Transformadas de Laplace
Engenharia Mecânica - FAENG
Transformadas de Laplace
Sumário
• Introdução a Sistemas de Controle
• Definições Básicas;
• Exemplos.
SISTEMAS DE CONTROLE
• Transformadas de Laplace
• Definição;
• Transformada de Laplace;
• Exemplo.
Prof. Josemar dos Santos
1
2
Transformadas de Laplace
Sistemas de Controle
Objetivo:
j
•Introduzir ferramental matemático, conceitos fundamentais e algumas
técnicas de Modelagem de Sistemas Dinâmicos e de Engenharia de
Controle Moderno;
•Utilização do Scilab como ferramenta computacional de engenharia
para aplicação dos conceitos e técnicas de controle e modelagem.
Ementa:
• Introdução à engenharia de controle de sistemas.
• Preliminares matemáticas
matemáticas: Re
Revisão
isão de Números Comple
Complexos
os e
Transformadas de Laplace.
• Conceitos e técnicas de modelagem de sistemas.
• Funções de transferência e diagramas de blocos.
• Critérios de desempenho, estabilidade e realimentação de sistemas.
• Técnicas de síntese de controle pelo método do lugar das raízes e
de resposta em freqüência.
• Projeto de compensadores.
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Transformadas de Laplace
Sistemas de Controle
Livro Texto:
• Nise, N. Engenharia de Sistemas de Controle, 3a edição, LTC
Editora , 2002.
Bibliografia Complementar:
• Franklin, G.; Powell, J.D. Feedback Control of Dynamic Systems,
Prentice-Hall 2005
Prentice-Hall,2005.
• Ogata, K. Engenharia de Controle Moderno, 4a edição, PrenticeHall, 2003.
• Dorf,
Dorf R.C.
R C Sistemas de Controle Moderno,
Moderno LTC Editora
Editora, 2001
2001.
4
Transformadas de Laplace
Sistemas de Controle
Transformadas de Laplace
Introdução a Sistemas de Controle
• Introdução a Sistemas de Controle
• Definições Básicas;
• Exemplos.
Critério de Avaliação
ç
• Transformadas de Laplace
• Definição;
• Transformada de Laplace;
• Exemplo.
P1*0 4+P2*0 4+AT*0 2
P1*0,4+P2*0,4+AT*0,2
5
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Transformadas de Laplace
Introdução a Sistemas de Controle
Transformadas de Laplace
Introdução a Sistemas de Controle
• Grandezas que cruzam a fronteira imaginária de um
sistema podem ser chamadas de entradas ou saídas.
• Controle
Controle é o ato de comandar, dirigir, ordenar,
manipular alguma coisa ou alguém. Assim, um
sistema de controle é um conjunto de
componentes que tem por função dirigir alguma
coisa (ou alguém).
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– Entradas são grandezas que estimulam, excitam um
sistema Também chamadas de Referência ou do
sistema.
inglês, Set Point (SP).
– Saídas são as reações, respostas, do sistema a um
ou mais estímulos externos. Também chamadas de
Variável do Processo ou do inglês, Process Variable
(PV).
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Transformadas de Laplace
Introdução a Sistemas de Controle
Transformadas de Laplace
Introdução a Sistemas de Controle
• Grandezas que cruzam a fronteira imaginária de um
sistema podem ser chamadas de entradas ou saídas.
• Grandezas que cruzam a fronteira imaginária de um
sistema podem ser chamadas de entradas ou saídas.
– Variável manipulada é uma grandeza ou condição
que é variada pelo controlador para que modifique o
valor da variável controlada. Do inglês, Manipulated
Variable
a ab e ((MV).
)
– Perturbações (ou distúrbios) são sinais que tendem
a afetar adversamente o valor da saída do sistema.
sistema
Se a perturbação for gerada dentro do sistema, ela é
denominada
de
o
ada pe
perturbação
u bação interna,
e a, e
enquanto
qua o que u
uma
a
perturbação (distúrbio) externa é gerada fora do
sistema e constitui uma entrada.
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Transformadas de Laplace
Introdução a Sistemas de Controle
Transformadas de Laplace
Introdução a Sistemas de Controle
• Si
Sistema
t
d
de controle
t l realimentado
li
t d é um sistema
i t
que
mantém uma determinada relação entre a saída e alguma
entrada de referência comparando-as e utilizando a diferença
como um meio de controle. Exemplo: um sistema de controle
da temperatura ambiente. Os sistemas de controle
realimentados não estão limitados a aplicações
p
ç
de
Engenharia. Um exemplo é o sistema de controle da
temperatura do corpo humano, que é um sistema altamente
avançado.
11
• Sistema
S
de controle a malha aberta (SCMA)
(SC
)
é aquele
l sistema
i t
em que a saída
íd não
ã ttem nenhum
h
efeito
f it sobre
b
a ação de controle. Em outras palavras, em um SCMA a
saída não é medida nem realimentada p
para comparação
p ç com
a entrada. Exemplo: máquina de lavar roupas.
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Transformadas de Laplace
Introdução a Sistemas de Controle
Transformadas de Laplace
Introdução a Sistemas de Controle
•Sistema
Sistema de controle a malha fechada (SCMF)
• SCMF x SCMA
Nome dado ao sistema de controle realimentado. Num SCMF a
diferença entre
dif
t a referência
f ê i (sinal
( i ld
de entrada)
t d ) e a medida
did d
da variável
iá l
controlada (sinal realimentado), também chamada de sinal de erro
atuante, é introduzido no controlador de modo a reduzir o erro e trazer
a saída do sistema a um valor desejado
desejado. O termo controle a malha
fechada sempre implica o uso de ação de controle realimentado a fim
de reduzir o erro do sistema.
13
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Transformadas de Laplace
Transformadas de Laplace
Modelo Matemático
Introdução a Sistemas de Controle
Conceitos Básicos
• Componentes de um Sistema de Controle
Modelo Matemático
SP
Controlador
MV
Atuador
Planta
PV
Consiste em aplicar as leis físicas fundamentais de ciência
e engenharia para se obter uma representação matemática
d um sistema.
de
i t
±
• Circuitos Elétricos – Lei de Ohm e as Leis de Kirchoff
• Sistemas Mecânicos – Leis de Newton
Sensor
Entrada
Saída
Descrição
matemática
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Transformadas de Laplace
Modelo Matemático
Modelo
d l Matemático
á i
Conceitos Básicos
an
Transformadas de Laplace
Conceitos Básicos
Modelo Matemático
Modelo Matemático: Exemplo
Equações Diferenciais
Circuito RLC
dny
d n−1 y
dy
d mx
d m−1 x
dx
+
a
+
...
+
a
+
a
y
=
b
+
b
+ b0 x
n
n −1
n −1
1
0
m
m
m−1
m−1 +...+b1
dt
dt
dt
dt
dt
dt
y - saída do sistema
x - entrada
t d do
d sistema
i t
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Transformadas de Laplace
M d l Matemático
Modelo
M t
áti
Modelo
d l Matemático
á i
Conceitos Básicos
Conceitos Básicos
Modelo Matemático: Exemplo
Modelo Matemático: Exemplo
Tabela 1 - Relações Tensão-corrente, Tensão-carga, e Impedâncias de capacitores, resistores e
indutores
Componente
Tensão-corrente
Transformadas de Laplace
Corrente-tensão
Tensão-carga
Circuito RLC
Impedância
Admitância
Z(s) = V(s)/I(s) Y(s) = I(s)/V(s)
t
di (t )
1
L
+ Ri (t ) +
i (τ )dτ = v(t )
dt
C0
∫
Indutor
Nota: ν( t ) = V (volts),
(volts) i( t ) = A (ampères),
(ampères) q( t ) = Q (coulombs),
(coulombs) C = F (farads),
(farads) R = Ω (ohms),
(ohms) G =
(mhos) L = H (henries)
(mhos),
19
20
Transformadas de Laplace
M d l Matemático
Modelo
M t
áti
Transformadas de Laplace
M d l Matemático
Modelo
M t
áti
Conceitos Básicos
Conceitos Básicos
Modelo Matemático: Exemplo
Modelo Matemático: Exemplo
Circuito RLC
Circuito RLC
M d
Mudança
d
de variável
iá l corrente
t para carga
Utili
Utilizando
d a relação
l ã ttensão-carga
ã
d T
da
Tabela
b l 1
1.
d 2 q (t )
dq (t ) 1
L
+
R
+ q (t ) = v(t )
dt
C
dt 2
q (t ) = CvC (t )
d 2VC (t )
dvC (t )
LC
+
RC
+ vC (t ) = v(t )
dt
dt 2
21
22
Transformadas de Laplace
M d l Matemático
Modelo
M t
áti
Transformadas de Laplace
M d l Matemático
Modelo
M t
áti
Conceitos Básicos
Conceitos Básicos
Modelo Matemático: Exemplo
Modelo Matemático: Exemplo
Circuito RLC
Circuito RLC
2
LC
d vC (t )
dvC (t )
+
RC
+ vC (t ) = v(t )
dt
dt 2
d 2 vC (t )
dv (t )
+ RC C + vC (t ) = v(t )
LC
2
dt
dt
Aplicar a Transformada de Laplace
23
24
Transformadas de Laplace
Transformadas de Laplace
Transformada de Laplace
Transformada de Laplace
Esquematicamente
• Método para solucionar equações diferenciais ordinárias
• É uma operação semelhante à transformada logarítmica
• Equações diferenciais são transformadas em equações
algébricas
• Realiza-se operações no domínio “s”
• Retorna ao domínio “t” através da transformada inversa
25
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Transformadas de Laplace
Transformadas de Laplace
Transformada de Laplace
Transformada de Laplace
Conceitos Básicos:
Matemático francês LAPLACE (1749-1827) inventou um método
para resolver equações diferenciais da seguinte forma
Transformada de Laplace
•Multiplica cada termo da equação diferencial por e-st
•Integra cada termo em relação ao tempo de ZERO a
INFINITO
• “s” é uma constante de unidade 1/tempo
F (s ) = L [ f (t )] =
∞
∫ f (t )e
− st
dt
0
Em que
s = σ + jω é uma variável complexa
Onde: F(s) - símbolo da transformada de Laplace
f(t) - função contínua em 0 < t < infinito
L - operador de Laplace
27
28
Transformadas de Laplace
Transformadas de Laplace
Transformada de Laplace
Transformada de Laplace
Conceitos Básicos:
Conceitos Básicos:
Tabela de Transformadas de Laplace
Transformada Inversa de Laplace
f ( t) = L−1[ f ( s) ]
Onde: f(t) - função que não é definida para t < 0
L-1 - operador da inversa de Laplace
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Transformadas de Laplace
Transformadas de Laplace
Transformada de Laplace
•
Transformada de Laplace
PROPRIEDADES
•
1 - SOMA DE DUAS FUNÇÕES
Ç
PROPRIEDADES
3 – FUNÇÃO
Ç
COM ATRASO NO TEMPO
L [ f1 (t ) + f 2 (t )] = L [ f1 (t )] + L [ f 2 (t )] = F1 (s ) + F2 (s )
2 - MULTIPLICAÇÃO POR UMA CONSTANTE
L[ f ( t − t 0 ) ] = e − t
0
s
F ( s)
∞
∞
L[ f ( t − t 0 )] = ∫ f ( t − t 0 ) e − s( t −t ) d ( t − t 0 ) = e s t ∫ f ( t ) e − s t dt
0
L [ af ( t )] = aL [ f ( t )] = aF ( s)
0
0
0
L [ f ( t − t 0 ) ] = e s t F ( s)
0
31
32
Transformadas de Laplace
Transformadas de Laplace
Transformada de Laplace
•
Transformada de Laplace
PROPRIEDADES
•
PROPRIEDADES
4 – DERIVADA PRIMEIRA DE UMA FUNÇÃO
Ç
⎡ df (t ) ⎤
L⎢
= sF ( s) − f (0)
⎣ d t ⎥⎦
o n d e:
5 – DERIVADA SEGUNDA DE UMA FUNÇÃO
Ç
f (0) = f (t = 0)
∞
⎡ df ( t ) ⎤ ∞ df ( t )
−s t
⎥= ∫
e dt = ∫ f ( t ) e − s t dt + f ( t ) e − s t
L⎢
dt
⎣ dt ⎦ 0
0
⎡ df ( t ) ⎤
⎥ = sF
F ( s) − f ( 0)
⎣ dt ⎦
f (t ) ⎤
df (0 )
d
2
onde : f (t = 0 )
⎥ = s F (s ) − sf (0 ) −
2
dt
dt
⎣ dt
⎦
⎡
L⎢d
∞
= sL
[ f ] − f ( 0)
2
φ=
0
df
dt
L ⎡⎢⎣ d 2 f
L⎢
φ ( s) = sF ( s) − f ( 0)
2⎤
dt ⎥ = L [ d φ dt ] = s φ ( s ) − φ ( 0 )
⎦
33
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Transformadas de Laplace
Transformadas de Laplace
Transformada de Laplace
•
Transformada de Laplace
PROPRIEDADES
•
PROPRIEDADES
5 – DERIVADA SEGUNDA DE UMA FUNÇÃO
Ç
⎛ 2
L⎜⎜ d 2f
⎝ dt
6 – DERIVADA N-ÉSIMA DE UMA FUNÇÃO
Ç
⎞
⎟⎟ = s[sF (s ) − f (0)] − φ (0) = s2 F (s ) − sf (0) − f ' (0)
⎠
35
⎡ dn
⎤
d n −1
n
n −1
n −2 d
(
)
(
)
(
)
(
)
f
t
s
F
s
S
f
S
f
f ( 0)
=
−
−
−
−
0
0
......
⎥
n
dt
dt
⎣ dt
⎦
L⎢
36
Transformadas de Laplace
R f ê i
Referências
Bibli
Bibliográficas
áfi
BEGA, E
BEGA
E. A
A. (Organizador)
(Organizador). Instrumentação Industrial 1a
1a. ed
ed. Rio de Janeiro:
Interciência, 2003. 541 p.
y
FRANKLIN, G.F., POWELL, J.D., EMAMI-NAEINI, A. Feedback Control of Dynamic
Systems 3a. ed. USA: Addison-Wesley Publishing Company, 1994. 778 p.
GARCIA, CLAUDIO. Modelagem e Simulação 1a. ed. São Paulo: EDUSP, 1997. 458 p.
MARLIN, T. Process Control - Designing Processes and Control Systems for Dynamics
Performance 1a. ed. USA: McGraw-Hill, 1995. 954 p.
NISE, N.S. Engenharia de Sistemas de Controle 3a. Edição ed. São Paulo: LTC, 2002.
695 p.
OGATA, K
OGATA
K. Engenharia de Controle Moderno 4a
4a. ed
ed. São Paulo: Pearson - Prentice Hall
Hall,
2005. 788 p.
37