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Calcule o fluxo elétrico através de uma placa circular de raio a imersa num campo
elétrico uniforme de intensidade E nos casos:
a) O campo é perpendicular à placa;
b) O forma um ângulo α com a placa.
Dados do problema
•
•
•
raio do disco:
intensidade do campo elétrico:
ângulo entre o campo elétrico e a placa:
a;
E;
α.
Solução
a) O fluxo elétrico é dado por
E =
∫ E .d A
(I)
A
Adotando
o
eixo
x
perpendicular à placa e na mesma
direção se sentido do vetor campo
elétrico (figura 1) este pode ser escrito
como
E =E i
(II)
onde i é o vetor unitário na direção x
(figura 1).
O vetor elemento de área pode ser escrito como
dA =d A n
figura 1
(III)
onde n é o vetor unitário na direção perpendicular à placa. Substituindo as expressões (II) e (III)
em (I), temos
∫ E i.d A n
=∫ E d A 
i. n
E =
A
E
1
A
Observação: como i e n são vetores unitário seus módulos são iguais a 1 e como ambos estão
na mesma direção o ângulo entre eles é nulo ( θ = 0 ), assim i .n = ∣ i∣∣ n ∣ cos 0 = 1. 1 . 1 = 1 .
E =
∫E d A
A
1
(IV)
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2
O elemento de área d A e ângulo d θ da placa será pela figura
d A=r dr dθ
(V)
substituindo a expressão (V) em (IV), obtemos
E =
∫∫ E r d r d θ
O campo elétrico pode “sair” da integral e como não existem
termos “cruzados” em r e θ as integrais podem ser separadas
E = E
figura 2
∫ r d r∫ d θ
Os limites de integração serão de 0 a a em d r (ao longo do raio do disco) e de 0 e 2π
em d θ (uma volta completa no disco)
a
E = E
2π
∫ r d r∫ d θ
0
0
a
integração de
∫r dr
0
a
∫
0
r2
r dr =
2
à
∣
=
0
a2 02 a 2
−
=
2
2
2
2π
integração de
∫dθ
0
2π
∫ d θ = θ∣
2π
0
= 2 π−0 = 2 π
0
2
E = E
a
2π
2
2
E = π a E
b) Adotando um sistema de
referência
com
o
eixo
x
perpendicular à placa e o eixo y
para cima paralelo à placa (figura
3) o vetor campo elétrico pode ser
escrito como
E = E x iE y j
(VI)
figura 3
2
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Para o vetor elemento de área vale a mesma expressão (III). Substituindo as
expressões (III) e (VI) em (I), temos
E =
∫ E
x
iE y j  . d A n
A
∫E
=∫ E
E =
x
A
E
A
∫ E j.d A n
d A
i. n ∫ E d A 
j. n
i .d A n
y
A
x
y
1
0
A
Observação: como i e n são vetores unitário seus módulos são iguais a 1 e como ambos estão
na mesma direção o ângulo entre eles é nulo ( θ = 0 ), assim i .n = ∣ i∣∣ n ∣ cos 0 = 1. 1 . 1 = 1 .
π
O vetor unitário j também tem módulo 1, como ele é perpendicular a n θ =
o produto
2
π
escalar será j . n = ∣ j ∣∣ n ∣ cos = 1 .1. 0 = 0 (figura 3).
2

E =
∫E
x

(VII)
dA
A
O vetor campo elétrico pode ser decomposto nas direções i e j com
componentes E x e E y respectivamente, apenas a componente na direção i
contribui para o fluxo elétrico, assim ela pode ser escrita em termos do
campo elétrico e do ângulo de inclinação
E x = E sen 
(VIII)
O elemento de área d A será dado pela expressão (V) obtida acima,
substituindo as expressões (V) e (VIII) em (VII), temos
E =
figura 4
∫∫ E sen  r d r d θ
Como a componente do campo elétrico é uniforme ele pode “sair” da integral e não
existem termos “cruzados” em r e θ as integrais podem ser separadas
∫ r d r∫ d θ
 E = E sen 
Os limites de integração serão de 0 a a em d r (ao longo do raio do disco) e de 0 e 2π
em d θ (uma volta completa no disco)
a
2π
∫ r d r∫ d θ
 E = E sen 
0
0
as duas integrais já foram calculada no item (a), assim
2
 E = E sen 
2
a
2π
2
 E = π a E sen 
3