Resolução – 3ª Lista de Exercícios – Análise Combinatória – Prof. Sérgio Tambellini
Nome: _________________________________________ no _____ 2a série ____ E. Médio
01. C12 , 2 = 66
08. 1°___
caso:
___com
___o casal
___
02. rapaz rapaz moça moça moça
1
x C8 , 2 = 1 . 28 = 28
2° caso: sem o casal
___ ___ ___ ___
C5 , 2
x
C6 , 3
= 10 . 20 = 200
C8 , 4 = 70
03. C15 , 2 = 105
Total : 28 + 70 = 98
04.
3 . C5 , 2 + 5 . C3 , 2 = 3 . 10 + 5 . 3 = 45
2 vértices
na 2ª reta
1 vértice
na 1ª reta
2 vértices
na 1ª reta
1 vértice
na 2ª reta
05. Cx , 2 = 78
x!
x . (x - 1)
 78 
 78  x2 – x – 156 = 0
2!.(x  2)!
2
raízes da equação do 2° grau: x = 13 ou x = –12 (não serve)
09. A24 , 3 = 12144
10. Cada casal tem 2 possibilidades (P2) de estarem sentados
juntos: marido e mulher ou mulher e marido.
E os 5 casais têm P5 possibilidades de estarem nos 10 lugares
(permutação dos 5 casais).
___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___
P 5 x P 2 x P 2 x P2
= 120 . 2 . 2 . 2 . 2 . 2 = 3840
x
P2
x
P2 =
11. a) C5 , 2 = 10
06. Total de comissões com todas as pessoas:
C8 , 5 = 56
Total de comissões sem os diretores:
C5 , 5 = 1
Para ter pelo menos um diretor, basta calcular a diferença do
total de comissões com todas as pessoas e o total de
comissões sem os diretores.
56 – 1 = 55
07. Lembrando que : positivo x positivo é positivo e
negativo x negativo é positivo, então para quatro números,
temos:
1° caso :
pos pos pos pos
C6 , 4 = 15
2° caso :
neg neg neg neg
C6 , 4 = 15
pos pos neg neg
3° caso :
C6 , 2
.
C6 , 2 = 15 . 15 = 225
Total : 15 + 15 + 225 = 255
b)
Pediatra Clínico Enfermeiro Enfermeiro
3
x
4
x
C5 , 2
= 3 . 4 . 10 = 120
12. Permutação de 9 números, sendo 6 deles números iguais
(6) 9!
P9   9.8.7  504
6!
13. 1° caso: Número formado por um algarismo 1 e quatro
algarismos 2, em qualquer ordem.
(4) 5!
P5   5
4!
2° caso: Número formado por dois algarismos 1 e três
algarismos 2, em qualquer ordem.
5!
(2,3)
P5

 10
2!.3!
3° caso: Número formado por três algarismos 1 e dois
algarismos 2, em qualquer ordem.
5!
(2,3)
P5

 10
2!.3!
4° caso: Número formado por quatro algarismos 1 e um
algarismo 2, em qualquer ordem.
(4) 5!
P5   5
4!
Total : 5 + 10 + 10 + 5 = 30
4 são brasileiros
14. 9 atletas 
5 são atletas de outros países
Total de possibilidades para todos os 9 atletas:
A9 , 3 = 9 . 8 . 7 = 504
Total de possibilidades sem os brasileiros:
A5 , 3 = 5 . 4 . 3 = 60
Para ter pelo menos um brasileiro nas três primeiras
colocações, basta calcular a diferença do total de
possibilidades com todos atletas e o total de possibilidades
sem os brasileiros.
504 – 60 = 444
15. ____ ____ ____
h7 ____ ____
C6 , 2
x 1
x
19. a) Para ir de A até C pelo caminho mais curto, basta
seguir 6 quadras ao Norte e 5 quadras ao Leste
(NNNNNNLLLLL) em qualquer ordem, ou seja,
(6,5) 11!
P11 
 462
6!.5!
b) Para ir de A até B são 4 quadras ao Norte e 2 quadras ao
Leste (NNNNLL) em qualquer ordem e para ir de B até C
são 2 quadras ao Norte e 3 quadras ao Leste (NNLLL) em
(4,2) (3,2)
. P5
 15 .10  150
qualquer ordem, ou seja, P6
20. Permutando as 5 atividades, temos um total de 5! = 120
maneiras distintas de realiza-las, das quais 60 delas têm o
item (a) antes do item (b) e 60 delas têm o item (b) antes do
item (a), como o item (a) tem que vir sempre antes do item
(b), então o número de maneiras distintas de se realizar as 5
P
5! 120
 60
atividades é 5  
2 2
2
C3 , 2 = 15 . 1 . 3 = 45
21.
Brig ____ ____ ____ ____
____
1
4 de informátic a
16. 10 min icursos 
6 outros
a) C6 , 4 = 15
b)
Permutação de 2 brigadeiros e 2 refrigerantes, em qualquer
ordem
Infor Infor Outro Outro
C4 , 2
x
C6 , 2
= 6 . 15 = 90
n!
n!


4!.(n  4)! 3!.(n  3!
17. 2.Cn,4 = Cn,3 
2.
6.2.n! (n  4)!


24.n! (n  3)!
1
1

2 n 3
P4(2,2) = 6

n=5
18. Total de possibilidades permutando as seis pessoas nos
seis lugares: P6 = 6! = 720
Total de possibilidades de sentarem sempre juntos João e
Pedro (P2), e permutando com as demais quatro pessoas :
P2 . P5 = 2 . 120 = 240
O número de maneiras distintas com que as seis pessoas
podem sentar-se sem que João e Pedro fiquem juntos é a
diferença entre o total de possibilidades da permutação das
seis pessoas com o total de possibilidades de sentarem
sempre juntos João e Pedro, ou seja, 720 – 240 = 480
22. 1° caso: sem usar a diagonal
São 3 quadradinhos para o Leste e 3 quadradinhos para o
Sul, em qualquer ordem (LLLSSS), P 6(3,3) = 20
2° caso: usando apenas 1 diagonal
São 2 quadradinhos para o Leste, 2 quadradinhos para o Sul
e uma diagonal, em qualquer ordem (LLSSD), P 5(2,2) = 30
3° caso: usando 2 diagonais
São 2 diagonais, 1 quadradinho para o Leste e 1 quadradinho
para o Sul, em qualquer ordem (DDLS), P 4(2) = 12
4° caso: usando 3 diagonais
São somente 3 diagonais, em qualquer ordem. Com as 3
diagonais é possível sair do quadrado superior esquerdo e
chegar ao quadrado inferior direito, P 3(3) = 1
Total: 20 + 30 + 12 + 1 = 63
23.
Se a palavra começar com a letra E , então são
5! = 120 permutações das outras 5 letras.
Se a palavra começar com a letra F , então são mais
5! = 120 permutações das outras 5 letras, totalizando 240
palavras (as que começam com E e as que começam com F).
Se a palavra começar com as letras SE , então são
mais 4! = 24 permutações das outras 4 letras, totalizando 264
palavras (as que começam com E , as que começam com F e
as que começam com SE).
Logo a 250ª palavra, colocada em ordem alfabética,
começa com SE.
24. Dez primeiras letras : {a, b, c, d, e, f, g, h, i, j}.
Agrupar 2 letras de {a , b , c} é C3,2 = 3
Agrupar 2 letras de {d, e, f, g, h, i, j} é C7,2 = 21
As quatro letras escolhidas podem permutar entre si.
Número de anagramas : P4 . C3,2 . C7,2 = 24 . 3 . 21 = 1512
25.
a) Para formar a quina basta agrupar quaisquer 5
números dos 6 sorteados da sena, ou seja, C6,5 vezes os 14
números restantes que não foram sorteados da sena.
____ ____ ____ ____ ____ ____
C6 , 5
x
14 = 6 x 14 = 84
b) Para formar a quadra basta agrupar quaisquer 4
números dos 6 sorteados da sena, ou seja, C6,4 , vezes os
possíveis agrupamentos de 2 números dos 14 que não foram
sorteados da sena.
na casa da DM, na casa da UM, na casa da C, na casa da D e
também na casa da U), com 24 vezes o número 33333, com
24 vezes o número 55555, com 24 vezes o número 77777,
com 24 vezes o número 99999, ou seja,
24 . (11111 + 33333 + 55555 + 77777 + 99999) =
= 24 . 277775 = 6666600 = 6,6666x106 que está entre
6,0x106 e 7,0x106.
7 de matemática
3 de física

28. 18 professore s 
4 de química
4 de outras disciplinas
Comissão com 12 professores, tendo 5 de matemática, no
mínimo 2 de física e no máximo 2 de química.
Possíveis formações:
Matemática
Física
Química
Outras
1° caso
5
2
1
4
2° caso
5
2
2
3
3° caso
5
3
0
4
4° caso
5
3
1
3
5° caso
5
3
2
2
____ ____ ____ ____ ____ ____
C6 , 4
x
C14 , 2 = 15 x 91 = 1365
26. Distribuir 8 jogadores em 8 posições é uma permutação
de 8, ou seja, P8 = 8!.
Sejam A , B , C e D os 4 grupos formados com os 8
jogadores (2 em cada grupo), e como a ordem dos grupos
não interfere na montagem da tabela, pois os grupos A , B ,
C e D são os mesmos grupos de B , D , A e C, então temos
4! repetições dos grupos; bem como as posições dos 2
jogadores que formam o grupo não interfere na montagem
do grupo, pois o grupo formado pelos jogadores X e Y é o
mesmo grupo formado por Y e X, ou seja, para cada grupo
formado temos 2! repetições dos jogadores.
Desta forma o número de maneiras distintas para montar a
8!
(4,2,2,2,2)
tabela dos jogos é: P8

 105
4!.2!.2!.2!.2!
27. Um número de 5 algarismos possui unidade (U), dezena
(D), centena (C) , unidade de milhar (UM) e dezena de
milhar (DM).
Com os algarismos 1 , 3 , 5 , 7 e 9 (e sem repeti-los), temos:
P4 = 24 números de 5 algarismos com o algarismo 1 na DM.
P4 = 24 números de 5 algarismos com o algarismo 1 na UM.
P4 = 24 números de 5 algarismos com o algarismo 1 na C.
P4 = 24 números de 5 algarismos com o algarismo 1 na D.
P4 = 24 números de 5 algarismos com o algarismo 1 na U.
O mesmo acontecendo com os algarismos 3 , 5 , 7 e 9.
Obs.: realizar a soma 246+264+426+462+624+642 é o
mesmo que realizar a soma 222+222+444+444+666+666,
pois o algarismo 2 aparece 2 vezes na casa da centena, 2
vezes na casa da dezena e 2 vezes na casa da unidade, o
mesmo com os algarismos 4 e 6.
Portanto, somar todos os números de 5 algarismos formados
pela justaposição de 1 , 3 , 5 , 7 e 9 é o mesmo que somar 24
vezes o número 11111 (pois o algarismo 1 aparece 24 vezes
1° caso: C7,5 . C3,2 . C4,1 . C4,4 = 21 . 3 . 4 . 1 = 252
2° caso: C7,5 . C3,2 . C4,2 . C4,3 = 21 . 3 . 6 . 4 = 1512
3° caso: C7,5 . C3,3 . C4,0 . C4,4 = 21 . 1 . 1 . 1 = 21
4° caso: C7,5 . C3,3 . C4,1 . C4,3 = 21 . 1 . 4 . 4 = 336
5° caso: C7,5 . C3,3 . C4,2 . C4,2 = 21 . 1 . 6 . 6 = 756
Total : 252 + 1512 + 21 + 336 + 756 = 2877