Triângulos 1. Seja ABC um triângulo. Prove que a soma das alturas é menor que o perímetro. 2. Se P é um ponto interior ao triângulo ABC provar que a soma das distâncias de P aos vértices A, B e C é menor que o perímetro e maior que o semi-perímetro. 3. Provar que a mediana traçada de um vértice de um triângulo é eqüidistante dos outros dois vértices. 4. Sobre os três lados de um triângulo ABC e exteriormente ao triângulo constrói-se os triângulos eqüiláteros MAB, NBC e PAC. Demonstrar que MC = NA = PB. 5. Provar que num triângulo ABC qualquer a soma das medianas é menor que o perímetro e maior que o semiperímetro. 6. Em um país, as distâncias entre todas as cidades são distintas duas a duas. Certo dia, de todas as cidades parte um avião, dirigindo-se para a cidade mais próxima. Demonstre que em nenhuma cidade pousarão mais de 5 aviões. 7. Dados três pontos A, M e B colineares, marcamos sobre duas paralelas traçadas de A e B, no mesmo sentido, segmentos AE = AM e BF = BM. Provar que EMF é reto. 8. . Num triângulo ABC traçamos as bissetrizes de B e C que se interceptam em I. Pelo ponto I, traçamos uma paralela ao lado BC que intercepta AB em M e AC em N. Pede-se provar que: a) BÎC = 90 + Â/2 b) MN = MB + NC 9. Num triângulo qualquer ABC (AB > AC ) traçamos a bissetriz interna de B̂ e a bissetriz externa Ĉ . Pelo ponto J de concurso das bissetrizes traçamos uma reta EF paralela a ABC ( sendo Ê sobre AB e F sobre AC). Provar que: a) EF = EB – FC b) B Ĵ C = Â/2 10. Dado um triângulo eqüilátero ABC e um ponto p no seu interior, traçam-se, a partir de p, semi-retas paralelas aos lados do triângulo e que se interceptam respectivamente nos pontos A’, B’ e C’. Provar que (PA’ + PB’ + PC’) é igual ao lado do triângulo. 11. Provar que a soma das distâncias de um ponto qualquer da base de um triângulo isósceles aos dois lados iguais é constante e igual às alturas do triângulo. 12. Qual o lugar geométrico dos pontos M cuja soma das distâncias a duas retas que se cortam é constante e igual a k? 13. Qual o lugar geométrico dos pontos cuja diferença das distâncias a duas retas concorrentes é constante e igual a k? 14. Provar que num triângulo eqüilátero ABC a soma das distâncias de P interior aos lados do triângulo é constante e igual à altura do triângulo. 15. Na figura, AB = AC = CD . Prove que β = 3 ⋅ α . 16. Na figura abaixo onde ABC é um triângulo isósceles de base eqüilátero, provar que x = y + z . BC e DEF um triângulo 2 17. ABC é um triângulo isósceles de base BC. Sobre o lado AB temos dois pontos M e P tais que AP > AM e sobre AC outros dois pontos N e Q tais que AQ > AN. Sabendo-se que AM = MN = NP = PQ = QB = BC, prove que BÂC = 180° . 11 18. Num triângulo ABC retângulo, M é o ponto médio da hipotenusa BC. Traça-se por M uma perpendicular a BC que intercepta o maior cateto AB em N. Calcular os ângulos agudos do triângulo ABC nos seguintes casos: a) Supondo AN = AC b) Supondo AN = MN 19. Sendo dado um triângulo ABC traçar a mediana relativa ao lado AB e por A uma reta que passa pelo ponto D médio da mediana e encontra BC no ponto E. Provar que CE = 1/3 BC. 20. Num triângulo ABC o ângulo formado pelas bissetrizes dos ângulos B̂ e Ĉ mede 105º. Qual o menor ângulo formado pelas alturas traçadas de B e C? Gabarito 12. Segmento de reta de extremos pertencentes aos lados do ângulo, tais que cada um destes extremos dista k do outro lado do ângulo. 13. Semiretas de origem pertencentes aos lados do ângulo, tais que cada um destes extremos dista k do outro lado do ângulo e que a reta suporte destas semiretas contem o segmento do exercício anterior. 18. a) B = 22°30’ e C = 67° 30’ b) B = 30° e C = 60° 20. 30°