CAPÍTULO 4
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CAPÍTULO 4
A PRIMEIRA LEI DA TERMODINÂMICA
Processos de controlo de volume
SUMÁRIO
No capítulo 3 discutimos as interacções da energia entre um sistema e os
seus arredores e o princípio da conservação da energia para sistemas fechados
(sem fluxo de energia).
Neste capítulo, vamos estender a análise a sistemas que envolvem fluxo de
massa através das fronteiras, i.e., "volume de controlo". A equação da conservação
de energia para um sistema de volume de controlo será abordado. No entanto,
trataremos a análise da energia nos sistemas de volume de controlo em dois
estágios. Primeiro, consideramos os processos de fluxo em regime estacionário
"steady flow", que é o modelo utilizado para a maior parte dos equipamentos em
engenharia, tais como: turbinas, compressores e permutadores de calor.
Seguidamente, discutiremos, de um modo genérico, processos em regime não
estacionário, dando particular ênfase a processos de "fluxo uniforme", que é o
modelo utilizado para os processos de carga e descarga.
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4.1 Análise termodinâmica de processos de "Volume de controlo"
Um grande número de problemas de engenharia envolvem fluxos de massa
(entradas e saídas do sistema), no entanto podem ser modeladas como processos
de volume de controlo(Fig. 4.1).
Figura 4.1. - Os fluxos de massa podem entrar e sair de um volume de controlo
O aquecimento da água, o radiador de um carro, uma turbina e um
compressor envolvem fluxos de massa e devem ser analisados como processos de
volume de controlo (sistemas abertos) em vez de processos de controlo de massa
(sistemas fechados).
Não há regras concretas no estabelecimento para a selecção do volume de
controlo, mas a escolha mais adequada simplifica a análise dos sistemas.
As fronteiras do volume de controlo são designadas por "superfície de
controlo" e podem ser reais ou imaginárias. No caso de uma "tubeira", a superfície
interna da tubeira é a superfície real da fronteira, e as áreas de entrada e de saída
formam a superfície imaginária, uma vez que não há superfícies físicas (Fig. 4.2).
Figura 4.2. - Fronteiras reais e imaginárias de um volume de controlo
Um volume de controlo pode ser fixado pelo seu tamanho ou forma, como no
84
caso da tubeira, ou pode envolver uma fronteira móvel, como se mostra na Fig. 4.3.
Figura 4.3. - Alguns volumes de controlo envolvem fronteiras móveis
A maior parte dos volumes de controlo, tem contudo fronteiras fixas, e
portanto não envolverá nenhum trabalho do movimento da fronteira.
O volume de controlo pode envolver interacções de calor e trabalho tal como
no sistema fechado, adicionada à interacção de massa.
Uma grande variedade de problemas em termodinâmica podem ser resolvidas
pela análise dos sistemas de volume de controlo.
Os termos "estacionário" e "uniforme" são usados extensivamente neste
capítulo e é importante ter um entendimento claro sobre estas designações. O termo
"estacionário" implica não varia com o tempo; o oposto a estacionário, é não
estacionário. O termo uniforme implica não haver variações com o local numa região
específica.
Principio da conservação de massa
A conservação de massa é um dos princípios fundamentais na natureza. Nós
estamos todos familiarizados com este princípio, mas é difícil de o compreender.
Mesmo as equações químicas são acertadas na base do princípio da
conservação de massa (Fig. 4.4).
85
Figura 4.4. - A massa é conservada durante as reacções químicas
Quando 16 kg de O2 reagem com 2kg de hidrogénio (H2), 18kg de H2O são
formados. No processo de electrólise a água será separada em 2kg de H2 e 16kg de
O 2.
A massa, como a energia, é uma propriedade que se conserva. Contudo,
massa m e energia E pode ser convertidas de acordo com a fórmula de Einstein:
E = m.c 2
(Eq. 4.1)
onde c é a velocidade da luz.
Esta equação sugere que a massa de um sistema variará quando a energia
variar. Contudo, para todas as interacções de energias que ocorrem na prática, com
excepção das reacções nucleares, a variação de massa é extremamente pequena e
não pode ser detectada mesmo com equipamentos extremamente sensíveis. Por ex:
quando 1kg de H2O é formada a partir do O2 e H2, a quantidade de energia libertada
é 15,879 kJ, que corresponde a uma massa de 1,76x10-10 kg, é uma variação tão
pequena, que no caso dos cálculos de engenharia podem ser desprezados.
Para sistemas fechados, o princípio da conservação de massa, implica que a
massa do sistema se mantém constante durante um processo.
Para processos de volume de controlo, contudo, a massa pode atravessar a
fronteira, portanto temos que ter em conta a quantidade de massa que entra e sai do
sistema. (volume de controlo) (Fig. 4.5).
Figura 4.5. - Princípio da conservação da massa para um volume de controlo
O princípio da conservação de massa para os sistemas de volume de controlo
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(VC) pode ser expresso por:
(massa total que entra no VC) - (massa total que sai do VC) = (variação líquida na massa do VC)
∑m − ∑m
i
e
= ∆mVC
(eq. 4.2.)
onde os índices i, e, VC significam entrada, saída, e volume de controlo.
Esta expressão pode ser escrita por unidade de tempo, sendo designada
também por "equação da continuidade" na mecânica de fluidos.
Taxas de volume e de massa
A quantidade de massa que flui através de uma determinada secção por
.
unidade de tempo é designada taxa de fluxo de massa e é designada por m .
A taxa de fluxo de massa é proporcional à secção transversal A da tubagem
ou conduta atravessado por um fluido.
.
A taxa de fluxo de massa m através da área A pode ser expressa por
.
d m = ρVn dA
(eq.4.3)
onde Vn é a componente normal da velocidade à área dA.
O fluxo de massa através de toda secção é dado por:
.
m = ∫ ρVn dA
(kg/s)
(eq.4.4)
A
Na maior parte dos casos, o fluxo de um fluído através de um tubagem pode
ser considerado, aproximadamente, um fluxo com uma direcção. As propriedades só
váriam numa direcção (a direcção do fluxo). Como resultado, todas as propriedades
são uniformes em qualquer secção normal à direcção do fluxo; no entanto as
propriedades podem variar com o tempo.
As propriedades massa, densidade, temperatura e pressão não variam
considerando apenas uma direcção (propriedades uniformes). Mas este não é caso
da velocidade, que varia desde 0 até ao seu máximo, no centro, por causa do efeito
da viscosidade (fricção entre as camadas do fluído).
Então, a integração da equação 4.4. (tomando valores médios) (Fig. 4.6) para
uma só direcção, origina:
87
Figura 4.6. - Perfis de velocidade actual e média par um fluxo num tubagem
.
m = ρVav A
(kg/s)
(eq. 4.5)
onde:
ρ(=1/v) - densidade (kg/m3)
Vav - velocidade média (average) do fluído com a velocidade normal a A (m/s)
A - secção transversal normal à direcção do fluxo (m2)
O volume do fluído que atravessa a secção transversal por unidade de tempo
.
é designado por taxa de fluxo de volume V (Fig. 4.5)
.
Figura 4.7. - A taxa de fluxo de volume V é o volume de fluido que atravessa a
secção transversal por unidade de tempo
.
V = ∫ Vn dA = Vav A
(m3/s)
(eq. 4.6)
A
Os fluxos de massa e volume estão relacionados da seguinte maneira:
.
V
m = ρV =
v
.
.
(eq.4.7)
O princípio da conservação da energia
88
Já discutimos o princípio da conservação da energia, ou a 1ª lei da
termodinâmica, em relação a sistemas fechados. Como se referiu no Capítulo 3, a
energia de um sistema fechado pode ser modificado por interacções de calor ou de
trabalho, e a variação da energia de um sistema fechado durante o processo é igual
à transferência de calor líquido e de trabalho líquido que atravessa a fronteira do
sistema.
Esta expressão pode ser escrita:
Q - W = ∆E
Para sistemas de volume de controlo, um mecanismo adicional pode fazer
variar a energia do sistema: fluxo de massa de entrada e saída do sistema de
volume de controlo (Fig. 4.8).
Figura 4.8. - O conteúdo de energia de um volume de controlo pode ser
mudado por um fluxo de massa, bem como através de interacções de calor e
trabalho
Quando a massa entra no sistema de volume de controlo, a energia do
sistema de volume de controlo aumenta porque a entrada da massa leva energia
ligada a este fluxo de massa. Do mesmo modo, quando a massa deixa o sistema do
volume de controlo, a energia contida no sistema diminui, porque o elemento de
massa quando deixa o sistema leva energia consigo.
Ex: quando, alguma "água quente" sai de um "Aquecedor de água" e é
substituído pela mesma quantidade de água fria, a energia contida no recipiente de
"água quente" (Termoacumulador) (volume de controlo) diminui como resultado da
interacção de massa.
Então, a equação da conservação de energia para um processo de volume de
controlo pode ser expressa como:
89
(Energia total
+
(Energia total
-
(Energia total da
=
(Variação
que atravessa a
da massa que
massa que deixa
líquida da
fronteira como
entra no
o volume de
energia do
calor ou
sistema de
controlo VC)
sistema de
trabalho)
volume de
volume de
controloVC)
controlo VC)
ou
Q − W + ∑ E in − ∑ E out = ∆EVC
(eq. 4.8)
Obviamente se não houver entrada ou saída de massa do sistema de volume
de controlo, a equação será reduzida à deduzida para sistemas fechados.
A equação 4.8 pode ser expressa na forma de taxas, exprimindo as
quantidades por unidade de tempo.
Calor transferido para um sistema de volume de controlo na forma de calor
não pode ser confundido com a energia transportada com a massa que entra e sai
do sistema de volume de controlo (Fig. 4.8).
Convém relembrar que o calor é a forma de energia transferida como
resultado de uma diferença de temperatura entre o sistema de volume de controlo e
os arredores.
Um sistema de volume de controlo, tal como um sistema fechado, pode
envolver uma ou mais formas de trabalho ao mesmo tempo (Fig. 4.9).
Figura 4.9. - Um volume de controlo pode envolver uma ou mais formas de
trabalho
Se a fronteira do sistema de volume de controlo for estacionária, como é
muitas vezes o caso, o trabalho mecânico realizado pela fronteira é zero. Então o
termo do trabalho envolve, somente, o trabalho mecânico das pás (shaft) e trabalho
90
eléctrico para sistemas simples de compressão. Tal como anteriormente, se o
sistema de volume de controlo for isolado, o calor transferido é zero.
A energia necessária para puxar um fluído para dentro ou para fora de um
sistema de volume de controlo é designado "fluxo de trabalho" ou "fluxo de energia".
Fluxo de trabalho
Contrariamente aos sistemas fechados, sistemas de volume de controlo
envolvem fluxo de massa através da fronteira, e é necessário trabalho para puxar a
massa para dentro e fora do sistema do volume de controlo. Este trabalho é
designado por "fluxo de trabalho" ou "fluxo de energia", e é necessário para manter
um fluxo contínuo através de um volume de controlo.
Para obter uma relação entre o "fluxo de trabalho", consideremos um
elemento de fluído de volume V como se mostra na Fig. 4.10.
Figura 4.10. - Representação esquemática de um fluxo de trabalho
O fluxo de fluído força o elemento de fluído a entrar no sistema de volume de
controlo; então pode ser encarado como um "pistão imaginário". O elemento de
fluído pode ser considerado suficientemente pequeno que mantenha as suas
propriedades uniformes.
Se a pressão do fluído for P e a secção transversal do elemento do fluído for
dA (Fig. 4.11),
Figura 4.11. - Na ausência de aceleração, a força aplicada a um fluido por um
pistão é igual à força aplicada ao pistão pelo fluido
91
a força aplicada no elemento do fluído pelo "pistão imaginário" é:
F = P.A
(eq. 4.9)
Para conseguir que o elemento de fluído entre na totalidade no sistema de
volume de controlo, esta força deve actuar durante uma distância L. Então, o
trabalho realizado para puxar o elemento do fluído através da fronteira (isto é, o fluxo
de trabalho) é:
Wfluxo = F.L = P.A.L = P.V
(kJ)
(eq. 4.10)
O "fluxo de trabalho" por unidade de massa será:
wfluxo = P.v
(kJ/kg)
(eq. 4.11)
A relação de "fluxo de trabalho" é a mesma, quer o elemento do fluido entre
ou saia do sistema de volume de controlo. (Fig. 4.12).
Figura 4.12. - Fluxo de trabalho é a energia necessária para fazer entrar ou sair
um fluido num volume de controlo e é igual a Pv
O "fluxo de trabalho" é expresso em termos das propriedades; de facto, é o
produto de duas propriedades de fluído. Por esta razão algumas pessoas vêem
como uma "propriedade combinada" (como a entalpia) e refere-se como "fluxo de
energia" (energia de transporte, em vez de fluído de trabalho). Outros autores
argumentam que o produto P.v representa energia para os fluídos e não representa
qualquer forma de energia para os processos "sem fluxo" (sistemas fechados). No
entanto deve ser tratado com "fluxo de trabalho".
92
Energia total de "fluxo de fluído"
Como discutimos no Capítulo 1, a energia total de um sistema simples
compressível, consiste de três partes: energia interna, cinética e energia potencial
(Figura 4.13).
Figura 4.13 - A energia total de um sistema simples compressível consiste em
três partes
e = u + ke + pe = µ +
V2
+ gz
2
(kJ/kg)
(eq. 4.12)
onde V é a velocidade e z é a elevação do sistema relativamente ao ponto de
referência (nível de referência).
O fluído entrando ou saindo de um sistema de volume de controlo possui uma
forma de energia adicional, a "energia de fluxo" (Pv).
Então, a energia total do fluxo de fluído na base da unidade de massa
(designado por θ) tem a seguinte expressão:
θ = Pv + e = Pv + (u + ke + pe )
Mas a combinação de u com Pv é definido como a entalpia h.
Então a relação acima descrita pode ter a seguinte forma:
θ = h + ke + pe = h +
V2
+ gz
2
(kJ/kg)
(eq.4.13)
O professor J. Kestin propôs, em 1966, que o termo θ fosse designado por
metaentalpia (que significa para além da entalpia).
Utilizando a entalpia, em vez da energia interna, para representar a energia
de fluxo de fluído, não temos que estar concentrados no "fluxo de trabalho".
A energia associada a entradas e saídas do fluxo de fluído no sistema de
volume de controlo é imediatamente relacionado com a entalpia.
93
A partir de agora, a energia do fluxo entrando e saindo do sistema VC é
representado pela eq. 4.13, e não é referenciado o "fluxo de trabalho" ("trabalho do
fluxo") (Fluxo de energia).
Então o termo trabalho W nas equações de energia dos sistemas de volume
de controlo, representa todas as formas de trabalho (trabalho da fronteira, mecânico,
eléctrico, etc), excepto o "Fluxo de trabalho" (Trabalho do fluxo).
4.2. Processos de fluxo estacionário
Um grande número de equipamentos em engenharia, tais como turbinas,
compressores e tubeiras operam durante longos períodos de tempo nas mesmas
condições, e são classificados como "equipamentos de fluxo estacionário".
Processos envolvendo regime de fluxo estacionário podem ser razoavelmente
representados
por
processos
ideais,
designados
por
processos
de
fluxo
estacionário.
Um processo de fluxo estacionário pode ser definido como um processo
durante o qual o fluido flui através do sistema de volume de controlo de um modo
estacionário. Isto quer dizer que as propriedades do fluido podem variar de ponto
para ponto dentro do volume de controlo, mas para qualquer ponto fixo permanecem
constantes durante o processo total (Fig. 4.14).
(Recordar que estacionário significa não varia com o tempo).
94
Figura 4.14. - Durante um processo de fluxo estacionário as propriedades do
fluido no volume de controlo podem variar de ponto para ponto, mas
permanecem constantes ao longo do tempo
Um processo de fluxo estacionário é caracterizado pelo seguinte:
1. Nenhuma propriedade (intensiva ou extensiva) dentro do sistema de
volume de controlo varia com o tempo. Então o volume V, a massa m, e a energia
total E do volume de controlo mantêm-se constantes durante um processo de fluxo
estacionário (Fig. 4.15).
Figura 4.15 - Em condições de fluxo estacionário, o conteúdo de massa e de
energia do volume de controlo permanecem constantes
Como resultado, o trabalho da fronteira é zero para sistemas de fluxo
estacionário (uma vez que ∆VVC = constante), e a massa total, ou energia, que entra
no volume de controlo, deve ser igual à massa total, ou energia, que sai do sistema
(uma vez que mVC = constante e EVC = constante). Estas observações facilitam
extraordinariamente a análise dos sistemas.
2. Nenhuma propriedade varia na fronteira dos sistemas de volume de
controlo. Então, as propriedades dos fluidos à entrada e saída permanecem
constantes durante todo o processo.
As propriedades podem contudo ser diferentes em diferentes aberturas
(entradas e saídas).
Elas podem mesmo variar através da secção transversal de uma entrada ou
saída. Mas todas as propriedades, incluindo a velocidade e altura, permanecem
constantes com o tempo para uma determinada posição previamente fixada. Como
consequência, o fluxo de massa do fluido numa abertura deve-se manter-se
constante durante um processo de fluxo estacionário (Fig. 4.16).
95
Figura 4.16. - Em condições de fluxo estacionário, as propriedades do fluido à
entrada e saída permanecem constantes
Uma simplificação adicional, é que as propriedades do fluido numa abertura
são consideradas normalmente uniformes (considerando o valor médio), através da
secção transversal.
Então as propriedades do fluido à entrada e saída podem ser consideradas
por valores únicos que são dados pelos valores médios.
3. As interacções de calor e trabalho entre um sistema de fluxo estacionário e
os seus arredores não variam com o tempo. Então a potência produzida pelo
sistema e a taxa de calor ou trabalho transferido para o sistema a partir do sistema
permanece constante num processo de fluxo estacionário.
Alguns
equipamentos
cíclicos,
tais
como
motores
recíprocos
ou
compressores, não satisfazem as condições anteriormente referidas, uma vez que o
fluxo à entrada e saída não é estacionário, mas sim por impulsos. Contudo, as
propriedades variam com o tempo de um modo periódico, e os fluxos através desses
equipamentos podem ser analisados como processos de fluxo estacionário, usando
valores de tempo médios para as propriedades e para a taxa de calor através da
fronteira.
Condições de fluxo estacionário pode ser consideradas boas aproximações
para equipamentos tais como turbinas, bombas, caldeiras, condensadores, e
permutadores de calor ou estações de vapor.
Conservação de massa
Durante um processo de fluxo estacionário, a massa total contida num
processo de volume de controlo não varia com o tempo (mVC = constante). Então, o
96
princípio da conservação de massa requer que a quantidade total de massa que
entra num sistema de volume de controlo seja igual à quantidade total de massa que
deixa o sistema (Fig. 4.17).
Figura 4.17. - Durante um processo de fluxo estacionário, a quantidade de
massa que entra no volume de controlo é igual à quantidade que sai
Quando lidamos com processos de fluxo estacionário, não estamos
interessados na quantidade de massa que entra e sai do sistema durante o intervalo
de tempo; em vez disso, estamos interessados na quantidade de massa fluindo na
.
unidade de tempo isto é, no fluxo de massa m . O principio de conservação de
massa para um sistema de fluxo estacionário com múltiplas entradas e saídas (Fig.
4.18), pode ser expresso na forma de taxa, da seguinte maneira:
(massa total que entra no sistema
=
(massa total que sai do sistema de
de volume de controlo VC por
volume de controlo VC por unidade
unidade de tempo)
de tempo
.
.
∑m = ∑m
i
e
(kg/s)
(eq. 4.14)
onde o índice i indica a entrada e o índice e indica a saída.
97
Figura 4.18. - Princípio da conservação de massa para um sistema estacionário
de duas entradas e uma saída
A maior parte dos equipamentos como tubeiras, difusores, turbinas,
compressores e bombas envolvem um fluxo único (só uma entrada e uma saída).
Neste caso designamos a entrada por 1 e saída por 2.
A equação 4.14 reduz-se para o caso de um só único fluxo, para sistemas de
fluxo estacionário como:
.
.
m1 = m 2
(kg/s)
(eq. 4.15)
ρ 1V1 A1 = ρ 2V2 A2
(eq. 4.16)
1
1
V1 A1 = V2 A2
v1
v2
(eq. 4.17)
onde:
ρ - densidade (kg/m3)
v (=1/ρ) - volume específico (m3/kg)
V - velocidade média do fluxo na direcção do fluxo (m/s)
A - secção transversal normal à direcção do fluxo (m2)
Convém lembrar que não há princípio de conservação do volume. Portanto, a
.
taxa de fluxo de volume (V = V . A , m3/s) à entrada e saída do fluxo estacionário num
determinado equipamento pode ser diferente. A taxa de fluxo de volume a saída
num compressor de ar pode ser muito menor que à entrada, mesmo que a taxa de
fluxo de massa à entrada e saída permaneça constante (Fig. 4.19).
98
Figura 4.19 - Durante um processo estacionário as taxas de fluxo de volume
não são necessariamente conservadas
Isto é devido à elevada densidade do ar à saída do compressor. Para fluxos
líquidos, contudo, as taxas de fluxo de volume, bem como as taxas de fluxo de
massa, permanecem constantes, uma vez que os líquidos são essencialmente
incompressíveis (densidade = constante).
Conservação da energia
Durante um processo de fluxo estacionário, a quantidade de energia contida
num sistema de volume de controlo é constante (EVC= const). Por isso, a variação da
energia total de um sistema de volume de controlo durante um processo é zero
(∆EVC= const). Então, a quantidade de energia que entra num sistema de volume de
controlo em todas as formas (calor, trabalho, transferência de massa) deve ser igual
à quantidade de energia que deixa o sistema de fluxo estacionário.
Consideramos um aquecedor de água em condições de fluxo estacionário
(Fig. 4.20).
Figura 4.20. - Aquecedor de água em condições de fluxo estacionário
.
Um fluxo de H2O fria, com um fluxo de massa m , está continuamente a entrar
num aquecedor de água e uma taxa de fluxo de massa está a sair do aquecedor de
água.
O aquecedor de água (volume de controlo) está a perder calor para os
99
.
arredores a uma taxa de Q , e o elemento de aquecimento está realizando trabalho
.
eléctrico (aquecimento) na água à taxa de W . Na base do princípio da conservação
de energia, podemos dizer que o fluxo de água experimentou um aumento da sua
energia interna total quando flui através do aquecedor da água, que é igual à energia
eléctrica fornecida à água menos as perdas de calor.
A 1ª lei da termodinâmica, ou o princípio da conservação da energia para um
sistema em processo de fluxo estacionário com múltiplas entradas e saídas, pode
ser expresso por:
=
(Energia total que
(Energia total
-
(Energia total
atravessa a
transportada pela
transportada pela massa
fronteira como
massa transferida para
transferida para o
calor ou trabalho
fora do sistema de VC
sistema VC por unidade
por unidade de
unidade de tempo)
de tempo
tempo)
ou
.
.
.
.
.
Q− W = ∑ m e θ e − ∑ mi θ i
(eq. 4.18)
onde θ é a energia total do fluxo de fluído, incluindo o fluxo de trabalho por unidade
de tempo por unidade de massa (Fig. 4.21).
.
Figura 4.21. - O produto m i θ i é a energia transportada pela massa para o
volume de controlo por unidade de tempo
Pode ser expresso como:
. 



Ve2
Vi 2
Q − W = ∑ m e  he +
+ gz e  − ∑ m i  hi +
+ gz i 
2
2




.
.
.
(kW)
(eq. 4.19)
100
uma vez que θ = h + ke + pe = h +
V2
+ gz (eq. 4.13).
2
A equação 4.19 é a forma genérica da 1ª lei da termodinâmica para processos
de fluxo estacionário.
Para um fluxo único (uma entrada e uma saída) pode ser expresso como
estado 1 e 2. A taxa de fluxo de massa através do sistema de controlo de volume
.
.
.
permanece constante ( m 1 = m 2 ) e é designado por m .
Então a equação de conservação da energia para um sistema com um único
fluxo estacionário será:
.
.
. 

V 2 − V12
Q − W = m h2 − h1 + 2
+ g (z 2 − z1 ) (kW )
2


(eq. 4.20.)
ou
.
.
.
Q − W = m (∆h + ∆ke + ∆pe )
(kW)
(eq. 4.21.)
.
Dividindo estas equações por m , obtém-se a 1ª relação na base da unidade
de massa:
V22 − V12
q − w = h2 − h1 +
+ g (z 2 − z1 )
2
(kJ/kg)
(eq. 4.22)
ou
q − w = (∆h + ∆ke + ∆pe )
(kJ/kg)
(eq. 4.23)
onde:
.
Q
q=
m
calor transferido por unidade de massa (kJ/kg)
(eq. 4.24)
.
W
w=
m
trabalho realizado por unidade de massa (kJ/kg) (eq. 4.25)
Se o fluido experimentar uma variação muito pequena na sua energia cinética
e potencial, uma vez que o fluxo atravessa o sistema de volume de controlo (isto é,
∆ke ≈ 0 e ∆pe ≈ 0), então a equação de energia pode ser simplificada:
q - w = ∆h
(kJ/kg)
(eq. 4.26)
Esta é a forma mais simples de 1ª lei da termodinâmica para os sistemas de
volume de controlo. Esta forma é semelhante à expressão da 1ª lei para sistemas
fechados excepto que ∆u é substituído por ∆h.
Os
termos
que
aparecem
nesta
expressão
(eq.
4.26),
significam,
101
respectivamente:
.
Q - taxa de calor transferido entre o volume de controlo e os arredores.
Quando o volume de controlo está a perder calor (como no caso de um equipamento
.
para aquecimento de água), Q é negativo. Se o sistema de volume de controlo for
.
suficientemente isolado (isto é, adiabático), então Q = 0.
.
W - potência. Para equipamentos de fluxo estacionário, o volume de controlo
é constante, então não há trabalho da fronteira. O trabalho necessário para fazer
entrar massa no sistema e para fazer sair massa do sistema é, também, tomado em
consideração, usando o termo das entalpias para os fluxos de energia em vez de
.
energias internas. Então, W representa as restantes formas de trabalho realizado
por unidade de tempo (Fig. 4.22).
Figura 4.22. - Em condições de fluxo estacionário, o trabalho das pás e o
trabalho eléctrico são as únicas formas de trabalho que um sistema
compressível simples pode envolver
A maior parte dos equipamentos funcionam em regime de fluxo estacionário,
tais como turbinas, compressores, bombas, transmitindo potência através de um
.
o trabalho das pás para estes
sistema de pá mecânica (shaft), sendo W
equipamentos.
Se a secção da superfície de controlo for atravessada por fios eléctricos
.
(como no caso do aquecimento da H2O), W representará o trabalho eléctrico
.
realizado por unidade de tempo. Se não tiver nenhum trabalho presente, então W =0
e ∆h = hsaída - hentrada.
102
A variação da entalpia do fluido pode simplesmente ser determinada pela
leitura, nas tabelas, dos valores da saída e de entrada no sistema. Para gases
ideais, pode aproximadamente tomar-se:
∆h = C p , av (T2 − T1 )
Nota: (kg/s)(kJ/kg)=kW
∆ke =
(V
2
2
)
− V12
. A unidade de energia cinética é m2/s2, que é equivalente a
2
J/kg (Fig. 4.23).
Figura 4.23. - As unidades m2/s2 e J/kg são equivalentes
A entalpia tem as unidades de kJ/kg.
Para adicionar estas duas quantidades, a energia cinética deve ser expressa
em kJ/kg.
Isto é facilmente convertido se dividirmos por 1000.
À velocidade de 45 m/s corresponde uma energia cinética de, somente,
1KJ/kg que é muito pequena comparada com os valores da entalpia encontrados na
prática. Então, o termo energia cinética para velocidades baixas pode ser
desprezado. Quando um fluxo entra e sai do sistema com a mesma velocidade
(V1≈V2) a variação da energia cinética é próxima de zero, independentemente do
valor da velocidade. Contudo, a altas velocidades deve-se ter cuidado, uma vez que
variações pequenas na velocidade causam pequenas variações na energia cinética.
(Fig. 4.24).
103
Figura 4.24. - A velocidades elevadas, pequenas variações na velocidade
podem causar variações significativas na energia cinética do fluido
∆pe = g (z2-z1). Um argumento semelhante pode ser dado para o termo da
energia potencial. Uma energia potencial de 1 KJ/kg corresponde a uma elevação de
102 m.
A diferença de altura entre a entrada e a saída, na maior parte dos
equipamentos industriais, tais como turbinas e compressores, é bastante abaixo
deste valor, e o termo energia potencial pode ser desprezado nestes equipamentos
O termo energia potencial tem algum significado quando se envolve uma
bomba que eleva um fluído a uma altura elevada. Isto é particularmente verdadeiro
para sistemas envolvendo transferências de calor desprezíveis.
4.3. Alguns equipamentos em engenharia que operam em fluxo
estacionário
Muitos equipamentos em engenharia operam essencialmente nas mesmas
condições durante longos períodos de tempo. As componentes de uma central de
vapor (turbinas, compressores, permutadores de calor, e bombas) operam sem
parar durante meses, antes dos sistemas serem fechados para manutenção (Fig.
4.25. Então, este equipamento pode ser convenientemente analisado como sistemas
de fluxo estacionário.
104
Tubeira
Turbina
Câmara
de
mistura
Difusor
Compressor
Válvula de
estrangulamento
Permutador de
calor
Figura 4.25. - Equipamentos que operam em fluxo estacionário
Neste capítulo, alguns desses equipamentos são descritos, e os aspectos
termodinâmicos do fluxo através dos equipamentos são analisados.
Os princípios de conservação de massa e energia para este equipamento são
ilustrados com exemplos.
1. Tubeiras e Difusores
Tubeiras e difusores são normalmente utilizados em motores a jacto,
rocketes, naves espaciais, e mesmo nos jardins.
Uma tubeira (nozzle, em inglês) é um equipamento que aumenta a velocidade
do fluido através da diminuição da pressão.
Um difusor (diffuser, em inglês) é um equipamento que aumenta a pressão do
fluido através da diminuição da velocidade do fluido. Isto é, tubeiras e difusores tem
funções opostas. A área da secção transversal de uma tubeira diminui no sentido da
direcção do fluxo para fluxos subsónicos (velocidade abaixo da velocidade do som) e
aumenta para fluxos supersónicos (velocidade acima da velocidade do som). O
oposto é verdadeiro para difusores.
A Fig. 4.26 ilustra, esquematicamente, uma tubeira e difusor.
105
Figura 4.26. - Esquema de uma tubeira e de um difusor
A importância relativa dos termos que figuram na equação da energia para
tubeiras e difusores é a seguinte:
.
Q =0 - A taxa de fluxo de calor que é transferido entre o fluxo de fluido,
atravessando uma tubeira ou um difusor, e os arredores é muito pequeno, mesmo
que estes equipamentos não sejam isolados. Isto é devido aos fluidos terem
velocidades elevadas e não gastarem tempo suficiente no equipamento para haver
transferência de calor significativa. Portanto, na ausência de transferência de calor, o
fluxo que atravessa uma tubeira ou um difusor pode ser considerado adiabático.
.
W =0 - O termo referente a trabalho para as tubeiras e os difusores é zero,
uma vez que não envolvem trabalho mecânico ou eléctrico.
∆ke ≠0 - Tubeiras e difusores envolvem altas velocidades e, como referido,
como o fluído passa através de uma tubeira ou difusor, sofre grandes variações de
velocidade (Fig. 4.27). Então, a variação da energia cinética deve ser considerada
quando da análise do fluxo que atravessa estes equipamentos.
106
Figura 4.27. - As tubeiras e difusores são desenhados de modo a causarem
grandes variações na velocidade do fluido e, consequentemente, na sua
energia cinética
∆pe ≈ 0 O fluído não sofre nenhuma ou muito pequena variação na energia
potencial, e portanto este termo pode ser desprezado.
2. Turbinas e compressores
As turbinas de vapor e gás são comuns em plantas hidroeléctricas; os
equipamentos dos geradores eléctricos são turbinas.
Como o fluido passa através da turbina, o trabalho é realizado contra as pás
que estão ligadas a um veio. Como resultado, as pás rodam, e a turbina produz
trabalho. O trabalho realizado na turbina é positivo uma vez que é feito pelo fluido.
Os compressores, tais como bombas e ventoinhas, são equipamentos usados
para aumentar a pressão do fluido. Trabalho é fornecido a estes equipamentos de
uma fonte externa através de um rotor (eixo em rotação).
Então, o termo trabalho para o compressor é negativo uma vez que o trabalho
é realizado no fluido. Mesmo assim, estes três equipamentos funcionam de modo
semelhante, só diferem no que se refere ao funcionamento, dependendo da sua
aplicação.
Uma ventoinha aumenta ligeiramente a pressão de um gás e é utilizada para
fazer com que o ar circule.
Um compressor é capaz de comprimir o gás até pressões muito elevadas.
As bombas trabalham de um modo semelhante ao de um compressor; a única
diferença é que utilizam líquidos em vez de gases.
Para as turbinas e compressores, a importância dos vários parâmetros que
107
aparecem na equação da energia são as seguintes:
.
Q ≈0 - O calor transferido para estes equipamentos é geralmente pequeno,
quando comparado com o trabalho realizado pelo motor, só tendo expressão se
houver arrefecimento (como é o caso do compressor). A partir de valores
experimentais, pode-se desprezar estes valores de transferência de calor, só tendo
relevância quando houver arrefecimento.
.
W ≠0 - Todos estes equipamentos envolvem trabalho de motores e, portanto,
.
o termo trabalho é importante. Para as turbinas W representa a potência de saída;
para as bombas e compressores, representa a potência de entrada.
∆pe ≈ 0 - A variação da energia potencial que um fluído sofre ao fluir através
das turbinas, compressores e bombas é normalmente muito pequena, e portanto
pode ser desprezada.
∆ke ≈0 - As velocidades envolvidas em todos estes equipamentos, com
excepção das turbinas são, normalmente, muito pequenas para causar qualquer
variação significativa na energia cinética. Contudo, esta variação é muito pequena
relativamente à variação da entalpia e, este termo, é normalmente desprezado.
3. Válvulas de estrangulamento
Válvulas de estrangulamento são qualquer espécie de equipamento que
provoque estrangulamento no fluxo, do que resulta uma diminuição de pressão do
fluído. Alguns exemplos familiares são: válvulas ajustáveis, tubagenss capilares e
tomadas de fluído (Fig. 4.28).
Figura 4.28. - Válvulas de estrangulamento são equipamentos que causam
grandes perdas de pressão no fluido
Contrariamente às turbinas, produzem uma diminuição de pressão sem
108
envolver qualquer espécie de trabalho. Ao decréscimo da pressão no fluído,
corresponde uma grande diminuição da temperatura e, por esta razão, as válvulas
de estrangulamento são utilizadas nos sistemas de refrigeração e de ar
condicionado. O decréscimo da temperatura ( ou, algumas vezes, o seu aumento) é
governado por uma propriedade designada por coeficiente de Joule Thomson.
As válvulas de estrangulamento são equipamentos muito pequenos, e o fluxo
de fluído através deles pode ser considerado adiabático (Q=0). Não há, também,
trabalho realizado (W=0), e a variações na energia potencial, se for alguma, é muito
pequena (∆pe=0). Mesmo que a velocidade de saída seja normalmente elevada,
comparativamente com a velocidade de entrada, na maior parte dos casos, a
variação da energia cinética é insignificativa ( ∆ke ≈0).
Então, o princípio da conservação da energia para um fluxo estacionário único
reduz-se a:
h2 - h1 ≈0
(kJ/kg)
(eq. 4.27)
Isto quer dizer que a entalpia à entrada e saída, são idênticas numa válvula
de estrangulamento. Uma válvula de estrangulamento é, muitas vezes, designada
por um equipamento isentálpico.
Para realizarmos o que se passa no fluído no interior de uma válvula de
estrangulamento, vamos exprimir a equação 4.27 do seguinte modo:
u1 + p1v1 = u2 + p2v2
ou:
energia interna + energia do fluxo = constante
Então, o processo à saída de uma válvula de estrangulamento depende do
aumento das duas propriedades durante o processo.
Se o fluxo de energia aumenta durante o processo (p2v2 > p1v1), só o pode
fazer através do gasto da energia interna.
Então, como resultado, a energia interna diminui, o que normalmente é
acompanhado por um abaixamento da temperatura.
Se o produto pv diminui, a energia interna e a temperatura do fluído
aumentam durante o processo de estrangulamento. No caso de um gás ideal h = h
(T) e, então, a temperatura tende a manter-se constante durante o processo (Fig.
4.29).
109
Figura 4.29. - A temperatura de um gás ideal não varia durante um processo de
estrangulamento (h=constante) uma vez que h=h(T)
4.a. Câmaras de mistura
Em aplicações de engenharia, a mistura de dois fluxos de fluído não é uma
ocorrência rara. Estes processos são designados por câmara de mistura. Não tem
necessariamente que ser uma câmara. Um vulgar T em cotovelo num chuveiro, por
exemplo, pode ser considerado uma câmara de mistura para fluxos de água fria e
quente (Fig. 4.30).
Figura 4.30. - Um cotovelo em T de um simples chuveiro funciona como
câmara de mistura para fluxos de água fria e água quente
O principio da conservação de massa para uma câmara de mistura requer
que a taxa de fluxo de massa à entrada seja igual à taxa de fluxo de massa à saída.
Câmaras de mistura são normalmente bem isoladas (q ≈0) e não envolvem
qualquer espécie de trabalho (W =0).
Também, a variação de energia cinética e potencial são desprezáveis (∆ke ≈0
110
e ∆pe ≈0).
Então, a equação da conservação de energia é análoga à equação da
conservação de massa:
.
.
∑m = ∑m
i
e
4.b. Permutadores de calor
Permutadores de calor são equipamentos onde dois fluídos em movimento
trocam calor quando se misturam. Os permutadores de calor são utilizados em
grande escala em várias industrias e aparecem com diferentes desenhos.
A forma mais simples de um permutador de calor é uma tubagem dupla
(também designado tubagem em concha), ilustrada na Fig. 4.31. É formado por duas
tubagens concêntricas de diferentes diâmetros.
Figura 4.31. - Um permutador de calor pode ser constituído apenas por 2
tubagens concêntricas de diferentes diâmetros
Um fluído circula na tubagem interna e o outro circula na superfície anelar
entre as duas tubagens. O calor é transferido do fluído quente para o fluído frio
através da parede que os separa. Algumas vezes a tubagem interna tem uma série
de voltas dentro da concha para aumentar a área de transferência de calor, e
portanto a taxa de fluxo de calor. As camadas de mistura, discutidas anteriormente,
são, por vezes, designadas por permutadores de calor de contacto directo.
O princípio da conservação de massa para um permutador de calor em
condições estacionários, necessita que a soma da taxa de fluxo de massa no inferior
seja igual à soma da taxa de fluxo de massa do exterior. Este princípio pode também
ser expresso do seguinte modo: em condições de fluxo estacionário a taxa de fluxo
111
de massa de cada fluxo de fluído atravessando o permutador de calor permanece
constante.
Os permutadores de calor não envolvem interacções de trabalho (W =0) e as
variações de energia cinéticas e potencial são desprezáveis ((∆ke ≈0 e ∆pe ≈0) para
cada fluxo de fluído. A taxa de fluxo de calor transferido associada aos
permutadores de calor depende do modo como o volume de controlo é
seleccionado.
Os permutadores de calor são concebidos para promover a transferência de
calor entre dois fluxos de fluídos dentro do equipamento, e a camada exterior (capa)
é normalmente bem isolada para prevenir qualquer perda de calor para o meio
circundante.
Quando no permutador de calor, a tubagem é seleccionada como volume de
.
controlo, Q torna-se zero, uma vez que a fronteira, neste, caso fica confinada à
parede isolada e, portanto, não há perda de calor (Fig. 4.32).
Figura 4.32. - A transferência de calor associada a um permutador de calor
pode ser nula ou não, dependendo do modo como o sistema é seleccionado
No entanto, se for só um fluído seleccionado como volume de controlo, então
há transferência de calor através da fronteira, uma vez que o calor passa de um
.
.
fluído para outro e Q não é zero. De facto, Q , neste caso, será a taxa de fluxo
transferido entre os dois fluídos (Fig 4.33.).
112
Fig. 4.33. - Num permutador de calor, a transferência de calor depende da
escolha do volume de controlo
5. Tubagens e condutas de fluxo
O transporte de líquidos e gases em tubagens e condutas é de grande
importância em muitos equipamentos de engenharia.
Um fluxo através de tubagens ou condutas satisfaz, normalmente, as
condições de estado estacionário e, como tal, podem ser analisados como
processos de fluxo estacionário. Isto, exclui as condições transitórias dos períodos
de início e de paragem. O volume de controlo pode ser seleccionado para coincidir
com as superfícies interiores de uma porção da tubagem ou da conduta que nós
estamos interessados em analisar.
Quando o fluxo que atravessa os tubagens ou condutas é analisado, os
pontos seguintes pode ser considerados:
.
Q ≠0 - Em condições normais, a quantidade de calor ganho, ou perdido, pelo
fluído pode ser muito significativo, particularmente se a tubagem ou conduta for
longa (Fig. 4.34).
Figura 4.34. - As perdas de calor para os arredores de um fluido quente fluindo
numa tubagem ou numa conduta não isolada podem ser muito significativas
113
Algumas vezes a transferência de calor é desejável e é o único propósito do
fluxo: O fluxo de H2O através das tubagens na fornalha de uma estação de vapor, o
fluxo do fluído refrigerante num frigorífico e o fluxo nos permutadores de calor são
alguns exemplos deste caso. Noutras condições, a transferência de calor é
indesejável, e as tubagens e condutas são isoladas para precaver qualquer perda ou
ganho de calor, particularmente quando a diferença de temperatura entre o fluxo do
fluído e os arredores é grande; nestes casos a transferência de calor é desprezável.
.
W ≠0 - Se o volume de controlo envolve uma secção de aquecimento (fios
eléctricos), uma ventoinha, uma bomba (pás rotor), o termo trabalho deve ser
considerado (Fig. 4.43).
Figura 4.35. - Fluxos em tubagens ou condutas podem envolver mais do que
uma forma de trabalho ao mesmo tempo
Destes, o trabalho da ventoinha é usualmente pequeno e muitas vezes
desprezado. Se o volume de controlo não envolve o trabalho destes equipamentos,
o termo trabalho deve ser zero.
∆ke ≈0 - As velocidades envolvidas no fluxo que percorrem a tubagem ou
conduta são relativamente baixas, e a variação da energia cinética é normalmente
insignificante. Isto é particularmente verdadeiro quando o diâmetro da tubagem ou
da conduta é constante e os efeitos de aquecimento são desprezáveis. No entanto,
para fluxos de gás em condutas com secções transversas variáveis, as variações da
energia cinética podem ser significativas.
∆pe ≠0 - Nas condutas e tubagens, o fluido pode ter uma elevação
considerável. Então, o termo energia potencial pode ser significativo. Isto é
particularmente verdadeiro para fluxos que atravessam tubagens isolados e
condutas onde a transferência de calor não ultrapassa outros efeitos.
114
4.4 Processos de fluxo não estacionário
Muitos processos de interesse envolvem variações do volume de controlo
com o tempo.
Alguns processos são designados processos de fluxo não estacionário, ou
processo de fluxo transitório.
Alguns processos familiares de fluxo não estacionário ou transitório são, (Fig.
4.36), por exemplo, a carga de vasos rígidos a partir de linhas de abastecimento, a
descarga de um fluido de um vaso pressurizado, uma turbina de gás funcionando
com ar pressurizado armazenado num contentor, enchimento de pneus ou balões, e
mesmo cozinhar com panela de pressão.
Figura 4.36 - Carga de vasos rígidos a partir de linhas de abastecimento
Tal como os processos de fluxo estacionário, o processo de fluxo não
estacionário começa e termina durante um certo período de tempo finito, em vez de
continuar indefinidamente. No entanto, neste capítulo, vamos lidar com variações
que ocorrem durante um certo intervalo de tempo ∆t, em vez de lidarmos com taxas
(variações na unidade de tempo).
Um sistema de fluxo não estacionário é semelhante a um sistema fechado,
exceptuando que, a massa dentro das fronteiras do sistema não permanece
constante durante o processo.
A outra diferença entre fluxos estacionários e fluxos não estacionários, é que
os primeiros são fixos no espaço, no tamanho e na forma. No entanto, processos de
fluxo não estacionário, não o são (Fig. 4.37).
115
Figura 4.37 - A forma e o tamanho de um volume de controlo podem variar
num processo de fluxo não estacionário
Eles são usualmente estacionários, isto é, são fixos no espaço, mas podem
envolver
fronteiras
móveis
e,
portanto,
envolver
trabalho
de
fronteira.
Desenvolveremos, para estes processos, o princípio da conservação da massa e da
energia.
Conservação de massa
Durante um processo de fluxo não estacionário, a quantidade de massa
dentro do volume de controlo varia com o tempo. O grau de variação depende da
quantidade de massa que entra e sai do volume do controlo de volume.
Consideremos uma "banheira" que está semi-cheia de H2O (Fig. 4.38).
Figura 4.38 - Princípio da conservação da massa aplicado a uma simples
banheira
A massa total de água neste ponto é dada por m1=150 kg.
Tomemos o volume ocupado pela água como o "volume de controlo".
Obviamente, que a parte superior da fronteira do volume de controlo (a superfície
116
livre) mover-se-á para cima ou para baixo, dependendo da quantidade de água
dentro da banheira.
Agora, quer a torneira quer o ralo estão abertos, permitindo que entre e saia
água da banheira, o nível de água na banheira subirá ou descerá dependendo do
fluxo de entrada e saída.
Depois de algum tempo (∆t), quer a torneira quer o ralo são fechados. A
quantidade de água que entrou na banheira foi medida, e é mi=50 kg, e a quantidade
de água que foi despejada foi 30 kg=me.
Não tendo em conta qualquer perda de H2O por evaporação, a quantidade de
água na banheira no final do processo (m2), é determinado na base do principio da
conservação da massa, que pode ser expresso da seguinte maneira:
O aumento da massa de água na banheira é igual ao fluxo de massa líquida
que entra na banheira, isto é:
mi -me =(m2 -m1)banheira
(50 kg - 30 kg)=(m2 - 150 kg)
m2=170 kg
Então o princípio de conservação de massa para um processo de volume de
controlo em condições de fluxo não estacionário num intervalo de tempo ∆t pode ser
expresso por:
(Massa total que entra
-
(Massa total que sai
=
(Variação líquida de
num volume de controlo
do volume de controlo
massa dentro do
no intervalo ∆t)
no intervalo ∆t)
volume de controlo
no intervalo ∆t)
∑ m − ∑ m = ∆m
∑ m − ∑ m = (m − m )
i
e
i
e
VC
2
1 VC
(eq. 4.28)
(eq. 4.29)
onde os índices
i - entrada
e - saída
1 - estado inicial do volume de controlo
2 - estado final do volume de controlo
117
Muitas vezes, um ou mais termos da equação 4.29 são nulos. Por exemplo,
mi = 0 se não houver entrada de massa no sistema, me = 0 se não houver saída da
massa do sistema durante o processo, e m1 será zero se o sistema (banheira)
estiver vazia.
O princípio da conservação de massa para um processo não estacionário
pode ser expresso em termos de taxa, dividindo cada termo da equação 4.28 pelo
intervalo de tempo ∆t:
∑m − ∑m
i
e
=
dm VC
dt
(kg/s)
Para o caso especial de fluxo estacionário:
dmVC
=0
dt
Usando a relação para a taxa de fluxo de massa da equação 4.4, a equação
da conservação da massa na forma de taxa para um processo geral de controlo de
volume, pode ser expressa por:




∑  ∫ ρV dA  − ∑  ∫ ρV dA 
A
n
i
A
n
e
=
d
ρdV
dt V∫
(eq. 4.30)
onde
d
ρdV é a massa total contida no volume de controlo num instante t.
dt V∫
Conservação da energia
Quando analisamos um sistema de fluxo não estacionário devemos
considerar o conteúdo energético do sistema de volume de controlo, bem como a
energia que entra e sai do sistema.
Para clarificar, vamos considerar o exemplo anterior da banheira (Fig. 4.39).
118
Figura 4.39 - Princípio da conservação da energia para uma simples banheira
O conteúdo de energia inicial presente na banheira é a energia inicial do
volume de controlo (por exemplo, E1=500 kJ). Provavelmente, perde-se algum calor
da água da banheira para o chão, ar circundante, etc. (por exemplo, Q= -50 kJ). Se
o nível da água sobe, algum trabalho de fronteira é realizado contra o ar (por
exemplo, Wb= 10 kJ). Este é o único trabalho envolvido, uma vez que não há pás
nem fios eléctricos a atravessar as fronteiras. O conteúdo energético do volume de
controlo aumentará à medida que um fluxo de massa entra no sistema, e diminuirá à
medida que um fluxo de massa sai do sistema (θi = 300 kJ e θe = 100 kJ)), onde θ é
aenergia transportada com a massa.
Desprezando qualquer perdas de água por evaporação, a energia contida na
banheira no fim do processo (E2) é determinado tendo como por base o princípio da
conservação da energia:
Q -W + θi - θe = (E2 - E1)banheira
- 50 - 10 + 300 - 100 = E2 - 500
E2 = 640 kJ
O principio da conservação da energia para um processo de fluxo não
estacionário pode ser expresso por:
(Energia total que
+
(Energia total
-
(Energia total
=
(Energia
atravessa a
transportada pela
transportada
líquida no VC
fronteira como
massa que entra
pela massa que
durante ∆t)
calor ou trabalho
no VC em ∆t)
sai do VC no ∆t)
durante ∆t)
Q − W + ∑ θ i − ∑ θ e = ∆EVC
(kJ)
(eq. 4.31)
119
onde θ é a quantidade de energia transportada pela massa que entra e sai do
sistema.
A equação da conservação da energia pode ser expressa em termo de taxa:
.
.
.
.
Q − W + ∑θ i − ∑θ e =
dEVC
dt
(kW)
(eq. 4.32)
A energia total de um fluido de massa δm fluindo é θδm, onde θ=h+ke+pe é a
energia total do fluido por unidade de massa. Então, a energia total transportada
pela massa que entra e sai do sistema (θi e θe) é obtida por integração.
Por exemplo, para a entrada:


V2
θ i = ∫ θ i δmi = ∫  hi + i + gz i δmi
2

m
m 
i
(eq. 4. 33)
i
ou, na forma de taxa:


Vi 2

+ gz i 
θ = m i  hi +
2


.
.
(eq. 4.34)
Fazendo para entradas e saídas:




Ve2
Vi 2
+ gz e δm e − ∑ ∫  hi +
+ gz i δmi + ∆E CV
Q − W = ∑ ∫  he +
2
2


me 
mi 
(eq. 4.35)
e
.
.
. 
. 


V2
V2
Q − W = ∑ m e  he + e + gz e  − ∑ m i  hi + i + gz i 
2
2




Caso especial: Processos de fluxo uniforme
Os processos de fluxo não estacionários são difíceis de analisar por causa da
integração na equação 4.35. Esta pode simplificar-se para um modelo de modelo de
processos de fluxo uniforme.
Os processos de fluxo uniforme envolvem os seguintes pressupostos.
1. Em qualquer instante deste processo, o estado do volume de controlo é
uniforme (é o mesmo durante todo o processo). Pode mudar com o tempo, mas fá-lo
de um modo uniforme (Figura 4.40.).
120
Fig. 4.40.- Evolução de um sistema de controlo de volume num processo de
fluxo uniforme
O estado do elemento de massa que, num dado instante, sai do volume de
controlo, é o mesmo do estado do elemento de volume que está do volume do
controlo.
2. As propriedades do fluido podem diferir de uma entrada ou saída para
outras entradas ou saídas (mas o fluxo entra e sai de um modo uniforme e
estacionário). Isto significa que as propriedades não variam com o tempo e posição
na secção transversal na entrada ou saída.
Nestas condições, a integração na equação 4.35 é facilmente efectuada e a
equação da conservação da energia para processos de fluxo uniforme é dada por:




V2
V2
Q − W = ∑ m e  he + e + gz e  − ∑ m i  hi + i + gz i  + (m 2 e 2 − m1 e1 )VC
2
2




(eq.4.37)
Quando as variações de energia cinética e potencial associadas ao volume de
controlo e os fluxos de fluido são desprezáveis, a equação 4.37 reduzir-se-á a:
Q − W = ∑ m e he − ∑ mi hi + (m 2 u 2 − m1 u1 )VC
(eq. 4.38)
onde:
i - entrada
e - saída
1 - estado inicial
2 - estado final
e
Q = calor total transferido entre o volume de controlo e os arredores durante o
processo. É negativo se o calor deixar o sistema, e zero se o volume de controlo for
bem isolado.
121
W = trabalho total associado com o volume de controlo. Pode envolver
trabalho eléctrico, trabalho mecânico das pás e, também, trabalho realizado pela
fronteira do volume de controlo que se move durante o processo. (Fig. 4.41).
Figura 4.41 - Um sistema de fluxo uniforme pode envolver diversas formas de
trabalho (mecânico, eléctrico e de fronteira) simultaneamente
O trabalho total será zero para um volume de controlo que não envolve
movimento da fronteira, movimento de pás ou resistências eléctricas.
mi = massa que entra no volume do controlo. É zero se não houver entrada de
massa no volume de controlo, durante o processo.
U1 = m1u1 - Energia inicial total do volume de controlo. É zero para um volume
de controlo que no estado inicial estava vazio.
U2 = m2u2 - energia final total do volume de controlo.
122
RESUMO
Neste capítulo, discutimos os princípios da conservação da massa e da
energia para volumes de controlo.
Massa transporta energia, então o conteúdo de energia varia quando a massa
entra ou sai de um volume de controlo.
O fluxo de massa através de uma secção, por unidade de tempo, é designada
.
por taxa de fluxo de massa e é designada por m e é expresso por:
.
m = ρVav A
(kg/s)
onde:
ρ = massa volúmica (kg/m3) =(1/v)
Vav = velocidade média do fluido normal a A (m/s)
A = área da secção transversal (m2)
O volume de fluido atravessando a secção transversal por unidade de tempo é
.
designado por taxa de volume de fluxo V . É dado por:
.
V = ∫ Vn dA = Vav A
(m3/s)
A
O fluxo de taxa de massa e o fluxo de taxa volume estão relacionados por:
.
V
m = ρV =
v
.
.
Processos termodinâmicos envolvem volumes de controlo. Podem ser
considerados em dois grupos: processos de fluxo estacionário e processos de fluxo
não estacionário. Durante os processos de fluxo estacionário, o fluido flui através do
volume de controlo de um modo estacionário e não sofre variação como tempo
numa posição fixa.
O conteúdo de massa e energia do volume de controlo permanece constante
durante um processo de fluxo estacionário. As equações de conservação de massa
e energia para processos de fluxo estacionário são expressos por:
.
.
∑m = ∑m
i
e
(kg/s)
123
. 



Ve2
Vi 2



Q − W = ∑ m e  he +
+ gz e  − ∑ m i  hi +
+ gz i 
2
2




.
.
.
(kW)
onde o indíce i é a entrada e e a saída.
Estas são as equações mais genéricas para processos de fluxo estacionário.
Para um único fluxo (uma entrada, uma saída), sistemas tais como tubeiras,
difusores, turbinas, compressores e bombas, podem simplificar-se para:
.
.
m1 = m2
(kg/s)
ou
1
1
V1 A1 = V2 A2
v1
v2
e
.
.
. 

V 2 − V12
Q − W = m h2 − h1 + 2
+ g (z 2 − z1 )
2


q − w = h2 − h1 +
V22 − V12
+ g (z 2 − z1 )
2
(kW)
(kJ/kg)
ou
q − w = ∆h + ∆Ke + ∆Pe
(kJ/kg)
onde:
.
Q
q=
.
calor transferido por unidade de massa (kJ/kg)
m
.
w=
W
.
trabalho realizado por unidade de massa (kJ/kg)
m
Nas relações acima escritas, os índices 1 e 2 designam-se por estado inicial e
o estado final, respectivamente.
Os processos de estado estacionário é o modelo de processo para fluxos
através das tubeiras, difusores, turbinas, compressores, ventoinhas, bombas,
tubagens, válvulas de estrangulamento, câmaras de mistura e permutadores de
calor.
Para processos fluxo não estacionário, as equações de conservação de
massa e energia são:
.
∑ m − ∑ m = (m
i
e
.
2
− m1 )VC
(kg)
124




Ve2
Vi 2



Q − W = ∑ ∫  he +
+ gz e δm e − ∑ ∫  hi +
+ gz i δm i + ∆EVC
2
2


me 
mi 
Os vários índices que aparecem nas equações acima escritas são i =entrada,
e = saída, 1 = estado inicial, 2 = estado final do volume de controlo.
Muitas vezes um ou mais termos de Eq. 4.29 são zero.
Por exemplo, mi = 0. se não houver entrada de massa no volume de controlo,
e me = 0 se não houver saída de massa do sistema. Se o sistema de volume de
controlo estiver vazio no início, m1 = 0.
Os processos de fluxo não estacionário, serão difíceis de analisar por causa
das integrações expressas na Eq. 4.35, e por isso são difíceis de realizar.
Alguns processos de fluxo estacionário, contudo, podem ser representados,
por um modelo simplificado designado por processo de fluxo uniforme. Durante um
processo de fluxo uniforme, o estado de volume de controlo pode mudar com o
tempo, mas fá-lo de um modo uniforme. Também as propriedades de fluído à
entrada e saída permanecem constantes durante todo o processo.
A equação da conservação da energia para um processo de fluxo uniforme
podem ser reduzidas a:




V2
V2
Q − W = ∑ m e  he + e + gz e  − ∑ m i  hi + i + gz i  + (m 2 e 2 − m1 e1 )VC
2
2




Quando as variações da energia cinética e energia potencial associadas com
o volume de controlo e com os fluxos de fluido são desprezáveis, a eq. 4.37 pode
ser simplificada:
Q − W = ∑ m e he − ∑ mi hi + (m 2 µ 2 − m1 µ1 )VC