O que você deve saber sobre
FUNÇÃO QUADRÁTICA
Estudaremos as funções de 2o grau, que também são chamadas de
funções quadráticas.
I. Forma geral
FUNÇÃO QUADRÁTICA
II. Outras formas da função quadrática
1) Canônica: y = a (x - xV)2 + yV, sendo xV e yV as coordenadas
do vértice.
2) Fatorada: y = a(x - x1) . (x - x2), sendo x1 e x2 os zeros
da função (f(x) = 0), quando existirem.
FUNÇÃO QUADRÁTICA
III. A equação de 2o grau e os zeros da função
FUNÇÃO QUADRÁTICA
IV. O gráfico de uma função quadrática
A curva que representa uma função quadrática é denominada
parábola e apresenta algumas características muito particulares:
FUNÇÃO QUADRÁTICA
IV. O gráfico de uma função quadrática
1) A parábola tem simetria em
relação a um eixo vertical, que passa
pelo seu vértice V(xV, yV), cujas
coordenadas são dadas por:
2) O sentido da concavidade da parábola
depende do sinal do coeficiente a:
FUNÇÃO QUADRÁTICA
XV = b
a
– e yV = – 
a
V. Esboço do gráfico de uma função quadrática
Para elaborar o gráfico, é necessário determinar:
1) a concavidade da parábola (a > 0 ou a < 0);
2) as raízes (x1 e x2) da função, quando elas existirem;
3) o ponto (0, c) em que a parábola corta o eixo y;
4) as coordenadas do vértice (xV, yV).
FUNÇÃO QUADRÁTICA
V. Esboço do gráfico de uma função quadrática
1.
2.
FUNÇÃO QUADRÁTICA
V. Esboço do gráfico de uma função quadrática
3.
Conclusão:
FUNÇÃO QUADRÁTICA
Simulador: funções
Clique na imagem para ver o simulador.
FUNÇÃO QUADRÁTICA
VI. Estudo do sinal
da função quadrática
O sinal depende do valor
de  e do coeficiente a:
1) a > 0
 a função é crescente
no intervalo x > xV.
 a função é decrescente
no intervalo x < xV.
FUNÇÃO QUADRÁTICA
VI. Estudo do sinal
da função quadrática
O sinal depende do valor
de  e do coeficiente a:
2) a < 0
 a função é crescente no
intervalo x < xV.
 a função é decrescente
no intervalo x > xV.
FUNÇÃO QUADRÁTICA
VII. Determinação dos pontos de encontro de uma
reta e da parábola
Basta igualar as equações associadas a essas curvas:
 reta: y = mx + p
 parábola: y = ax2 + bx + c
Igualando os y, temos:
mx + p = ax2 + bx + c  ax2 + (b - m)x + (c - p) = 0
FUNÇÃO QUADRÁTICA
VII. Determinação dos pontos de encontro
de uma reta e da parábola
Resolvendo a equação de 2o grau obtida, achamos no máximo duas
raízes (x1 e x2) reais. Substituindo esses valores na equação da reta,
obtemos as coordenadas dos pontos comuns.
A reta é
secante
à parábola.
FUNÇÃO QUADRÁTICA
VII. Determinação
dos pontos de
encontro de uma
reta e da parábola
FUNÇÃO QUADRÁTICA
EXERCÍCIOS ESSENCIAIS
1
(UFF-RJ)
A parábola abaixo representa o lucro mensal L (em reais) obtido
em função do número de peças vendidas de um certo produto.
RESPOSTA:
Determine:
a) o número de peças que torna
o lucro nulo;
b) o(s) valor(es) de x que torna(m)
o lucro negativo;
c) o número de peças que devem
ser vendidas para que o lucro
seja de R$ 350,00.
FUNÇÃO QUADRÁTICA – NO VESTIBULAR
EXERCÍCIOS ESSENCIAIS
2
(UFJF-MG)
Um pesticida foi ministrado a uma população de insetos para
testar sua eficiência. Ao proceder ao controle da variação em
função do tempo, em semanas, concluiu-se que o tamanho da
população é dado por f(t) = -10t2 + 20t + 100.
a) Determine o intervalo de tempo
em que a população de insetos
ainda cresce.
b) Na ação do pesticida, existe
algum momento em que a
população de insetos é igual à
população inicial? Quando?
c) Entre quais semanas a população
de insetos seria exterminada?
RESPOSTA:
FUNÇÃO QUADRÁTICA – NO VESTIBULAR
EXERCÍCIOS ESSENCIAIS
3
(UFPA)
O vértice da parábola y = ax2 + bx + c é o ponto (-2, 3). Sabendo que 5 é a ordenada onde a curva corta o eixo vertical,
podemos afirmar que:
a) a > 1, b < 1 e c < 4.
b) a > 2, b > 3 e c > 4.
c) a < 1, b < 1 e c > 4.
d) a < 1, b > 1 e c > 4.
e) a < 1, b < 1 e c < 4.
RESPOSTA: D
FUNÇÃO QUADRÁTICA – NO VESTIBULAR
EXERCÍCIOS ESSENCIAIS
4
(Unesp)
O conjunto solução da inequação (x – 2)2 < 2x – 1, considerando como
universo o conjunto , está definido por:
a) 1 < x < 5.
b) 3 < x < 5.
c) 2 < x < 4.
d) 1 < x < 4.
e) 2 < x < 5.
RESPOSTA: A
FUNÇÃO QUADRÁTICA – NO VESTIBULAR
EXERCÍCIOS ESSENCIAIS
5
(Unifesp)
De um cartão retangular de base 14 cm e altura 12 cm, deseja-se recortar um quadrado de
lado x e um trapézio isósceles, conforme a figura, onde a parte hachurada será retirada.
O valor de x em centímetros, para que a área total removida seja
mínima, é:
a) 3.
b) 2.
RESPOSTA: D
c) 1,5.
d) 1.
e) 0,5.
FUNÇÃO QUADRÁTICA – NO VESTIBULAR
EXERCÍCIOS ESSENCIAIS
6
(Fuvest-SP)
Para cada número real m, considere a função quadrática f(x) =
x2 + mx + 2. Nessas condições:
a) Determine, em função de m, as
coordenadas do vértice da parábola
de equação y = f(x).
b) Determine os valores de m
para os quais a imagem de f

contém o conjunto {y  | y > 1}.
c) Determine o valor de m para o
qual a imagem de f é igual ao
conjunto {y  | y > 1} e, além
disso, f é crescente no conjunto
{x  | x > 0}.
d) Encontre, para a função
determinada pelo valor de m do
item (c) e para cada y > 2, o
único valor de x > 0 tal que
f(x) = y.
FUNÇÃO QUADRÁTICA – NO VESTIBULAR
RESPOSTA:
EXERCÍCIOS ESSENCIAIS
1
15
(Unifesp)
A tabela mostra a distância s em centímetros que uma bola percorre descendo por um plano inclinado em t segundos.
A distância s é função de t dada pela expressão
s(t) = at2 + bt + c, onde a, b, c são constantes. A distância s em
centímetros, quando t = 2,5 segundos, é igual a:
a) 248.
b) 228. RESPOSTA: D
c) 208.
d) 200.
e) 190.
FUNÇÃO QUADRÁTICA – NO VESTIBULAR