Sumário
Apresentação da Coleção ............................................................................
23
INTRODUÇÃO........................................................................................................
25
25
29
30
30
32
33
33
33
35
38
O que é lógica? .....................................................................................................
Divisão da Filosofia ..............................................................................................
– Lógica de Aristóteles .................................................................................
– Lógica Moderna .........................................................................................
Raciocínio lógico matemático................................................................................
Objeto da lógica ....................................................................................................
Divisão da lógica ...................................................................................................
– Lógica formal .............................................................................................
– Enunciados Categóricos ............................................................................
Tipos de lógica ......................................................................................................
Capítulo 1
NOÇÕES DE CONJUNTOS.....................................................................................
Representação ......................................................................................................
– Por enumeração........................................................................................
– Por propriedade .......................................................................................
– Por diagrama.............................................................................................
Conjunto Vazio ......................................................................................................
Igualdade de Conjuntos ........................................................................................
Subconjuntos ou partes de um conjunto..............................................................
Triângulo de Pascal ...............................................................................................
– Curiosidades do Triângulo de Pascal ........................................................
Curiosidade Matemática ...........................................................................
– Outra dica: podemos usá-lo na resolução de análise combinatória!......
– Propriedades do Triângulo de Pascal .......................................................
– Propriedades ............................................................................................
– Números quadrados ................................................................................
Propriedades .............................................................................................
– Números Figurados ...................................................................................
Números triangulares .................................................................................
Números quadrados ..................................................................................
Números pentagonais .................................................................................
– Retângulo Áureo e o Nautilus ...................................................................
41
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59
62
11
VALÉRIA LANNA
Cálculo do número Φ ............................................................................................
– Definição algébrica....................................................................................
– Série de frações ........................................................................................
– Série de raízes ..........................................................................................
– Proporção áurea na natureza ..................................................................
Figuras geométricas ....................................................................................
Vegetais......................................................................................................
Animais ......................................................................................................
Corpo humano............................................................................................
– Aplicações .................................................................................................
Arte ............................................................................................................
Música ........................................................................................................
Objetos atuais ............................................................................................
Operações .............................................................................................................
– Interseção .................................................................................................
Propriedades ............................................................................................
– União .........................................................................................................
Propriedades ............................................................................................
– Diferença ...................................................................................................
Propriedade ...............................................................................................
– Princípio das gavetas de Dirichlet ............................................................
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64
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71
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72
72
72
72
73
81
Capítulo 2
DESAFIOS .............................................................................................................. 95
Capítulo 3
ESTRUTURAS LÓGICAS ........................................................................................
Definição de Lógica ...............................................................................................
Divisão da Lógica...................................................................................................
Resumo da estrutura lógica ..................................................................................
– Definição....................................................................................................
– Objeto da Lógica........................................................................................
– Divisão da Lógica.......................................................................................
Partes da lógica.....................................................................................................
Ideia ......................................................................................................................
– Compreensão da ideia .............................................................................
– Extensão da ideia .....................................................................................
– Divisão das ideias .....................................................................................
Ideias quanto à perfeição ..........................................................................
Ideia quanto à compreensão .....................................................................
Ideias quanto à extensão ...........................................................................
Termo.....................................................................................................................
– Termos quanto à perfeição na representação da ideia ..........................
– Termo quanto à Compreensão .................................................................
12
109
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110
113
113
113
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114
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114
115
115
115
116
116
116
116
117
SUMÁRIO
Juízo .......................................................................................................................
Premissa ................................................................................................................
Silogismo ...............................................................................................................
Proposição.............................................................................................................
– Paradoxo do Mentiroso ............................................................................
– Um verdadeiro Paradoxo do Mentiroso ...................................................
117
117
117
118
121
122
Capítulo 4
CONECTIVOS LÓGICOS......................................................................................... 123
As tabelas verdade ...............................................................................................
Conjunção ..............................................................................................................
Disjunção ...............................................................................................................
– O uso do “ou” (disjunção) ........................................................................
Condicional ou subjunção .....................................................................................
Termo intermediário .............................................................................................
Negação .................................................................................................................
Regras de Morgan .................................................................................................
– I. Negação da conjunção ........................................................................
– II. Negação da disjunção .........................................................................
– III. Negação de uma condicional .............................................................
– IV. Negação de uma bicondicional ..........................................................
– V. Negação do Maior ou menor ..............................................................
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144
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150
150
150
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153
Capítulo 5
USO DE DIAGRAMAS ........................................................................................... 169
Capítulo 6
BICONDICIONAL OU BIJUNÇÃO .......................................................................... 175
Dicas importantes .................................................................................................
Valoração lógica em linguagem corrente .............................................................
Valoração em linguagem simbólica (tabelas-verdade) ........................................
Valoração com uso exclusivo de tabelas .............................................................
Condição suficiente e necessária .........................................................................
177
185
187
189
191
Capítulo 7
RELAÇÕES DE EQUIVALÊNCIA ............................................................................ 193
Leis de Morgan ...................................................................................................... 196
Equivalências e suas aplicações ........................................................................... 197
Capítulo 8
TAUTOLOGIAS ...................................................................................................... 211
Redundâncias ........................................................................................................ 212
Contradições ......................................................................................................... 213
Exclusivamente ou preferencialmente? ................................................................ 214
13
VALÉRIA LANNA
Capítulo 9
ARGUMENTAÇÃO ................................................................................................. 215
Cálculo Proposicional - Conectivos ....................................................................... 221
Capítulo 10
LÓGICA INDUTIVA E DEDUTIVA.......................................................................... 237
Tipos de lógica ...................................................................................................... 237
Capítulo 11
SOFISMAS ............................................................................................................. 255
Espécies de sofismas ............................................................................................
Lei das oposições..................................................................................................
Falácia da afirmação da consequente..................................................................
Falácia da negação da antecedente .....................................................................
Falácia da inconsistência ......................................................................................
Pseudosilogismos ..................................................................................................
Falácia dos quatro termos ....................................................................................
255
256
257
257
258
258
259
Capítulo 12
SEQUÊNCIAS ......................................................................................................... 261
Capítulo 13
ANÁLISE COMBINATÓRIA .................................................................................... 287
FATORIAL .................................................................................................................
Princípio fundamental de contagem.....................................................................
Tabuleiro de Xadrez ..............................................................................................
Anagramas .............................................................................................................
Anagramas com repetição ....................................................................................
Combinação e Pascal ............................................................................................
Soluções inteiras não negativas de uma equação linear ....................................
Fatorial ..................................................................................................................
Análise combinatória simples ...............................................................................
287
288
291
294
295
297
305
306
306
Capítulo 14
PROBABILIDADES................................................................................................. 319
Espaço amostral ....................................................................................................
Probabilidade de um evento elementar .............................................................
Probabilidade de um evento qualquer ................................................................
Adição de Probabilidades .....................................................................................
Eventos Complementares .....................................................................................
Eventos Mutuamente Exclusivos ...........................................................................
Probabilidade Amostrais Equiprováveis ...............................................................
Probabilidade Condicional ....................................................................................
14
319
319
320
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322
322
322
323
SUMÁRIO
Eventos Independentes ........................................................................................
Lei de Murphy .......................................................................................................
Probabilidade de ocorrer a união de eventos ....................................................
Probabilidade de não ocorrer um evento ...........................................................
Distribuição Binominal...........................................................................................
Propriedades ........................................................................................................
Teorema de Bayes .................................................................................................
324
324
325
325
326
329
330
Capítulo 15
CONJUNTOS NUMÉRICOS.................................................................................... 345
Números Naturais..................................................................................................
Números Inteiros (Z) .............................................................................................
– Adição ........................................................................................................
– Subtração ..................................................................................................
– Valor absoluto ...........................................................................................
Definição ....................................................................................................
– Números simétricos ..................................................................................
– Operações com números inteiros (z) .......................................................
– Adições e subtrações com números inteiros ...........................................
– Multiplicação .............................................................................................
Divisão inteira .......................................................................................................
Multiplicações e divisões com números inteiros .................................................
– Divisibilidade e números primos ..............................................................
Múltiplo de um número ..............................................................................
Divisor de um número ................................................................................
Critérios de divisibilidade ..........................................................................
Divisibilidade por 2 ...................................................................................
Divisibilidade por 5 ...................................................................................
Divisibilidade por 10, 100, 1000, etc ..........................................................
Divisibilidade por 4 ...................................................................................
Divisibilidade por 8 ...................................................................................
Divisibilidade por 25..................................................................................
Divisibilidade por 3 ...................................................................................
Divisibilidade por 9 ...................................................................................
Divisibilidade por 6 ...................................................................................
Divisibilidade por 12..................................................................................
Divisibilidade por 7 ...................................................................................
Divisibilidade por 11..................................................................................
Divisibilidade por 13..................................................................................
– Regra geral de divisibilidade ....................................................................
Números primos ....................................................................................................
Números compostos .............................................................................................
Teorema fundamental da aritmética ....................................................................
Reconhecimento de números primos ...................................................................
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371
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373
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383
383
384
15
VALÉRIA LANNA
Decomposição de um número em fatores primos...............................................
– Número de divisores ................................................................................
Roteiro para obter todos os divisores naturais de um número..................
Roteiro para obtermos o número
de divisores naturais de um número: nD(x) ...............................................
– Mínimo múltiplo comum e máximo divisor comum .................................
Múltiplos comuns e mínimo múltiplo comum ..............................................
Mínimo Múltiplo Comum (M.M.C) ..............................................................
Determinação do MMC pelo processo simplificado .................................
Divisores comuns e máximo divisor comum ..........................................
Determinação do MDC por decomposições em fatores primos ..............
Máximo Divisor Comum (M.D.C) ................................................................
Determinação do MDC pelo processo simplificado ..................................
– Propriedades do MMC e do MDC .............................................................
Números racionais ................................................................................................
– Operações e propriedades.......................................................................
Conceito .....................................................................................................
– Subconjuntos Importantes ........................................................................
– Representação fracionária .......................................................................
– Representação decimal de um número racional .....................................
Inteiro ........................................................................................................
Expansão Decimal Finita .............................................................................
Expansão Decimal Infinita Periódica ...........................................................
– Determinação de uma fração geratriz .....................................................
Como determinar uma fração geratriz .......................................................
Números mistos.....................................................................................................
– Adição e subtração de frações .................................................................
Com Denominadores Iguais ........................................................................
Com Denominadores Diferentes .................................................................
– Multiplicação de frações ...........................................................................
– Divisão envolvendo frações......................................................................
Potenciação e radiciação ......................................................................................
– Potenciação ...............................................................................................
Propriedades Operatórias com Potências...................................................
Regras de sinais nas potenciações .............................................................
RADICIAÇÃO .............................................................................................................
– Cálculo de Raízes quadradas Exatas de números entre 100 e 10.000 .....
– Propriedades operatórias com radicais ..................................................
384
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420
Capítulo 16
EQUAÇÕES E SISTEMAS ......................................................................................
Equação do 1º grau ...............................................................................................
– Sistemas de equações de 1º grau
com duas equações e duas incógnitas ...................................................
1º Método – Substituição ............................................................................
16
439
439
441
441
SUMÁRIO
2º Método – Adição.....................................................................................
Equações do 2º grau .............................................................................................
– Resolução das equações completas.........................................................
Inequações envolvendo funções do 1º grau ........................................................
Inequações envolvendo funções quadráticas ......................................................
Função polinomial do 20 grau ou função quadrática ...........................................
– Condição de existência das raízes ...........................................................
– Intersecção com os eixos ..........................................................................
Intersecção com o eixo dos y .....................................................................
Intersecção com o eixo dos x .....................................................................
– Coordenadas do vértice ...........................................................................
– Valor mínimo e valor máximo ..................................................................
442
450
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461
462
Capítulo 17
SISTEMA LEGAL DE MEDIDAS ............................................................................ 469
Sistemas MKS.........................................................................................................
– Transformação de unidades .....................................................................
Notação científica .......................................................................................
– Unidades de comprimento .......................................................................
– Unidades de superfície .............................................................................
– Unidades de volume .................................................................................
– Medida de volume (litro) .........................................................................
– Relação entre m3 e litro ............................................................................
– Unidades de massa...................................................................................
– Sistema sexagesimal .................................................................................
– Sistema decimal ........................................................................................
469
469
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470
470
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470
471
471
471
471
Capítulo 18
RAZÃO E PROPORÇÃO ........................................................................................ 479
RAZÃO .....................................................................................................................
– Escala.........................................................................................................
– Grandezas diretamente proporcionais ....................................................
– Grandezas inversamente proporcionais ..................................................
– Relação entre proporção inversa e proporção direta ............................
– Divisão em partes diretamente proporcionais ........................................
1º caso: Divisão em partes diretamente proporcionais ..............................
2º caso: Divisão em partes inversamente proporcionais ...........................
3º caso: Divisão composta direta ...............................................................
4º caso: Divisão composta mista ................................................................
Grandezas direta e inversamente proporcionais ................................................
479
482
486
486
487
487
487
488
489
490
491
Capítulo 19
REGRA DE TRÊS ................................................................................................... 503
Relação de proporção direta ............................................................................... 503
Relação de proporção inversa ............................................................................. 504
17
VALÉRIA LANNA
Grandezas proporcionais a várias outras ............................................................ 505
– Propriedade .............................................................................................. 506
Capítulo 20
PORCENTAGEM .................................................................................................... 517
Variação percentual .............................................................................................. 518
– Operações com mercadorias .................................................................... 527
Acréscimos e descontos sucessivos...................................................................... 529
Capítulo 21
JUROS SIMPLES E COMPOSTOS ......................................................................... 539
Juros simples .........................................................................................................
– Cálculo de Juro simples ............................................................................
– Montante ...................................................................................................
Casos particulares: capital, taxas e prazo médios ..............................................
Juro composto ou capitalizado .............................................................................
Análise comparativa entre juros simples,
Juros compostos e desconto bancário .................................................................
– Juros Compostos x Juros Simples ..............................................................
540
541
542
542
544
553
553
Capítulo 22
DESCONTOS E TAXAS ..........................................................................................
Taxas proporcionais ............................................................................................
– Taxas Equivalentes ....................................................................................
Taxa Nominal e Efetiva ..........................................................................................
Taxa Real ...............................................................................................................
Taxa Aparente .......................................................................................................
Taxa Interna de Retorno (TIR) ...............................................................................
Descontos ..............................................................................................................
Desconto composto ...............................................................................................
Desconto comercial composto ..............................................................................
Desconto racional composto ................................................................................
Taxa efetiva para desconto comercial..................................................................
559
559
560
560
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577
578
580
Capítulo 23
PROGRESSÕES ARITMÉTICAS E GEOMÉTRICAS................................................ 591
Sequência numérica ..............................................................................................
Progressão Aritmética (PA)....................................................................................
– Definição....................................................................................................
– Propriedades ............................................................................................
– Fórmula do termo geral de uma PA .........................................................
– Representações especiais ........................................................................
– Fórmula da soma dos n primeiros termos de uma P.A. ..........................
Progressão Geométrica (PG) ................................................................................
– Definição....................................................................................................
18
591
591
591
591
592
593
593
597
597
SUMÁRIO
– Propriedades ............................................................................................
– Fórmula do termo geral ............................................................................
Representações especiais ..........................................................................
– Fórmulas da soma dos n termos de uma PG finita ..................................
– Soma dos termos de uma PG infinita .......................................................
597
598
598
598
599
Capítulo 24
ÁLGEBRA LINEAR ................................................................................................. 619
Matrizes .................................................................................................................
– Introdução .................................................................................................
– Elementos ..................................................................................................
– Matriz quadrada .......................................................................................
– Matriz unidade ou matriz identidade ......................................................
– Igualdade de matrizes ..............................................................................
– Matriz transposta ......................................................................................
– Matriz simétrica ........................................................................................
Operações com matrizes ......................................................................................
– a) Adição ...................................................................................................
– b) Multiplicação de matriz por escalar ....................................................
– c) Produto de matrizes .............................................................................
Inversa de uma matriz ..........................................................................................
Determinantes .......................................................................................................
– Introdução .................................................................................................
– Determinantes de 2ª ordem .....................................................................
– Determinantes de 3ª ordem .....................................................................
– Propriedades dos determinantes ............................................................
Sistemas lineares ..................................................................................................
– Classificação dos sistemas quanto ao número de soluções....................
– Matriz escalonada ou sistema escalonado ..............................................
– Princípios de equivalência de sistemas ...................................................
619
619
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642
642
642
642
Capítulo 25
GEOMETRIA BÁSICA ............................................................................................ 651
Introdução à geometria plana ..............................................................................
– Ponto reta, plano, semi-reta, segmento, ângulo......................................
– Segmentos consecutivos, colineares, adjacentes ....................................
– Ponto médio de um segmento .................................................................
– Mediatriz de um segmento .......................................................................
– Ângulos reto, raso, agudo, obtuso ...........................................................
– Ângulos complementares e ângulos suplementares................................
Triângulos e polígonos ..........................................................................................
– Elementos de um polígono .......................................................................
– Nº de diagonais de um polígono ..............................................................
– Classificação dos triângulos .....................................................................
– Bissetriz de um ângulo..............................................................................
651
651
651
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653
655
655
655
655
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19
VALÉRIA LANNA
– Ângulos formados por duas paralelas e uma transversal.......................
– Classificação dos triângulos ......................................................................
– Segmentos e pontos notáveis do triângulo..............................................
1. Medianas................................................................................................
2. Alturas ....................................................................................................
3. Bissetriz internas e externas...................................................................
4. Mediatrizes.............................................................................................
Desigualdades entre os elementos de um triângulo ...................................
– Soma dos ângulos internos de um triângulo ...........................................
– Teorema do ângulo externo de um triângulo ..........................................
– Ângulo interno e ângulo externo de um polígono regular.......................
– Quadriláteros ...........................................................................................
Definição e classificação .............................................................................
Paralelogramo ............................................................................................
Base média ................................................................................................
1. Do triângulo ...........................................................................................
2. Do trapézio ............................................................................................
Circunferência e disco...........................................................................................
– Definição....................................................................................................
– Retas e Circunferências.............................................................................
– Ângulos em um disco ................................................................................
1. Ângulo central: vértice no centro ............................................................
2. Ângulo inscrito: vértice no círculo, 2 lados secantes ...............................
– Quadrilátero inscritível .............................................................................
– Quadrilátero circunscritível .......................................................................
Segmentos proporcionais .....................................................................................
Teoria de Tales ...........................................................................................
Teorema da bissetriz interna ................................................................................
– Teorema de bissetriz externa ...................................................................
Semelhança de triângulos e polígonos .................................................................
Triângulos semelhantes ..............................................................................
Relações métricas e trigonométricas no triângulo retângulo ..............................
– Elementos do triângulo retângulo ............................................................
– Principais relações métricas .....................................................................
– Razões trigonométricas.............................................................................
Seno, co-seno e tangente dos ângulos notáveis .........................................
Lei dos co-senos .........................................................................................
Lei dos senos .............................................................................................
Relações métricas no círculo ................................................................................
– Relações métricas .....................................................................................
Polígonos regulares ..............................................................................................
– Elementos principais de um polígono regular .........................................
– Comprimento.............................................................................................
– Áreas das figuras planas ..........................................................................
Noções de geometria espacial .............................................................................
20
656
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672
SUMÁRIO
–
–
–
–
–
Paralelepípedo reto retângulo .................................................................
Cubo ..........................................................................................................
Cilindro circular reto .................................................................................
Cone reto ..................................................................................................
Esfera ........................................................................................................
672
673
673
673
673
Capítulo 26
ESTATÍSTICA .......................................................................................................... 711
População .............................................................................................................
Gráficos estatísticos ..............................................................................................
– Características ...........................................................................................
– Gráficos de informação .............................................................................
– Gráficos de análise....................................................................................
– Classificação dos gráficos .........................................................................
Média.....................................................................................................................
Medidas separatrizes ..........................................................................................
– Mediana ....................................................................................................
– Relação entre a mediana e as demais medidas separatrizes ................
– Propriedades da Mediana ........................................................................
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712
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719
720
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721
Capítulo 27
DICAS E MACETES ............................................................................................... 737
Conectivos lógicos: “não”, “e”, “ou”, “se ...então “ e “se e somente se “ ........
Equivalências Tautológicas ....................................................................................
Simbologia .............................................................................................................
Alfabeto grego .......................................................................................................
Dicas de Raciocínio Lógico ....................................................................................
Dicas de Matemática .............................................................................................
737
738
739
740
740
753
Capítulo 28
QUESTÕES DIVERSAS .......................................................................................... 767
Capítulo 29
PROVAS DIVERSAS .............................................................................................. 889
Capítulo 30
CITAÇÕES .............................................................................................................. 915
Capítulo 31
REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS.......................................................................... 919
Capítulo 32
PALAVRAS-CHAVES .............................................................................................. 921
Capítulo 33
ALGUMAS QUESTÕES COMENTADAS................................................................. 927
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