Triângulos
1. Seja ABC um triângulo. Prove que a soma das alturas é menor que o perímetro.
2. Se P é um ponto interior ao triângulo ABC provar que a soma das distâncias de P aos vértices A, B e
C é menor que o perímetro e maior que o semi-perímetro.
3. Provar que a mediana traçada de um vértice de um triângulo é eqüidistante dos outros dois vértices.
4. Sobre os três lados de um triângulo ABC e exteriormente ao triângulo constrói-se os triângulos
eqüiláteros MAB, NBC e PAC. Demonstrar que MC = NA = PB.
5. Provar que num triângulo ABC qualquer a soma das medianas é menor que o perímetro e maior que o
semiperímetro.
6. Em um país, as distâncias entre todas as cidades são distintas duas a duas. Certo dia, de todas as cidades
parte um avião, dirigindo-se para a cidade mais próxima. Demonstre que em nenhuma cidade pousarão
mais de 5 aviões.
7. Dados três pontos A, M e B colineares, marcamos sobre duas paralelas traçadas de A e B, no mesmo
sentido, segmentos AE = AM e BF = BM. Provar que EMF é reto.
8. . Num triângulo ABC traçamos as bissetrizes de B e C que se interceptam em I. Pelo ponto I, traçamos
uma paralela ao lado BC que intercepta AB em M e AC em N. Pede-se provar que:
a) BÎC = 90 + Â/2
b) MN = MB + NC
9. Num triângulo qualquer ABC (AB > AC ) traçamos a bissetriz interna de B̂ e a bissetriz externa Ĉ .
Pelo ponto J de concurso das bissetrizes traçamos uma reta EF paralela a ABC ( sendo Ê sobre AB e F
sobre AC).
Provar que:
a) EF = EB – FC
b) B Ĵ C = Â/2
10. Dado um triângulo eqüilátero ABC e um ponto p no seu interior, traçam-se, a partir de p, semi-retas
paralelas aos lados do triângulo e que se interceptam respectivamente nos pontos A’, B’ e C’.
Provar que (PA’ + PB’ + PC’) é igual ao lado do triângulo.
11. Provar que a soma das distâncias de um ponto qualquer da base de um triângulo isósceles aos dois
lados iguais é constante e igual às alturas do triângulo.
12. Qual o lugar geométrico dos pontos M cuja soma das distâncias a duas retas que se cortam é
constante e igual a k?
13. Qual o lugar geométrico dos pontos cuja diferença das distâncias a duas retas concorrentes é
constante e igual a k?
14. Provar que num triângulo eqüilátero ABC a soma das distâncias de P interior aos lados do triângulo
é constante e igual à altura do triângulo.
15. Na figura,
AB = AC = CD .
Prove que β = 3 ⋅ α .
16. Na figura abaixo onde ABC é um triângulo isósceles de base
eqüilátero, provar que x = y + z .
BC e DEF um triângulo
2
17. ABC é um triângulo isósceles de base BC. Sobre o lado AB temos dois pontos M e P tais
que AP > AM e sobre AC outros dois pontos N e Q tais que AQ > AN.
Sabendo-se que AM = MN = NP = PQ = QB = BC, prove que BÂC =
180°
.
11
18. Num triângulo ABC retângulo, M é o ponto médio da hipotenusa BC. Traça-se por M uma
perpendicular a BC que intercepta o maior cateto AB em N.
Calcular os ângulos agudos do triângulo ABC nos seguintes casos:
a) Supondo AN = AC
b) Supondo AN = MN
19. Sendo dado um triângulo ABC traçar a mediana relativa ao lado AB e por A uma reta que passa
pelo ponto D médio da mediana e encontra BC no ponto E. Provar que CE = 1/3 BC.
20. Num triângulo ABC o ângulo formado pelas bissetrizes dos ângulos B̂ e Ĉ mede 105º. Qual o
menor ângulo formado pelas alturas traçadas de B e C?
Gabarito
12. Segmento de reta de extremos pertencentes aos lados do ângulo, tais que cada um destes
extremos dista k do outro lado do ângulo.
13. Semiretas de origem pertencentes aos lados do ângulo, tais que cada um destes extremos dista
k do outro lado do ângulo e que a reta suporte destas semiretas contem o segmento do exercício
anterior.
18.
a) B = 22°30’ e C = 67° 30’
b) B = 30° e C = 60°
20. 30°