Desafios do PENTAGRIX
Resolução de Abril 10
Para facilitar a resolução do problema vamos designar os pontos de cada figura por uma letra
maiúscula. Depois de algumas tentativas descobrimos que as primeiras três figuras podem ser
percorridas sem repetir qualquer segmento.
Assim, para a figura a) podemos começar pelos pontos C ou D. Uma possível sequência,
indicada pelas setas, consiste em seguir os pontos C E D A B C D. Neste caso o percurso
começa em C e termina em D.
Na figura b) podemos começar em B ou em C. Uma possível sequência, iniciada em C consiste
na sequência de vértices: C E D A B C D B.
Na figura c) podemos começar em A ou em B. Uma possível sequência, indicada pelas setas é:
A B C E D C A D B.
Na figura d) isto não é possível pois chegamos sempre a um ponto (C, no caso apresentado) em
que temos de optar por um dos dois segmentos possíveis, não sendo possível percorrer o outro.
a)
b)
c)
d)
Passar por um ponto significa que temos de usar um segmento que aí termina e outro que aí
começa. Para que isto seja sempre possível em cada ponto tem de ligar um número par de
segmentos. Só no 1º e último pontos do percurso pode ligar um número ímpar de segmentos,
tal como acontece nos pontos a vermelho das figuras a), b) e c). Como em 4 pontos da figura d)
ligam três segmentos, nunca conseguimos percorrer todos os segmentos.
Este processo permite saber se podemos percorrer qualquer figura sem usar o lápis. Só temos
de contar o número de segmentos que incidem em cada ponto. Se esse número é par para todos
os pontos ou para todos excepto dois (início e fim) podemos sempre efectuar o percurso.
Desafios do PENTAGRIX é uma actividade do grupo 500 destinada a todos os alunos do 3º ciclo da Escola EB2,3/S de Arcos de Valdevez
Mais curiosidades
Achas que é possível fazer isso no PENTAGRIX?
O nosso amigo PENTAGRIX surgiu das diagonais do pentágono regular, tal como ele
se apresentou no primeiro problema (mês de Outubro) como mostram as figuras a
seguir:
Será possível percorrer todos os segmentos das três figuras passando uma única vez por
cada segmento?
O matemático suíço Leonhard Euler (1707-1783) após visitar a cidade de Königsberg
(que actualmente se chama Kalinegrado) resolveu um problema parecido com este. Um
dos passatempos dos habitantes locais era descobrir se seria possível atravessar todas as
sete pontes da cidade uma única vez. Muitos acreditavam que não mas Euler foi o
primeiro a demonstrá-lo usando um processo que não deixou dúvidas a ninguém. Esse
processo foi descrito na página anterior (sem usar o lápis!)
Euler começou por representar as margens e as ilhas do rio Pregolya (nome actual do
rio) por pontos (vértices) e as pontes que as ligam por linhas (arestas). De seguida
mostrou não se poder atravessar todas as arestas do diagrama da figura exactamente
uma única vez sem levantar o lápis, quando em mais do que dois vértices incide um
número ímpar de arestas. Nos quatro vértices do diagrama de Königsberg (esquema da
direita) incide sempre um número ímpar de arestas, logo não existe nenhum percurso
nas condições desejadas.
Actualmente, o diagrama usado por Euler chama-se um grafo e a resolução deste
problema marcou o início da teoria de grafos, um importante ramo da matemática que se
aplica nos nossos dias ao desenho de redes de comunicações ou ao planeamento de rotas.
Desafios do PENTAGRIX é uma actividade do grupo 500 destinada a todos os alunos do 3º ciclo da Escola EB2,3/S de Arcos de Valdevez