CEDERJ - CENTRO DE EDUCAÇÃO SUPERIOR A DISTÂNCIA
DO ESTADO DO RIO DE JANEIRO
MATERIAL DIDÁTICO IMPRESSO
CURSO: _______________
DISCIPLINA: _________________________
CONTEUDISTA: José d’Albuquerque e Castro
AULA 15 – Módulo 2
Ligações atômicas
META DA AULA
Apresentar como os átomos se ligam para formar estruturas mais complexas, como
moléculas e até mesmo sólidos.
OBJETIVOS
Ao final desta aula, você será capaz de:
1. Analisar as escalas típicas do mundo atômico.
2. Analisar os efeitos do confinamento sobre as energias dos estados eletrônicos.
3. Analisar as conseqüências do princípio de exclusão de Pauli sobre a ocupação dos estados
eletrônicos.
PRÉ-REQUISITOS
Para melhor compreender esta aula você necessitará de conhecimentos básicos de Mecânica
Quântica, adquiridos tanto na própria disciplina sobre essa matéria quanto na primeira aula anterior.
Necessitará também de alguns conceitos vistos na parte de Física Estatística, como o Princípio de
Exclusão de Pauli e seus efeitos sobre a ocupação de níveis eletrônicos.
15.1 De átomos a moléculas
Na aula anterior, mencionamos a famosa frase de Feynmann sobre serem todas as coisas
formadas por átomos. A descoberta desse fato, como bem registrou Feynmann, representou um
grande avanço na nossa busca por conhecer e entender a Natureza. Diante dele, somos naturalmente
1
levados a considerar a seguinte questão: como os átomos se ligam para formar um sólido?
Podemos imaginar que a resposta a essa pergunta dependa dos elementos químicos que se
esteja considerando, uma vez que quando olhamos a tabela periódica, vemos que os mesmos podem
ser reunidos em diferentes grupos, segundo as diferentes maneiras com que eles se combinam entre
si e com os elementos de outros grupos. Mas o que queremos entender é por que pode ser mais
vantajoso para os átomos se ligarem para formar estruturas mais complexas, como moléculas e
sólidos. Para iniciarmos a análise desta questão é necessário rever alguns pontos básicos em
Mecânica Quântica.
Primeiramente, é importante lembrar que os elétrons, bem como outras partículas
subatômicas, possuem um grau de liberdade adicional que denominamos spin. Esta é uma expressão
da língua inglesa que significa rotação. Formalmente, a questão pode ser assim colocada: o estado
dinâmico de um elétron a cada instante t fica especificado através de uma função ψ (x, y,z,σ ,t) ,
onde além das coordenadas espaciais, ( x, y,z ) , e da temporal, t, existe uma coordenada adicional,
σ, que denominamos spin. No caso de um elétron, essa variável adicional pode assumir somente
€
dois valores, +1/2 e -1/2.
€
Você deve estar se perguntando qual o significado desse grau de liberdade adicional. A
dificuldade em responder essa pergunta decorre do fato de não termos no mundo macroscópico um
objeto que se comporte, em todos os sentidos, como um elétron ou qualquer outra partícula
subatômica. Assim, não temos como formar uma imagem desses objetos e interpretar suas
propriedades em termos clássicos. Já comentamos sobre isso na primeira aula. O máximo que
conseguimos fazer é lançar mão de modelos clássicos para explicar este ou aquele comportamento
de tais partículas, como quando as descrevemos ora como uma partícula, ora como uma onda. Mas
um ponto que tem que ficar bem claro para você é que, apesar da impossibilidade de se explicar o
mundo quântico em termos clássicos, a Mecânica Quântica é uma teoria consistente internamente e
que tem sido capaz de descrever com admirável precisão os fenômenos no nível microscópico.
Tendo estas observações em mente, vamos então tentar interpretar o spin em termos
clássicos. Uma possibilidade é pensar o elétron como sendo um minúsculo objeto esférico capaz de
girar em torno de si mesmo. Seria análogo ao planeta Terra, que gira sobre si mesma enquanto que
se desloca no espaço. Essa representação do elétron (uma bolinha girando em torno de si) parece
razoável, uma vez que o spin eletrônico está associado a um momento angular intrínseco, que vale
exatamente S =  /2 . Ou seja, sob o ponto de vista clássico, esse momento angular adicional seria
necessariamente associado a um movimento de rotação. Todavia, essa imagem clássica leva a uma
€
2
série de inconsistências teóricas e a conflitos com dados experimentais. Não vamos detalhar este
ponto, não só por ser um tanto técnico, como também por que nos desviaria da questão que estamos
buscando responder.
E por que a existência do spin é um dado importante? A razão é o fato de as partículas com
spin semi-inteiro (como os elétrons, prótons e nêutrons) estarem sujeitas ao Princípio de Exclusão
de Pauli, segundo o qual dois férmions (assim são chamadas as partículas com spin semi-inteiro)
não podem ocupar simultaneamente o mesmo estado quântico. Este é mais um aspecto do mundo
microscópico que não tem paralelo no nível macroscópico, mas que é relevante para o entendimento
da estrutura eletrônica de átomos, moléculas e sólidos. Na discussão que fizemos da estrutura dos
átomos complexos mencionamos que os níveis eletrônicos se agrupam em camadas, especificadas
por um numero quântico principal n e dentro de cada camada, os níveis são especificados por
índices quânticos l e m. Lembramos que como no átomo de hidrogênio esses três índices são
números inteiros, sendo que 0 ≤ l < n e −l ≤ m z ≤ l . O índice l está associado ao momento angular
orbital do elétron no átomo, cujo módulo é L =
l(l + 1)  , enquanto que mz especifica a projeção
L ao longo de um eixo de quantização (usualmente o eixo z de um sistema de coordenadas). Por
€
€
tradição, utiliza-se a notação espectroscópica segundo a qual os orbitais com l = 0, 1, 2, ... são
€
designados pelas letras s, p, d, ... respectivamente.
Devido então ao Princípio de Exclusão de Pauli, cada estado caracterizado pelos índices
(n, l, mz ) pode ser ocupado com no máximo dois elétrons, um com spin σ = 1/2 e outro com spin
σ = −1/2 . Isto determina a ocupação máxima de cada camada. Assim, a camada com n = 1, para a
€
€
qual l = mz = 0, pode acomodar somente dois elétrons (1s2). Já a camada com n = 2 compreende
€
duas subcamadas, correspondentes a l = 0 e l = 1, que no átomo de hidrogênio tem a mesma energia,
€
mas que nos átomos complexos têm energias ligeiramente diferentes (mencionamos este ponto na
€
primeira aula). Resulta que a subcamada com l = 0 acomoda 2 elétrons (2s2) a com l = 1, seis (2p6).
E assim se segue. Portanto, se o átomo possui N elétrons, seu estado fundamental (o de mais baixa
energia) é obtido preenchendo-se os N primeiros níveis, seguindo o Princípio de Exclusão.
Boxe de curiosidade
Em 1925, o físico austríaco Wolfgang Ernst Pauli (1900 –1958), a partir de estudos da
estrutura formulou eletrônica de átomos, formulou um dos princípios mais importantes na
Mecânica Quântica, segundo o qual duas partículas com spin semi-inteiro, como elétrons,
3
prótons e nêutrons, não podem ocupar simultaneamente o mesmo estado quântico. Por
exemplo, no caso de um poço de potencial infinito unidimensional, os estados são
especificados por número quântico n e por um índice de spin σ . Pelo Princípio de
Exclusão, cada estado pode acomodar dois férmions, um com σ = 1/2 e outro com σ = 1/2.
Wolfgang Pauli (http://en.wikipedia.org/wiki/File:Wolfgang_Pauli_young.jpg)
Fim do boxe de curiosidade
Tomemos como exemplo o átomo de sódio (Na), que possui 11 elétrons. No estado
fundamental, esses elétrons se distribuem pelos orbitais atômicos da seguinte forma: [1s2
2s2 2p6] 3s1. Ou seja, as camadas correspondentes a n = 1 e 2, que comportam
respectivamente dois e oito elétrons, estão completamente cheias, formando o que
chamamos de caroço atômico. Um fato muito importante é que as camadas atômicas
completas apresentam grande estabilidade, resultante da forte energia de ligação dos
elétrons que as constituem. No caso do sódio, o 11o elétron ocupa sozinho o orbital 3s, que
denominamos orbital externo ou orbital de valência. Veja alguns dados interessantes. Para
você arrancar esse elétron do átomo de Na, são necessários 5,14 elétron-volts (eV),
enquanto que para arrancar um elétron do nível 2p do átomo de Neônio (Ne), que possui 10
4
elétrons distribuídos na forma 1s2 2s2 2p6, são necessários 21,56 eV. Isto deixa claro como
os orbitais externos são mais facilmente ionizáveis que os do caroço. A existência destes
estados é uma característica comum dos átomos e íons complexos, à qual faremos
referências em diversos momentos.
Boxe de atenção
O elétron-volt (eV) vale aproximadamente 1,6 x 10-19 Joule e é muito utilizado como
unidade de energia em Física Atômica e em Física da Matéria Condensada justamente por
ser da ordem das energias envolvidas nos processos na escala atômica.
Fim do boxe de atenção
Para entender como se formam as ligações atômicas, imaginemos que tenhamos
inicialmente átomos isolados, que serão então aproximados para formar um sólido. Porém,
ao invés de considerarmos de partida um sistema com algo como 1023 átomos, vamos
analisar uma situação muito mais simples, na qual temos apenas dois átomos, isto é, vamos
analisar a formação de uma molécula diatômica. É, sem dúvida, uma grande simplificação,
mas o estudo deste caso nos permitirá entender um fato importante na formação dos
sólidos.
15.2 A molécula de hidrogênio: alguns aspectos relevantes
Comecemos então com dois átomos de hidrogênio neutros e isolados, isto é,
colocados tão distantes um do outro que não interajam. Se os dois átomos se encontrarem
no estado fundamental, então cada elétron estará ligado ao seu respectivo núcleo (no caso,

um próton), ocupando um estado 1s. A função de onda ϕ1s ( r ) é dada por

ϕ1s ( r ) =
1
R10 (r) ,
4π
(15.1)
€
onde
€
€
R10 (r) =
2
a03 / 2
exp(−r /a0 )
(15.2)
5
e a0 é o raio de Bohr. Verificamos então um fato interessante, que ocorre quando os dois
átomos se tornam suficientemente próximos. Nessa situação, os dois elétrons, que
inicialmente se localizavam cada um em torno do seu respectivo núcleo, passam a ocupar
um mesmo orbital (que denominamos molecular), o qual se distribui espacialmente em
torno dos dois núcleos. A situação é esquematicamente representada na figura (15.1)
abaixo.
ϕ2
ϕ1
(a)
ϕ1 + ϕ 2
(b)
€
Figura (15.1): representação esquemática dos orbitais atômicos (a) e
molecular (b) no caso do H
(ilustração)
ATIVIDADE 1 (objetivo 1):
Mostre que o raio médio < r > da órbita do elétron no estado fundamental do átomo de
hidrogênio é (3/2) a0.
Resposta comentada:
∞
O valor médio de r é dado por < r >=
2
2
1s
∫ r dr r R
(r) , onde R1s (r) é dado pela expressão
0
(15.2).
Você
pode
então
mudar
para
a
variável
x
=
r/a0
e
obter
que
∞
< r > = 4a0 ∫ dx x€3e−2x . Esta integral pode €
ser calculada por partes (três vezes),
0
fornecendo o resultado (3/2) a0.
€
6
Fim da atividade
A pergunta que podemos então fazer é: por que os elétrons passam dos orbitais
atômicos para o molecular? Bem, você deve estar pensando, corretamente, que isto se dá
porque a energia eletrônica do orbital molecular deve ser menor que a dos orbitais
atômicos. Mas por que é assim? Para entender este ponto teremos que analisar com mais
detalhe as energias de um e de outro estado.
15.3. Orbitais atômicos e moleculares
Nos átomos de hidrogênio isolados, cada elétron ocupa um orbital cuja parte radial é
dada pela equação (15.2). Nessa equação, a0 determina a extensão da função de onda em
torno do núcleo atômico, dada por < r > = (3/2) a0 .
Pois imaginemos por um momento que possamos tomar a0 na expressão para R10 (r)
€
como um parâmetro livre, que possamos diminuir (ou aumentar) em relação a a0 . Isto
€
significar tornar a função de onda eletrônica mais (ou menos) concentrada em torno do
€
€
núcleo atômico. Se diminuímos o raio atômico, esperamos que a energia potencial de
€
interação com o núcleo diminua, isto é, que se torne mais negativa uma vez que se trata de
uma interação atrativa. De fato, se substituirmos a0 por a na expressão para a função de

onda ϕ1s ( r ) e calcularmos o valor médio do potencial V (r) = − e 2 / r nesse estados
encontramos que
€
€
  e
ϕ1s V ϕ1s = ∫ d r ϕ ( r ,a) −
 r
2
3
∗
1s

€

e2
 ϕ1s ( r ,a) =− ,
a

(15.3)
que pode ser escrito como
€
m e4 2
ϕ1s V ϕ1s = −
.
2 2 (a /a0 )
(15.4)
Observamos então que, de fato, ao reduzirmos o raio atômico a, a energia potencial torna-
€
se mais negativa, ou seja, diminui. No entanto, o oposto ocorre com a energia cinética T,
que aumenta a medida que diminuímos o raio atômico. De fato,
7
ϕ1s T ϕ1s
  2 2 

2 1
= ∫ d r ϕ ( r ,a)−
∇  ϕ1s ( r ,a) =
,
2 m a2
 2m 
3
∗
1s
(15.5)
que pode então ser colocada na forma
€
ϕ1s T ϕ1s
m e4
1
=
.
2
2 (a /a0 ) 2
(15.6)
Assim, encontramos que
 1
2 
E(a) = 
−
 Ryd ,
2
(a /a0 ) 
 (a /a0 )
€
(15.7)
onde Ryd = m e 4 /2 2 . A Figura (15.2) mostra um gráfico de E(a) em função de a/a0 , onde
€
vemos claramente que esta função passa por um mínimo justamente para a = a0, valendo
€
então justamente (-1) Ryd.
Figura 15.2 – Energia eletrônica total (cinética + potencial) para um elétron no potencial de
um próton em função do raio a da órbita.
(ilustração)
ATIVIDADE 2 (objetivo 2):
8
Considere um poço de potencial unidimensional V(x) tal que V(x) = 0 , se |x |≤ L /2 , e
V (x) = ∞ , se | x |> L /2 . É o que chamamos poço de potencial infinito. Analise a
€
dependência da energia do estado fundamental de uma partícula de massa m nesse poço
€
com a largura L
€
Resposta comentada:
Você viu em Mecânica Quântica que o estado fundamental corresponde a
ϕ (x) =
(
)
2 /L cos(k x) , com k = π /L . Dentro do poço a energia é puramente cinética e é
dada por E1 = 2π 2 /2 m L2 . Viu também que todos os estados são confinados dentro do
€
poço, que tem largura
€ L. Fica então claro que se aumentamos o confinamento eletrônico
(diminuindo L) a energia cinética aumenta. Por outro lado, se a função de onda se torna
€
mais estendida (aumentando L) a energia cinética diminui.
Fim da Atividade
Examine novamente a Figura (15.1). Você perceberá imediatamente que no estado
atômico o elétron encontra-se mais confinado espacialmente que no molecular, de modo
que ao passar do primeiro para o segundo sua energia cinética diminui. Isto é a chave para a
formação da ligação entre os dois átomos. Ao aproximarmos os dois átomos, surge a
possibilidade de que os elétrons passem a ocupar estados mais estendidos, diminuindo a
energia do sistema. Como conseqüência, para separar os átomos você teria que realizar um
trabalho sobre o sistema, correspondente ao que denominamos energia de ligação da
molécula. É o que analisaremos a seguir.
ATIVIDADE 3 (objetivo 2): Mostre que uma pequena variação ΔL na largura de um poço
infinito resulta em uma variação ΔE1 na energia do estado fundamental dada por
 2π 2 1
ΔE1 ≅ −
ΔL.€
m L3
€
Resposta comentada: Sendo E1 uma função de L, podemos aproximar ΔE1 ≅ ( dE1 /dL) ΔL .
Daí, segue-se imediatamente o resultado acima. Note que ΔL e ΔE1 têm sinais opostos.
€
€
€
€
9
Portanto, se a largura aumenta ( ΔL > 0 ), a energia (cinética) diminui ( ΔE1 < 0 ). E o oposto
ocorre quando a largura diminui.
Fim da atividade
€
€
15.4 A energia de ligação da molécula de H2
Suponha que um dos átomos, que denominamos (1), esteja na origem das


coordenadas e o outro, que denominamos (2), na posição R , tal que | R | >> a0 . Considere

que inicialmente um elétron ocupe o orbital ϕ1s ( r ) (estado fundamental) do átomo (1), que

por simplicidade de notação vamos representar €como ϕ1 ( r ) . A equação para este orbital
€
pode ser reescrita na forma
€
 2 2
 

∇ + V1 ( r ) ϕ1 ( r ) = ε0 ϕ1 ( r ),
−
 2m

€
(15.8)

onde V1 ( r ) é o potencial de interação com o núcleo do átomo (1) e
. Queremos

estimar a energia do elétron quando ele passa para o orbital molecular ϕ mol ( r ) , que satisfaz
€
€ a equação
 2 2




∇ + V1 ( r ) + V2 ( r ) ϕ mol ( r ) = εmolϕ mol ( r ),
−
 2m

€
(15.9)

onde V2 ( r ) é o potencial de interação com o núcleo do átomo (2). O termo entre colchetes é
o Hamiltoniano molecular, que representamos por Hmol. Como vimos na primeira aula,
€
€
εmol =
3
∫ d rϕ
∗
mol


( r ) H mol ϕ mol ( r ) = < ϕ mol |H |ϕ mol > .
(15.10)
Mas para calcular este valor médio temos que dispor de uma expressão para
€


ϕ mol ( r ) . A Figura (15.1) nos sugere que podemos aproximar ϕ mol ( r ) pela expressão



ϕ mol ( r ) ≅ 1/ 2 { ϕ1 ( r ) + ϕ 2 ( r )} , que na notação de Dirac toma a forma
(
€
)
ϕ mol =(1/ 2){ ϕ1 + ϕ 2 } .
€
(15.11)
€
€
10

Aqui, ϕ 2 ( r ) é a função de onda do estado fundamental do átomo (2). Ela satisfaz uma
equação que tem exatamente a mesma forma que a (15.8), com o índice (1) substituído por
€
(2).


Note que se a superposição das funções ϕ1 ( r ) e ϕ 2 ( r ) for muito pequena, então
3


∫ d r ϕ ( r ) ϕ (r ) = < ϕ
∗
1
2
1
| ϕ 2 > ≅ 0 , caso em que dizemos que ϕ1( r ) e ϕ 2 ( r ) são
€
(aproximadamente) ortogonais. Segue-se€então que
ϕ mol ϕ mol ≅ (1/2) { ϕ1 ϕ1 + ϕ 2 ϕ 2
€
ou seja,
ϕ mol
€
} = 1,
€
(15.12)

é normalizada a 1. Com base na expressão (15.11) para ϕ mol ( r ) , temos
então que
€
€

1


H mol ϕ mol ( r ) =
{H mol ϕ1 (r ) + H mol ϕ 2 (r )} .
2
(15.13)
€
O primeiro termo entre colchetes pode ser reescrito na forma
€
 2 2
   2 2
 

−
∇
+
V
+
V
ϕ
(
r
)
=
−
∇
+
V


1
2 1
1  ϕ1 ( r ) + V2 ϕ1 ( r )
 2m

 2m

(15.14)


= ε0 ϕ1 ( r ) + V2 ϕ1 ( r ).



Analogamente, você poderá mostrar que H mol ϕ 2 ( r ) = ε0ϕ 2 ( r ) + V1ϕ 2 ( r ).
Combinando estes dois últimos resultados, obtemos que
€


1


H mol ϕ mol ( r ) = ε0 ϕ mol ( r ) + € { V2 ϕ1 ( r ) + V1 ϕ 2 ( r )}
2
(15.15)
∗
€
εmol = ϕ mol H mol ϕ mol
€
€

Agora você deve multiplicar ambos os membros da equação (15.15) por ϕ mol ( r ) , integrar



sobre r e usar que ϕ1 ( r ) e ϕ 2 ( r ) são ortogonais para então encontrar que
= ε€
0 +
1
{ ϕ 2 V2 ϕ1 + ϕ1 V1 ϕ 2 }.
2 €
€
(15.16)
11


Analisemos esse resultado. Note primeiramente que as funções ϕ1 ( r ) e ϕ 2 ( r ) são
reais e positivas, enquanto que os potenciais são atrativos, portanto, negativos. Isto significa
que o termo entre chaves no lado direito da equação (15.16) é negativo. Assim, vemos que
€
€
é de fato menor que ε0. E isto decorre da possibilidade de cada elétron poder passar
de um átomo ao outro. Os termos entre chaves são, por esta razão, chamados de integrais de
transferência. Considerando que os dois elétrons ocupem o estado molecular com spins
opostos, teremos então que a energia de ligação da molécula (energia necessária para
dissociá-la) será dada por
2 ε0 − 2 εmol = − { ϕ 2 V2 ϕ1 + ϕ1 V1 ϕ 2
€
}>0
(15.17)
Conclusão
O resultado importante que obtivemos analisando a formação da molécula do
hidrogênio é que a energia de um conjunto de átomos diminui quando os elétrons passam
para orbitais que se estendem por todo o sistema. Você pode estender esse raciocínio para o
caso em que temos uma molécula tri- ou poliatômica e até mesmo para o caso de um sólido.
Mas antes de concluirmos nossa análise, vale a pena destacar uma questão.
Discutimos a formação da molécula do hidrogênio, que como sabemos possui um só
elétron. Pense então o que ocorreria se tivéssemos considerando átomos com mais elétrons.
Digamos o sódio (Na), que, como vimos, possui onze elétrons. Destes, dez ocupam o que
chamamos de estados de caroço, formados por camadas atômicas completas, que estão
fortemente ligadas ao núcleo. Como conseqüência, os elétrons nos estados de caroço são
muito pouco afetados pela presença de átomos vizinhos, de modo que podemos considerálos como inertes, isto é, como mantendo o caráter atômico e não contribuindo para a coesão
entre os átomos. No caso do Na, resulta então ser o único elétron que ocupa o orbital 3s o
responsável pela coesão. Se os átomos fossem de cálcio (Ca), cuja estrutura eletrônica é
[1s2 2s2 2p6] 3s2, ao invés de Na, seriam os dois elétrons na camada mais externa (que
denominamos camada de valência) que responderiam pela coesão. De modo geral,
12
conforme já assinalamos, os estados eletrônicos em um átomo podem ser agrupados em
estados de caroço e estados de valência. São os elétrons de valência que desempenham
então o papel importante na formação de um sólido.
ATIVIDADES FINAIS (objetivo 3)
(
3
1. Considere a função de onda dada por Ψ(r,θ,ϕ ) = π r0
)
−1/ 2
exp(−r /r0 ) . Mostre que,
para qualquer valor de r0 > 0 , a função Ψ(r,θ,ϕ ) é normalizada a 1.
€
2. Considere três elétrons em um poço de potencial infinito de largura L. Sendo o potencial
€
€
igual a zero no interior do poço, determine a energia do estado fundamental desse sistema.
3. As auto-energias de um oscilador harmônico unidimensional são dadas por
E n =  ω 0 ( n + 1/2) ,
onde ω 0 é a freqüência de oscilação. Considerando que os níveis de energia estejam
€
ocupados por 3 elétrons e que a energia total do sistema seja (11/2)  ω 0 determine as
€
configurações possíveis.
€
4. Mostre que a expressão [equação (15.7)]
 1
2 
E(a) = 
−
 Ryd
2
(a /a0 ) 
 (a /a0 )
tem um mínimo justamente em a = a0.
€
Respostas comentadas
1. Temos que
é real, de modo que
3

2
∫ d r | Ψ(r ) |
=
. Assim,
2
∫ r dr dΩ (π r )
0
−1
e−2r / r0 ,
onde dΩ é o elemento de ângulo sólido. As integrais angulares pode ser feitas
imediatamente e resultam num fator multiplicativo 4π. Para efetuar a integração radial, o
€
€ melhor é passar para a variável x = r /r0 , de modo que obtemos
€
13

∫ d 3r | Ψ(r ) |2 = 4
∞
∫ dx x
2
e−2x .
0
Esta última integral pode ser calculada por partes (duas vezes), de modo que obtemos
3

2
∫ d r | Ψ(r ) |
€
= 1.
2. Os níveis de energia em um poço infinito são dados por
€
εn =
 2π 2 n
2m L
O estado de mais baixa energia corresponde a n = 1, mas esse estado só pode acomodar
dois elétrons, um com σ = 1/2 e σ = -1/2. De modo que o terceiro elétron terá que ocupar o
€
estado correspondente a n = 2. Assim, a energia do estado fundamental desse sistema de
três elétrons é dada por
E 0 = 2ε1 + ε2 =
 2π 2 4
.
2m L
3. Considerando o Princípio de exclusão de Pauli, obtemos:
• configuração 1€- dois elétrons no estado n = 0 e um no estado n = 4
• configuração 2 – um elétron no estado n = 0 e dois no estado n = 2
• configuração 3 – um elétron no estado n = 0, um no estado n = 1 e um no estado
n=3
• configuração 4 – dois elétrons no estado n = 1 e um no estado n = 2
4. Derivando a energia E em relação ao raio a e igualando a derivada a zero, obtemos
2 a02 2 a0 2 a0  a0 
− 3 + 2 = 2  − + 1 = 0

a
a
a  a
logo, amin = a0. Para verificar que se trata de um mínimo, basta tomar a derivada segunda,
€
14
d 2 E(a)  6 a02 4 a0 
=  4 − 3  Ryd ,
da 2
a 
 a
que no ponto a = a0 vale (2 /a02 ) Ryd > 0.
€
RESUMO
€
Nesta aula analisamos a formação de uma molécula a partir de átomos isolados.
Vimos que a formação de orbitais moleculares, os quais se estendem por toda a molécula
possibilita um redução na energia total do sistema, dando origem à energia de ligação da
molécula. Embora a análise que fizemos tenha focalizado apenas uma molécula diatômica,
as idéias aqui desenvolvidas podem ser facilmente estendidas a sistemas compostos por um
numero maior de átomos.
PRÓXIMA AULA
Na próxima aula vamos analisar a formação de um sólido com base nas idéias
desenvolvidas nesta aula. Vamos então desenvolver um modelo muito simples para
descrever um tipo de sólido muito comum – os metais.
REFERÊNCIA
[1] Kittel, Charles, “Introdução à Física do Estado Sólido”, 8a Edição
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