LISTA 1 - Pesquisa Operacional I
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Construir o modelo matemático de programação linear dos sistemas descritos a seguir:
1) Um sapateiro faz 6 sapatos por hora, se fizer somente sapatos, e 5 cintos por hora, se fizer somente
cintos. Ele gasta 2 unidades de couro para fabricar 1 unidade de sapato e 1 unidade de couro para fabricar
uma unidade de cinto. Sabendo-se que o total disponível de couro é de 6 unidades e que o lucro unitário
por sapato é de $5,00 e o do cinto é de $2,00, pede-se: o modelo do sistema de produção do sapateiro, se
o objetivo é maximizar seu lucro por hora.
2) Certa empresa fabrica 2 produtos P1 e P2. O lucro por unidade de P1 é de $100,00 e o lucro unitário de
P2 é de $150,00. A empresa necessita de 2 horas para fabricar uma unidade de P1 e 3 horas para fabricar
uma unidade de P2. O tempo mensal disponível para essas atividades é de 120 horas. As demandas
esperadas para os 2 produtos levaram a empresa a decidir que os montantes produzidos de P1 e P2 não
devem ultrapassar 40 unidades de P1 e 30 unidades de P2 por mês. Construa o modelo do sistema de
produção mensal com o objetivo de maximizar o lucro da empresa.
3) Um vendedor de frutas pode transportar 800 caixas de frutas para sua região de vendas. Ele necessita
transportar 200 caixas de laranjas a $20,00 de lucro por caixa, pelo menos 100 caixas de pêssegos a
$10,00 de lucro por caixa, e no máximo 200 caixas de tangerinas a $30,00 de lucro por caixa. De que
forma deverá ele carregar o caminhão para obter o lucro máximo? Construa o modelo do problema.
4) Uma rede de telvisão local tem o seguinte problema: foi descoberto que o programa "A" com 20 minutos
de música e 1 minuto de propaganda chama a atenção de 30.000 telespectadores, enquanto o programa
"B", com 10 minutos de música e 1 minuto de propaganda chama a atenção de 10.000 telespectadores. No
decorrer de uma semana, o patrocionador insiste no uso de no mínimo 5 minutos para sua propaganda e
que não há verba para mais de 80 minutos de música. Quantas vezes por semana cada programa deve ser
levado ao ar para obter o número máximo de telespectadores? Construa o modelo do sistema.
5) Uma empresa fabrica 2 modelos de cintos de couro. O modelo M1, de melhor qualidade, requer o dobro
do tempo de fabricação em relação ao modelo M2. Se todos os cintos fossem do modelo M2, a empresa
poderia produzir 1.000 unidades por dia. A disponibilidade de couro permite fabricar 800 cintos de ambos
os modelos por dia. Os cintos empregam fivelas diferentes, cuja disponibilidade diária é de 400 para M1 e
700 para M2. Os lucros unitários são de $4,00 para M1 e $3,00 para M2. Qual o programa ótimo de
produção que maximiza o lucro total diário da empresa? Construa, o modelo do sistema descrito.
6) Uma empresa, após um processo de racionalização de produção, ficou com disponibilidade de 3
recursos produtivos, R1, R2, R3. Um estudo sobre o uso desses recursos indicou a possibilidade de se
fabricar 2 produtos P1 e P2. Levantando os custos e consultando o departamento de vendas sobre o preço
de colocação no mercado, verificou-se que P1 daria um lucro de $120,00 por unidade e P2, $150,00 por
unidade. O departamento de produção forneceu a seguinte tabela de uso de recursos.
Produto
Recursos Recursos Recursos
R1 por
R2 por
R3 por
unidade unidade unidade
P1
2
3
5
P2
4
2
3
100
90
120
Disponibilidade
de recursos por
mês
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Que produção mensal de P1 e P2 traz o maior lucro para a empresa? Construa o modelo do sistema.
7) Um fazendeiro está estudando a divisão de sua propriedade nas seguintes atividades produtivas:
A (Arrendamento) - Destinar certa quantidade de alqueires para a plantação de cana-de-açúcar, a uma
usina local, que se encarrega da atividade e paga pelo aluguel da terra $300,00 por alqueire por ano.
P (Pecuária) - Usar outra parte para a criação de gado de corte. A recuperação das pastagens requer
adubação (100Kg/Alq.) e irrigação (100.000 litros de água/Alq.) por ano. O lucro estimado nessa atividade
é de $400,00 por alqueire por ano.
S (Plantio de Soja) - Usar uma terceira parte para o plantio de soja. Essa cultura requer 200Kg por alqueire
de adubos 200.000 litros de água/Alq. para irrigação por ano. O lucro estimado nessa atividade é de
$500,00/alqueire no ano.
Disponibilidade de recursos por ano:
12.750.000 litros de água
14.000 Kg de adubo
100 alqueires de terra.
Quantos alqueires deverá destinar a cada atividade para proporcionar o melhor retorno? Construa o
modelo de decisão.
8) O departamento de marketing de uma empresa estuda a forma mais econômica de aumentar em 30%
as vendas de seus dois produtos P1 e P2.
As alternativas são:
a) Investir em um programa institucional com outras empresas do mesmo ramo. Esse programa requer um
investimento mínimo de $3.000,00 e deve proporcionar um aumento de 3% nas vendas de cada produto,
para cada $1.000,00 investidos.
b) Investir diretamente na divulgação dos produtos. Cada $1.000,00 investidos em P1 retornam um
aumento de 4% nas vendas, enquanto que para P2 o retorno é de 10%.
A empresa dispõe de $10.000,00 para esse empreendimento. Quanto deverá destinar a cada atividade?
Construa o modelo do sistema descrito.
9) Uma liga especial constituída de ferro, carvão, silício e níquel pode ser obtida usando a mistura desses
minerais puros além de 2 tipos de materiais recuperados:
Material Recuperado 1 - MR1 – Composição
ferro - 60%
carvão - 20%
silício - 20%
Custo por Kg: $0,20
Material Recuperado 2 - MR2 - Composição
ferro - 70%
carvão - 20%
silício - 5%
níquel - 5%
Custo por Kg: $0,25
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A liga deve ter a seguinte composição final:
Matéria-Prima
% Mínima
% Máxima
ferro
60
65
carvão
15
20
silício
15
20
níquel
5
8
O custo dos materiais puros são (por Kg): ferro: $0,30; carvão: $0,20; silício: $0,28; níquel:$0,50. Qual
deverá ser a composição da mistura em termos dos materiais disponíveis, com menor custo por Kg?
Construa o modelo de decisão.
10) Uma rede de depósitos de material de construção tem 4 lojas que devem ser abastecidas com 50
m3 (L1), 80 m3 (L2), 40 m3(L3), 100 m3(L4) de areia grossa. Essa areia pode ser encarregada em 3 portos
P1, P2 e P3, cujas distâncias às lojas estão no quadro (em km):
L1
L2
L3
L4
P1
30
20
24
18
P2
12
36
30
24
P3
8
15
25
20
O caminhão pode transportar 10 m3 por viagem. Os portos tem areia para suprir qualquer demanda.
Estabelecer um plano de transporte que minimize a distância total percorrida entre os portos e as lojas e
supra as necessidades das lojas. Construa o modelo linear do problema.
Fonte: Pesquisa Operacional. Ermes Medeiro da Silva, Elio Medeiros da Silva, Valter Gonçalves e Afrânio
Carlos Murolo. Atlas, 1998.
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Respostas
1)
x1: quantidade de sapatos/hora
x2: quantidade de cintos/hora
Lucro (Maximização)
Z = f ( X 1 , X 2 ) = 5X 1 + 2X 2
Restrições
⇒ restrição quantidade couro
2X 1 + X 2 ≤ 6
10X + 12X ≤ 60 ⇒ restrição tempo (min.)
 1
2

⇒ restrição produção não - negativa
X 1 ≥ 0
X 2 ≥ 0
⇒ resrição produção não - negativa
2)
x1: quantidade de P1
x2: quantidade de P2
Lucro (Maximização)
Z = f ( X 1 , X 2 ) = 100X 1 + 150X 2
Restrições
2X 1 + 3X 2 ≤ 120
X ≤ 40
 1
X 2 ≤ 30
X ≥ 0
 1
X 2 ≥ 0
⇒ restrição tempo produção
⇒ restrição produção
⇒ restrição produção
⇒ restrição produção não - negativa
⇒ resrição produção não - negativa
3)
x1: quantidade de caixas de pêssegos
x2: quantidade de caixas de tangerinas
Lucro (Maximização)
Z = f ( X 1 , X 2 ) = 10X 1 + 30X 2 + 4000
Obs : 4000 é devido ao lucro obtido pela quantidade de caixas de laranja que é constante.
Restrições
X 1 + X 2 ≤ 600
X ≥ 100
 1
X 2 ≤ 200
X ≥ 0
 1
X 2 ≥ 0
⇒ restrição quantidade máxima transporte descontada laranja (800 - 200)
⇒ restrição quantidade mínima transporte pêssego
⇒ restrição quantidade máxima transporte tangerina
⇒ restrição produção não - negativa
⇒ resrição produção não - negativa
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4)
x1: freqüência semanal de A
x2: freqüência semanal de B
Número de telespectadores (Maximização)
Z = f ( X 1 , X 2 ) = 30000X 1 + 10000X 2
Restrições
20X 1 + 10X 2 ≤ 80 ⇒ restrição música
X + X ≥ 5
⇒ restrição propaganda
 1
2

⇒ restrição produção não - negativa
X 1 ≥ 0
X 2 ≥ 0
⇒ resrição produção não - negativa
5)
x1: quantidade de M1/dia
x2: quantidade de M2/dia
Lucro (Maximização)
Z = f ( X 1 , X 2 ) = 4 X 1 + 3X 2
Restrições
2X 1 + X 2 ≤ 1000
X + X ≤ 800
2
 1
X 1 ≤ 400

X 2 ≤ 700
X 1 ≥ 0

X 2 ≥ 0
⇒ restrição volume produção
⇒ restrição capacidade máxima produção devido couro
⇒ restrição disponibilidade diária fivela para M1
⇒ restrição disponibilidade diária fivela para M 2
⇒ restrição produção não - negativa
⇒ resrição produção não - negativa
6)
x1: quantidade de P1
x2: quantidade de P2
Lucro (Maximização)
Z = f ( X 1 , X 2 ) = 120X 1 + 150X 2
Restrições
2X 1 + 4X 2 ≤ 100
3X + 2X ≤ 90
2
 1
5
X
+
3
X
 1
2 ≤ 120
X ≥ 0
 1
X 2 ≥ 0
⇒ restrição recurso R 1
⇒ restrição recurso R 2
⇒ restrição recurso R 3
⇒ restrição produção não - negativa
⇒ resrição produção não - negativa
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7)
x1: alqueires para A
x2: alqueires para B
x3: alqueires para C
Lucro (Maximização)
Z = f ( X 1 , X 2 , X 3 ) = 300X 1 + 400X 2 + 500X 3
Restrições
X 1 + X 2 + X 3 ≤ 100

100000X 2 + 200000X 3 ≤ 12750000
100X 2 + 200X 3 ≤ 14000

X 1 ≥ 0
X 2 ≥ 0

X 3 ≥ 0
⇒ restrição área total
⇒ restrição água
⇒ restrição adubo
⇒ restrição produção não - negativa
⇒ resrição produção não - negativa
⇒ resrição produção não - negativa
8)
x1: quantidade em $1000,00 para programa institucional
x2: quantidade em $1000,00 diretamente em P1
x3: quantidade em $1000,00 diretamente em P2
Custo (Minimização)
Z = f (X 1 , X 2 , X 3 ) = X 1 + X 2 + X 3
Restrições
X 1 ≥ 3
3X + 4X ≥ 30
2
 1
3X 1 + 10X 3 ≥ 30

X 1 + X 2 + X 3 ≤ 10
X ≥ 0
 1
X 2 ≥ 0

X 3 ≥ 0
⇒ restrição investimento mínimo
⇒ restrição aumentar 30%
⇒ restrição aumentar 30%
⇒ restrição recurso
⇒ restrição produção não - negativa
⇒ resrição produção não - negativa
⇒ resrição produção não - negativa
9)
x1: quantidade MR1
x2: quantidade MR2
x3: quantidade ferro
x4: quantidade carvão
x5: quantidade silício
x6: quantidade níquel
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Custo (Minimização)
Z = f ( X 1 , X 2 , X 3 , X 4 , X 5 , X 6 ) = 0.2X 1 + 0.25X 2 + 0.3X 3 + 0.2X 4 + 0.28X 5 + 0.5X 6
Restrições
0.6X 1 + 0.7X 2 + X 3 ≥ 0.60
0.6X + 0.7X + X ≤ 0.65
1
2
3

0.2X 1 + 0.2X 2 + X 4 ≥ 0.15

0.2X 1 + 0.2X 2 + X 4 ≤ 0.20
0.2X + 0.05X + X ≥ 0.15
1
2
5

0.2X 1 + 0.05X 2 + X 5 ≤ 0.20
0.05X + X ≥ 0.05

2
6

0.05X 2 + X 6 ≤ 0.08
X 1 ≥ 0

X 2 ≥ 0
X ≥ 0
 3
X 4 ≥ 0

X 5 ≥ 0
X 6 ≥ 0
⇒ restriçãomínimo ferro
⇒ restriçãomáximo ferro
⇒ restrição mínimo carvão
⇒ restriçãomáximo carvão
⇒ restrição mínimo silício
⇒ restriçãomáximo silício
⇒ restriçãomínimo níquel
⇒ restriçãomáximo níquel
⇒ restrição produção não - negativa
⇒ resrição produção não - negativa
⇒ resrição produção não - negativa
⇒ resrição produção não - negativa
⇒ resrição produção não - negativa
⇒ resrição produção não - negativa
10)
x11: número de viagens de P1 a L1
x12: número de viagens de P1 a L2
x13: número de viagens de P1 a L3
x14: número de viagens de P1 a L4
x21: número de viagens de P2 a L1
"
"
x34: número de viagens de P3 a L4
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Distância (Minimização)
Z = f ( X 11 , X 12 , X 13 , X 14 ,..., X 34 ) = 30X 11 + 20X 12 + 24X 13 + 18X 14 12X 21 + 36X 22 + 30X 23 + 24X 24 + 8X 31 + 15X 32 + 25X 33 + 20X 34
Restrições
X 11 + X 21 + X 31 = 5

X 12 + X 22 + X 32 = 8
X 13 + X 23 + X 33 = 4

X 14 + X 24 + X 34 = 10
X ≥ 0
 ij
i = 1,2,3

 j = 1,2,3,4
⇒ restrição loja 1
⇒ restrição loja 2
⇒ restrição loja 3
⇒ restrição loja 4
⇒ restrição produção não - negativa
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