Física
Física – Módulo 1
Trabalho e
Energia Cinética
Física
Trabalho, trabalho e mais trabalho!
Um bom modo de gastar energia…
Trabalho e energia estão entre os conceitos mais importantes da física
e no nosso dia-a-dia.
Diferentes tipos de trabalho existentes no cotidiano… Para pensar.
Física
Trabalho, Energia Cinética e Leis de Newton…
As leis de Newton permitem analisar vários movimentos. Essa análise
pode ser bastante complexa, necessitando de detalhes do movimento
simplesmente inacessíveis. Exemplo: qual é a velocidade final de um
carrinho na chegada de um percurso de montanha russa? Despreze a
resistência do ar e o atrito, mas resolva o problema usando as leis de
Newton.
v =0
v =?
Física
Trabalho e Energia, físicamente falando...
O conceito físico de trabalho, porém, possui uma definição bastante
precisa, diferente da utilizada no cotidiano.
Na física só existe trabalho, feito por uma força sobre um corpo,
quando o ponto de aplicação da força se desloca uma certa distância
e há uma componente da força ao longo da trajetória do movimento.
Traduzindo:
Só existe trabalho se houver deslocamento na direção da força
aplicada ou de sua componente.
E o que Energia tem a ver com trabalho?
Energia é a medida da capacidade de um sistema efetuar trabalho.
Simples assim...
Física
Como fazer força sem realizar trabalho???
Na figura abaixo temos um trabalhador tipico de Imperatriz puxando um
trenó de neve em seu emprego no mercadinho, deslocando-se certo ∆x.
A pergunta de um milhão é:
Toda força aplicada é convertida em trabalho???
Fy sustenta o peso...
Fx realiza trabalho.
Forças que sustentam ou desviam não realizam trabalho!!!
Física
O Trabalho, matematicamente falando…
O trabalho das forças resultantes que
agem sobre um corpo é dado por:
Wres = ∑ F∆x
O trabalho é uma grandeza escalar:
• W é positivo se F e ∆x são positivos
W ≡ (F cos θ)∆x
• W é negativo se F e ∆x tem sinais opostos
A unidades do trabalho no SI é o Joule (J), que é igual ao
produto de um newton por metro:
1 J = 1 N.m
Física
Calculando o trabalho...
Uma força de 12 N atua sobre uma caixa, fazendo um ângulo
θ=20º, como na figura abaixo. Qual o trabalho feito pela força ao
deslocar a caixa sobre uma mesa, cobrindo a distância de 3 m?
R=33,8 J
Física
Energia cinética e trabalho (matematicamente falando…)
Se energia é a capacidade de um sistema efetuar trabalho, deve existir
uma relação entre trabalho e energia...
Esta relação depende da velocidade inicial e final da partícula.
Também deve depender da Força aplicada sobre a partícula…
Então, um bom ponto de partída para obter esta relação é a segunda
lei de Newton.
Física
Energia cinética e trabalho (matematicamente falando…)
A segunda lei de Newton nos diz que
ax
x
m
Se Fx é constante, a aceleração é constante. Podemos relacionar a
distância percorrida pela partícula (∆x) as velocidades inicial e final
mediante a equação de movimento com aceleração constante:
vf2 = vi2 + 2ax ∆x
Substituindo ax na equação acima, podemos escrever que*
1 2 1 2
∑ Fx ∆x = 2 mv f − 2 mvi
Se um objeto está sujeito a uma força resultante constante está é a variação
de velocidade após um percurso ∆x
*Faça em casa ou peça ajuda aos universitários…
Σ Fx = max
F
∑
=
Física
Energia cinética e trabalho (ainda …)
1 2 1 2
∑ Fx ∆x = 2 mv f − 2 mvi
Lembrando que o trabalho realizado por uma força Fx é dado por
Wres = ∑ Fx ∆x
logo,
Wres
A grandeza
1 2 1 2
= ∑ Fx ∆x = mv f − mvi
2
2
1 2
mv
2
é a energia cinética K da partícula.
K é uma grandeza escalar que depende da velocidade e da massa.
Física
Energia cinética
Ou seja, a energia cinética de uma partícula é dada por
1
K = mv 2
2
no SI , J = 1 kg.m2.s-2
A energia cinética não pode assumir valores negativos e é uma grandeza escalar.
E para encerrar, podemos verificar que o trabalho é a variação da
energia cinética, ou seja
1 2 1 2
Wres = ∑ Fx ∆x = mv f − mvi
2
2
Wres = ∑ Fx ∆x = K f − K i
Wres = ∑ Fx ∆x = ∆K
Lindo, não?!
O trabalho também é uma grandeza escalar e pode assumir valores negativos…
Física
Calculando...
1 - Uma menina de 50 kg corre a 3,5 m/s. Qual a sua energia cinética?
R: 306 J
2 - Uma caixa de 4 kg é suspendida à altura de 3 m, a partir do
repouso, por uma força aplicada de 60 N. Calcule (a) o trabalho feito
pela força aplicada, (b) o trabalho feito pela gravidade e (c) a
velocidade final da caixa.
a)
b)
c)
Física
Trabalho II: O trabalho da força peso…
Quanto trabalho é feito pelo guindaste para erguer a
escultura (m= 2000 kg) a uma altura de 1,5m???
Qual o trabalho para manter a escultura erguida?
m = 2000kg
∆y = 1,5m
W = 2000 × g × 1,5
W ≈ 3, 0 ×10 J
4
Para manter a escultura erguida o
guindaste não realiza trabalho.
Instalação de uma escultura
de Henry Moore
Física
Trabalho em 2 ou 3 dimensões
Exemplo para uma força constante
Trabalho devido a uma força F em 1
dimensão:
W = F∆ x
Trabalho devido a uma força F em
mais de uma dimensão:
W = F ⋅ ∆r = F∆r cosθ
O trabalho aqui é resultado de um
produto escalar, ou produto interno:
A ⋅ B = AB cos φ
F
Física
Revisando: Produto escalar
O produto escalar de dois vetores A e B é o resultado do
produto do comprimento (também chamado de norma ou
módulo) de A pela projeção escalar de B em A.
A . B = A B cosθ
Geometricamente, projeta-se A na
direção de B e multiplica-se por B.
Então,
(A cosθ) B ou (B cosθ) A
Note que
A.B=B.A
A
θ
A cosθ
B
B
Importante: O produto escalar nos fornece um número, não um vetor.
Física
Produto escalar
Devido à distributividade do produto escalar, podemos escrevê-lo
em termos das suas componentes cartesianas como
A ⋅ B = ( Ax i + A y j + Azk ) ⋅ ( B x i + B y j + B zk ) =
= Ax B xi ⋅ i + Ax B y i ⋅ j + Ax B z i ⋅ k +
Ay Bx j ⋅ i + Ay B y j ⋅ j + Ay Bz j ⋅ k +
Az B xk ⋅ i + Az B yk ⋅ j + Az B zk ⋅ k
Mas como
i.i = j.j = k.k =1
e
i.j = i.k = j.k = 0
teremos
em termos das componentes cartesianas (em 3 dimensões)
A . B = AxBx + AyBy + Az Bz
Física
O trabalho de forças constantes: força de atrito
Modelo para resolver o problema:
F
N
fa
Fx
mg
∆x
Trabalho realizado pelos carregadores:
W c = F∆ x
Trabalho realizado pela força de atrito:
Watr = f atr ∆x = − µ c mg ∆x
Física
…continuação do mesmo exemplo:
Se o carrinho se desloca com velocidade constante:
∆K = 0
Consistente com o fato de que o trabalho total ser nulo:
Wc + Watr = 0
A força resultante é nula:
∑F = F + f
a
=0
Física
Teorema trabalho - energia cinética
Exemplo para o trabalho da força peso F = mg
∆K = K f − K i = Wres = ∑ F∆y
∆y > 0
F <0
W <0
∆K < 0
F = mg
∆y < 0
F <0
W >0
∆K > 0
Física
Trabalho e …
Agora já sabemos medir o trabalho de máquinas ou de qualquer
outra coisa, de maneira bastante simples.
W = F ⋅ ∆r = F∆r cosθ
Imagine agora que você precise transportar uma caixa de 50 kg, num
percurso de 2 km. Para realizar este trabalho você tem as seguintes
opções:
Qual a diferença entre os trabalhos realizados pelos meios acima???
Física
…Potência
O trabalho que ambos os meios realizam é exatamente o mesmo.
A grande diferença entre os trabalhos é o tempo em que eles podem
ser realizados.
A propriedade física que mede o trabalho realizado em um
determinado tempo é a potência.
Potência, P, é a razão (taxa) de realização do trabalho por unidade de tempo:
∆W dW
P≡
=
∆t
dt
Unidades SI:
J/s
W
Física
…Potência
Devemos também considerar o trabalho realizado em mais de dimensão:
W = F ⋅ ∆r
Neste caso, a potência será dada por
dW
dr
=F⋅
P=
dt
dt
O segundo termo da equação é a velocidade. Logo, podemos escrever
P = F ⋅v
ou seja, a potência pode ser escrita como um produto da força x velocidade.
Física
Trabalho e Potência: calculando-os.
A potência de um ciclista
Um ciclista produz em uma bicicleta uma força de tração igual a 200 N
para vencer uma subida de 300 metros. Ele leva 2 minutos para fazê-lo.
a) Qual é o trabalho que ele realiza?
b) Qual sua velocidade e sua potência?
A potência de um motor
Um pequeno motor é usado para acionar um elevador de tijolos, que
pesa 800 N, elevando-o até 10 m em 20 s. Qual a potência mínima que
este motor deve possuir?
Física
O Trabalho de uma força variável
Em muitos casos na natureza, as forças que atuam sobre a partícula não
são constantes, mas variam com a posição.
• Um exemplo disso é a força de uma mola.
Quando se estica (ou comprime) uma mola a força exercida é
proporcional a extensão (∆x) da mola.
• Um outro exemplo é a força gravitacional exercida pela terra sobre uma
nave espacial:
Esta força varia inversamente com o quadrado da distância entre a
nave e a terra.
Física
Trabalho para uma força variável
O trabalho realizado por este tipo de forças pode ser calculado
graficamente obtendo a área sob a curva da força contra a posição.
Em 1 dimensão:
F ≡ F ( x)
x2
W = ∑ F( x i )∆x i
x1
O trabalho é a área da curva da força contra a posição.
Física
Trabalho para uma força variável
Em 1 dimensão:
F ≡ F ( x)
x2
W = ∑ F( x i )∆x i
x1
No limite
∆x ⇒ 0
x2
W = ∫ F( x )dx
x1
O trabalho é a área da curva da força!
Física
Como é essa tal de integral mesmo???
Nas fórmulas abaixo, as letras v e u representam funções de x
e as letras a e n representam constantes.
∫ dx = x
2. ∫ audx = a ∫ udx
3. ∫ (u + v)dx = ∫ udx + ∫ vdx
1.
n +1
x
4. ∫ x dx =
, (n ≠ −1)
n +1
...
n
Física
Trabalho para uma força variável
F
Em 1 dimensão:
F ≡ F ( x)
W
X
Demonstração do teorema trabalho – energia cinética
xf
xf
vf
dv
W = ∫ F ( x )dx = m ∫ dx = m ∫ vdv =
dt
xi
xi
vi
(
)
1
2
2
m v f − v i = ∆K
2
Física
Trabalho para uma força variável
Em 1 dimensão:
F ≡ F ( x)
Teorema trabalho – energia cinética
xf
1
1
2
W = ∫ F( x )dx = mv f − mv i2 = ∆K
2
2
x
i
ou
W = ∆K
O trabalho de uma força é igual a variação de sua energia cinética.
Física
Forças que variam com a posição:
Exemplo a ser estudado: trabalho da força elástica:
F = − kx
Força para esticar uma mola
Força restauradora da mola
Fs
Física
Trabalho realizado pela força da mola
xf
F
Wmola =
∫ F ( x )dx =
xi
xi
xf
xf
x
− k ∫ xdx =
xi
1
2
2
− k ( x f − xi )
2
Se xi < xf
W<0
O trabalho sobre a mola pelo agente externo
é o valor obtido acima com sinal trocado
ps. nenhuma criança foi explorada na confecção destes slides.
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