmides
A altura de cada uma das pirâmides é o raio
r da esfera.
Desta forma, teremos que o volume da
esfera é igual ao volume destas n pirâmides.
O que nos permite concluir que o volume da
esfera pode ser obtido por:
4
3
V  ..r
3
Volume da esfera – Princípio de Cavalieri
Sólidos de mesma altura, cuja área de secção são iguais,
possuem volumes iguais:
Vesfera  Vsólido amarelo  Vesfera  Vcilindro  2 Vcone
Volume da esfera – Princípio de Cavalieri
4 3
Vesfera  R
3
H = 2R
O sólido X é um cilindro equilátero (H = 2R) de onde foram
retirados dois cones isósceles (altura = raio da base).
O volume do sólido X é igual ao volume do cilindro “menos” os
volumes dos dois cones:
1 2
2 3 4 3
3
VX  Vcilindro  2 Vcone  R  2 R  2  R  R  2R  R  R
3
3
3
2
Exemplos:
1. Determinar a área total e o volume de
uma esfera de raio 6cm.
2. É dada uma esfera de raio 10cm. Um
plano  secciona essa esfera a uma
distância de 6 cm do centro da mesma.
Calcule o raio da secção.
Secção da esfera
Toda secção plana de uma esfera é um círculo.
Qualquer secção da
esfera é um círculo. O
que não acontece com
os demais sólidos (as
secções variam de
acordo com a posição
dos planos de corte).
Secção da esfera
R d  r
2
2
2
OO’ é a distância do plano α ao centro da esfera.
Qualquer plano α que seciona uma esfera de raio R
determina como seção plana um círculo de raio R.
Secção da esfera
Se o plano secante passa pelo
centro da esfera temos como secção
um círculo máximo da esfera.
Secção da esfera
Quando
contiver
caso, o
será
o plano que secciona a esfera
um diâmetro, teremos d = 0. Nesse
círculo determinado terá raio R e
denominado
círculo
máximo.
Exemplo
(FUVEST/SP) Uma superfície esférica de raio 13 cm é cortada por
um plano situado a uma distancia de 12 cm do centro da superfície
esférica, determinando uma circunferência. O raio dessa
circunferência
em
cm
é
de:
a) 1
b) 2
c) 3
d) 4
e) 5
12
plano
=13
r
Após devida interpretação, observase que o triângulo destacado é um
triângulo retângulo com hipotenusa
13 e catetos 12 e r. Daí, utilizando o
Teorema de Pitágoras:
13²= 12² + r²
169 = 144 + r²
169 – 144 = r²= 25
r = √25
r = 5
Zona Esférica
É a parte da esfera gerada do seguinte modo:
Zona esférica é a superfície de revolução cuja geratriz é
um arco de circunferência e cujo eixo é uma reta tal que:
 passa pelo centro da circunferência que contém o arco;
não passa por nenhum extremo do arco, nem intercepta
o arco em outro ponto;
 é coplanar com o arco
Calota Esférica
É a parte da esfera gerada do seguinte modo:
É a superfície de revolução cuja geratriz é um arco de
circunferência e cujo eixo é uma reta tal que:
passa pelo centro da circunferência que contém o arco;
 passa por um extremo do arco e não o intercepta em
outro ponto;
é coplanar com o arco
Área da Calota Esférica e da Zona
Esférica
Acalota  2. .R.hcalota
Azona  2. .R.hzona
Fuso Esférico
O fuso esférico é uma parte da superfície esférica
que se obtém ao girar uma semi-circunferência
máxima de ângulo  em torno de seu eixo.
0 << 2 (em rad)
É
a
interseção
da
superfície de uma esfera
com um diedro (ou setor
diedral),
cuja
aresta
contém
um
diâmetro
dessa superfície esférica.
O que caracteriza o fuso é
o ângulo medido na
secção equatorial.
A área do fuso esférico pode ser obtida
por uma regra de três simples:
Ângulo
Área
0
2

360

4
.

.
r

  em graus  0

 A fuso


2
  em radianos 


 4..r 2
 A fuso
Área do fuso esférico
rad  2.R 2 .
.R 2 .
graus 
900
Cunha Esférica
A cunha esférica é uma parte da esfera que se
obtém ao girar uma semi-circunferência máxima de
ângulo  em torno de seu eixo.
0 << 2 (em rad)
É
a
interseção
da
superfície de uma esfera
com um diedro (ou setor
diedral),
cuja
aresta
contém
um
diâmetro
dessa superfície esférica.
O que caracteriza a
cunha é o raio da esfera e
a medida do diedro
O volume da cunha esférica também pode
ser obtida por uma regra de três simples:
Ângulo
Volume
4 3
 0
360   .r
 em graus 
3

 Vcunha
4 3

2   .r
 em radianos 
3

 Vcunha
graus   R 3

270
V
rad  2 R 3 .
3

Exemplos:
1. Determinar a área de um fuso esférico de
300, contido numa superfície esférica de raio
4cm.
2. Determinar o volume da cunha esférica
obtida a partir da situação anterior.
Exemplo:
Calcular a área total e o volume de uma cunha esférica
contida numa esfera de raio igual a 4 cm, sabendo que o
ângulo central da cunha mede 60º.
60º
Resolução:
Volume:
Volcunha 
60º
Volcunha 
  R3 
270
  43  60
270
128
Volcunha 
cm 3
9
Resolução:
Área Total
Al  Área da semi - circunferê ncia
Atotal  Afuso  2  Al
60º
A fuso 
A fuso 
  42  60
90
32
3
Al 
  R2
2
Al  8
32
32  48
Atotal 
 2  8 
3
3
80
Atotal 
3
Inscrição e Circunscrição do Cubo na Esfera
a
2r  a  r 
2
a 3
2R  a 3  R 
2
Inscrição da Esfera no Cilindro
h
2r  h  r 
2
R r