Probabilidades
José Viegas
Lisboa 2001
1
Teoria das probabilidades
Conceito geral de probabilidade
Suponha-se que o evento A pode ocorrer x vezes em n, igualmente possíveis. Então a
probabilidade de ocorrência do evento A é
P ( A) =
x
n
Exemplo 1-1:
Uma caixa contem 20 bolas vermelhas e 5 bolas brancas.
A probabilidade de tirar uma bola branca é
P= 5/25
Permutações e combinações
1.1 Permutações
A permutação de itens é simplesmente o arranjo desses itens todos tomados em
conjunto.
Exemplo 1-2:
3 itens ( A, B, C ) dão origem a seis diferentes permutações:
ABC BCA CAB ACB BCA CBA
Para n itens o número de permutações é :
n! = n . (n-1) . (n-2) . ... . 1 = Pnn
Se dos n itens só forem tomados
r de cada vez para serem arranjados teremos
permutações de n , r a r :
Prn =
n!
(n − r )!
Por definição 0! = 1
2
Exemplo1-3:
Permutações de A, B, C, D dois a dois.
AB
AC
AD
BA
BC
BD
CA
CB
CD
DA
DB
DC
Exemplo1-4:
Uma sala de aula é ocupada por uma turma de 15 alunos. Na primeira fila existem 6
carteiras. Quantas arranjos diferentes de alunos são possíveis na primeira fila? ( assumese que nenhuma carteira fica vazia).
n = 15
r= 6
P615 =
15!
= 3603600
9!
1.2 Combinações
Se a ordem não tem importância tem-se combinações em vez de permutações. A
combinação de n itens, tomando r de cada vez, é uma selecção de r itens tirados de n,
sem ter em conta a ordem porque foram seleccionados.
Exemplo1-5:
Combinações de 4 objectos ( A, B, C, D ) tomados 2 a 2.
AB
AC
AD
BC
BD
CD
As combinações de n itens , r a r , são:
Prn
n!
C =
=
r! r! (n − r )!
n
r
3
Exemplo1-6:
Um lote é constituído por 100 lâmpadas quantas amostras diferentes de 5 lâmpadas são
possíveis.?
C 5100 =
100!
= 75287520
5!95!
1.3 Regras de probabilidade
•
A probabilidade conjunta de ocorrência de A e B escreve-se P ( A B )
•
A probabilidade de ocorrência de A ou B escreve-se P ( A + B )
P ( A + B ) = P (A) + P (B) - P (A B)
•
A probabilidade de ocorrência de o acontecimento complementar de A , ( não A )
escreve-se P (A )
P ( A ) + P ( A ) = 1
•
Se, e só se, os eventos A e B forem independentes, tem-se:
P (AB) = P (AB) = P (A)
P (BA) = P (BA) = P (B)
•
A probabilidade conjunta de ocorrência de dois acontecimentos
A e B
independentes é o produto das probabilidades individuais
P (A B) = P(A) . P(B)
•
A probabilidade conjunta de ocorrência de dois acontecimentos
A e B não
independentes é:
P (AB) = P (A) P (BA)
= P (B) P (AB)
ou ainda P (BA) = P (AB) / P(A)
4
•
Se os acontecimentos A e B forem mutuamente exclusivos, isto é se não puderem
ocorrer em simultâneo, então:
P (AB) = 0
E
•
P (A+B) = P (A) + P(B)
A partir de P (AB) = P (B) P (AB) pode deduzir-se o teorema de Bayes
P( A B) =
P( A) P( B A)
P( B)
2 Distribuições Estatísticas
Se colocarmos num gráfico valores que variam como será o valor do diâmetro de uma
peça maquinada, ou a altura de um grupo de alunos da 6ª classe sob a forma de
histograma teremos
Exemplo a partir duma amostra de valores em tabela. Distribuição por famílias.
Passagem para o gráfico
5
Vamos seguidamente analisar o valor em contos gastos mensalmente em transportes
pela população de um bairro de Lisboa. No caso que seguidamente apresentamos, 30
valores foram registados e as suas frequências de ocorrência estão representadas.
Os valores registados foram de 2 a 9 havendo uma grande incidência nos valores de 5 a
7.
Outra amostra aleatória de outros novos 30 valores, da mesma população dará origem a
novo histograma que terá no entanto uma forma semelhante.
Se representarmos em novo histograma os valores verificados nas duas amostras mas
utilizando intervalos de 0,5 teríamos:
6
Agora utilizámos a frequência em %.
Se aumentássemos o número de observações e reduzíssemos os intervalos de medida,
tenderíamos para uma curva que descreve a função densidade de probabilidade f(x)
para uma dada variável x.
Em que
∫
+∞
−∞
f ( x)dx = 1
E a probabilidade de um valor estar entre x1 e x2 será:
P ( x1 < x < x 2 ) = ∫
x2
x1
f ( x)dx
Temos ainda como muito importantes dois aspectos da função densidade de
probabilidade que são:
Valor médio – valor em torno do qual a distribuição se agrupa
Dispersão – variabilidade em torno do valor médio
E ainda:
Moda – valor da maior frequência
mediana – ponto central da distribuição
7
Valor médio
n
x =∑
i =1
xi
n
+∞
µ = ∫ xf ( x)dx
−∞
Dispersão
É a extensão em que os valores da distribuição variam. É medida pela variância
n
Var ( x) = E ( x − x ) 2 = ∑
i =1
( xi − x ) 2
n
Variância para uma amostra de dimensão n.
A estimativa da variância da população a partir de uma amostra de tamanho n é dada
por:
( xi − x ) 2
n −1
n
σ2 =∑
i =1
Sendo a variância de uma população finita de N elementos dada por:
n
σ2 =∑
i =1
( xi − x ) 2
N
E para uma distribuição contínua:
+∞
σ 2 = ∫ ( x − µ ) 2 f ( x)dx
−∞
Distribuições discretas e contínuas
2.1 Distribuições discretas
Se uma variável aleatória discreta X poder tomar valores x1, x2, ..., xn, com
probabilidades p1, p2, . . . , pn, em que p1 + p2 + . . . + pn =1, e pi ≥ 0 para qualquer i,
8
pode-se dizer que existe uma distribuição de probabilidade para x. As notações
P(X = x) ou P(x) são utilizadas para representar a probabilidade de X ter um
determinado valor x.
Exemplo2.1:
Lançam-se duas moedas não viciadas. Considera-se a variável aleatória X = número de
caras . Então X pode Ter os valores 0, 1 ou 2.
Os resultados possíveis do lançamento são:
cara/cara
probabilidades
cara/coroa
¼
coroa/cara
¼
P(X=2)=1/4
P(X=1)=1/2
¼
coroa/coroa
¼
P(X=0)=1/4
A soma destas probabilidades é igual a um e existe uma distribuição discreta para X.
Binomial
A distribuição binomial descreve uma situação que tem duas saídas, tais como passar ou
não passar, mantendo-se a probabilidade constante para todas as tentativas,
experiências.
A função probabilidade é dada por:
f ( x) =
n!
p x q (n− x)
x! (n − x)!
n!
= C xn
x! (n − x)!
Esta função representa a probabilidade x produtos bons e n-x produtos maus numa
amostra de n produtos, quando a probabilidade de seleccionar um bom produto é p e
a de seleccionar um mau produto é q.
A média é dada por:
µ=np
E o desvio padrão:
σ = npq
E a probabilidade de obter r ou menos produtos bons virá:
9
r
F (r ) = ∑ C xn p x q ( n − x )
x =0
Aplica-se no caso de a dimensão da amostra ser finita e a dimensão da amostra ser
pequena relativamente ao lote.
Exemplo2.2:
De uma linha de produção recolhem-se 5 peças, uma por hora. Sabendo-se que a % de
peças defeituosas é de 10%, calcule a probabilidade de entre as 5 peças termos:
a) Todas as peças boas
b) Uma peça defeituosa
c) Menos de duas peças defeituosas
d) A média e o desvio padrão
Distribuição de Poisson
Os acontecimentos que ocorrem segundo uma distribuição de Poisson, acontecem a uma
taxa de ocorrência constante. Só com uma de duas saídas determinável.
Ex:
- número de falhas num dado período de tempo
-
numero de defeitos num determinado comprimento de arame
A função probabilidade é dada por:
µx
exp(− µ )
x!
( x = 0, 1, 2, 3, .......)
µ - taxa média de ocorrência
µ=λt
f ( x) =
σ2 = λ
A distribuição de Poisson pode ser considerada como a extensão da distribuição
Binomial, na qual n é infinito.
Exemplo2.3:
Das 12 às 14 o número de automóveis que chegam a um parque de estacionamento é de
360. Qual a probabilidade de num minuto:
a)
Não chegar nenhum automóvel?
10
b)
Chegar um automóvel?
c)
Chegarem dois automóveis?
d)
Chegarem menos de dois automóveis?
Exemplo 2.4:
Um trem de aterragem tem 4 rodas. A experiência mostra que o rebentamento de rodas
ocorre em média uma vez em cada 1200 aterragens. Admitindo que o rebentamento das
rodas ocorre de forma estatisticamente independente, umas das outras, e que uma
aterragem será segura se não rebentarem mais de 2 rodas. Qual a probabilidade de uma
aterragem não segura?
Exemplo 2.5:
Se a probabilidade de um item falhar é de 0,001, qual a probabilidade de se encontrar 3
items com falha numa população de 2000 ?
Solução através da distribuição Binomial
Solução através da distribuição Poisson
2.2 Distribuições contínuas
Diz-se que uma distribuição é contínua quando a variável aleatória pode tomar qualquer
valor dentro de determinado intervalo.
Distribuição Normal ou de Gauss
A função densidade de probabilidade da Normal é dada por:
f ( x) =
1
σ (2π )
1
2
 1 x − µ 2
) 
exp − (
 2 σ

µ - média ( parâmetro de localização )
moda , mediana – são coincidentes coma média dado que a função de distribuição de
probabilidade é simétrica.
11
Uma razão para a grande aplicação da Normal é o facto de, quando um valor está
sujeito a muitos factores de variação, independentemente como estes factores são
distribuídos, a distribuição composta resultante, aproxima-se muito da distribuição
Normal. Este facto é consequência do teorema do limite central
A tabela em apêndice dá os valores para Φ (z) função acumulada da distribuição
normal estandardizada , ( µ = 0 ; σ = 1 )
z – representa o número de desvios padrão de distância em relação ao valor médio.
Qualquer distribuição normal pode ser calculada a partir da distribuição normal
estandardizada, determinando a variável normal estandardizada z , e achando o valor de
Φ (z).
z=
x−µ
σ
Exemplo 2.6:
O tempo de vida de uma lâmpada incandescente tem uma distribuição normal de média
1200H e desvio padrão σ = 200H .
a) Qual é a probabilidade desta lâmpada durar pelo menos 800H
b) Qual é a probabilidade desta lâmpada falhar até às 900H
Exemplo2.7:
Um rolamento tem um tempo de vida normalmente distribuído com uma média de
6000h e um desvio padrão de 450h.
Qual a probabilidade de um rolamento atingir as 7000h de funcionamento?
Distribuição de Weibull
12
A distribuição de Weibull tem uma grande vantagem quando utilizada em trabalhos de
fiabilidade, pois por modificação dos parâmetros da distribuição pode ajustar-se a
muitas distribuições de tempos de vida típicos.
A sua função densidade de probabilidade em função do tempo virá dada por:
f (t ) =
 t 
β β −1
t exp − ( ) β 
β
η
 η 
f(t) = 0
em que :
( para t ≥ 0 )
( para t < 0 )
β - parâmetro de forma
µ - parâmetro de escala ou vida
característica
Exemplo 2.8:
O tempo de vida de um rolamento numa dada instalação é representado de forma
satisfatória por uma distribuição de Weibull com β = ½ e µ = 5000. Calcule a
probabilidade de o rolamento durar pelo menos 6000 horas. Calcule o tempo médio de
vida.
13
3 Confiança estatística
Na problemática da confiança estatística, o nível de confiança (1-α) é a percentagem em
que o intervalo de confiança incluirá o verdadeiro valor observado, se se repetir a
experiência várias vezes.
O intervalo de confiança é o intervalo entre os limites superior e inferior do intervalo.
Os intervalos de confiança são usados para se preverem os dados da população a partir
dos dados de uma amostra.
Quanto maior for a amostra maior será a nossa intuição de que o valor estimado para a
população esteja mais próximo do verdadeiro valor.
Limites de confiança em distribuição Normal
Se tivermos uma amostra de média x e pretendermos estimar a média da população
com um grau de confiança ou nível de confiança de 95%, então teremos :
14
P ( x − 1,96
σ
P ( x − zα / 2
n
σ
n
≤ µ ≤ x + 1,96
≤ µ ≤ x + zα / 2
σ
n
) = 0,95
σ
n
) = (1 − α )
Sabe-se que se na população x segue uma distribuição normal, os valores médios das
amostras x também tem uma distribuição normal de desvio padrão
σ
n
.
σ - desvio padrão da população
Exemplo 3.1:
Uma amostra com 100 valores tem um valor médio de 27,56 e um desvio padrão de
1,10.Quais os limites do valor médio da população para um nível de confiança de 90%
Limites de confiança em distribuição Exponêncial
Em fiabilidade muitas vezes assumimos Ter uma taxa de avarias constante, neste caso
os valores tem uma distribuição exponencial negativa, que é uma distribuição
assimétrica.
Nestas distribuições aplicamos a distribuição do χ2 para estimarmos os limites de
confiança.
Demonstra-se que os limites de confiança de dados gerados por um processo de
Poisson, tais como os tempos de avaria, quando a taxa de avarias é constante são dados
por:
15
θi =
2T
χ 2 α ,ν
θs =
2T
χ
2
1−α ,ν
θ i eθ s − limites de confiança superior e inferior para o MTBF
T – tempo total do teste
α - nível de significância
n – número de avarias
( ν = 2n ) – quando o teste acaba com avaria
( ν = 2n+2 ) - quando o teste não acaba com avaria
Exemplo 3.2:
Dez unidades foram testadas 1000H, tendo ocorrido 3 avarias. Os testes foram então
interrompidos. Assumindo uma taxa de avarias constante, qual é o limite inferior do
MTBF para um nível de confiança de 90%.
4 Testes de hipótese
Uma hipótese estatística é uma afirmação ou hipótese feita sobre parâmetros de uma
população.
Esta afirmação ou hipótese deverá ser testada utilizando um determinado procedimento.
Método:
1. Especificar a hipótese nula ( Ho ), hipótese que se pretende testar
e a hipótese alternativa ( H1)
2. Determinar a estatística do teste para testar o parâmetro θ considerado
3. Especificar o nível de significância α para o teste
4. Retirar uma amostra e determinar a estimativa do parâmetro θ (θˆ) .
5. Decisão
θˆ - dentro do intervalo de aceitação – não se rejeita Ho
θˆ - fora do intervalo de aceitação – rejeita-se Ho
16
Exemplo 4.1:
Considere uma população Normal de variância-1. Sabendo que numa amostra de n=25,
obteve-se a média amostral de 1,4 .
Diga se pode considerar como média para a população o valor - 1 ,considerando um
nível de significância de 5%.
Exemplo 4.2:
Um rolamento de esferas tem um tempo de vida normalmente distribuído, com uma
média de 6000h e um desvio padrão de 450h. Utilizámos um novo lubrificante numa
amostra de 9 unidades, tendo obtido um tempo de vida médio de 6400h. Teria o novo
lubrificante provocado uma alteração do tempo de vida médio dos rolamentos?
5
Bibliografia
Guimarães, Rui e Cabral, José (1999), Estatística, McGraw-Hill
Montgomery, Douglas e Runger (1999), Aplllied Statistics and Probability for
Engineers
17