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fluidos – fundamentos 1
O CONCEITO DE FLUIDO
Ao contrário dos sólidos, os fluidos (líquidos e gases) não têm forma fixa ou preferencial (propriedade
da fluidez). Existem substâncias com comportamentos duplos ou intermédios: as substâncias tixotrópicas,
algumas soluções concentradas de polímeros, etc.
Um fluido não obsta a que as forças aplicadas o deformem, conservando constante o seu volume –
embora ofereça resistência à deformação; só que essa resistência não obsta à deformação.
A diferença mais importante entre as propriedades mecânicas dos líquidos e as dos gases reside na maior
compressibilidade dos gases, definida pelo respectivo coeficiente, − 1 ρ (dρ dp )revers .
Para variações de pressão apreciáveis, ∆ρ g ∆ρ líq >> 1 ; para variações ligeiras, ∆ρ g ∆ρ líq = Ο(1) .
Gases, líquidos e sólidos
A curtas distâncias, a força entre duas moléculas isoladas e sem ligação química (força forte) é de
repulsão; a maiores distâncias, é de atracção (força fraca). Existe uma posição estável à distância mútua d0=
O(3∼4.10-8 cm).
Em fases gasosas, nas condições padrão de temperatura e pressão, o espaçamento molecular médio é
O(10d0), só existindo portanto forças muito fracas, excepto quando as moléculas colidem.
Nas fases líquidas e nas sólidas, esse espaçamento é inferior, O(d0) e as moléculas encontram-se nos
campos de força forte das suas vizinhas, da forma o mais compacta possível. Nos sólidos, o arranjo
molecular é permanente, constituindo por vezes uma estrutura periódica (cristalina)
Os gases
A maioria das propriedades que distinguem os gases têm por base a grande separação entre moléculas e o
isolamento dinâmico de cada molécula durante a maioria do tempo.
A 0 C e 1ata, o número de Loschmidt é Lo=2.68×1019 moléculas/cm3; pela lei de Avogrado, este número
é o mesmo para todos os gases. O diâmetro molecular é O(d0); o espaçamento regular médio será portanto
cerca de 10do. A 10do as forças coesivas intermoleculares são completamente desprezáveis: as moléculas
movem-se livremente a maior parte do tempo, em trajectórias rectilíneas e a velocidade constante.
Considerando que ocorre uma colisão quando duas moléculas se aproximam tanto que a força mútua é
repulsiva, o livre percurso molecular, entre colisões, é cerca de 7×10-6 cm ≅ 200d0.
Gases perfeitos
O conceito de gás perfeito implica:
- desprezar o campo potencial associado às outras moléculas, relativamente à energia cinética de cada
moléula;
- que as suas molécula não exercem força umas sobre as outras, excepto quando colidem;
- desprezar o volume molecular.
Mantendo as condições uniformes e estacionárias na fronteira duma massa de gás perfeito, o gás entra em
equilíbrio com o meio exterior devido ao efeito das colisões das moléculas, entre si e sobre a fronteira.
As colisões são o único meio pelo qual as moléculas dum gás perfeito podem ser influenciadas pelas
condições na fronteira.
O tempo médio entre colisões no ar é de 10-10 s, o que significa que o equilíbrio não se atinge
instantaneamente. Se as condições na fronteira variarem continuamente, há sempre um pequeno
afastamento, relativamente ao equilíbrio. E afronteira se deformar, executando trabalho sobre o gás, o efeito
das colisões é distribuir a energia interna total sobre os modos disponíveis de movimento molecular, de
acordo com a distribuição de equilíbrio; só que as trocas energéticas devidas às colisões processam-se mais
rápido nuns modos do que noutros.
Em condições padrão, os gases reais comportam-se como gases perfeitos. O seu comportamento afasta-se
do modelo de gás perfeito:
A densidades elevadas, devido à proximidade das moléculas (eq. de Van der Waals);
A temperaturas muito altas, devido a alterações na estrutura molecular. As colisões tornam-se tão
violentas que podem dissociar as moléculas em átomos ou ionizá-las (O2, 3000 K; N2, 6000 K).
Finalmente, convém alertar para o facto de um gás “incompressível”, ρ=const., não ser um gás perfeito.
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fluidos – fundamentos 2
O conceito de meio contínuo
As moléculas estão separadas por regiões vacuosas muito maiores que elas. No entanto, à escala
macroscópica não se toma em conta a estrutura molecular dum fluido: considera-se a matéria uniformemente
distribuída sobre o volume e não discretamente.
As propriedades físicas e dinâmicas dum fluido variam muito pouco em 10-3 cm (excepto numa onda de
choque); basta então analisar um volume de 10-9 cm3. Às condições padrão este volume contém cerca de
3×1010 moléculas – número suficiente para que as médias das propriedades moleculares sejam independentes
do número de moléculas presentes.
Assim, pode-se definir as propriedades do fluido (p, ρ, T, u) num “ponto”, geralmente como funções
contínuas f (x, t) – ou seja as propriedades físicas são espacial e temporalmente contínuas e
estatisticamente significativas – excepção feita, quanto à continuidade, as superfícies de descontinuidade
tais com as ondas de choque.
Para que se possa adoptar este modelo físico do contínuo, a ordem de grandeza da dimensão
característica L do fenómeno (comprimento duma placa, diâmetro dum tubo, corda dum perfil alar, etc.)
deve ser bastante superior à do livre percurso molecular ℓ: O(L)/O(ℓ)>>1.
São assim aplicáveis todos os operadores de cálculo (diferenciações, integrações, etc.) sobre as
propriedades do fluido e do escoamento.
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O MOVIMENTO DOS FLUIDOS
Campo da velocidade v (x, t )
Define o vector velocidade na posição corrente x , no instante genérico t.
Movimento (escoamento) permanente ou estacionário v (x)
Quando ∂v ∂ t = 0 , embora possa ser dv d t ≠ 0 (ie, existe v&)
Escoamento uniforme v (t )
∂v j
=0
∇v ≡ˆ
∂xi
Escoamento estacionário e uniforme v = const.
Linha trajectória (duma partícula) x ( x 0 , t )
− que ocupava a posição x 0 no instante t = 0.
Linhas de corrente d λ× v = 0
Num dado instante, são a família de curvas tangente em cada ponto ao vector velocidade; em coordenadas
cartesianas,
dx dy dz dλ
=
=
=
u
v
w
v
Coincidem com as LT nos escoamentos estacionários.
Linhas de emissão
É o lugar geométrico x, no instante t1, das partículas que passaram pelo ponto fixo x1 entre 0 e t1:
x = g[h(x1, t), t1]
Corresponde ao penacho de fumo duma chaminé, num dado instante. Nos escoamentos estacionários, as
LT, as LdC e as LdE são fixas e coincidentes.
Divergência da velocidade
É o escalar
Θ = div v = ∇.v =
∂v1 ∂v 2 ∂v 3 ∂v i
+
+
=
∂x1 ∂x 2 ∂x 3 ∂x i
Como se verá adiante, está relacionado com a dilatação volumétrica por unidade de tempo [m3.m-3.s-1].
Rotacional da velocidade
rot v = ∇ × v =
⎛ ∂v i
∑ ⎜⎜ ∂x
k
⎝
j
−
∂v j ⎞
⎟ ek
∂x i ⎟⎠
onde os ek são os versores dos eixos coordenados. Como se verá adiante, está relacionado com a rotação das
partículas de fluido [rad.s-1].
Rotacional e vórtices
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O significado físico do rotacional da
velocidade
compreende-se
melhor
expresso em coordenadas naturais.
Considere-se no instante t duas fiadas
ortogonais de partículas, respectivamente
tangentes (ds) e normais (dn) ao vector
velocidade e portanto à trajectória, cujo
raio de curvatura é R. Em t+dt, a situação
das duas fiadas pode ser, em termos de
rotação média, qualquer um dos casos da
figura, dependendo do valor de ∂V ∂n .
Em coordenadas naturais e em
módulo, o rotacional da velocidade é dado
por:
rot V
V
R
=
−
∂V ∂n < 0
ds
dn
R(>0)
dn ds
dn
n
dn
∂V ∂n = 0
ds
∂V ∂n > 0
ds
V
∂V
∂n
e a velocidade angular ω duma partícula é:
⎛ V ∂V
−
⎝ R ∂n
V ∂V
=
R ∂n
ω = 12 ⎜
A condição de irrotacionalidade é:
⎞
⎟
⎠
⇒ ω =0
e assim o significado físico da irrotacionalidade é que as partículas não rodam sobre si próprias.
Tome-se o vórtice pontual, escoamento
em que as partículas descrevem trajectórias
V
circulares com a velocidade constante em
módulo e dada por
v (r)=k/r
V=
k
r
r
onde k é a intensidade do vórtice, o que torna
o centro do vórtice um ponto singular a
excluir. A intensidade está relacionada com a
circulação Γ ao longo de um contorno directo
que contenha a singularidade:
k=
Γ
2π
. No caso presente n = - r e o escoamento é irrotacional (embora exista deformação angular), pois:
∂V
∂V
k
⎛ k ⎞
= −⎜ − 2 ⎟ = + 2
=−
∂r
∂n
r
⎝ r ⎠
V
k
= 2
r r
⎫
⎪
⎪
⎬ → rot V = 0
⎪
⎪⎭
Os vórtices reais formam tubos de vórtices, que ou terminam em fronteiras sólidas ou se fecham sobre si
próprios, em anéis. A sua secção bidimensional é o vórtice combinado, composto por um tubo de raio a que
roda em bloco como um corpo rígido e de um campo exterior irrotacional, análogo ao de um vórtice pontual.
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No núcleo, V = Ω r e portanto
∂V
∂V
⎫
=−
= −(Ω ) = −Ω ⎪
⎪
∂n
∂r
⎬ → rotV = Ω − (−Ω) = 2Ω
V Ωr
⎪
=
=Ω
⎪⎭
r
r
v(r)=Ωr
v (r)=k/r
Mostra-se facilmente que neste caso
k = Ωa 2
a
Como exemplos de estruturas deste tipo mais ou
menos organizadas apontam-se os dust devils, os
ciclones, furacões e trombas, os anéis de fumo dos
fumadores e os turbilhões emitidos pelas pontas de
superfícies que estejam a gerar sustentação (asas de avião, aletas com ângulo de ataque, etc.). No caso destes
turbilhões, tornam-se visíveis porque, sendo a pressão mínima no centro, o arrefecimento adiabático faz com
que se atinja o ponto de orvalho e o que se vê é o vapor condensado.
A energia cinética associada a um vórtice combinado é a soma da energia cinética do tubo com a energia
cinética do restante fluido, e mostra-se valer:
1⎞
1⎞
⎛1
⎛1
E k = E k, tubo + E k, ext = ρ k 2π ⎜ + ln ⎟ = ρ Ω 2 a 4π ⎜ + ln ⎟
a⎠
a⎠
⎝4
⎝4
Referenciais fixos e referenciais ligados ao corpo
É possível transformar um escoamento instacionário, se descrito num referencial fixo à Terra, por exº.,
num escoamento estacionário, relativamente a um referencial fixo ao corpo. A figura mostra como se
converte um escoamento instacionário (a) no seio dum fluido em repouso, atravessado por um perfil alar que
se desloca à velocidade constante V∞ , num escoamento estacionário (b) em torno do perfil imóvel, banhado
por uma corrente uniforme a infinito V∞ . Agora a fronteira sólida do corpo constitui uma LdC.
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Expansão da velocidade, na vizinhança espacial dum ponto P de velocidade conhecida
v = v P + (x − x P ).∇v +
(x − x P ) 2
.∇∇v + ...
2!
Linearização – possível se:
1º. - (x − x P ) <<
2º. - v bem comportada em relação a x (ie, sem descontinuidades nas
derivadas) – campo de deformação homogénea
e fica:
v = v P + (x − x P ).∇v
Tensor das velocidades de deformação (strain-rate tensor) Φ
O que interessa não é propriamente v, mas a quantidade ( v − v P ) ; fazendo x P = 0 e ( v − v P ) ≅ v , vem:
v = x.∇v
O tensor das taxas ou velocidades de deformação é:
[ ]
Φ =ˆ ∇v = φ ij =
∂v j
∂xi
ou seja,
x
→
Φ
→
v
Tensor Deformação e tensor Rotação
O tensor das velocidades de deformação pode decompor-se num tensor simétrico – tensor deformação –
e num tensor anti-simétrico, o tensor rotação:
Φ=E+R
com
⎧
⎪ e ij =
⎪⎪
⎨
⎪
⎪ r ij =
⎪⎩
Tensor Deformação E
Termos da diagonal principal eij
1
2
⎛ ∂v j
∂vi
⎜
+
⎜ ∂xi
∂x j
⎝
⎞
⎟
⎟
⎠
1
2
⎛ ∂v j
∂vi
⎜
−
⎜ ∂xi
∂x j
⎝
⎞
⎟
⎟
⎠
(i = j )
[ ]
⎡ m ⎤
São as taxas de deformação linear ⎢
= s −1 .
⎥
⎣ m.s ⎦
Se o comprimento inicial segundo x2 for λ e a respectiva deformação ao fim do tempo ∆t for ∆λ , e
deformação é
⎛ ∆λ ⎞
ε 2 =ˆ ⎜ ⎟
⎝ λ ⎠2
1 ⎛ ∆λ ⎞
ε&2 = ⎜ ⎟ = e 22
e a respectiva taxa é o termo da diagonal
t ⎝ λ ⎠2
Hipótese
⎛ ∂v j ⎞
⎟ forem suficientemente pequenos para que os seus produtos possam ser desprezados – o que
Se os ⎜⎜
⎟
⎝ ∂xi ⎠
é geralmente válido excepto em ondas de choque, como em explosões – então:
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V0 = dx1 dx 2 dx3
V1 = V0 + ∆V
Volume elementar inicial:
Volume ao fim de 1 segundo:
⎛ ∂v
∂v
∂v
∆V = V0 ⎜⎜ 1 + 2 + 3
⎝ ∂x1 ∂x 2 ∂x3
= V0 Θ
com:
⎞
⎟⎟ = V0 div v = V0 ∇.v =
⎠
e3
Restantes termos de E: taxas de
deformação angular [rad.s-1]
Considere-se as fiadas de partículas
alinhadas ao longo dos dois eixos
ortogonais da figura. Um segundo depois,
estarão alinhadas segundo outras
direcções, angularmente desviadas de
(2e23):
π/2 – 2e23
dx3
π/2
e2
dx2
t= 0
γ&ij = 2eij
Tensor Rotação
Analogamente,
r23 = 12 (tan α + tan β ) ≅ 12 (α + β )
onde o sinal de aproximação tem o
significado físico de uma média.
e3
β
dx3
π/2
t= 0
Ω3
0
− Ω1
− Ω2 ⎤
Ω1 ⎥⎥
0 ⎥⎦
α
e2
dx2
Rotação pura ou em bloco
Se α = β − ou seja, se não existir
deformação angular (no exº., se γ&23 = 0 ),
trata-se duma rotação pura e vem
⎡ 0
R =ˆ [Ω] = ⎢⎢− Ω 3
⎢⎣ Ω 2
t= 1 s
t= 1 s
ou
⎧Ω1 ⎫
⎪ ⎪
Ω = Ω i e i = ⎨Ω 2 ⎬
⎪Ω ⎪
⎩ 3⎭
Notar que esta última representação (vectorial ou matriz coluna) pode originar confusões, pois a
velocidade angular é um pseudo-vector (ie, embora definida por três quantidades, tem natureza tensorial).
A velocidade angular que está aqui em causa é a da partícula que se encontra na origem das coordenadas
do sistema ortonormado:
Ω k = rij = − r ji
e
(
rij = 1 2 ∇ × v
)
k
↔
Ω = 1 2 rot v
Os escoamentos fora de camadas-limite e de esteiras de separação são muito bem aproximados por
escoamentos irrotacionais, também designados potenciais, pois derivam de um potencial de velocidades
(por cumprirem as condições de Riemann-Cauchy). Num escoamento irrotacional, ( (∇ × v = 0) é rij = 0 .
Vorticidade num ponto ou vector rotação ω
ω = ∇ × v = 2Ω
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CONCEITO DE TENSÃO NUM FLUIDO
Como força elementar de superfície, por definição a tensão está aplicada a uma superfície elementar
orientada. Sejam:
ℜ – domínio fechado no seio do fluido
∂D – fronteira do domínio ℜ
n
∆A – superfície elementar de ∂ℜ
∆Ft
∆Fn – componente normal da força elementar de superfície ∆F
∆A
∆Ft – componente tangencial da força elementar de superfície ∆F
Notar que ∆F é a força elementar exercida pelo restante meio exterior
sobre ℜ, aplicada na sua fronteira.
∆F
∆Fn
Vector tensão ou esforço ¶ aplicado a uma superfície orientada
¶ =ˆ lim
∆A→0
Com:
∂ℜ
∆F
∆A
∆Fn
∆A→0 ∆A
∆Ft
τ =ˆ lim
∆A→0 ∆A
σ =ˆ lim
esforço ou tensão normal [Pa]
esforço ou tensão de corte [Pa]
Carácter tensorial da tensão
O vector tensãoпdepende da orientação da superfície ∆A, n (cujas componentes são os cossenos
directores dos respectivos versores). A tensão num ponto depende da face e da direcção consideradas –
portanto é um tensor:
Π =ˆ τ ij = τ ji
[ ] [ ]
O tensor tensão Π, que é simétrico, depende das propriedades do fluido e das características locais e
momentâneas do escoamento. Em geral, é Π(x, t) – embora se considere constante na vizinhança dum ponto
dado.
Tensor desviatórico (Batchelor)
Seja
τ ij = − pδ ij + τ ' ij
onde δ ij é o operador de Kronecker (1 se i = j. 0 se i ≠ j) e p é a pressão termodinâmica. O tensor
desviatórico é
[ ] [ ]
Π ' =ˆ τ ' ij = τ ' ji
e representa a componente anisotrópica do tensor tensão, devida à viscosidade:
⎡τ xx τ xy
⎢
Π = ⎢τ yx τ yy
⎢τ zx τ zy
⎣
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τ xz ⎤
⎥
τ yz ⎥
τ zz ⎥⎦
fluidos – fundamentos 9
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⎡τ xx + p
τ xy
⎢
Π ' = ⎢ τ yx
τ yy +
⎢ τ zx
τ zy
⎣
⎡− p 0
Π − Π ' = ⎢⎢ 0 − p
⎢⎣ 0
0
τ xz ⎤
⎥
τ yz ⎥
p
τ zz
− componente anisotrópica
+ p ⎥⎦
0 ⎤
0 ⎥⎥
− p ⎥⎦
− componente isotrópica
A pressão termodinâmica vale pois
p = − 13 τ ii
o que implica τ ' ii = 0 − o tensor desviatórico tem traço nulo. Conclusão: a viscosidade não contribui para a
pressão termodinâmica, embora seja a única responsável pelas tensões de corte e, parcialmente, pelas
normais.
Como o traço é um invariante, τ ii = −3 p e τ ' ii = 0 não se alteram com uma mudança de eixos. E como a
viscosidade só se manifesta na presença de gradientes de velocidade, em fluidos
- ideais (invíscidos);
- reis em repouso (v = 0) ou em movimento uniforme v (t),
a tensão é representada por uma matriz diagonal e é isotrópica:
τ ij = − pδ ij
dada uma superfície local orientada (n),
n →
Π
→
e3
n
¶
e1
e2
com
σ = n. ¶ = ni ¶i
1
1
τ = (¶.¶ − σ 2 ) 2 = ( ¶i¶i − σ 2 ) 2
Relação de Navier-Stokes
É uma hipótese de relação entre o estado de tensão num ponto dum fluido e as taxas de deformação:
⎛ ∂u
∂u ⎞
∂u ⎞
⎟⎟ δ ij + µ ⎜ j + i ⎟
⎜ ∂xi ∂x j ⎟
⎠
⎠
⎝
onde λ e µ são coeficientes de viscosidade (em Elasticidade dos sólidos, ditos de Lamé).
Um fluido que verifique esta relação diz-se newtoniano. Vem que
⎛
τ ij = ⎜⎜ − p + λ k
∂x k
⎝
τ ' ij = λ Θδ ij + 2 µ eij
e que portanto:
- todos os termos do tensor desviatórico dependem da viscosidade ( τ ' ij = 0 se λ=µ=0);
- existe uma tensão normal desviatórica, por exemplo τ ' yy = λ Θ + 2µ eiyy ;
- o coeficiente λ intervém quando não existe conservação de volume (div v ≠0) – ie, quando
varia a densidade (ρ≠const.)
Fica pois:
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fluidos – fundamentos 10
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µγ&12
⎡− p + λΘ + 2µε&1
⎢
− p + λΘ + 2 µε&2
µγ&12
Π=⎢
⎢⎣
µγ&13
µγ&23
⎡− p + 2 µ (ε&1 −
µγ&12
= ⎢⎢
⎢⎣
µγ&13
1
3Θ
)
µγ&13
⎤
⎥=
µγ&23
⎥
− p + λΘ + 2µε&3 ⎥⎦
µγ&12
µγ&13
⎤
⎥
µγ&23
− p + 2µ (ε&2 − 1 3 Θ )
⎥
µγ&23
− p + 2 µ (ε&3 − 1 3 Θ )⎥⎦
Hipótese de Stokes
Como o traço de Π deve ser -3p, o traço do tensor desviatórico tem de ser nulo (para que a viscosidade
não afecte a pressão termodinâmica):
∂u
∂u
τ ' ii = 3λ k + 2µ k = (3λ + 2µ )Θ = 0
∂x k
∂x k
donde ter de ser
λ = − 2 3 µ (Hipótese de Stokes)
e
⎛ ∂u j ∂u i ⎞
⎟ − 2 µ ∂u k δ
+
τ ' ij = µ ⎜
⎜ ∂x i ∂x j ⎟ 3 ∂x k ij
⎝
⎠
Notar que
τ ii = −3 p + τ ' ii = −3 p + 2µ
∂u k
∂u
− 3. 2 3 µ k = −3 p
∂x k
∂x k
A hipótese de Stokes é exacta (Teoria Cinética dos Gases) para os gases monoatómicos e aproximada nos
restantes casos. Em particular, para o ar é O (λ) = O (- µ) e o erro não é apreciável excepto se Dρ Dt >>
(numa onda de choque).
Um fluido barotrópico, p = f ( ρ ) obedece aproximadamente à hipótese de Stokes.
APLICAÇÕES
Escoamento viscoso incompressível (Ma<0.3):
µγ&12
µγ&13 ⎤
⎡− p + 2 µε&1
⎢
µγ&23 ⎥⎥
Π = ⎢ µγ&12
− p + 2µε&2
⎢⎣ µγ&13
µγ&23
− p + 2µε&3 ⎥⎦
com ε&1 + ε&2 + ε&3 = 0
Escoamento incompressível fora da camada-limite e da esteira, considerado irrotacional, potencial ou
“invíscido”
Neste caso γ&ij << e ε&i << e podem ser desprezados, ficando
0 ⎤
⎡− p 0
⎢
0 ⎥⎥
Π=⎢ 0 − p
⎢⎣ 0
0 − p3 ⎥⎦
Notar que não é µ que se despreza!
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Escoamento sobre uma placa plana sem gradiente de pressão
Considere-se um escoamento estacionário incompressível (ρ=const.) – por exemplo, um escoamento
gasoso a Ma<0.3 – sobre uma placa de largura unitária (b=1 m) e comprimento λ:
⎧v1 = u ( y ) com u (0) = 0
⎪
⎨v 2 = v = 0
⎪v = w = 0
⎩ 3
x2=y
v1=u
u
u (x, y)
Como
∂v1 ∂v 2 ∂v3
=
=
=0
∂x1 ∂x 2 ∂x3
⇒ Θ = div v = ∇.v =
∂v j
∂x j
=0
π/2-α
0
x1=x
λ
− donde se conclui serem nulas as tensões normais
devias à viscosidade. Mas existe deformação angular e:
⎛
∂u ⎞
∂u
τ ' xy = µ ⎜⎜ 0 + ⎟⎟ = µ
∂y ⎠
∂y
⎝
y
− lei de Newton da viscosidade.
O andamento do perfil de velocidade u(y) determina o
andamento da tensão de corte τ(y) e da rotação ou vorticidade,
ambas máximas na parede
(rot v) z = ζ = 2rxy =
u(y)
ζ(y)
τ(y)
τ
∂v ∂u
∂u
−
=−
∂x ∂y
∂y
( =0)
A rotação é negativa: considere-se o sentido da rotação dum
rolo entre duas placas a velocidades diferentes.
O atrito na parede, τ 0 = τ ' xy
depende do valor da tangente
y =0
na origem (∂u ∂y ) y =0 ; a força de arrasto de atrito sobre a placa
é
⎛ ∂u ⎞
D / b = λτ 0 = λµ ⎜⎜ ⎟⎟
= λµ tan α
⎝ ∂y ⎠ y =0
Como λ e µ podem ser consideradas constantes, é o ângulo α que determina o arrasto de atrito (skinfriction drag).
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DINÂMICA DOS FLUIDOS, BERNOULLI E A ENERGIA CINÉTICA DE ROTAÇÃO
Equação Geral da Dinâmica dos Fluidos
ρ
DV
= ∇.Π + ρ f
Dt
[N/m3]
- aplicável a qualquer fluido, viscoso ou não, compressível ou não. No caso invíscido,
ρ
DV
= grad p + ρ f
Dt
ou, por unidade de massa:
DV
=fp + ρf
Dt
[N/kg] com
fp = −
1
ρ
grad p
Equação de Navier-Stokes
Com a Hipótese de Stokes,
ρ
DV
= −∇ p + ∇ ( 1 3 µ ∇.V ) + ∇.( µ ∇V ) + ρ f
Dt
Admitindo fluido homogéneo (µ e λ aproximadamente constantes, ie, desprezando o seu gradiente) e
escoamento incompressível (Θ = 0)
ρ
DV
= −∇ p + ∇ 2 V + µ ∇ 2 V + ρ f
Dt
o que representa 5 variáveis [(u, v, w), ρ , p]: as 3 equações de N-S + equação da continuidade + equação de
estado. A equação de N-S é uma equação diferencial não linear de 2ª ordem às derivadas parciais, portanto
de difícil digestão.
Fluido “Invíscido”
Em escoamentos onde se possa não considerar a viscosidade:
DV
ρ
= −∇ p + ρ f
Dt
ou
1
DV
= − ∇p + f
ρ
Dt
Equação de Euler
Escoamentos incompressíveis (ρ = const.): 3 equações de Euler + eq. da continuidade = 4 equações a 4
incógnitas [(u, v, w), p]
Escoamentos Compressíveis: 3 equações de Euler + eq. da continuidade + relação reversível para a
densidade = 5 incógnitas [(u, v, w), ρ, p]
As equações de Navier-Stokes são substituídas pelas de Euler se a viscosidade for muito pequena OU se
as derivadas espaciais das componentes da velocidade forem muito pequenas.
Em geral, o tratamento do escoamento em torno dum corpo é dividido em duas partes: junto ao corpo,
com gradientes da velocidade apreciáveis (camada limite + esteira) – eq. de N-S; no escoamento livre ou
“potencial” (derivando dum potencial de velocidade) – eq. de Euler.
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fluidos – fundamentos 13
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Diferenciação da Equação de Euler
Expressando o equilíbrio das forças aplicadas a uma massa elementar segundo a direcção da tangente à
velocidade do elemento (a coordenada curvilínea s), obtém-se:
1 ∂p
∂V ∂V
∂z
+V
+
+g
=0
∂s
∂t
∂s
ρ ∂s
e tomando diferenciais ao longo da LdC vem:
dp
ρ
+ V dV +
∂V
ds + g dz = 0
∂t
Para escoamentos estacionários,
dp
ρ
+ V dV + g dz = 0
E em escoamentos de gases ou quasi-horizontais de líquidos (desprzando as forças mássicas associadas
ao potencial da gravidade):
dp
∂V
+ V dV +
ds = 0
∂t
ρ
que, sendo estacionários:
dp
ρ
+ V dV = 0
- ou seja, quando a velocidade aumenta, a pressão (estática) diminui e vice-versa.
A condição de continuidade ao longo dum tubo de corrente (com as paredes formadas por LdCs) vem:
ρ AV = const.
onde A é a área da secção local do tubo. Diferenciando e dividindo pela constante, fica
dV dA dρ
+
+
=0
ρ
V
A
que, em escoamentos incompressíveis é
dV dA
+
=0
V
A
- ou seja, quando a área de passagem diminui, a velocidade aumenta e vice-versa. Então, conclui-se que
em gargantas e outras passagens reduzidas, a pressão diminui. Os filtros dos cigarros condensam alcatrões
por arrefecimento adiabático, provocado pela expansão resultante do aumento de velocidade causado pela
redução de área de passagem.
Expressando agora o equilíbrio das forças aplicadas à massa elementar segundo a direcção da normal à
velocidade do elemento (a coordenada n), obtém-se:
1 ∂p V 2 ∂Vn
∂z
+
+
+g
=0
∂t
∂n
ρ ∂n R
onde R é o raio de curvatura local da LdC. Tomando diferenciais ao longo da normal à LdC vem:
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fluidos – fundamentos 14
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dp
ρ
+
∂V
V2
dn + n dn + g dz = 0
∂t
R
+
V2
dn + gdz = 0
R
e sendo escoamentos estacionários,
dp
ρ
Podendo-se desprezar as forças mássicas,
dp
ρ
+
V2
dn = 0
R
e portanto
∂p
V2
= −ρ
R
∂n
- num tubo curvo, o gradiente de pressão está dirigido para dentro da curva (maior pressão na parte
interna): causa dos depósitos aluviais na parte interna das curvas do rios.
Fazendo acima R→∞, vem
dp = − ρ g dz
-- Equação de Laplace da Altimetria (embora os altímetros suponham que ao nível 1013.25 mbar a massa
volúmica é 1.225 kg.m-3, o que raramente acontece – conceito de altitude de pressão).
Integração da Equação de Euler ao longo duma LdC: a Constante da Equação de Bernoulli
Se a força mássica derivar dum potencial G, isto é, se:
f = −∇G
a integração citada vem:
∫
s
dp
∂V
V2
.ds +
+
+ G = f (LdC, t )
∂t
2
ρ
s
∫
A constante de integração f varia de LdC para LdC e varia com o tempo em escoamentos instacionários,
porque as partículas que formam cada LdC variam de momento a momento.
Prova-se que se o escoamento for irrotacional, a constante é a mesma para todas as LdC; e se para além
disso for estacionário, vem:
dp V 2
+
+ G = const. Equação de Bernoulli
2
ρ
s
∫
No caso de escoamentos incompressíveis, fica:
p
ρ
+
1
2V
2
+ gz = const. Equação de Bernoulli em incompressível (ρ = const.)
onde o primeiro termo representa a energia associada à pressão, o segundo a energia cinética (linear) e o
terceiro a energia potencial. Conclui-se que, nestas condições, ao longo duma LdC a energia mecânica total
por UdM é constante.
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fluidos – fundamentos 15
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Em Hidráulica e em Fluidos geralmente trabalha-se com alturas, respectivamente altura piezométrica,
altura dinâmica, cota e altura total:
p
V2
+
+ z = z tot
ρ g 0 2g 0
(g0 = 9.80665 ms-2)
Nos gases, a densidade é muito pequena; as diferenças de cota envolvidas também são pequenas. Então,
pode-se desprezar a força mássica ( ρ gz ) e utiliza-se a forma:
p+
1
2
ρ V 2 = const. = p tot
A pressão p denomina-se pressão estática e é medida através de orifícios laterais relativamente à corrente
local; ptot é a pressão total, de estagnação ou de impacto (stagnation, ram pressure) medida através de
orifícios de frente para a corrente local; a quantidade
q = 12 ρ V 2
- pressão cinética, representativa da energia cinética, não é mensurável directamente mas apenas fazendo
pressão cinética ≅ pressão dinâmica pd, sendo que por definição a pressão dinâmica é
p d =ˆ p tot − p
medida por un tubo pitot nas aeronaves (embora com ρ0=1.225 kg.m-3 fixo – conceito de velocidade
equivalente EAS). Aquela aproximação só é válida a baixas velocidades – para Ma<0.25. A maiores
velocidades,
pd > q
A figura junta mostra, para escoamento
irrotacional, uma LdC com um ponto de
inflexão e a forma como a pressão evolui ao
longo da normal à LdC, em função do sinal da
curvatura (ou seja, consoante nos aproximamos
ou afastamos do centro de curvatura). A linha
lugar dos pontos de inflexão é uma linha ao
longo da qual a pressão e a velocidade tomam os
valores da corrente não perturbada ou a
infinito, p∞ e V∞.
R=∞
∂V ∂p
=
=0
∂n ∂n
p = p∞
V = V∞
R>0
∂V
>0
∂n
∂p
<0
∂n
n
s
R
R
n
s
R<0
∂V
<0
∂n
∂p
>0
∂n
A figura seguinte mostra, em escoamento irrotacional, o padrão de LdC em torno dum cilindro circular
sujeito a uma corrente uniforme a infinito V∞.
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fluidos – fundamentos 16
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V = V∞
V = V∞
p = p∞
p = p∞
V > V∞
p < p∞
V < V∞
V < V∞
p > p∞
p > p∞
V =0
p = p tot
V > V∞
p < p∞
V = V∞
V = V∞
V =0
p = p tot
p = p∞
p = p∞
Verifica-se a existência de dois pontos de estagnação, um anterior e outro posterior, assim como uma
dupla simetria do escoamento. As zonas frontal e posterior são regiões de baixa velocidade e alta pressão;
nas regiões superior e inferior passa-se o oposto: conclui-se não existir arrasto (nem sustentação): as forças
de pressão sobre o cilindro anulam-se.
Notar que a linha lugar geométrico dos pontos de inflexão das LdC (V =V∞, p =p∞) intercepta
ortogonalmente as LdC, nomeadamente a LdC constituída pelo contorno do corpo.
A Equação de Bernoulli e a Rotação
p tot = p +
Diferenciando
vem
1
2
ρV 2
dp tot = dp + ρ VdV
e pode-se fazer
∂p tot ∂p
∂V
+ ρV
=
∂n
∂n
∂n
Ora já se viu que a condição de irrotacionalidade é
∂p
V2
=−ρ
R
∂n
e substituindo acima, fica
∂p tot
∂V
V2
⎛ V ∂V ⎞
=−ρ
+ ρV
= − ρV ⎜ −
⎟ = − ρ Vζ = −2 ρ VΩ
∂n
∂n
R
⎝ R ∂n ⎠
A condição de irrotacionalidade pode assim ser expressa duma forma: ptot não varia de LdC para LdC e
tem o mesmo valor para todo o fluido.
Exprimindo esta equação segundo a normal [×dn ou ×(-dR)] e integrando segundo R, obtém-se:
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fluidos – fundamentos 17
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p tot = p +
1
2
ρV 2 =
e
const
123.
∫
+
para todo o fluido
ρ Vζ dR
1 4 2 43
convecção da vorticidade
- conclui-se que cada LdC dum escoamento rotacional dispõe duma dada quantidade de energia cinética
de rotação, constante ao longo dessa LdC (o termo convectivo). Notar que a pressão tem as dimensões
duma energia por m3.
Exemplos de Aplicação
V
Vórtice com velocidade constante.
Para distinguir a velocidade angular de rotação das
partículas em torno de si próprias com a velocidade angular
do movimento circular em torno do centro do vórtice, usa-se
para aquela a letra ω (e não Ω ):
⎛ V ∂V ⎞ 1 ⎛ V ∂V ⎞ 1 V
ω = 12 ⎜ −
≠0
⎟=
⎟ = 2⎜ +
⎝ R ∂R ⎠ 2 R
⎝ R ∂n ⎠
R
p
- portanto o movimento é rotacional. Vem:
dR
p + 1 2 ρ V 2 = const. + ρ V 2
= const. + ρ V 2 ln R
R
∫
R
Donde
1⎞
⎛
p = const. + ρ V 2 ⎜ ln R − ⎟
2⎠
⎝
A superfície livre do vórtice teria a forma dada pela figura
junta; mas como para R = 0 seria p= - ∞, o movimento não é
fisicamente realizável – a origem é uma singularidade.
Movimento rotacional com velocidade variável e pressão constante
1 ∂U
1 ∂U
⎛ U ∂U ⎞
ω = 12 ⎜ −
ζ =−
e
⎟=−
2 ∂n
2 ∂n
⎝ R ∂n ⎠
Na camada limite o escoamento é rotacional,
sendo a rotação mais intensa junto à parede. Não
se pode aplicar a equação de Bernoulli ao longo
duma LdC pois não há conservação da energia
mecânica, devido à dissipação viscosa
(conversão de energia mecânica em térmica). A
pressão total é mínima junto à parede, evoluindo
até ao valor da corrente livre em função do perfil
de velocidades.
n
U
∂U ∂n
ptot
R=∞
Rotação em bloco: movimento rotacional com variação de velocidade e de pressão
Considere-se um vórtice combinado de raio a, cujo núcleo roda em bloco com a velocidade angular Ω:
Ω = const. e U = Ωr
1 ⎛ U ∂U
+
2⎝ r ∂r
ω = ⎜⎜
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⎞ 1
⎟⎟ = (Ω + Ω ) = Ω ≠ 0 (movimento rotacional)
⎠ 2
fluidos – fundamentos 18
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Vem
∫
p = const. + 2 ρ Uω dr − 1 2ρ U 2
e como
Umáx=k/a
U
U=Ωr
U = Ωr
U=k/r
fica
p = const. +
1
2
ρ Ω2 r 2
a
e conclui-se que a pressão é mínima no centro:
p (0) = const. << p ∞
Por outro lado,
p (a) = const. +
1
2
ρ Ω2 a2
p
(*)
Admitindo o princípio da sobreposição linear,
o vórtice combinado é a composição de um vórtice
pontual com a rotação de um corpo rígido. Num
vórtice pontual U=k/r, a pressão p (r) vale:
p+
1
2
1
2 ρU = p + 2 ρ
r
p∞
p(a)
k2
= const. = p tot
r2
p(0)
donde
p (r ) = p tot − 1 2 ρ
k2
r2
p (a) = p tot − 1 2 ρ
e portanto
k2
a2
(*)
Como a intensidade k está directamente relacionada com a circulação Γ em torno de um contorno que
contenha o vórtice apenas uma vez, é a mesma nos dois casos (núcleo e vórtice pontual) e portanto k = Ωa 2 .
Igualando as duas expressões (*) de p(a),
p( 0 ) +
1
2
ρ Ω 2 a 2 = p tot − 1 2 ρ Ω 2 a 2
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→
p( 0 ) = p tot − ρ Ω 2 a 2
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o escoamentos de fluidos reais 1
INTRODUÇÃO
Condições numa fronteira material: Hipótese Fundamental dos Fluidos Reais
Cinematicamente, a componente da velocidade local normal à fronteira tem de contínua (ie, igual) através
da fronteira: para y =0, v.n=0! Como todas as fronteiras reais permitem o transporte de calor e de quantidade
de movimento (QdM) por meio de interacções moleculares, as distribuições de velocidade e de temperatura
têm de ser contínuas através da fronteira quando os dois meios estão em equilíbrio.
Um fluido em movimento relativo a uma fronteira não está em equilíbrio exacto, quer mecânico quer
termodinâmico. Será que o afastamento do equilíbrio é acompanhado por descontinuidades na temperatura
ou na velocidade, na fronteira entre os dois meios?
O gradiente espacial duma quantidade como a temperatura ou a velocidade é uma medida do afastamento
local do equilíbrio; descontinuidades nestas distribuições correspondem a fortes afastamentos do equilíbrio.
O efeito dos transportes de calor ou de QdM que acompanham os afastamentos do equilíbrio é tender a
uniformizar a temperatura ou a velocidade, a uma taxa proporcional ao grau de afastamento.
Portanto, é de esperar que as quantidades às quais se aplicam as relações de transporte sejam contínuas
por todo o fluido, na maioria das condições reais de não equilíbrio: a temperatura e as componentes normal e
tangencial da velocidade são contínuas através da fronteira entre o fluido e outro meio..
Com efeito, qualquer descontinuidade na velocidade conduziria quase imediatamente (por transporte de
QdM) a tensões superficiais muito elevadas, tais que tendessem a eliminar a velocidade relativa entre as duas
massas. A condição de continuidade da velocidade não é uma lei exacta, mas o que é previsível acontecer em
circunstâncias normais.
A eficácia da tensão viscosa em suavizar descontinuidades na velocidade do fluido depende da
intensidade da viscosidade e doutros factores.
Existem algumas circunstâncias especiais nas quais a tensão viscosa é relativamente fraca e onde é
possível a persistência dum gradiente de velocidade intenso: então pode-se falar de “descontinuidades” sem
tomar o termo em sentido literal.
Na prática, é particularmente importante o caso da fronteira entre um fluido e um sólido. A continuidade
da componente tangencial da velocidade é designada por condição de não-escorregamento (no-slip).
Exceptua-se o caso do escoamento dum
y
gás a densidades tão baixas que a
y
escoamento
velocidade molecular média varia
u
livre
apreciavelmente ao longo dum livre
u
percurso médio: pode haver saltos na
velocidade e na temperatura, visto o
camadau(y)
número de colisões ser insuficiente para a
limite
promoção do equilíbrio.
À região do escoamento adjacente à
fronteira material, onde a condição de
continuidade provoca uma alteração local
das condições (velocidade, temperatura)
y=0 → u=0
dá-se o nome de camada-limite
(boundary layer).
O Escoamento de Fluidos Reais junto a Superfícies e Camadas Limite
No escoamento dum fluido junto a um corpo ou a uma parede, as linhas de corrente são aproximadamente
paralelas ao contorno da superfície do corpo ou da parede (a menos que a superfície seja permeável). Embora
o valor da viscosidade dos gases e dos líquidos como a água seja normalmente pequeno, a experiência
mostra que as partículas de fluido em contacto imediato com a superfície estão imóveis relativamente a ela.
Com o eixo yy normal à parede e dirigido para o exterior, é portanto:
u( y)
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y =0
=0
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o escoamentos de fluidos reais 2
onde u(y) designa a velocidade à distância y da superfície. Então, terá de haver, junto à superfície, uma
região onde a velocidade varia desde zero até ao valor previsto pela teoria dos fluidos ideais (não viscosos ou
invíscidos) para o escoamento em torno do corpo em causa ou junto à parede.
Deste modo, quando um fluido real se escoa junto à superfície da parede duma conduta ou de um corpo,
existe sempre uma camada limite de velocidade, de pequena espessura δ, através da qual a velocidade do
fluido varia desde zero junto à parede até ao valor da corrente livre U∞ à distância δ da parede.
Quando duas lâminas de fluido adjacentes se deslocam a velocidades diferentes, a mais lenta exerce uma
tensão de corte -τ sobre a mais rápida, travando-a e a mais rápida exerce uma tensão de corte +τ no sentido
do movimento sobre a mais lenta. Esta tensão é proporcional ao valor local do gradiente da velocidade ao
longo da normal à superfície e a constante de proporcionalidade é a viscosidade absoluta ou dinâmica µ
[Pa.s]. A viscosidade dos gases aumenta com a temperatura; pelo contrário os líquidos escoam-se mais
facilmente quando estão quentes.
Embora o valor da viscosidade seja muito pequeno (ar seco a 1 atm e 15 C: 1.802×10-5 Pa.s; água
saturada a 15 C: 1.138×10-3 Pa.s), o trabalho das tensões de atrito na camada limite converte
irreversivelmente energia mecânica (a energia do escoamento) em calor, reduzindo a capacidade do fluido
em realizar trabalho e sendo portanto uma fonte de entropia.
Assim, o escoamento de um fluido real em condutas não é isentrópico. Com efeito, junto à parede
interna da conduta a acção do atrito viscoso provoca o progressivo desenvolvimento de uma camada limite,
que ao fim de um certo comprimento de conduta abrange toda a sua secção (camada limite
hidrodinamicamente desenvolvida). Devido a este facto, o perfil completamente desenvolvido da
velocidade numa secção da conduta não é uniforme: a velocidade é nula junto à parede e aumenta até um
máximo no eixo da conduta. Daqui resulta que o escoamento de fluidos reais em condutas, mesmo que
adiabático, não é isentrópico por ser irreversível.
Outra consequência da existência da camada limite é o arrasto ou resistência ao avanço dum corpo em
movimento: o atrito τ na parede (y = 0) constitui o chamado arrasto de atrito (skin friction drag).
O escoamento no interior duma camada limite começa por ser muito organizado, estratificado por lâminas
(camada limite laminar), mas a partir de certo ponto (transição) desorganiza-se e os seus parâmetros
(direcção e módulo da velocidade, espessura da camada limite, etc.) oscilam rapidamente (camada limite
turbulenta). O parâmetro adimensional que regula a natureza da camada limite é o número de Reynolds,
relação adimensional entre as forças de inércia e as forças devidas à viscosidade. O número de Reynolds
local é:
ρU∞x U∞ x
Re x =
=
µ
υ
onde x é a distância desde o início da camada limite, U∞ é a velocidade da corrente livre e υ = µ /ρ é a
viscosidade cinemática ou difusividade mecânica (ar seco a 1 atm e 15 C, 1.470×10-5 m2s-1; água saturada
a 15 C, 1.139×10-6 m2s-1).
O número de Reynolds dum escoamento (numa conduta, sobre uma placa, etc.) é dado por:
Re L ≡ˆ
ρU∞L U∞L
=
µ
υ
onde L é um comprimento característico do processo em causa (o diâmetro da secção da conduta, a corda da
secção duma pá, o comprimento duma placa, etc.).
Se na camada limite a velocidade está reduzida, então aí a energia mecânica do fluido é inferior à da
corrente livre, fora da CL. Sucede muitas vezes que o fluido se desloca enfrentando um gradiente de
pressões adverso – ou seja, a pressão aumenta no sentido do movimento. Por exemplo, no alargamento
súbito duma conduta, a velocidade diminui e a pressão aumenta; numa esquina as linhas de corrente
estreitam-se, a velocidade é máxima e a pressão é mínima e, após a esquina, a pressão passa do mínimo para
um valor normal. O mesmo sucede na parte posterior dum corpo de formas pouco aerodinâmicas: a pressão é
mínima na secção mestra (a secção de maior espessura do corpo) e seguidamente regressa ao valor normal.
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o escoamentos de fluidos reais 3
Se o valor do gradiente de pressão adverso for suficientemente elevado, a energia existente na CL não é
suficiente para vencer a contrapressão e a CL separa-se ou descola da superfície (separação da CL),
formando-se uma região separada muito turbulenta designada por esteira (“águas mortas” em hidráulica,
wake, sillage), observável por exemplo a jusante dos pilares duma ponte. O fluido na esteira não está imóvel,
formando-se turbilhões. E como as estruturas turbilhonares são núcleos de baixa pressão, a pressão na esteira
de um corpo é ligeiramente inferior à ambiente: deste modo existe uma diferença de pressões entre a parte
anterior do corpo (pressão total) e a posterior (pressão da esteira).
Daqui resultam vários fenómenos, nomeadamente:
num veículo de formas rombas (isto é, não “aerodinâmicas”), como à frente a pressão é elevada (zona
de impacto ou de estagnação) e atrás (região separada) é baixa, origina-se uma resistência ao avanço
denominada arrasto de forma ou de pressão. Casos típicos: veículos terrestres, paraquedas, cargas
eólicas sobre edifícios e outras estruturas fixas, etc.;
no escoamento numa conduta, se a secção de passagem aumentar bruscamente, o escoamento separase da parede e forma-se uma região vorticosa instável, da qual se desprendem repetidamente grandes
núcleos turbilionares que são arrastados pela corrente. Estes núcleos posteriormente desagregam-se
progressivamente em turbilhões cada vez mais pequenos e numerosos, devido à acção das tensões de
atrito, acabando por se difundir e dispersar.
Em resumo, as características principais das camadas limite são as seguintes:
• no escoamento real de um fluido em contacto com superfícies (paredes) a partir do bordo anterior ou
do ponto de estagnação forma-se uma camada muito fina de escoamento (camada limite), onde a
velocidade, que é paralela à parede, varia desde zero (imediatamente junto à parede) até à velocidade
local do escoamento exterior (corrente livre);
• inicialmente, a CL é laminar mas transforma-se em turbulenta a partir de um certo Rex, denominado
Re de transição, que depende de vários factores. Os factores que promovem a transição são a
existência de um gradiente de pressão adverso, a rugosidade ou imperfeições da superfície e a
turbulência já existente na corrente livre;
• a espessura da CL cresce ao longo da parede, por captação de fluido exterior. A camada limite
turbulenta cresce mais depressa que a laminar;
• as tensões de corte de atrito viscoso actuam em toda a espessura da camada limite, convertendo
energia cinética do escoamento em calor;
• em cada ponto da CL, estas tensões de corte são sucessivamente transportadas e acumuladas (desde
y=δ até y=0) ao longo da espessura até à parede: o seu valor é máximo na parede;
• o atrito de superfície duma CL laminar é inferior ao de uma CL turbulenta: daí os perfis laminares
para planadores e hélices de alta eficiência;
• a CL turbulenta tem um perfil de velocidade mais cheio, porque devido à sua turbulência tem maior
conteúdo energético que a CL laminar. Portanto resiste melhor à separação que uma CL laminar,
em idênticas situações. Daqui as pequenas aletas (“turbulators”) colocadas na parte superior das asas
dos aviões, à frente dos ailerons e dos flaps, ou na parte posterior da fuselagem, junto ao cone de
cauda; as corrugações das bolas de golfe são outro exemplo. Muitos animais utilizam métodos
análogos, desde os mamíferos marinhos às aves e insectos.
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o escoamentos de fluidos reais 4
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A ORIGEM DO ARRASTO E A GERAÇÃO DA SUSTENTAÇÃO
Sem os efeitos da viscosidade não haveria arrasto (drag, traînée), causado pelo atrito superficial (skinfriction drag) e, como se verá adiante, pela alteração da forma aerodinâmica do corpo devida à separação ou
descolamento da camada limite e do escoamento supra-adjacente. Nessa eventualidade, as aeronaves (e os
navios) não necessitariam de sistemas de propulsão para manter uma velocidade constante (embora
necessitassem deles para acelerar).
Por outro lado – e isto é paradoxal – sem atrito viscoso não seria possível gerar sustentação: as aeronaves
não se elevariam no ar (excepto os mais leves que o ar), os ventiladores não ventilariam e os compressores
axiais não comprimiam os gases. Agora ainda mais grave: os geradores eólicos não funcionavam (excepto
panémonas, de fraca eficiência).
Nas aplicações da Dinâmica dos Fluidos mostrou-se o padrão de LdC em torno dum cilindro circular
sujeito a uma corrente uniforme a infinito – mas em escoamento irrotacional, porque invíscido. A camada
limite é uma região com défice de energia mecânica, pois esta é continuamente sangrada para conversão em
calor por acção do atrito e portanto não consegue vencer gradientes de pressão adversos – ou seja,
progredir da baixa pressão para a alta pressão. Quando tal acontece, a camada limite deixa de ser camada
adjacente à superfície do corpo porque se separa deste formando, com a restante corrente desviada, uma
esteira fortemente turbulenta.
p = p∞
p = p∞
p < p∞
~p
p<
∞
p > p∞
V =0
p < p∞
p ≅ p tot
p = p∞
p = p∞
Nessa esteira, devido à baixa pressão resultante dos inúmeros núcleos vorticosos emitidos, a pressão é
inferior à da corrente livre. Surge assim um desequilíbrio entre a parte frontal do corpo (alta pressão, até à de
estagnação) e a parte posterior: eis o arrasto de forma (form drag) D.
No que respeita à sustentação, em escoamento potencial ela não existe. Considere-se um cilindro elíptico
com ângulo de ataque relativamente a uma corrente uniforme. Observando na figura junta o padrão do
escoamento, compreende-se que a força do fluido sobre o corpo seja nula: não há arrasto nem sustentação.
No entanto, verifica-se que o sentido de marcha do fluido, próximo do ponto de estagnação posterior
(PEP), é oposto ao da força de pressão (- grad p), o que é problemático em fluido real.
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o escoamentos de fluidos reais 5
p
p
Com efeito, em fluido real a camada limite utiliza a sua energia mecânica para realizar o trabalho
necessário de vencer a contrapressão. E como a pressão estática se transmite integralmente através da
camada limite, até à superfície, a energia associada à pressão não pode ser utilizada: apenas a energia
cinética – que, quando chega ao fim, provoca inversão do escoamento e consequente separação – as
camadas de fluido supra-adjacentes, coladas à camada limite, acompanham-na nesse movimento turbulento.
A figura junta mostra o padrão do escoamento em torno do cilindro elíptico em fluido real – não há
sustentação mas já há arrasto (de forma).
Arrasto de forma D
Agora considere-se que se alterava a forma do cilindro elíptico, de modo que passasse a dispor dum
bordo de fuga (BdF) anguloso, de abertura δ. Mostra-se, em Mecânica dos Fluidos, que a velocidade local
tende para infinito quando δ tende para zero – pelo que, em fluido real, o gradiente adverso entre o BdF e o
PEP.será proibitivo – mas aqui, em escoamento irrotacional ou potencial, não se levanta qualquer problema.
Na figura junta, não se gera arrasto ou sustentação.
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o escoamentos de fluidos reais 6
p
p
δ
VBdF → ∞ com δ→ 0
Mas, em fluido real, as coisas já não são assim. A LdC divisória,, formada pelas LdC passantes pelos
pontos de estagnação e pelo contorno do próprio corpo, é alterada. O ramo que nasce do PEP é literalmente
sugado para o BdF, devido as muito baixas pressões aí reinantes: o efeito de deflexão do escoamento gera
uma resultante vertical ascendente da distribuição de pressões no corpo – a sustentação (lift) L.
Sustentação L
PEA
PEP sugado para o BdF
Mas por muito aerodinâmica (streamlinedI) que seja a forma do corpo, haverá sempre alguma separação
da camada limite, no extradorso junto ao BdF – motivado pelo forte gradiente adverso aí reinante e que é
função do ângulo de ataque e da regularidade da superfície no extradorso do perfil (figura junta). Portanto
existe algum arrasto de forma, ao qual acresce o arrasto superficial da camada limite (arrasto de atrito) – na
parte em que vai colada ao corpo. Uma das características mais importantes dum perfil é precisamente a sua
eficiência aerodinâmica (L D )máx (L/D ratio, finesse).
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o escoamentos de fluidos reais 7
António M. Sequeira Cardoso
Sustentação L
Arrasto de forma D
p
PEA
O ESCOAMENTO DOS FLUIDOS REAIS
Antes do mais, vai-se caracterizar o escoamento externo de fluidos reais sobre placas e corpos
genéricos e o escoamento interno em tubos e condutas, na ausência de trocas de calor entre o fluido e as
paredes e em regime incompressível – i.e., com densidade constante. Para que não haja transferência de
calor através da parede, a temperatura desta tem de ser igual à temperatura média global, volúmica ou de
mistura Tb do fluido (bulk ou volumar temperature): é o que se designa por parede isotérmica. A condição
de incompressibilidade é uma aproximação válida quando a velocidade do fluido é muito inferior à
velocidade de propagação do som, podendo-se assim desprezar os efeitos da compressibilidade e a influência
do número de Mach sobre os processos.
ESCOAMENTOS EXTERNOS
Caracterização do Escoamento dum Fluido Real Incompressível junto a Fronteiras Sólidas
Isotérmicas
A caracterização dos escoamentos incompressíveis, sem superfície livre e sem trocas de calor através das
suas fronteiras depende fundamentalmente da relação de grandeza entre as forças de inércia, as forças de
pressão e as forças viscosas. Para expressar esta relação, utiliza-se números adimensionais: o número de
Euler
∆p
Eu ≡ˆ
ρU 2
que é a razão entre as forças de pressão e as forças de inércia e que é o dobro do coeficiente de pressão:
∆p
C p ≡ˆ
1 ρU 2
2
e o número de Reynolds, razão entre as forças de inércia e as forças viscosas:
Re ≡ˆ
ρU L U L
=
µ
ν
onde L é um comprimento característico do escoamento, µ é a viscosidade dinâmica ou absoluta e ν é a
viscosidade cinemática.
Escoamentos como os acima descritos e com a mesma geometria, serão semelhantes se os seus Re forem
idênticos, apresentando a mesma distribuição do coeficiente de pressão.
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o escoamentos de fluidos reais 8
António M. Sequeira Cardoso
ESCOAMENTO UNIFORME PARALELO A UMA PLACA PLANA ISOTÉRMICA
CAMADA LIMITE LAMINAR
A fig. mostra uma placa plana lisa com bordo anterior biselado, sujeita a uma corrente uniforme U∞
paralela à placa. Considera-se que não existem gradientes de pressão ao longo da placa que influenciem o
andamento dos perfis de velocidade na camada
limite.Com início no seu bordo, desenvolve-se
U∞
y
uma camada com défice de velocidade,
denominada camada limite de velocidade, cuja
espessura δ(x) cresce monotonamente com x U∞
desde o bordo anterior, onde δ (0) = 0.
δ (x)
A Hipótese Fundamental dos Fluidos
u (x, y)
Reais postula que se um corpo impermeável está
x
imerso no escoamento dum fluido real, então a
0
velocidade na superfície é nula: u(0) = 0, devido
à acção da viscosidade.
Existe portanto um gradiente de velocidade, medido segundo a normal à superfície, que numa espessura δ
faz a velocidade passar de zero ao valor da corrente livre U∞.
As tensões de corte viscosas, actuando em planos paralelos à placa, dissipam energia mecânica em calor à
taxa (τ.u) [Wm-2]estendida a toda a camada limite, com a tensão de corte dada pela lei de Newton do atrito
viscoso:
∂ u ( x, y )
τ =µ
∂y
O critério de espessura da camada limite de velocidade é δ(x) ⇔ u(x,y) = 0.99U∞. A lei de espessura
laminar é
Kx
δ ( x) = 1 2
Re x
com K = 5.0 (solução de Blasius) ou 4.96 (solução de von Kármán) – esta última preferível e com o número
de Reynolds local definido por:
U x
Re x ≡ˆ ∞
ν
Notar que a espessura cresce com a distância ao bordo anterior e diminui com o aumento de velocidade
da corrente livre:
⎛ x
δ ∝ ⎜⎜
⎝U∞
⎞
⎟⎟
⎠
12
Os perfis de velocidade u(x,y) podem ser aproximados por parábolas cúbicas, que satisfazem
razoavelmente as condições de fronteira:
3
u
3⎛ y⎞ 1⎛ y⎞
= ⎜ ⎟− ⎜ ⎟
U∞ 2 ⎝δ ⎠ 2 ⎝δ ⎠
Uma outra espessura que convém definir é a espessura de deslocamento da camada limite, que é a
sobre-espessura que a placa ou o corpo teria de ter para que o caudal volúmico fosse o mesmo que para um
fluido ideal (invíscido), em virtude do défice de velocidade junto ao corpo. Do ponto de vista da corrente
fluida, o corpo aero- ou hidrodinâmicamente percebido o é o corpo revestido da espessura de
deslocamento: esse é o corpo que o escoamento “sente”. A espessura de deslocamento define-se por:
δ
δ ≡ˆ ∫ (1 − u / U ∞ ) dy
*
0
que com o perfil de velocidades anterior dá:
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o escoamentos de fluidos reais 9
3
8
δ* = δ =
A tensão de corte local na parede é
1.86 x
Re1x 2
τ 0 ( x) = q ∞ c f x
onde cf x é o coeficiente de atrito local:
cf x =
0.664
Re1x 2
Notar que o coeficiente de atrito não depende da rugosidade superficial; tem um máximo no bordo
anterior e depois diminui assimptoticamente:
1
cf x ∝ 1 2 1 2
U∞ x
Por definição, a pressão cinética da corrente livre é
1
q ∞ ≡ˆ ρ U ∞2
2
O coeficiente de atrito local diminui com a distância ao bordo anterior e com a velocidade da corrente
livre:
1
cf x ∝
(U ∞ x )1 2
A força de arrasto de atrito para uma placa de largura b e comprimento L, banhada por uma camada
limite laminar, vale
Ff = q ∞ L b C f L
[N]
onde o coeficiente de atrito total, integral ou médio é
1.328
Cf L =
= 2 cf L
Re1L 2
A força de arrasto por unidade de envergadura aumenta com a velocidade da corrente livre e com o
comprimento:
Ff ∝ U ∞3 2 L1 2
(
)
Exemplo
Achar a espessura da camada limite a 50 cm do bordo anterior duma placa plana com 1 m de largura,
sujeita a uma corrente de 1 m s-1 paralela à placa, assim como a força de arrasto aplicada até esse ponto.
Temperatura do fluido: 20 C. Fluidos a considerar: ar, hidrogénio, água e etil glicol.
Exemplifica-se para o ar. Interpolando em tabelas entre 250 e 300 K para 293.15 K, obtém-se νar =
14.83×10-6 m2 s-1.
(1) (0.5)
Re 0.5 =
= 33715.4
14.83 × 10 −6
4.96 (0.5)
δ (0.5) =
= 0.0135 m = 13.5 mm
(33715.4)1 2
p
101.325
ρ ar =
=
= 1.204 kg m −3
rar T (0.2871) (293.15)
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o escoamentos de fluidos reais 10
q ∞ = (0.5) (1.204) (1) 2 = 0.602 Pa
1.328
C f 0.5 =
= 0.7232 × 10 − 2
12
(33715.4)
Ff = (0.602) (0.5) (1) (0.7232 × 10 −2 ) = 0.2177 × 10 −2 N
Para o hidrogénio, rH 2 = R / M H 2 = 8.31432 / 2.02 = 4.116 kJ kg −1 K −1 e ρ H 2 = p / rH 2 T = 0.0840 kg m −3 ;
a viscosidade é interpolada tal como para o ar.
Fluido a 20
C
ρ [kg m-3]
Ar
Hidrogénio
Água
Etil glicol
1.204
0.0840
1000.52
1116.85
ν×104
2 -1
Re0.5 [–]
[m s ]
0.1483
1.055
0.01006
0.1918
33 715
4 739
497 018
26 069
δ
[cm]
Cf0.5×102
[–]
1.4
3.6
0.4
1.5
0.7232
1.929
0.1884
0.8225
q∞
Ff [N]
[Pa]
0.602
0.042
500.3
558.4
0.0022
0.0004
0.4713
2.2964
Exemplo
Pretende-se instalar um tubo pitot num dirigível, no fundo plano da carlinga e a 10 cm do seu bordo
anterior. Como o tubo pitot mede a velocidade de voo (relativamente ao ar), tem de estar fora da camada
limite. Para tal, é necessário saber qual a distância mínima entre o tubo e a chapa. A velocidade de voo
varia entre 40 e 120 km/hr e a temperatura do ar é 0 C (υ=1.347×10-5 m2 s-1).
O Re máximo corresponde à velocidade máxima:
(0.1) (33.3)
Re máx =
= 247 216 < 350 000 ⇒ ainda laminar
1.347 × 10 −5
(0.1) (11.1)
mas a espessura máxima corresponde ao Re mínimo: Re mín =
= 82 405
1.347 × 10 −5
4.96 (0.1)
e δ mázx =
= 1.73 × 10 −3 m ≅ 2 mm
82 405
CAMADA LIMITE TURBULENTA
A camada limite sobre uma placa plana, nas condições anteriormente enunciadas (corrente uniforme
paralela à placa, superfície lisa, ausência de gradientes de pressão e de trocas de calor) começa sempre por
ser laminar. A camada limite laminar cresce em espessura com a distância ao bordo anterior e, a certa altura,
as instabilidades presentes convertem-na em camada limite turbulenta.
Dentro da camada limite turbulenta o escoamento do fluido não é uniforme (aproximadamente paralelo à
parede) e permanente, como na laminar: a velocidade u(y) pode ser decomposta numa componente média
permanente e numa componente de flutuação turbulenta, altamente instacionária e de média nula; surgem
componentes turbulentas análogas, verticais e laterais:
⎧u = u + u ′
⎪
⎨v = v ′
⎪w = w′
⎩
Assim, quando se fala aqui em perfil de velocidades, trata-se do perfil médio no tempo u ( y ) porque
valores instantâneos são flutuantes.
os
A transição laminar-turbulento numa camada limite processa-se ao longo duma região (região de
transição). Genericamente, a sua ocorrência depende de muitos factores, nomeadamente de:
▪ número de Reynolds Re;
▪ gradiente de pressão ao longo do escoamento: se positivo (pressões crescentes), favorece a transição;
▪ rugosidade superficial;
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▪ turbulência da corrente livre;
▪ trocas de calor (uma parede quente favorece a transição).
Para uma placa plana sem ângulo de ataque (corrente paralela), o gradiente de pressões é nulo. No
entanto, em superfícies com curvatura ou esquinas, tal não acontece e o aparecimento dum gradiente adverso
desencadeia o processo de transição, em certos casos muito localizadamente.
Uma placa diz-se hidrodinâmicamente polida quando a rugosidade superficial e é inferior à espessura
da subcamada laminar: portanto, é um conceito relativo pois está relacionado com o escoamento, através do
Re da corrente livre.
A intensidade da turbulência ou turbulência da corrente livre define-se, em percentagem da velocidade
da corrente livre, a partir da velocidade turbulenta média, em sentido médio quadrático:
T ≡ˆ
1
3
(u' + v' + w' ) ×100 %
2
2
2
U∞
onde u’, v’ e w’ são as componentes da flutuação turbulenta da velocidade. A turbulência duma corrente de
ar normal é cerca de 0.5%; para este nível de turbulência, segundo Schlichting a transição numa placa como
a estudada ocorre a 3.5 × 10 5 ≤ Re trans ≤ 10 6 . Estudos posteriores levaram à conclusão que o limite superior
do número de Reynolds de transição é 2.8×106, para T = 0.08%; em cálculos de engenharia assume-se que
a transição ocorre num ponto correspondente a um Re de transição mais baixo, 3 ∼ 5×105; por regra
adopta-se para critério de transição Re trans ≅ 5× 10 5 . A abcissa do ponto de transição, que é a extensão da
parte laminar da camada limite, é:
x trans =
ν
U∞
Re trans
A camada limite turbulenta é muito mais espessa que a laminar e, devido às flutuações verticais da
velocidade turbulenta (que difundem verticalmente a QdM, i.e., a velocidade) o perfil de velocidade é muito
mais plano que o perfil laminar. Existe no entanto uma subcamada laminar, com um gradiente de velocidade
muito mais acentuado que o da camada laminar: daí que a tensão de atrito na parede seja muito superior que
na camada laminar.
Considere-se agora uma camada limite turbulenta desde
a origem (bordo anterior da placa).
transição
A lei de espessura turbulenta, para uma camada
turbulenta
laminar
turbulenta desde o início, é
0.381 x
Re1x 5
Notar que a espessura cresce mais depressa que na
camada laminar:
δ ( x) =
laminar
δ∝
turbulenta
0.8
x
U ∞0.2
Mas como uma camada limite começa sempre por ser
laminar, admitindo Retrans = 5×105 vem:
⎛ 0.381 10256 ⎞
⎟x
−
15
Re x ⎟⎠
⎝ Re x
δ ( x) = ⎜⎜
xtrans
(para 5 × 10 5 < Re x < 10 7 )
Os perfis de velocidade u(x,y) são aproximados por uma lei de expoente 1/7:
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subcamada laminar
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o escoamentos de fluidos reais 12
17
u ⎛ y⎞
=⎜ ⎟
U∞ ⎝ δ ⎠
mas a tensão de corte na parede tem de ser avaliada por outra via, pois aquele perfil não representa bem o
andamento de u ( y ) junto à parede, na região da subcamada laminar. A espessura de deslocamento da
camada limite é:
0.0476 x
1
δ* = δ =
8
Re1x 5
A tensão de corte local na parede é:
τ 0 ( x) = q ∞ c f x
onde cf x é o coeficiente de atrito local:
0.0592
⎧
para 5 × 10 5 < Re x < 5 × 10 7 (Schlichting)
⎪c f x = Re1 5
⎪
x
⎨
0.370
⎪c =
para 10 7 < Re x < 10 9 (Schultz - Grunow)
⎪⎩ f x (log Re x ) 2.584
O coeficiente de atrito total, integral ou médio é
Cf L =
0.074
Re1L 5
Como se disse acima, a camada limite é sempre mista, primeiro laminar – mesmo que
numa pequena extensão e depois turbulenta. Segundo Prandtl, a camada limite turbulenta
comporta-se como se existisse desde o bordo anterior e portanto é necessário subtrair a
parte correspondente ao comprimento crítico e adicionar o arrasto laminar correspondente:
Cf L =
0.074
Re1L 5
−
A
Re L
Retrans
×10-5
1
2
3
5
10
A
360
700
1050
1740
3340
válida para Retrans < ReL < 107 e com a constante A dada pela tabela junta.
Ao comparar a camada limite turbulenta com a laminar, as conclusões principais são que a turbulenta:
▪ cresce em espessura mais depressa que a laminar;
▪ tem um conteúdo energético superior, visto os perfis de velocidade serem mais planos e cheios
(devido à forte difusão da velocidade da corrente livre pela turbulência);
▪ provoca maior atrito superficial (devido ao andamento dos perfis de velocidade imediatamente junto
à parede);
▪ contrariamente à laminar, é sensível à rugosidade da parede, a partir dum certo valor (correspondente
à espessura da subcamada laminar).
O quadro seguinte apresenta os perfis de velocidade e as leis de evolução da espessura e da tensão de
corte média na parede para os dois tipos de CL:
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TIPO
LAMINAR
o escoamentos de fluidos reais 13
CARACTERÍSTICAS
DAS
PERFIL DE VELOCIDADE
3
⎡ ⎛ y⎞
⎛ y⎞ ⎤
3
1
u( y) = U ∞ ⎢ 2 ⎜ ⎟ − 2 ⎜ ⎟ ⎥
⎝ δ ⎠ ⎥⎦
⎢⎣ ⎝ δ ⎠
TURBULª.
17
⎛ y⎞
⎟
⎝δ ⎠
u( y) = U ∞ ⎜
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CAMADAS
ESPESSURA
δ x=
δ x=
5.0
12
Re x
0.376
15
Re x
LIMITE
TENSÃO MÉDIA
PAREDE
⎛ 1.328 ⎞
⎟
∞ Re1 2 ⎟
⎝ L ⎠
τ~ f = q ⎜⎜
⎛ 0.074 ⎞
⎟
∞ Re1 5 ⎟
⎝ L ⎠
τ~ f = q ⎜⎜
NA
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o escoamentos de fluidos reais 14
ESCOAMENTO SOBRE CORPOS. SEPARAÇÃO DA CAMADA LIMITE
A camada limite é uma região com défice de energia mecânica (na forma cinética), devido à contínua
dissipação de energia mecânica em calor pela acção das tensões de corte viscosas (atrito). Esse défice é
máximo junto à parede, onde a velocidade é nula.
Desta forma, na camada limite a capacidade do fluido em vencer gradientes de pressão adversos – ou seja,
quando a pressão aumenta no sentido do deslocamento (contrapressão), está diminuída. Já se atrás se
mencionou que um gradiente deste tipo favorece a transição laminar-turbulento: num perfil alar, o ponto de
transição situa-se no ponto do extradorso onde o gradiente se anula, ao passar de negativo (proverso) a
positivo (adverso).
Mas quando ocorre um gradiente de
pressão adverso, a camada limite pode não
separação da
corpo rombo
ter energia suficiente para exercer o trabalho
camada limite
de avanço contra as forças de pressão;
esteira
nestas condições, a camada limite descolaturbulenta
se ou separa-se da superfície (separação da
camada limite), formando uma esteira
separação da
corpo com nariz
fortemente turbulenta (águas mortas, wake,
camada limite
arredondado
sillage) o que aumenta muito o arrasto do
esteira
corpo (arrasto de forma), visto que não só
turbulenta
a forma do corpo, tal como percebida pelo
escoamento, aumentou de dimensões, como
também a pressão na parte posterior do
corpo aerodinâmico
separação da
corpo baixa até ao valor da corrente livre,
camada limite
não compensando a sobrepressão que a
corrente exerce sobre as superfícies da parte
anterior do corpo.
Este processo depende de vários
factores, mas a forma do corpo desempenha
aqui um papel fundamental. Como se observa na figura, a existência de esquinas, onde a velocidade do
fluido é muito elevada, determina separação: imediatamente antes da esquina, o fluido é fortemente
acelerado para a forte subpressão na esquina, mas imediatamente após esta, ao não conseguir enfrentar o
brusco e muito elevado aumento de pressão, a camada limite separa-se.
Compreende-se assim que se acrescentar uma parte frontal arredondada a um corpo rombo, o arrasto
diminui significativamente. A dimensão da esteira dá uma indicação do nível de arrasto. Por outro lado, um
corpo de forma aerodinâmica não apresenta esquinas mas curvas suaves que evitam o aparecimento de
gradientes adversos elevados. A esteira, com ângulo de ataque nulo, é muito fina e o arrasto é mínimo.
Por vezes tem de existir um compromisso entre:
∗ baixo arrasto de atrito – o que aconselha a promoção de condições que atrasem a transição,
estendendo o mais possível a camada limite laminar (é o caso dos perfis laminares das asas de
planadores) e
∗ baixo arrasto de forma – o que aconselha a promoção de condições que atrasem a separação,
energizando o mais possível a camada limite turbulenta, pela injecção na camada limite turbulenta de
energia cinética turbulenta gerada no exterior (geradores de vórtices, turbuladores, etc. no
extradorso das asas à frente de ailerons e flaps e também na parte posterior cónica da fuselagem).
A força de arrasto D dum corpo expressa-se adimensionalmente por um coeficiente de força, designado
coeficiente de arrasto, normalizando a força pela pressão cinética do escoamento livre aplicada à área
frontal do corpo ou a outra área convencionada:
D
D
CD ≡ˆ
=
q∞ S 1 2 ρ U ∞2 S
Sucede que, para uma dada forma de corpo, a separação pode dar-se na camada limite laminar
(separação laminar) ou na camada limite turbulenta (separação turbulenta), consoante Re, a rugosidade
superficial e a turbulência da corrente livre. Como a camada limite turbulenta resiste melhor à separação, a
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o escoamentos de fluidos reais 15
esteira resultante da separação turbulenta é mais reduzida que a devida à separação laminar, daí advindo um
coeficiente de arrasto inferior.
Considere-se um cilindro infinito de diâmetro D transversal a uma corrente uniforme U∞. Para ReD <4 as
tensões viscosas são dominantes e não se dá qualquer separação. Para ReD = 4 ∼ 60 forma-se na parte
posterior do cilindro um sistema de dois turbilhões simétricos; para ReD = 60 ∼ 5×103 o cilindro emite para
trás turbilhões que se formam alternadamente perto
separação
das geratrizes superior e inferior, designados por
laminar
separação
vórtices de von Karman e que estão na origem de
turbulenta
vários fenómenos, como o ondear das bandeiras, a
oscilação de postes e chaminés cilíndricas num
plano transversal ao vento, o som emitido por
cabos suspensos (harpa eólica), etc.
Para 5×103 < ReD < 3.5×105 a separação é
laminar, com a formação duma ampla esteira
turbulenta (Fig. 4-5), mas à medida que ReD
CD
aumenta, chega-se a uma situação em que a
cilindro de comprimento ∞
5.5
camada limite laminar se converte em turbulenta
antes do ponto de separação laminar (ReD >
5.0×105).
1.2
A consequência é a separação passar a ser
104
0.3
turbulenta, mais tardia, resultando numa esteira
muito turbulenta mas mais reduzida e,
ReD
10
consequentemente, numa queda brusca do
3×105
5×105
coeficiente de arrasto (exemplo: bolas rugosas de
golfe, etc.). A situação limite corresponde ao
número de Reynolds crítico do cilindro, que se
toma como Recrít = 3.5×105.
Para melhor compreensão, a tabela fornece os coeficientes de arrasto dum cilindro de comprimento
infinito e duma esfera (Recrít ≅ 3×105):
Compreende-se agora que a mais suave corrente ascensional provoque, numa gotícula de líquido, um
arrasto que compense o seu peso, mantendo-a em suspensão. A tabela permite comparar, quanto ao arrasto,
formas geométricas simples caracterizadas pelos seus factores de forma adimensionais:
ReD
0.1
1
10
105
5×105
CD
cilindro
60
10
3
1.20
0.33
Disco circular
φ D, normal à corrente, ReD>103
l/D
–
CD
1.12
Rectângulo de altura D e base l,
normal à corrente, ReD>103
1
5
20
∞
1
5
20
∞
1.16
1.20
1.50
1.90
0.63
0.74
0.90
1.20
Forma geométrica
esfera
270
30
4.5
0.45
0.09
Cilindro circular
comprimento l,
corrente, Red=105
φ D
normal
e
à
Exemplo
Uma gotícula de água com 0.1 mm de diâmetro está a 1500 m de altitude, onde a massa específica do ar
é 1.056 kg m-3 e a temperatura é 5 C. Achar a velocidade a qual o arrasto equilibra o peso da gotícula e a
altura de queda correspondente.
U ≅ 0.306 m s −1
Por interpolação entre tentativas,
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h=
U2
= 0.0048 m ≅ 5 mm
2g 0
o escoamentos de fluidos reais 16
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ESCOAMENTOS INTERNOS: TUBOS E CONDUTAS
REGIME LAMINAR
Na Fig. 4-6 está representado o escoamento estacionário e incompressível (densidade constante) dum
fluido real num tubo circular de diâmetro D = 2R, em regime laminar. O regime é laminar quando ReD <
2000 ou seja quando o fluido é muito viscoso e pouco denso e/ou a velocidade média é baixa e/ou o diâmetro
é muito pequeno.
Admita-se que o tubo tem uma entrada
“suave” para não gerar turbulência ou
separação. A camada limite laminar começa a
r
crescer desde a entrada: para 0 ≤ x < Lh (região
x
de entrada) a região do escoamento afectada
pela viscosidade é uma coroa circular cada vez
maior, até que para x ≥ Lh todo o escoamento
Lh
região
está afectado (região hidrodinamicamente
hidrodinamica
região de
desenvolvida). Lh é o comprimento
mente
entrada
hidrodinâmico de entrada, definido pela
distância entre a entrada e a secção em que umáx
= 0.99 umáx estacionário.
A equação da conservação da massa neste caso limita-se a impor a conservação do volume. A
velocidade local ux é apenas função da distância r ao eixo do tubo (r = 0 no eixo, r = R na parede).
A equação de conservação da QdM (equação da dinâmica) é a equação de Navier-Stokes. Em
coordenadas cilíndricas e admitindo propriedades constantes, a geometria do problema reduz a equação à sua
componente segundo z – equação diferencial ordinária de 2ª. ordem, cuja solução é
dp
1
u (r ) = −
R2 − r 2
4µ
dx
(
)
pelo que os perfis de velocidade são parabólicos, com a velocidade máxima no eixo:
R 2 dp
u max = u (0) = −
4µ dx
O gradiente da pressão ao longo do tubo – a perda de carga linear – obtém-se derivando a velocidade
em ordem a r:
dp 2 µ du
=
dx
R dr r = R
mostrando a dependência directa relativamente ao declive do perfil de velocidade na parede – i.e., à tensão
de atrito na parede. A velocidade média, numa secção genérica, é
~
U=
O caudal volúmico é
1
π R2
R
∫
2πr u (r ) dr = −
0
R 2 dp u max
=
8 µ dx
2
~
Qv = πR 2U
Por razões práticas utiliza-se um coeficiente ou factor de atrito:
4 µ du
D dp
f =− ~
=− ~
q dx
q dr R
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o escoamentos de fluidos reais 17
onde D = 2R é o diâmetro do tubo e a pressão cinética do escoamento médio é
~
q~ = 1 2 ρU 2
∆p
A potência mecânica dissipada pelas tensões de atrito viscosas no
comprimento ∆L do tubo é:
P f = Q v ∆p
p1
onde ∆p é a queda de pressão (perda de carga) entre as duas secções e
dp
∆p
≅−
dx
∆L
∆L
Esta perda de pressão pode expressar-se como
∆p = f
L~
q
D
e a queda de pressão linear [Pa m-1] (por metro de tubo) é portanto
∆p f ~
= q (equação de Darcy-Weissbach)
∆L D
Por substituição e notando que ReD é
Re D =
~
UD
ν
vem
f =
64
Re D
– válida para tubos lisos e rugosos com ReD < 2000. Notar que a perda de carga é:
▪ independente da rugosidade;
▪ tanto maior quanto
∗ mais fino o tubo;
∗ mais viscoso o fluido;
∗ maior a velocidade:
~
∆p µU
∝ 2
∆L D
No caso de condutas não circulares o diâmetro a utilizar nas expressões é o diâmetro hidráulico:
4A
P
onde A é a área da secção fluida e P é o perímetro molhado. Por substituição, vem
16
f =
Re Dh
Dh =
Algumas substituições conduzem a
ou
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∆p 128µ Qv
=
∆L
πD 4
p2
o escoamentos de fluidos reais 18
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Qv =
π D4
( p1 − p 2 )
128µL
(equação de Hagen-Poiseuille)
Notar que para uma dada diferença de pressões, o caudal é tanto menor quanto:
∗ mais fino o tubo;
∗ mais viscoso o fluido.
A perda de carga expressa em altura de atrito (metro de coluna de líquido, m c.l.) é
hf =
∆p 128µ Qv L
=
ρ g 0 ρ g 0πD 4
[m c.l.]
onde a aceleração da gravidade tem o valor padrão: g0 = 9.80665 m s-2. Em condutas não circulares, o
diâmetro D nas equações precedentes é substituído pelo diâmetro hidráulico Dh.
Tudo o que expôs diz respeito a escoamento laminar completamente desenvolvido ou seja, após o
comprimento de entrada laminar. Segundo Langhaar (1942), esse comprimento é
Lh, lam = K Re D Dh
Esta expressão aplica-se a condutas circulares e a condutas rectangulares de lados (a, b).
Em geral este comprimento é pequeno quando comparado com o comprimento do tubo com escoamento
completamente desenvolvido; consequentemente, as regras da prática adoptam o critério de considerar o
escoamento completamente desenvolvido desde a entrada, para efeitos de cálculo de perdas de carga.
Exemplo
Calcular a queda de pressão em m c.l./hm num tubo de ½” DI (escoamento completamente desenvolvido)
quando o caudal é 1.5 l/min de (a) água a 10 C → 0.556 m c.l./hm ; (b) fluido hidráulico a 40 C (d = 0.848,
υ =1.63×10-5 m2 s-1) → 6.49 m c.l./hm (mais do décuplo do anterior!)
REGIME TURBULENTO
O escoamento no interior de tubos e condutas é turbulento a partir de ReD = 2000 ∼ 4000, dependendo da
rugosidade das paredes; toma-se como critério discriminador ReD = 2300.
Define-se uma grandeza sintética que tem as dimensões duma velocidade, a velocidade de corte ou de
atrito:
uτ ≡ˆ
τ0
ρ
em que τ0 é a tensão de atrito total na parede. A velocidade de atrito é utilizada para adimensionalizar a
velocidade:
u
u * ≡ˆ
subcamada laminar
uτ
camada de
u+
(velocidade adimensional)
amortecimento
e a distância
u
y * ≡ˆ y τ (distância adimensional)
ν
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região
completamente
turbulenta
1
5
10
30
102
103
y+
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o escoamentos de fluidos reais 19
A estrutura da camada limite turbulenta é composta por três regiões distintas, o que influencia a
distribuição de velocidade:
1 – Para 0 ≤ y* < 5 existe uma camada muito delgada imediatamente adjacente à parede: a subcamada
laminar. As tensões de atrito viscoso são dominantes e as tensões turbulentas desprezáveis. A
tensão de corte na parede é assim dada pela lei de Newton do atrito.
2 – Para 5 ≤ y* < 30 existe a camada de amortecimento ou de transição, em que as tensões de corte
turbulentas já são da mesma ordem de grandeza que as viscosas. A distribuição de velocidade é do
tipo u * = A ln y * + B .
3 – Para y* ≥ 30 situa-se o núcleo turbulento, em que as tensões turbulentas são dominantes e as
tensões viscosas muito inferiores. já são da mesma ordem de grandeza que as viscosas. A
distribuição de velocidade também é do tipo u * = A ln y * + B , mas agora com as constantes
dependentes da rugosidade, como seguidamente se mostra.
Consoante o nível de interferência da rugosidade nesta estrutura tripla, existem três regimes de
escoamento determinado pela rugosidade. A rugosidade superficial depende do material e dos métodos de
fabricos e é dada em termos de altura média quadrática dos elementos de rugosidade, e. Definindo a
rugosidade adimensional à semelhança da distância adimensional como:
u
e * ≡ˆ e τ
ν
surgem então os regimes de rugosidade:
(1) regime hidraulicamente liso, quando toda a rugosidade está embebida ou enterrada na subcamada
laminar: 0 < e * < 5
Neste regime a rugosidade, tenha ela o valor que tiver, não tem influência sobre os perfis de
velocidade e o factor de atrito f depende apenas de ReD. Os tubos em que um escoamento está neste
regime designam-se por lisos; notar que esta designação é específica para uma dada combinação tubofluido-escoamento e portanto um tubo pode ser considerado liso nuns casos e noutros não.
núcleo turbulento
y*
camada de
amortecimento
subcamada
laminar
30
5
(1)
(2)
(3)
y*=0 (superfície
nominal)
(2) regime de transição, quando algumas cristas de rugosidade penetram na camada de transição, daí
advindo um acréscimo de resistência ao escoamento devido ao arrasto de forma que actua sobre essas
protuberâncias: 5 ≤ e * < 30
O factor de atrito já depende de ReD e da rugosidade e.
(3) regime completamente rugoso, quando todas as cristas de rugosidade sobressaem para fora da
subcamada laminar e algumas penetram no núcleo turbulento: e * ≥ 30
e aqui f é função de ReD e de e. Os tubos em que um escoamento está neste regime designam-se por
rugosos, com a mesma ressalva que acima se fez para os tubos lisos.
Nos tubos lisos, a distribuição de velocidade na subcamada laminar, na camada de amortecimento e no
núcleo turbulento são dadas por
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⎧u * = y *
⎪⎪ *
*
⎨u = 5.0 ln y − 3.05
⎪ *
*
⎪⎩u = 2.5 ln y + 5.5
(0 ≤ y* < 5)
(5 ≤ y* < 30)
(tubos lisos)
( y* ≥ 30)
Por outro lado, experimentalmente verificou-se que o perfil de velocidade em tubos lisos é função de ReD,
tornando-se mais uniforme (plano) à medida que ReD aumenta e passível de representação por uma lei de
potência (power law) do tipo
u
U máx
1n
⎛ y⎞
=⎜ ⎟
⎝R⎠
válida apenas para números de Reynolds baixos a moderados (inferiores a 107) e em que os
valores de n dependem de ReD como mostra a tabela.
A velocidade máxima é dada por
onde
~
U máx = U + 3.75uτ
ReD
4.0×103
2.3×104
1.1×105
1.1×106
2.0×106
3.2×106
n
6.0
6.6
7.0
8.8
10
10
~
4Q
U =U =
π D2
é a velocidade utilizada em ReD.
No entanto, todos os resultados (Prandtl, Schlichting e Nikuradse) quer para tubos lisos quer para tubos
rugosos derivam de resultados relacionados com a teoria e a sua aplicação na prática não é simples. No que
respeita à queda de pressão ∆p no comprimento L dum tubo de diâmetro D e rugosidade e, por onde se
escoa em regime turbulento um fluido com a velocidade média U, uma outra abordagem é pela via da
Análise Dimensional, que a partir das grandezas físicas relevantes para o problema (L, D, U, e, ρ, µ) permitiu
detectar quatro agrupamentos adimensionais relevantes para o problema: os números de Euler e de
Reynolds e dois parâmetros de forma:
L e⎞
⎛
Eu = f1 ⎜ Re D , , ⎟
D D⎠
⎝
Uma hipótese adicional consistiu em admitir que a queda de pressão é proporcional ao comprimento de
tubo, conjuntamente com a introdução do factor constante (½):
L
f
D
e⎞
⎛
onde o factor de atrito f representa a função desconhecida f 2 ⎜ Re D , ⎟ .
D⎠
⎝
∆p = 12 ρU 2
A partir daqui, o factor de atrito para tubos lisos com camada limite turbulenta completamente
desenvolvida foi obtido experimentalmente
⎧⎪ f = 0.316 Re −D0.25
⎨
⎪⎩ f = 0.184 Re −D0.20
(Re D < 2 × 10 4 )
(2 × 10 4 ≤ Re D < 3 × 10 5 )
(tubos lisos)
Quanto aos tubos rugosos, normalmente recorre-se aos resultados de Moody (1944) sobre a rugosidade e
o factor de atrito. Existem cartas ou gráficos que permitem determinar a rugosidade relativa,
e
ε ≡ˆ
D
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o escoamentos de fluidos reais 21
em função do diâmetro e do tipo de material e processo de fabrico; nomogramas fornecem o factor de atrito f
em função de ReD e de ε.
A rugosidade relativa da tubagem depende do processo de fabrico, variando na prática entre 10-3 a 3×10-2;
por exemplo 0.0018 para tubagem de aço comercial. No entanto, como a rugosidade também depende do
tempo de serviço e de outros factores, convém ter em conta que ao utilizar estes gráficos o erro é da ordem
de 10% .
As perdas em válvulas, ferragens e acessórios de tubagem são perdas localizadas, designadas por perdas
concentradas (por vezes também chamadas perdas menores). São perdas devidas a separação da parede da
veia fluida (a própria camada limite) e expressam-se por um coeficiente de perda particular kf:
U2
hf = k f
[m c.l.]
2g 0
onde g0 = 9.80665 m s-2, ou pelo comprimento equivalente de tubagem que tivesse igual perda:
Leq =
kf D
f
Para encontrar os coeficientes de perda recorre-se a tabelas, que apresentam os valores para os vários
tipos de válvulas, cotovelos, curvas, junções, etc. Alerta-se para que nessas tabelas se pressupõe que a
montante e a jusante existe um comprimento rectilíneo de tubagem suficiente para o estabelecimento de
escoamento completamente desenvolvido. Nomeadamente a jusante tal implica um comprimento de 40 a 50
diâmetros de tubo. Por exemplo, para um cotovelo normal kf = 0.3; mas para uma inversão de sentido
composta por dois cotovelos juntos, kf = 0.38 e não 2×0.3 = 0.6. O espaçamento entre válvulas e ferragens
inferior a 40 ∼ 50D dá origem a coeficientes reais inferiores aos das tabelas, fazendo com que as perdas
calculadas estejam sobrevalorizadas.
No caso de contracções bruscas dum diâmetro D1 para D3<D1 a veia fluida separa-se na esquina da
redução de diâmetro e contrai-se para D2<D3 (vena contracta). O coeficiente kf obtém-se de gráfico, em
função da taxa de contracção D3/D1 e hf é baseado em U3. Extrapolando para D3/D1= 0, vem kf = 0.4 para a
entrada dum tubo em ângulo vivo, a partir dum reservatório; mas na prática o valor adoptado é 0.5. Se os
bordos da entrada forem arredondados, com um raio de curvatura cerca de um sétimo do diâmetro do tubo,
0.01≤ kf ≤ 0.05 e no caso do tubo ser saliente (entrada reentrante de Borda), 0.8≤ kf ≤ 1.0.
Nas expansões bruscas dá-se separação imediatamente no aumento brusco de diâmetro, com formação de
“águas mortas” (vórtice toroidal) e quando um tubo descarrega para um reservatório muito grande ou para
a atmosfera (D2 → ∞) a perda corresponde a uma altura de velocidade (velocity head) U 12 2g 0 . Mas como
há que tomar em consideração a energia dissipada pelos turbilhões, a perda real é maior que a devida
apenas à variação de QdM e Cf = 1.15 ∼ 1.20.
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o escoamentos de fluidos reais 22
O ESTRANGULAMENTO ADIABÁTICO E O EFEITO JOULE-THOMSON
Um fluido sob pressão tem basicamente três formas de se expandir (isto é, de reduzir a sua pressão):
• por expansão adiabática sem trabalho ao veio − com ∆h < 0 (ht = conste.) e ∆T < 0 (Tt = conste.), em que
o fluido troca entalpia estática por velocidade à medida que se expande – caso duma tubeira efusora;
• por expansão adiabática com trabalho ao veio e sem variação significativa da velocidade ( U 22 / U 12 ≅ 1 ),
de onde resulta ∆h < 0 e ∆T < 0 – caso duma turbina;
• por expansão adiabática sem trabalho ao veio e sem variação significativa da velocidade ( U 22 / U 12 ≅ 1 ),
onde h2 = h1 – caso das válvulas e dispositivos de expansão ou estrangulamento. Para um gás perfeito tal
implica T2 = T1, o que a experiência com fluidos reais desmente completamente.
A experiência mostra que se for colocado um obstáculo ou restrição numa conduta onnde se escoa um
fluido real (gás ou líquido), tal que cause uma redução da área seccional do escoamento, seguida dum
alargamento brusco, então a pressão a jusante da restrição é inferior ao valor a montante. A restrição pode ser
um troço de conduta de diâmetro muito pequeno (capilar), um orifício calibrado, uma válvula de agulha ou
uma vulgar torneira.
À queda de pressão (p1 – p2) dá-se o nome de perda de
carga, e o processo designa-se por estrangulamento
(throttling) ou também por laminagem (Portugal) ou
trefilação (Brasil). É o que se passa na saída de um gás de
um cilindro sob pressão, através duma válvula de descarga,
ou simplesmente quando se abre uma torneira de água
doméstica.
O escoamento aplica a sua energia para vencer a
resistência local, dissipando-se em calor.
Na generalidade das aplicações − instalações de
potência a vapor, válvulas de expansão de máquinas
frigoríficas e de bombas de calor, etc. − as velocidades são
baixas e pode-se fazer U 22 / U 12 ≅ 1 ; por outro lado, como o processo é muito rápido, não há tempo para o
fluido trocar calor com o exterior e o processo é adiabático. Considere-se ainda que a restrição é horizontal.
Nestas condições (processo adiabático relativamente ao exterior e sem trocas de trabalho com o mesmo
exterior), o processo corresponde à expansão de Joule-Thomson (lorde Kelvin) e as equações de balanço
energético ficam:
FD : dh + U dU = 0
FI : ∆h = 0
FD : v dp + U dU = −dwfr
FI : ∫ v dp = − wfr
Conclui-se que a entalpia é a mesma antes e depois da restrição (h2 = h1), mas o processo não é
isentálpico. Com efeito, à entrada da restrição a velocidade aumenta (dU >0) visto que a secção de passagem
diminui; depois da restrição a velocidade flutua turbulentamente, até readquirir o valor inicial (dU <0).
Portanto, em geral dU ≠ 0 e, da forma diferencial vem que durante o processo é dh ≠ 0, embora seja ∆h = 0.
O processo completo pode ser desagregado em duas fases:
uma fase reversível de aceleração, à entrada da restrição: a energia cinética aumenta à custa da entalpia
estática (dh <0) e a pressão cai (dp < 0) − trajecto 1-2s;
uma fase irreversível de restituição entálpica, depois da restrição, em que a energia cinética diminui e a
entalpia aumenta à custa do atrito − trajecto 2s-2. Com efeito, a entalpia final h2 é igual à inicial h1 porque
o trabalho de atrito wfr se converte no calor de atrito qfr que é absorvido pelo fluido: de
dq = du + p dv
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o escoamentos de fluidos reais 23
e por diferenciação, dh = du + v dp + p dv e de dq = dqfr vem que
dh = dq fr + v dp
− ou seja, a entalpia cresce à custa do calor de atrito.
A característica essencial do processo é a sua
irreversibilidade. Convém notar que a linha a tracejado 1-2 da
figura representa apenas uma evolução reversível fictícia com os
mesmos estados inicial e final; o trajecto real não é representável
porque:
- não está assente sobre a superfície de estado, visto a
evolução não ser de equilíbrio, apenas se conhecendo os
estados inicial e final;
- não é possível identificar uma trajectória única, visto o
processo não ser uniforme (homogéneo) nem estacionário.
Por este motivo, graficamente o processo é aproximado por
uma isentálpica, a tracejado para salientar o carácter
aproximativo.
Veja-se agora a natureza física do estrangulamento adiabático. Uma válvula de estrangulamento consiste
num estreitamento brusco ou contracção localizada da secção de passagem do escoamento, regulável ou não.
O súbito alargamento da secção de passagem após a contracção da veia fluida provoca localmente um grande
aumento da pressão (gradiente de pressão adverso localizado e intenso), que causa o descolamento da veia
das paredes com formação e desprendimento de turbilhões, que são arrastados pela corrente.
A energia destes turbilhões (energia cinética turbulenta) não pode provir da energia cinética translacional,
pois com velocidades baixas (escoamento incompressível) e com diâmetros iguais antes e depois da restrição
as velocidades são iguais (por conservação do caudal volúmico): é a energia associada à pressão que
alimenta o processo. A consequência é uma grande e brusca queda de pressão, aproximadamente
proporcional à 2ª. potência do caudal.
Como se viu, nos turbilhões existem gradientes de velocidade muito elevados, que põem em jogo tensões
de corte de atrito viscoso. Esta actuação das tensões de atrito, convertendo a energia cinética turbulenta em
calor, provoca a redução progressiva da dimensão característica dos turbilhões e o seu fraccionamento num
número crescente de turbilhões de dimensão cada vez menor (difusão turbulenta). O processo progride
continuamente, até que a 10-30 diâmetros da restrição a turbulência está completamente difundida; é a esta
distância que se avalia o estado do fluido e se situa a secção 2.
Agora é possível compreender o sentido das reservas expressas quanto à aplicabilidade de duas
expressões: o escoamento a jusante duma restrição é altamente instacionário, e dh ≠ 0 a nível microscópico;
só depois da dispersão completa das estruturas turbilhonares é que h2 = h1. A entalpia não se mantém
constante durante uma transformação de estrangulamento; no entanto, a entalpia depois da transformação
retoma o valor da entalpia antes da transformação.
Assim, os resultados do processo são os seguintes:
• redução do caudal mássico, relativamente ao caudal sem restrição, redução essa tanto maior quanto
maior o grau de estrangulamento (traduzido pela queda de pressão);
• conservação da energia total (o fluido não realiza trabalho e não troca calor com o exterior);
• transformação de energia mecânica em calor (por acção das tensões de atrito);
• conservação da energia cinética, no caso de escoamentos incompressíveis (líquidos) em condutas de
igual secção antes e depois da restrição, por razões de conservação do caudal mássico;
• redução da energia associada à pressão (a única forma de energia mecânica que nas condições do
ponto anterior pode diminuir), o que se traduz por uma queda de pressão acentuada;
• a entalpia, após sofrer várias flutuações médias, retoma o valor anterior à restrição;
• variação da temperatura, devido aos efeitos conjugados da expansão e do trabalho das tensões de
atrito.
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o escoamentos de fluidos reais 24
Este último ponto revela uma das limitações do modelo gás perfeito. De facto, às pressões e temperaturas
normais todos os gases reais arrefecem quando são estrangulados (efeito Joule-Thomson), com excepção
do hidrogénio e do hélio, que pelo contrário aquecem. O arrefecimento por queda de pressão unitária
denomina-se coeficiente diferencial Joule-Thomson:
∂T
α h =ˆ
∂p h
Este coeficiente é quase independente da pressão e aumenta rapidamente com a diminuição da
temperatura inicial: uma queda de 200 atm provoca um arrefecimento de 45 C em ar inicialmente a 0 C e de
100 C se a temperatura inicial for –90 C. A fórmula empírica de Hoxton fornece, para o ar:
α h = −0.1975 + 1 38 T − 319 p T 2
(K/atm)
− o que a 15 C e 1 atm permite a aproximação αh ≅ 0.278 K atm-1. Como às pressões e temperaturas normais
o valor para o dióxido de carbono é de –1 K atm-1, pode-se dizer que o ar está mais perto do modelo gás
perfeito que o CO2.
A variação de temperatura ∆Th num estrangulamento adiabático denomina-se efeito integral JouleThomson e o coeficiente integral Joule-Thomson é dado por:
⎛ T − T1 ⎞
⎛ ∆T ⎞
1
⎟⎟ =
⎟⎟ = ⎜⎜ 2
Αh = ⎜⎜
⎝ ∆p ⎠ h ⎝ p 2 − p1 ⎠ h p 2 − p1
p2
∫α
h
dp
p1
Para um dado fluido real (líquido ou gás), αh pode ser positivo ou negativo, dependendo das condições (p,
T); num gás perfeito é nulo. O lugar geométrico dos pontos em que αh =0 denomina-se curva de inversão
do efeito Joule-Thomson; para a generalidade dos gases, a temperatura de inversão é muito elevada. A
figura mostra a curva de inversão do azoto: dentro da região limitada pela curva de inversão o azoto arrefece
quando é estrangulado; fora dela aquece. Note-se que para p > pCinv o coeficiente é sempre negativo
(aquecimento).
Para o vapor húmido é sempre αh >0: um vapor húmido
arrefece sempre quando estrangulado.
A figura seguinte mostra o efeito integral Joule-Thomson:
conhecendo-se p1, T1 e p2 é possível conhecer T2, pela isentálpica 12. Recorda-se que esta linha é apenas a linha que une dois estados
entre os quais ocorre um processo irreversível de estrangulamento
adiabático, dado que nos diagramas de estado só é possível
representar processos reversíveis. Recorda-se ainda que um gás
perfeito não sofre variação de temperatura num processo deste tipo.
O arrefecimento produzido pode ser importante. Quando o vapor
de água é estrangulado de 29.4 MPa e 450 C para 98 kPa, a
temperatura cai 270 C (para 180 C); no entanto a queda de
temperatura por estrangulamento adiabático é sempre inferior à
obtida por expansão adiabática reversível (isentrópica) com
realização de trabalho.
A produção de ar líquido utiliza este processo. O arrefecimento
provocado pela expansão livre (estrangulamento) de uma
quantidade de ar comprimido serve para pré-arrefecimento doutra
quantidade, que depois se expande até uma temperatura ainda mais
baixa. Continuando o processo, é possível liquefazer uma fracção da
quantidade inicial. Num gás perfeito, esta expansão seria isotérmica
e a u constante.
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o escoamentos de fluidos reais 25
Pode-se então resumir as conclusões principais:
• um gás só é arrefecido por estrangulamento quando o seu estado estiver na região em que αh>0 (isto é,
abaixo da curva de inversão);
• coeficiente de expansão isentrópica define-se como:
∂T
α s =ˆ
∂p s
e prova-se que é
α s −α h =
•
•
•
•
v
cp
pelo que é sempre α s > α h : para arrefecer um gás, a expansão adiabática reversível (com realização
de trabalho ao veio) é mais eficaz do que o estrangulamento adiabático;
Não existe apenas o estrangulamento adiabático: caso o fluido seja aquecido ou arrefecido durante o
processo de estrangulamento, a entalpia final deixa de ser igual à inicial (estrangulamento diabático);
Um vapor húmido, um líquido saturado ou um vapor saturado arrefecem sempre quando
estrangulados;
O volume específico dum fluido estrangulado aumenta sempre;
o estrangulamento dum líquido pode conduzir à sua vaporização parcial ou total.
Exemplo
No evaporador duma arca frigorífica a R-134a, a pressão é mantida a 100 kPa. O fluido condensado, no
estado de líquido subarrefecido a 1 MPa e 31.3 C, expande-se num capilar adiabático; determinar o estado
do fluido à saída do capilar e entrada do evaporador.
A figura mostra a trajectória idealizada do estado do fluido. De 1 ao estado fictício 1’ o estado segue uma
isentálpica, atingindo a linha do líquido saturado ligeiramente acima do ponto 800 kPa/31.3C, mantendo a
entalpia no valor inicial (243.9 kJ.kg-1). Seguidamente pode-se imaginar que a expansão se processa ao longo
da linha de saturação, até atingir a pressão de 100 kPa (estado
fictício 1”), cuja entalpia intrínseca é (das tabelas) h1” = hf(100
kPa) = 165.6 kJ.kg-1. Aparentemente, de 1’ a 1” a entalpia baixa de
243.9 para 165.6 kJ.kg-1: uma interpretação física é admitir que em
1” todo o fluido está a 100 kPa e a –26.3 C e que dispõe,
adicionalmente, de um «crédito» de 243.9 – 165.6 = 78.3 kJ.kg-1,
sob a forma de calor disponível.
Este «crédito» vai ser utilizado pelo fluido como calor latente
para se vaporizar; e como o valor do calor latente total é hfg(100
kPa) = hg – hf =382.8-165.6=217.2 >78.3 kJ.kg-1, a vaporização é
parcial e o título final da mistura (vapor húmido) é
78.3
x2 =
= 0.3605
217.2
Pode-se tirar as seguintes conclusões:
O estado final do fluido à saída do dispositivo de expansão é vapor húmido, constituído por uma
mistura homogénea de gotículas de líquido saturado em suspensão em vapor saturado (seco);
Vaporiza-se cerca de 36% do líquido que se expande;
A porção vaporizada obteve o calor latente necessário para a vaporização à custa do arrefecimento
sensível da totalidade do fluido, que assim arrefeceu de 31.3 até –26.3 C – uma queda de temperatura de
57.6 C!
A parte líquida restante (cerca de 64%) vaporiza-se seguidamente no evaporador a -26.3 C,
absorvendo do exterior (a câmara frigorífica) 139 kJ.kg-1
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energética dos escoamentos
Sequeira Cardoso
1
SISTEMAS ABERTOS: OS BALANÇOS DA ENERGIA TOTAL E DA ENERGIA MECÂNICA
Considere-se o escoamento unidimensional estacionário
dum fluido (líquido ou gasoso) numa conduta genérica.
Unidimensional significa que os parâmetros de cada secção
(pressão, velocidade, etc.) são os respectivos valores médios
na secção. Considere-se o sistema m que, num dado momento,
ocupa o volume entre as secções
e
(volume de controlo
VC). Ao passar pelo volume de controlo, o fluido recebe calor
e executa trabalho. Tendo em conta todas as contriobuições de
trabalho e enrgia, vem a equação da energia total para
sistemas abertos:
FD : dh + U dU + g dZ = dq ext − dwmec
FI : ∆h + 1 2 ∆ (U 2 ) + g ∆Z = (h2 − h1 ) + 1 2 (U 22 − U 12 ) + g ( Z 2 − Z 1 ) = q ext − wmec
Por outro lado, vem:
du = ( dq ext + dq fr ) − p dv
que após substituíção, simplificação e rearranjo fica:
FD : v dp + U dU + g dZ = −(dwmec + dwfr )
FI :
∫ v dp +
1
2
∆(U 2 ) + g ∆Z = −( wmec + wfr )
− equação esta que traduz finalmente o balanço da energia mecânica para sistemas abertos.
Estas últimas equações traduzem os respectivos balanços na forma o mais geral possível. Em geral, é
possível modelizar os processos que decorrem nas máquinas térmicas reduzindo a sua complexidade:
ausência de trabalho ao veio (wmec = 0) para os escoamentos em condutas e em câmaras de combustão,
ausência de trocas de calor ou adiabaticidade (qext = 0) para os processos que decorrem em turbomáquinas −
e que são por isso tão rápidos que se admite não haver tempo para o fluido trocar calor com o exterior,
ausência de atrito em escoamentos livres (escoamentos potenciais) e em processos ideais ou quasi-ideais
(wfr = qfr = 0).
Salvo algumas excepções, no contexto das máquinas térmicas os casos que interessa estudar dizem
respeito a gases. Ora, para os gases o termo g ∆Z é muito pequeno em comparação com os restantes termos
de (1.28) e (1.30). Então, os termos relativos à variação de energia potencial são eliminados das equações
relativas a gases; o mesmo se pode fazer relativamente ao escoamento de líquidos em condutas e
componentes de eixos horizontais:
dZ = ∆Z ≈ 0
Em muitas aplicações concretas, as velocidades são relativamente baixas e as velocidades de saída não
são significativamente diferentes das velocidades de entrada: (U 22 / U 12 ) ≈ 1 e nestas condições o termo da
variação da energia cinética pode ser eliminado:
U dU = ∆ (U 2 ) ≈ 0
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2
Como se verá, a aproximação de incompressibilidade (ρ = conste. ou v = conste.) para os líquidos
simplifica consideravelmente a formulação analítica. Como os gases a baixa velocidade (velocidades
inferiores a cerca de 1/5 da velocidade local do som) se comportam aproximadamente como fluidos
incompressíveis, neste regime adopta-se também esta mesma simplificação.
Os processos que ocorrem nas máquinas térmicas caracterizam-se, mecânica e termodinamicamente, pela
aplicação conjunta daquelas equaçõs para cada caso concreto. Nos parágrafos seguintes particularizam-se as
simplificações referidas.
FLUIDOS INCOMPRESSÍVEIS
Um fluido incompressível é caracterizado por ser sempre dv = 0 ou v = conste. (densidade constante),
mesmo que a pressão e a temperatura variem. Um fluido incompressível é uma abstracção, ou seja um
modelo conceptual: nenhum fluido é infinitamente rígido porque tal implicaria uma velocidade do som
infinita. No entanto os líquidos e, como se verá, os escoamentos de gases a baixa velocidade podem ser
aproximados pelo modelo de fluido incompressível Desde já se alerta para a incompatibilidade entre os
modelos de gás perfeito e de fluido incompressível, já que a massa volúmica dum gás perfeito é variável, em
função da pressão e da temperatura.
Para um fluido incompressível o balanço de energia total vem:
FD : du + v dp + U dU + g dZ = dq ext − dwmec
FI : ∆u + v ∆p + 1 2 ∆(U 2 ) + g ∆Z = q ext − wmec
e o balanço da energia mecânica é:
FD : v dp + U dU + g dZ = −(dwmec + dwfr )
FI : v ∆p + 1 2 ∆ (U 2 ) + g ∆Z = −( wmec + wfr )
Escoamentos incompressíveis, com trocas de calor e com atrito, sem variações de velocidade e de
energia de posição
Aplique-se estas equações a um permutador de calor muito simples, constituído por uma conduta
horizontal de secção constante por onde se escoa com atrito um líquido ou um gás a baixa velocidade, que
recebe do exterior, através das paredes da conduta, o calor qext [kJ kg-1]. Neste caso, vem ∆U =∆Z=wmec=
=0 e os balanços de energia total e de energia mecânica ficam reduzidos a:
∆u = q ext − v∆p = c∆T
ou seja,
T2 = T1 +
wfr =
Q&
q ext p1 − p 2
p − p2
+
= T1 + ext + 1
ρc
ρ cQ
ρc
c
p1 − p 2
ρ
onde c [kJ kg K ] é o calor específico do líquido ou o calor específico a volume constante do gás, ρ [kg m-3]
é a sua massa volúmica, Q [m3 s-1]é o caudal volúmico e Q&ext [kW] é a potência térmica de aquecimento.
Verifica-se que o fluido aquece devido à transferência de calor e à geração interna de calor pelo atrito.
-1
-1
Escoamentos incompressíveis sem trocas de calor (adiabáticos)
Se um escoamento incompressível for adiabático, o balanço de energia mecânica não é alterado mas o
balanço de energia total fica:
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FD : du = dwfr
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FI : ∆u = wfr
ou seja, a energia interna aumenta, visto o trabalho de atrito ser intrinsecamente positivo. Note-se que este
resultado também é válido se não existir trabalho ao veio, como facilmente se pode verificar. É o caso do
escoamento dum líquido ou de um gás a baixa velocidade numa conduta com atrito, ou de uma bomba
real.
Escoamentos incompressíveis adiabáticos, com atrito e trabalho ao veio
Para o caso duma bomba, vem:
v ∆p + 1 2 ∆ (U 2 ) + g ∆Z = −( wmec + wfr )
ou, sendo wvB = - wmec o trabalho ao veio da bomba, este vem:
wvB = v ∆p +
1
2
∆ (U 2 ) + g ∆Z + wfr
O caudal mássico m&[kg s-1] está relacionado com a massa volúmica ρ [kg m-3] e com o caudal volúmico
Q por:
m&= ρQ
e para um escoamento iincompressível a conservação da massa equivale à conservação do volume e portanto
a velocidade relaciona-se com o caudal por
U =Q A
onde A [m2] é a área da secção local de passagem. Designando por 1 e 2 as secções entrada e saída da
bomba, o efeito útil da bomba denomina-se potência hidráulica, que é facilmente mensurável:
PHB = v ∆p +
1
2
∆ (U 2 ) + g ∆Z = v( p − p ) +
1
2
Q 2 (1 A22 − 1 A12 ) + g ( Z 2 − Z 1 )
A potência perdida em atritos, que não se mede directamente, é
Pfr = ρ Q wfr
e portanto vem que
PvB = PHB + Pfr
Em hidráulica é costume trabalhar com
alturas de líquido [m c.l.] e não com pressões.
Considere-se o caso duma conduta de água
abastecida por um depósito, sem bombas ou
turbinas. Em cada secção, a altura total
representa a energia mecânica por unidade de
peso do líquido [J N-1] e é a soma das alturas
piezométrica, cinética e geodésica:
H tot =
p U2
+
+Z
ρ g 2g
A linha lugar geométrico das alturas totais designa-se por gradiente hidráulico. Designa-se por altura
total da bomba (pump total head) a variação da altura total através da bomba:
∆H B =
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1
1
(U 22 − U 12 ) + (Z 2 − Z 1 )
( p 2 − p1 ) +
2g
ρg
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Escoamentos incompressíveis adiabáticos e sem atrito (isentrópicos)
Este é um caso interessante e que se encontra amiúde nas máquinas térmicas. Os dois balanços são
idênticos:
FD : du = 0
FI : ∆u = 0
Repare-se que este resultado também é válido se não existir trabalho ao veio, como facilmente se pode
verificar.
É o caso das bombas, das turbinas hidráulicas e dos ventiladores ideais. O trabalho duma bomba ideal é
dado por:
wB = wmec = v ∆p + 1 2 ∆ (U 2 ) + g ∆Z
Do anterior vem que:
wvB = g ∆H B
PvB = PHB = m&wvB = ρ g Q ∆H B
Caso as secções de aspiração e descarga da bomba tenham o mesmo diâmetro, a energia cinética não
varia e
wvB = v ∆p + g ∆Z
e se as duas secções estiverem à mesma cota, fica
wvB = v ∆p
− expressão utilizada para determinar o trabalho ideal das bombas de alimentação de caldeiras de vapor.
Escoamentos incompressíveis isentrópicos, com trabalho ao veio e sem variações de velocidade e de
energia de posição
É o caso de um ventilador (ou duma bomba)
ideal instalado numa conduta ideal de secção
constante. O trabalho e a potência do ventilador
são dados por:
1
wv = ∆p t
ρ
Pv = Q ∆p t
pois ∆pt = ∆p visto a velocidade ser constante.
Em termos de pressão, é:
p t 2 = p t 1 + (∆p t ) v
p 2 = p 1 + ( ∆p t ) v
Vê-se que o ventilador aumenta a pressão estática. Admite-se que imediatamente antes do disco do
ventilador, a pressão vale p 0 − 1 2 (∆p t ) v e que imediatamente depois é p 0 + 1 2 ( ∆p t ) v : estão assim criados os
gradientes de pressão indutores do escoamento, da entrada da conduta (p0) até o disco do ventilador e deste
até à saída da conduta (p0).
Escoamentos incompressíveis isentrópicos sem trabalho ao veio
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FD : v dp + U dU + g dZ = 0
FI : v ∆p + 1 2 ∆ (U
2
) + g ∆Z = 0
(energias total e mecânica)
- expressão designada por equação de Bernoulli (para fluidos incompressíveis), de vasta aplicação em
hidráulica e em aerodinâmica.
Escoamentos incompressíveis isentrópicos, sem trabalho ao veio e sem variação da energia de posição
Em aerodinâmica das baixas velocidades a equação de Bernoulli exprime-se em termos de pressões:
∆p + 1 2 ρ ∆ (U 2 ) = 0
ou
p2 +
1
2
ρ U 22 = p1 + 1 2 ρ U 12 = const e .
A quantidade ( 1 2 ρ U 2 ) tem as dimensões duma pressão, representa a energia cinética por unidade de
volume e designa-se por pressão cinética:
q =ˆ 1 2 ρ U 2
A soma da pressão estática p com a pressão cinética q é, em regime incompressível, a pressão de
estagnação ou total. É a pressão que se obtém (idealmente) num ponto de estagnação na superfície dum
corpo (por exemplo, no bordo de ataque dum perfil alar):
p t =ˆ p + q = p + 1 2 ρ U 2
Visto que para um escoamento incompressível a conservação do caudal mássico impõe a condição
A U = Q = const e .
conclui-se daqui que quando a área de passagem do escoamento diminui (quando diminui o diâmetro da
conduta ou as linhas de corrente se apertam) a velocidade aumenta e a pressão diminui. É o efeito Venturi,
utilizado em carburadores de motores de explosão, nos dispositivos de extracção de ar em condensadores e
aquecedores abertos das instalações a vapor e em inúmeras outras aplicações (filtros dos cigarros). Um tubo
Venturi consiste numa contracção gradual formando uma garganta; se a área da secção da conduta for A1 e a
área da garganta for A2, a diferença de pressões entre 1 e 2 é
∆p = p1 − p 2 = 1 2 ρ (U 22 − U 12 ) =
= 1 2 ρ Q 2 (1 A22 − 1 A12 )
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ESCOAMENTOS COMPRESSÍVEIS
Quando num escoamento as velocidades locais excedem em 20% a velocidade do som, deixa de ser
possível ignorar os efeitos da compressibilidade. A velocidade do som é a velocidade de propagação das
pequenas perturbações de pressão no interior do fluido e está directamente relacionada com a rigidez do
mesmo:
⎡⎛ ∂p ⎞ ⎤
a = ⎢⎜⎜ ⎟⎟ ⎥
⎢⎣⎝ ∂ρ ⎠ s ⎥⎦
1
2
Deste modo, a velocidade do som na água, que é um meio muito rígido (pouco compressível) excede os
1000 m s-1. Num gás perfeito com p = ρ rT e p = const e . × ρ γ ,vem:
∂p
∂ρ
const e . =
e como
= const e . × γ ρ γ −1
s
ρ rT rT
∂p
=γ rT
= γ −1 →
γ
ρ
ρ
∂ρ s
é
a = γ rT
onde γ é o índice adiabático (1.40 para o ar seco à temperatura padrão) e r = R M é a constante do gás em
questão, com R = 8.31432 kJ kmole-1K-1. Para o ar seco padrão (Meq ≅28.9644 kg kmole-1) vem rar =
287.053 J kg-1K-1. Note-se que a velocidade do som é proporcional à raiz quadrada da temperatura absoluta:
como a temperatura pode variar ao longo de um escoamento, também a velocidade local do som o faz.
Os escoamentos gasosos podem ser considerados incompressíveis desde que as velocidades locais não
excedam 20% da velocidade local de propagação do som (70 m s-1 ou 245 km/hr para o ar seco a 15 C, a =
340.3 m s-1); caso contrário, tem de se tomar em consideração a compressibilidade, sob pena de erros tanto
maiores quanto mais as velocidades excederem a do som.
Escoamentos compressíveis com trocas de calor, atrito e trabalho ao veio
Regressando aos balanços iniciais da energia total e da energia mecânica e desprezando a variação da
energia potencial, como se fez atrás, esses balanços ficam, respectivamente:
FD : dh + U dU = dq ext − dwmec
FI : ∆h + 1 2 ∆ (U 2 ) = q ext − wmec
FD : v dp + U dU = −(dwmec + dwfr )
FI :
∫ v dp +
1
2
∆ (U 2 ) = −( wmec + wfr )
Escoamentos compressíveis, com trocas de calor e atrito, sem trabalho ao veio
Nos permutadores de calor não existe trabalho ao veio. Se a perda de carga for muito pequena
( dp p << 1 ) as trocas de calor processam-se quasi-isobaricamente, mas mesmo que não se possa desprezar a
perda de carga, vem sempre:
∆h + 1 2 ∆ (U 2 ) = q ext
o que para um gás perfeito dá:
∆h = c p ∆T
A quantidade do lado esquerdo é a variação da entalpia específica total ou de estagnação:
ht =ˆ h + 1 2 U 2
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relacionada com a temperatura total ou de estagnação, que é a temperatura que o fluido atingiria nesse
ponto do escoamento se convertesse isentropicamente toda a sua energia cinética (a sua velocidade) em
energia térmica (entalpia):
h
U2
Tt =ˆ T +
= t
2cp cp
Então, conclui-se que um permutador de aquecimento aumenta a temperatura e a entalpia totais do gás; as
variações da temperatura estática T e da entalpia estática h dependem da variação da velocidade. Se esta
variação não for significativa, pode-se fazer:
∆h = q ext
∆T =
∆h
cp
O caso de uma câmara de combustão ou combustor é um pouco diferente: a transferência de calor
agora representa fugas para o exterior. Continuando a admitir que o processo é quasi-isobárico, fica
∆h +
1
2
∆ (U 2 ) = q ext
O que se passa é que o gás muda de composição: os reagentes a baixa temperatura têm uma entalpia
estática específica global hR e os produtos da combustão, a alta temperatura, têm uma entalpia hP. Quanto
maior a variação de velocidade, menor a temperatura final dos produtos da combustão (e portanto menor a
sua entalpia). Na câmara de combustão de um motor foguete a velocidade de injecção dos reagentes é
desprezável face à de saída ou ejecção dos produtos da combustão ( U 22 / U 12 >> 1 ). Admitindo que não há
fugas de calor para o exterior, fica:
h2 − h1 + 1 2 U 22 = 0
e a velocidade de ejecção dos gases é dada por:
U ej = 2 (h1 − h2 )
o que exige conhecer a entalpia de saída h2, ou seja a temperatura dos gases de escape e a natureza destes.
Aqui h1 = hR e h2 = hP, entalpias específica dos reagentes e dos produtos.
Escoamentos compressíveis adiabáticos com atrito
Muitas aplicações dizem respeito a escoamentos adiabáticos, no sentido de adiabaticidade externa (dqext =
0, qext = 0): ausência de trocas de calor com o exterior.
Escoamentos compressíveis adiabáticos, com atrito e trabalho ao veio
Nos compressores e turbinas reais os balanços vêm:
FD : dh + U dU = − dwmec
FI : ∆h + 1 2 ∆ (U 2 ) = − wmec
FD : v dp + U dU = −(dwmec + dwfr )
FI :
∫ v dp +
1
2
∆ (U 2 ) = −( wmec + wfr )
O balanço da energia total fica:
FD : dht = − dwmec
FI : ∆ht = − wmec
embora falte informação, pois no integral acima só se pode integrar vdp caso a relação entre a pressão p e o
volume epecífico v seja conhecida.
Aplicando aos compressores e às turbinas reais:
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wC = wmec = ht 2 − ht 1
(compressores)
wT = wmec = ht 1 − ht 2
(turbinas)
8
e
Escoamentos compressíveis adiabáticos, com atrito e trabalho ao veio, sem variações significativas da
velocidade
Se as velocidades de entrada e saída não forem muito diferentes ( U 22 / U 12 ≈ 1 ) pode-se fazer:
wC = wmec = h2 − h1
(compressores)
wT = wmec = h1 − h2
(turbinas)
e
primeiras aproximações de projecto inicial para vapor de água, ar, gases produtos da combustão e vapores de
fluidos frigorigéneos.
Mas como se disse acima, falta informação sobre o estado final e em regra o que se avalia é o trabalho
ideal isentrópico wCs ou wTs; o trabalho real wC ou wT ou se determina por ensaios ou se deduz daquele por
meio da eficiência isentrópica.
Escoamentos compressíveis adiabáticos, com atrito e sem trabalho ao veio
FD : dh + U dU = 0
FI : ∆h + 1 2 ∆ (U 2 ) = 0
FD : v dp + U dU = − dwfr
FI :
∫ v dp +
1
2
∆ (U 2 ) = − wfr
A conclusão imediatamente possível é que a entalpia total permanece constante:
FD : dht = 0
FI : ∆ht = 0
e que a entalpia estática h varia inversamente com o quadrado da velocidade, como já se disse no caso das
câmaras de combustão; aliás, um combustor sem fugas de calor para o exterior através das suas paredes cai
nesta categoria (qext = 0). Exceptuando este caso, nos restantes para conhecer o estado final é necessário
estabelecer uma hipótese adicional sobre a relação entre p e v, o que exige mais dados visto em geral o
processo ser irreversível (com atrito). Nos processos de estrangulamento ou expansão livre (laminagem)
de um gás real, em válvulas que limitam a descarga em jacto livre de um depósito sob pressão elevada com
contrapressão de saída pequena, a forma diferencial não é válida ( dht ≠ 0 ) embora a forma integral o seja,
quando aplicada entre a secção imediatamente antes da válvula e a outra secção a 30 ~ 40 diâmetros da
conduta a jusante. Nos escoamentos de gases em condutas reais ou se adopta o modelo gás perfeito −
escoamentos de Fanno, ou se considera o processo sem atrito e no final aplica-se um coeficiente de perda de
pressão total, procedimento que também se aplica às câmaras de combustão.
Escoamentos compressíveis adiabáticos com atrito, sem trabalho ao veio e sem variações significativas
da velocidade
Nos casos em que é lícito admitir U 22 / U 12 ≈ 1 , fica:
FD : dh = 0
FI : ∆h = 0
que é a hipótese simplificativa adoptada para os processos de estrangulamento adiabático de fluidos reais
em válvulas de expansão instaladas em condutas de secção constante, embora com as reservas acima
expressas quanto à validade da forma diferencial e às condições de aplicação da forma integral.
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Escoamentos compressíveis isentrópicos com trabalho ao veio
Resta abordar os escoamentos adiabáticos e sem atrito (isentrópicos) de um gás. Como decorre do que
precede, estes escoamentos constituem uma referência paradigmática: muitos problemas de escoamentos
irreversíveis são estudados adoptando o modelo gás perfeito e não considerando o atrito; no final, aplica-se
um coeficiente de eficiência ou de descarga para ter em conta as irreversibilidades, com resultados
surpreendentemente exactos.
As equações de balanço para este tipo de escoamentos são:
FD : dht = − dwmec
FI : ∆ht = − wmec
FD : v dp + U dU = − dwmec
FI :
∫ v dp +
1
2
∆ (U 2 ) = − wmec
Como se disse atrás, falta estabelecer uma relação de estado (de equilíbrio). Esta falta é colmatada com
vantagens pela adopção do modelo gás perfeito: com p ∝ v--γ para transformações isentrópicas, vem
dp = −γ v − (γ +1) dv
e integração fica:
∫ v dp = −γ ∫ v
v
γ +1
dv = −γ ∫ v −γ dv =
γ
γ
[
[ p v] = γ ⎡⎢ p ⎤⎥
v ]=
γ −1
γ −1
γ −1 ρ
1− γ
⎣ ⎦
pelo que as equações de balanço vêm:
∆ht = − wmec
γ
⎛ p⎞
∆⎜⎜ ⎟⎟ + 1 2 ∆(U 2 ) = − wmec
γ −1 ⎝ ρ ⎠
Ora tendo em conta a equação de estado, a relação de Meyer e a definição de índice adiabático:
p ρ = rT
r = c p − cv
γ = c p cv
e vem
c p ∆T +
1
2
∆ (U 2 ) = − wmec
e as equações de balanço ficam idênticas, pois sob as condições presentes a conservação da energia total é
equivalente à conservação da energia mecânica:
∆Tt = Tt 2 − Tt 1 = − wmec c p
Escoamentos compressíveis isentrópicos de um gás perfeito, com trabalho ao veio e sem variações
significativas da velocidade
Estas relações aplicam-se a compressores e turbinas ideais, com simplificação possível se U 22 / U 12 ≅ 1 (o
que sucede geralmente nestas máquinas):
∆h = − wmec
∆T = T2 − T1 = − wmec c p
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Escoamentos compressíveis isentrópicos sem trabalho ao veio de um gás perfeito
Vem:
∆ht = 0
e, para um gás perfeito,:
⎛ p⎞
γ
∆⎜⎜ ⎟⎟ + 1 2 ∆ (U 2 ) = 0 - equação de Bernoulli para esc. compressíveis
γ −1 ⎝ ρ ⎠
Note-se que tal como no caso anterior, estas equações são equivalentes pois exprimem a mesma
afirmação física. Agora verifica-se que a entalpia, a temperatura e a pressão totais são constantes ao longo
do escoamento:
ht = const e .
Tt = const e .
p t = const e .
e são estas condições que regem o escoamento isentrópico, sem atrito, de gases compressíveis em jactos
livres, condutas e tubeiras ideais.
Tal como atrás ficou dito relativamente à temperatura total, num fluido compressível a pressão total ou
de estagnação num ponto do escoamento é a pressão que o fluido atingiria nesse ponto se convertesse toda a
sua energia cinética (a sua velocidade) em entalpia, por meio de uma compressão isentrópica:
γ
⎛ T ⎞ γ −1
pt = p ⎜ t ⎟
⎝T ⎠
Em regime compressível a diferença entre a pressão de estagnação e a pressão estática designa-se por
pressão dinâmica pd . A partir da equação de Bernoulli para escoamentos compressíveis, pode-se
demonstrar que, para a mesma velocidade, a pressão dinâmica não é igual à pressão cinética, mas sim
superior:
pd = p t − p > q
uma vez que, para a mesma velocidade, a pressão de estagnação compressível é superior à pressão de
estagnação incompressível: p tc > p ti . A pressão total compressível é maior que a pressão total
incompressível, em igualdade de circunstâncias.
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QUADRO-RESUMO DAS APLICAÇÕES DA EQUAÇÃO DA ENERGIA
INC.
v=const.
COMP
.
CAL.
EXT.
qext
ATRº.
TRABº
.MECº.
wmec
Var.
VELe.
∆(U2)
Var.
ELEV.
∆Z
EQões. DA ENERGIA
APLICAÇÕES
wfr
∆u+v∆p+½∆(U2)+g∆Z= qext- wmec
v∆p+½∆(U2)+g∆Z=-wmec-wfr
∆u + v∆p = qext- wmec
v∆p =
-wmec - wfr
∆u = qext – [v∆p+½∆(U2)+g∆Z] =
=c∆T
wfr = – [v∆p+½∆(U2)+g∆Z]
∆u = qext - v∆p = c∆T
- v∆p
wfr =
∆u = wfr = c∆T > 0
wmec = - [v∆p+½∆(U2)+g∆Z+ wfr]
∆u = wfr = c∆T > 0
v∆p+½∆(U2)+g∆Z+wfr=0
∆u = wfr = c∆T > 0
v∆p + g∆Z + wfr=0
∆u = wfr = c∆T > 0
v∆p = -wmec-wfr
∆u = 0
wmec = - [v∆p+½∆(U2)+g∆Z+ wfr]
∆u = 0
wmec = v∆p
∆u = - v∆p
v∆p+½∆(U2)+g∆Z=0
∆p+½∆(U2)=0
pt = p + q = const.
∆u = 0
wmec = - [v∆p+½∆(U2)]
∆u = - g∆Z
v∆p + g∆Z=0
∆ht = qext - wmec
ht=h+½U2=cpTt;
∆ht = qext
---
Permutador de calor
real (líquidos)
Permutador de calor
real horiz. sem var. de
secção (líquidos)
Bomba,
turbª.
hidrául.
reais
(líquidos)
Conduta real (líqs.)
Conduta
real
de
secção
constante
(líquidos)
Ventil. (ar < 70 m/s)
ou bomba reais horiz.
sem var. de secção
Bomba,
turbª.
hidrául.
ideais
(líquidos)
Ventil. (ar < 70 m/s)
ou bomba ideais
horiz. sem var. de
secção
Esc. isentróp. de
líquidos:
eq.
de
Bernoulli
Esc. isentróp. de
gases a baixa vel.,
fora da CL: eq. de
Bernoulli
Hélice
propulsiva
ideal (líqs. ou ar a <
70 m/s)
Conduta ideal de
secção
constante
(líqs.)
(caso geral)
Tt =T+U2/2cp
∆ht = - wmec
∆h = - wmec
∆ht = 0
∆h = 0
∆ht = - wmec
∆h = - wmec
∆ht = 0 ⇒ Tt = const.
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(caso geral)
Permutadores de calor
reais; câmaras de
comb. reais
Compressores e turbinas reais
Compressores
e
turbinas reais com U2
≅ U1
Condutas e tubeiras
reais; motor foguete
com U1≅ 0
Válvulas
de
expansaão com U2 ≅
U1
Hélice
propulsiva
ideal
(ar a > 70 m/s)
Compr. e turbinas ideais com U2 ≅ U1
Câmaras
de
combustão ideais com
Sequeira Cardoso
energética dos escoamentos
γ
p
γ −1 ρ
+ 1 2 U 2 = const. (eq. Bernoulli)
pt = p + pd =const.
∆h = qext
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(pd> q )
12
U2 > U1; condutas e
tubeiras
ideais;
escoamentos li-vres
fora da CL> 70 m/s
Câmaras
de
combustão ideais com
U2 ≅ U1
Sequeira Cardoso
escoamentos com transferência de calor 1
TRANSPORTE CONVECTIVO DE CALOR
Introdução
Considere-se a superfície exterior dum corpo ou duma conduta – daqui em diante, por simplificação
designada por parede.
Se a parede estiver em contacto com um fluido em movimento e a temperatura do fluido for diferente da
temperatura da parede, existe uma transferência de calor entre o fluido e a parede, em consequência do
escoamento do fluido. Esta forma de transmissão de calor é designada por convecção.
Como já se disse, existem dois tipos de convecção:
∗ na convecção livre ou natural, o escoamento é induzido por gradientes de densidade do fluido,
resultantes de diferenças de temperatura;
∗ na convecção forçada, o escoamento do fluido é induzido por meios externos que geram gradientes
de pressão.
Considere-se um escoamento uniforme U∞ à temperatura T∞
paralelo a uma placa plana, cuja parede está a uma temperatura
superior Tw. Existe uma camada limite de temperatura ou térmica
de espessura δT onde a temperatura varia gradualmente de T∞ até ao
valor na parede, Tw. O fluxo de calor entre a parede e o fluido é dado
pela lei da transferência de calor convectiva:
Q& ⎧h (Tw − T∞ )
q&= = ⎨
A ⎩h (T∞ − Tw )
parede quente (Tw > T∞ )
parede fria
y
U∞
T∞
δT
Tw
(Tw < T∞ )
onde h [W.m-2.K-1] é o coeficiente de transferência de calor convectivo. A título ilustrativo, no caso duma
corrente de ar a 25 C e com 10 m/s sobre uma placa lisa de 50 cm de comprimento, h = 39 W.m-2. K-1; no
caso dum tubo com 2.5 cm DI (diâmetro interno) por onde se escoa um caudal de água de 1 kg s-1, h = 10.5
kW.m-2.K-1.
Já foi apresentada a caracterização do escoamento externo sobre placas e corpos genéricos e do
escoamento interno em tubos e condutas, na ausência de trocas de calor entre o fluido e as paredes e em
regime incompressível – i.e., com densidade constante. Para que não haja transferência de calor através da
parede, a temperatura desta tem de ser igual à temperatura média global, volúmica ou de mistura Tb do
fluido (bulk ou volumar temperature): é o que se designa por parede isotérmica. A condição de
incompressibilidade é uma aproximação válida quando a velocidade do fluido é muito inferior à velocidade
de propagação do som, podendo-se assim desprezar os efeitos da compressibilidade e a influência do
número de Mach sobre os processos.
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escoamentos com transferência de calor 2
ESCOAMENTOS FORÇADOS COM TRANSFERÊNCIA DE CALOR
(Convecção Forçada)
Em muitas aplicações existe uma diferença significativa entre a temperatura média do fluido e a
temperatura das paredes ao longo das quais o fluido se escoa.
Em escoamento forçado incompressível, aqui geralmente representado por uma corrente uniforme a
infinito, a única influência desta transferência de calor (convecção forçada) sobre o campo da velocidade é a
alteração da viscosidade do fluido, que é uma função fraca da temperatura – ou seja, o efeito dinâmico é
pequeno e é possível avaliar as propriedades do fluido a uma temperatura média e daí obter os perfis de
velocidade, como se não houvesse transferência de calor; os perfis de temperatura calculam-se a partir
daqueles.
Já o mesmo não se passa na transferência de calor em convecção livre ou natural.
Os fenómenos de transferência de calor na interface entre dois meios, como entre um fluido e uma parede,
podem ser descritos por vários parâmetros adimensionais consoante a natureza dos processos: com ou sem
efeitos de compressibilidade, com ou sem transferência de massa, com ou sem atrito superficial, etc.
As propriedades do fluido e do escoamento que interessam sempre ao processo são:
– a condutibilidade térmica do fluido k [W m-1 K-1];
– a massa volúmica ρ [kg m-3];
– a viscosidade dinâmica ou absoluta µ [Pa s];
– o calor específico ou capacidade térmica mássica cp (em processos ≅ isobáricos) [J kg-1 K-1];
– a velocidade U [m s-1];
– a difusividade térmica α = k/ρ cp [m2 s-1];
– a difusividade mecânica ou viscosidade cinemática ν = µ /ρ [m2 s-1];
– uma dimensão característica L (diâmetro dum tubo, comprimento duma placa, etc.) [m].
Número de Nusselt – relação entre o fluxo de calor recebido da parede por convecção e o fluxo de calor
hL
transmitido por condução pelo meio: Nu ≡ˆ
k
h( x).x
Número de Nusselt local de um processo: Nu x ≡ˆ
k
Relações do Número de Nusselt com outros Parâmetros adimensionais – pelo menos: Nu = f (Re, Pr )
Número de Reynolds – relação entre a força de inércia e a força viscosa
Número de Prandtl – relação entre as difusividades mecânica e térmica do fluido ou seja, entre a
transmissão de QdM e a transmissão de calor no seio do fluido ou entre a difusão molecular da QdM e a
difusão molecular do calor:
Pr ≡ˆ
µ ρ
ν
=
k ρ cp α
O número de Prandtl é uma propriedade de cada fluido, função da temperatura: nos gases, é próximo da
unidade (0.6 a 1 para a maioria e 1 em gases poliatómicos com um grande número de átomos); nos líquidos
é muito superior à unidade, em especial nos óleos – o que significa ser mais importante o atrito: para a água
Pr = 13.7 a 0 C, 8.00 a 15 C e 1.88 a 66 C; é inferior à unidade no caso dos metais líquidos – o que significa
ser aqui mais importante a transmissão de calor.
Quando um elemento de fluido, inicialmente à velocidade U∞ e temperatura T∞, se aproxima da superfície
da parede, penetra na camada limite e a sua velocidade diminui, até se anular se contactar com a parede. Se
esta desaceleração fosse adiabática reversível (isentrópica) e a parede estivesse perfeitamente isolada (h = 0),
⎛
U2 ⎞
o elemento de fluido atingiria a temperatura total ou de estagnação:
Tt = T∞ ⎜1 + ∞ ⎟
⎜
2 c p ⎟⎠
⎝
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escoamentos com transferência de calor 3
Na realidade, existem dois mecanismos de transferência de energia dentro da camada limite:
– por condução térmica dentro do fluido, tendente a transferir calor da região mais junto à superfície para
as regiões exteriores à camada limite;
– por dissipação viscosa, tendente a transferir calor das regiões exteriores à camada limite para junto da
superfície.
O valor de Pr determina qual efeito é o prevalecente:
∗ Se Pr = 1 o escoamento é adiabático em todos os pontos da camada limite e a temperatura Tw da
parede é a temperatura de estagnação Tt;
∗ Se Pr < 1 (caso do ar, com Pr = 0.72 às temperaturas normais) a condução térmica é mais
importante, de tal modo que a temperatura que a corrente de fluido tenta impor na superfície é
inferior à temperatura de estagnação e a temperatura da parede isolada é Tw, isol = Tr (< Tt )
onde Tr é a temperatura de recuperação dinâmica:
e r é o factor de recuperação da camada limite: r ≡ˆ
⎛
U2
Tr = T∞ ⎜1 + r ∞
⎜
2cp
⎝
⎞
⎟
⎟
⎠
Tr −T ∞
Tt − T∞
O factor de recuperação é uma função fraca de Tr e de T∞ e, no caso do ar (com Pr = 0.72), com boa
aproximação é dado por
⎧⎪r = Pr = 0.85 (laminar)
(ar ) ⎨
⎪⎩r = 3 Pr = 0.90 ( turbulento)
Sob tais condições, a energia total do escoamento
dentro da camada limite é constante e o efeito
combinado da condução e da viscosidade é um
défice de energia perto da parede, compensado por
um excesso na região exterior da camada limite. Se
Tw ≠ Tr, verifica-se convecção forçada entre a
corrente de fluido e a parede: se Tw < Tr, o calor flui
do escoamento para o corpo e este aquece; se Tw >
Tr, o calor flui do corpo para o escoamento e o corpo
arrefece, pois a transferência de calor é governada
por:
q&( x) = k
∂ T ( x, y )
∂y
y
T∞
δT
Tw
Tw<T∞
Tw=T
Tr>Tw>T
aqº. da parede
y =0
parede isolada
Tw=Tr Tw>Tr
arrefº.da
parede
É o declive junto à parede do perfil de
temperatura que determina a existência de troca de calor com a parede e o seu sentido – aquecimento ou
arrefecimento da parede. Na prática não existem paredes isoladas: o calor é conduzido da parede para a
estrutura interna ou transmitido para fora por radiação, fazendo com que a parede nunca seja perfeitamente
isolada.
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escoamentos com transferência de calor 4
TRANSFERÊNCIA DE CALOR EM PLACAS PLANAS
Camada Limite Laminar
Considere-se uma placa plana à
temperatura uniforme Tw, sujeita a um
escoamento (U∞, T∞) incompressível uniforme,
permanente e paralelo à placa. Ao longo da
placa desenvolve-se uma região onde a
temperatura do fluido é T(x, y) ≠ T∞. Esta
região é a camada limite térmica e a sua
espessura δT cresce a partir do início da placa.
A espessura (local) da camada limite
térmica define-se tal que:
y
θ∞
T∞
U∞
T∞
δT
T (x, y)
θ (x, y)
0
x
Tw
T ( x, δ T ) = 0.99 T∞
Uma vez que u(x, 0) = 0, a natureza do transporte de energia é essencialmente condutiva junto à parede,
tornando-se cada vez mais convectiva à medida que aumenta a distância à parede.
Define-se uma temperatura adimensional, o excesso de temperatura:
T ( x , y ) − Tw
θ ( x, y ) ≡ˆ
T∞ − Tw
Para um escoamento como o acima descrito, admitindo que as propriedades do fluido são constantes e
desprezando quer as forças mássicas quer a dissipação viscosa (válido para baixas velocidades), resulta que
se Pr = 1 então o perfil do excesso de temperatura é idêntico ao perfil de velocidade e δT = δ ; se Pr ≠ 1
então existe uma escala de semelhança entre os perfis. Ora para a maioria dos gases 0.6 ≤ Pr ≤1 e portanto a
hipótese de perfis idênticos pode ser adoptada para gases a baixa velocidade e δT = δ. No entanto, para os
líquidos viscosos Pr >>1 e δT < δ; nos metais líquidos Pr <<1 e δT > δ.
Adoptando o perfil de velocidades laminar, a análise de Pohlhausen para um Pr arbitrário fornece os
valores locais de Nu (cobrindo os gases e muitos líquidos):
⎧Re < 5 × 10 5
h x
Nu x ≡ˆ x = 0.332 Re1x 2 Pr 1 3
válido para ⎨ x
k
⎩0.6 ≤ Pr ≤ 10
para Pr muito elevados:
⎧Re < 5 × 10 5
Nu x = 0.339 Re1x 2 Pr 1 3
válido para ⎨ x
⎩Pr → ∞
A partir destas expressões, o coeficiente de transferência é dado por
hx =
k
Nu x
x
Para a totalidade duma placa de comprimento L, o coeficiente médio de transferência de calor é:
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~
Nu L = 0.664 Re1L 2 Pr 1 3
⎧Re < 5 × 10 5
válido para ⎨ x
⎩0.6 ≤ Pr ≤ 1
~
Nu L = 0.678 Re1L 2 Pr 1 3
⎧Re < 5 × 10 5
válido para ⎨ x
⎩Pr → ∞
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escoamentos com transferência de calor 5
~
Nu
L = 2Nu L
Notar que
~
hL = 2h L
~
Se a largura da placa for b, a transferência de calor é dada por Q&= hL L b (Tw − T∞ )
A espessura da camada limite térmica é δ T ( x) =
δ ( x)
Pr 1 3
com δT = δ para Pr = 1. No bordo posterior da placa, a espessura é δ T ( L) =
4.96 L
Re1 2 Pr 1 3
Temperatura de Película – quer a análise de Pohlhausen quer o método integral consideram constantes as
propriedades do fluido. Ora no que respeita à condutibilidade térmica k, é uma função fraca da temperatura
para os líquidos e função moderada para os gases. No entanto, tanto num caso como no outro, a variação de k
para uma variação de 50 C na temperatura é muito pequena. Conclui-se ser razoável admitir k = conste. na
grande maioria dos casos.
Quanto à viscosidade cinemática ν, é também função fraca da temperatura para os gases e função
moderada para os líquidos. Quer num caso quer no outro, a hipótese ν = conste. é razoável desde que as
variações de temperatura sejam moderadas.
A alternativa é explicitar k(T) e ν(T) e utilizar soluções numéricas da Mecânica dos Fluidos
Computacional. Não sendo o caso, então é necessário um critério razoável para definir uma temperatura de
referência à qual se avaliam as propriedades: a temperatura pelicular (film temperature)
Tf ≡ˆ
T w +T∞
2
Camada Limite Turbulenta
A transição laminar-turbulento dá-se a Re = 2 ∼ 5×105. Das expressões para o coeficiente de atrito cfx:
0.0296
⎧
23
(5 × 10 5 < Re x < 5 × 10 7 )
⎪ j H = St x Pr = Re1 5
⎪
x
⎨
0.185
⎪ j = St Pr 2 3 =
(10 7 < Re x < 10 9 )
H
x
2
.
584
⎪⎩
(log Re x )
com as propriedades do fluido avaliadas à temperatura pelicular.
Correlação de Whitaker:
Nu x = 0.029 Re 0x.8 Pr 0.43
(2 × 10 5 < Re x < 5 × 10 5 )
com as propriedades do fluido avaliadas à temperatura pelicular; para a placa inteira:
~
Nu L = 0.036 Re 0L.8 Pr 0.43
(2 × 10 5 < Re x < 5 × 10 6 )
Estas duas expressões pressupõem:
– camada limite turbulenta desde o início da placa;
– placas muito longas com transição precoce;
– ou placas curtas com a transição na origem do eixo xx.
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escoamentos com transferência de calor 6
CONVECÇÃO FORÇADA SOBRE CORPOS
No escoamento forçado sobre corpos inevitavelmente há separação da camada limite e portanto também
há arrasto de forma. As analogias atrito-transferência de calor só se podem aplicar quando o arrasto é
exclusivamente devido ao atrito superficial (skin-friction drag) e portanto não servem. Por outro lado, os
processos de transição e de separação provocam grandes variações de h no contorno do cilindro. Por estas
razões, só existem correlações empíricas para a transferência de calor.
Algumas Correlações (fornecem Nu medio)
Cilindro isolado em corrente cruzada
Cilindros circulares
Ar: correlação de MacAdams
Gás ou líquido, erro ≤ 25%: correlação de Whitaker
Mais geral, 102< Re <107 e Pe = Re.Pr>0.2 (número de Pectet): correlação de Churchill e Bernstein
Pe<0.2: correlação de Nakai e Okazabi
Cilindros não circulares
Ar, quadrados, losangos: correlação de Max Jacob
Esfera isolada
Líquidos: correlação de Vliet e Leppert
Esc. Gasosos muito lentos: correlação de Johnston
Ar e outros gases, Pr≅1: correlação de MacAdams
Gases e líquidos: correlação de Whitaker
Exemplo
Calcular a taxa de transferência de calor por metro de comprimento dum tubo circular de 1/2“ DI que
transporta refrigerante a -20 C, submetido a uma corrente cruzada de ar a 15 C e 20 m s-1.
Resposta ≅ 207.0 W m −1
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escoamentos com transferência de calor 7
ESCOAMENTOS CONVECTIVOS NATURAIS
(Convecção Natural)
Situação: uma diferença significativa entre a temperatura duma parede sólida parede e a temperatura média
do fluido em contacto.
Diferenças entre Convecção Forçada e Convecção Natural ou Livre
Motor do escoamento
CF – forças exteriores aplicadas
CN – forças de impulsão fluidostática, devidas à variação de densidade provocadas pelo aqº./arrefº. do
fluido
Tipo de escoamento
CF – corrente uniforme a infinito U∞
CN – escoamento local no seio dum fluido em repouso.
Perfis de velocidade e de temperatura
CF – assumindo propriedades constantes (a baixa
velocidade), os perfis de velocidade são
independentes dos perfis de temperatura
CN – os perfis de velocidade e de temperatura estão
acoplados.
U∞
Força actuante do movimento do fluido na CN – força de
impulsão fluidostática devida ao gradiente de temperatura. Por UDV: ( g ∆ ρ ), com
∆ ρ ≅ − ρ β ∆T
onde β é o coeficiente de dilatação volumétrica (= 1/T para um gás perfeito).
Quando se gera uma diferença de temperaturas no fluido, cria-se uma diferença
de densidades e a força de impulsão resultante desencadeia o movimento do
fluido.
Corpo quente
Lei de Newton do arrefecimento: um corpo no ar parado arrefece enquanto a
temperatura Ts da sua superfície As exceder a do fluido não perturbado (Ts > T∞)
– ou aquece enquanto Ts < T∞: Q&conv. nat. = h As (Ts − T∞ )
Sem convecção natural, o corpo arrefeceria (ou aqueceria) muito mais
lentamente, apenas por condução e radiação.
Corpo frio
Parede Vertical mais Quente (a) ou mais Fria (b) que o Fluido
A diferença de temperaturas promove
transmissão de calor por condução entre a parede e
o fluido, gerando um gradiente de temperatura
segundo a normal à parede. Por sua vez, este
provoca um gradiente de densidade, do qual resulta
uma força de impulsão, responsável pelo
movimento.
Espessuras das Camadas Limite
CF – u (δ ) = U ∞
CN – u (δ ) = 0
Ts
T∞
x
u
u
x
T∞
Ts
U ∞= 0
Velocidades em jogo – CN << CF e portanto:
Transferência de Calor – CN < CF
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(a)
(b)
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escoamentos com transferência de calor 8
Exemplos de Aplicação – no efeito de chaminé, em aparelhos de aquecimento a água ou óleo, em
serpentinas de refrigeração ou de condensadores de refrigeradores domésticos.
Número de Grashof e Critérios de Convecção
Número de Reynolds (relação força de inércia/força viscosa)
Re ≡ˆ
Número de Grashof (relação força líquida de impulsão/força viscosa) Gr =
ρU 2 L ρ U L U L
=
=
µ
ν
µU L2
gβ (Ts − T∞ ) δ 3
ν2
(o número de Grashof está para a convecção livre assim como o número de Reynolds para a convecção
forçada)
Critério discriminador do mecanismo predominante (convecção livre ou convecção forçada): balanço ou
razão entre a força líquida de impulsão e a força de inércia:
g ∆ρ
g (∆ρ ρ ) L ⎡ g (∆ρ ρ ) L3 ⎤ ν 2
F. líq.impulsão/UDV
Gr
=
=
=⎢
⎥ 2 2 =
2
2
2
F.inércia/UDV
U
Re 2L
ρU L
ν
⎣
⎦U L
0.1 < Gr/Re2 < 10
Nu = f (Re, Gr, Pr) e os efeitos da convecção natural e da convecção
forçada são da mesma ordem, sendo necessário considerar ambos os
mecanismos.
Gr/Re2 > 10
Nu = f (Gr, Pr) e a convecção livre é dominante. Define-se um
agrupamento dimensional conveniente:
Número
de
Rayleigh:
Ra ≡ˆ Gr.Pr e Nu = f (Ra, Pr)
(gases)
Na convecção natural de gases (Pr ≅ 1) Nu = f (Gr)
Gr/Re2 < 0.1
N u = f (Re, Pr) e domina a convecção forçada
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Sequeira Cardoso
escoamentos com transporte de massa 1
TRANSPORTE DE MASSA
Os Mecanismos de Transferência de Massa
Os processos de transferência de massa duma substância no seio dum fluido ocorrem com
muita frequência:
−
−
−
−
−
−
−
−
A evaporação ou a condensação à superfície dum tubo ou duma placa;
A evaporação na superfície livre dum líquido;
Os processos de sorção e dessorção gasosa, de destilação, de secagem, de humidificação, etc.;
Todos os processos de combustão;
Os processos de humidificação e desumidificação em AVAC;
O desarejamento da água de alimentação de caldeiras;
A oxigenação do sangue e as trocas gasosas pulmonares;
O arrefecimento ablativo e transpirativo nas blindagens dos veículos de reentrada na atmosfera, etc.
O processo de transporte de massa nos meios contínuos homogéneos (um único componente) é actuado
unicamente pelos gradientes locais de pressão e de temperatura, que originam fluxos de quantidade de
movimento e de calor, respectivamente. Mas quando se trata de misturas é necessário considerar um outro
tipo de motor, que desencadeia o transporte dum componente da mistura de uma região em que a sua
concentração é elevada para outra em que é baixa: trata-se também de um processo de transferência de
massa.
Os mecanismos de transferência de massa dividem-se assim em dois modos de transporte distintos: a
transferência de massa molecular e a transferência de massa convectiva.
Os mecanismos de transporte difusivo são:
- A difusão molecular (ou vulgar difusão), devida a gradientes de concentração;
- A difusão térmica, devida a gradientes de temperatura;
- A difusão por pressão, devida a gradientes de pressão;
- A difusão forçada, devida a outras forças externas (excluindo a gravidade).
e os de transporte convectivo:
-
A convecção forçada;
A convecção natural ou livre;
por turbulência, devida a movimentos turbulentos no seio dum fluido;
de interface, devida a condições de não-equilíbrio termodinâmico numa interface.
Embora muitas vezes ocorram simultaneamente os dois modos (convectivo e difusivo), geralmente um
deles é dominante; por outro lado, são melhor compreendidos se estudados em separado.
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escoamentos com transporte de massa 2
Sequeira Cardoso
TRANSPORTE CONVECTIVO DE MASSA
Introdução
Considere-se os seguintes processos:
a evaporação dum líquido numa poça ou num recipiente aberto, expostos a uma brisa;
a secagem de corpos porosos molhados ao vento (por exemplo, roupa);
a secagem de tubos molhados interiormente por insuflação de ar seco.
Todos eles são casos de transporte de massa por convecção. O motor do transporte de massa
convectivo da espécie A por um escoamento da espécie B é a diferença de concentração volúmica ou massa
específica entre ρA,s na interface (superfície livre ou superfície do corpo poroso ou molhado) e ρA,∞ na
corrente não perturbada longe da superfície:
N As = k c ( ρ As − ρ A∞ ) [kg.m-2.s-1]
B
ρA,∞
U∞
T∞
ρA∞
ρA,s
ρA∞
NA,s
δc
A
m&A,conv =
Rdif
ρA,s
em que: NA,s é a quantidade de A que abandona
a interface e é arrastada por B, por unidade de
área de interface e por unidade de tempo; kc
[m.s-1] é o coeficiente de transferência de
massa convectivo, que depende da geometria
da interface (plana, cilíndrica, etc.) e duma
dimensão característica, da difusividade
mássica de A em B e de parâmetros
adimensionais
caracterizadores
do
escoamento. Por unidade de tempo e para toda
a área da interface, vem:
ρ A, s − ρ A, ∞
R conv(m )
e a resistência à convecção de massa é
R conv(m) ≡ˆ
1
k c As
Forma-se uma camada limite de concentração, no interior da qual a concentração varia de ρA,s à
superfície até ρA,∞ a uma distância δc da superfície, que é a espessura desta camada limite.
A natureza da camada limite de concentração está intimamente ligada à natureza da camada limite de
velocidade (perfis de velocidade).
Definição: transporte de massa entre a fronteira duma superfície e um fluido em movimento, ou entre dois
fluidos em movimento relativamente imiscíveis.
Natural ou forçada: se o motor do movimento for respectivamente um gradiente de densidade ou um
gradiente de pressão.
N A, s
Problema em causa: determinar o coeficiente de transferência de massa convectivo k c ≡ˆ
ρ A, s − ρ A, ∞
– função das propriedades do fluido, da dinâmica do escoamento e da sua geometria; funcional e
q&
formalmente análogo ao coeficiente de transferência de calor convectivo h ≡ˆ
T − T∞
Taxa de transferência de massa:
m&conv = k c As ( ρ A, s − ρ A, ∞ ) = k c ρ As ( x A, s − x A, ∞ )
ρ – massa volúmica média da mistura na película (convecção natural) ou camada limite (convecção forçada)
de concentração;
As – área da superfície de transferência;
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escoamentos com transporte de massa 3
Sequeira Cardoso
xA,s – fracção mássica à superfície da espécie sujeita à transferência de massa;
xA,∞ – fracção mássica da mesma espécie fora da película ou camada limite de concentração (a diferença
entre estes dois valores representa a variação através da película ou camada limite)
Motor do processo de transferência de massa convectiva: as diferenças de concentração (como as de
temperatura o são na transferência de calor).
TRANSPORTE DE MASSA POR CONVECÇÃO FORÇADA SOBRE UMA PLACA PLANA
B
1
T∞
ρ∞
U∞
δc
y
x
vs
A
Solução exacta: só laminar (Re < 5×105). .
Camada limite de concentração ρA(y) (análoga à camada limite hidrodinâmica u(y) [u(0) = 0, u(δ)= U∞] e à
camada limite térmica T(y) [T(0) = Ts, T(δt)= T∞])
ρ A ( 0) = ρ A , s
ρ A (δ c ) = ρ A, ∞
Números de Prandtl, Schmidt e Lewis
υ difusiv e . da QdM
Pr ≡ˆ =
– existe semelhança física entre o transporte de QdM e o transporte de calor
α difusiv e . do calor
quando estes se difundem à mesma velocidade, ou seja quando as respectivas difusividades são iguais: ν =α
e portanto Pr = 1.
Existe semelhança entre o transporte de QdM e o transporte de massa quando as respectivas difusividades
são iguais, ou seja quando ν = DAB. A relação entre estas difusividades traduz-se pelo número de Schmidt,
υ
difusiv e . da QdM
=
Sc ≡ˆ
D AB difusiv e . da massa
e para que aquela semelhança exista é necessário que Sc = 1.0.
Existe semelhança física entre o transporte de calor e o transporte de massa quando as respectivas
difusividades são iguais, ou seja quando α = DAB. A relação entre estas difusividades traduz-se pelo número
de Lewis,
α
Sc
difusiv e . do calor
=
=
Le ≡ˆ
Pr D AB difusiv e . da massa
e para que esta semelhança exista é necessário que Le = 1.0.
Estas semelhanças tornam possível adaptar à transferência de massa a solução exacta de Blasius para uma
camada limite laminar incompressível, nas seguintes condições:
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escoamentos com transporte de massa 4
Sequeira Cardoso
Sc = Pr = 1
o valor da transferência de massa à superfície NAs é tão baixo que não altera o perfil de velocidades,
permitindo desprezar o movimento em bloco segundo yy (v = 0).
Solução:
N A, s = D AB ( ρ A, s − ρ A, ∞ ) (0.332 Re1x 2 )
Sh x ≡ˆ
Número de Sherwood (um agrupamento adimensional prático):
Sh x = 0.332 Re1 2
(para Sc = 1)
Sh x = 0.332 Re1 2 Sc1 3
(para Sc > 0.6)
Taxas de TM elevadas:
(ex.º: evaporação dum líquido volátil)
vs positivo no caso de injecção e negativo para sucção; a constante 0.332
é substituída por outro valor da tabela e
kc x
= (declive) s Re1 2 Sc1 3
D AB
kc x
D AB
vs
Re1x 2
U∞
Sucção
Imperm.
Injecção
0.6
0.50
0.25
0.0
-2.5
(decle.)s
0.01
0.06
0.17
0.332
1.64
Coeficiente médio de transferência de massa para uma placa de comprimento L:
~
k c = 2k c x = L
~
~
k L
Sh L ≡ˆ c = 2 × (declive) s Re1L 2 Sc1 3
D AB
Tf =
Propriedades do fluido avaliadas à condição de película:
ρ A, f
Ts + T∞
2
ρ A , s + ρ A ,∞
=
2
kc x
= 0.029 Re 4x 5
D AB
~
~
kc L
Sh L ≡ˆ
= 0.037 Re 4L 5
D AB
Sh x ≡ˆ
Camada limite turbulenta sobre uma placa plana:
Camada limite laminar + turbulenta:
5
Com Retrans = 5×10 :
[
(
(com Sc = 1)
~ D
2
5
+ 0.037 Re 4L 5 − Re 4trans
k c = AB 0.664 Re1trans
L
)] com Sc = 1
~
~
kc L
= 0.037 Re 4L 5 − 840
Sh ≡ˆ
D AB
Exemplo
Estimar a taxa de evaporação duma poça de gasolina com 2 m de comprimento e 5mm de espessura,
sujeita a uma brisa de ar seco a 25 km/h e21 C .
(A solução é 1.261×10-6 m3.m-2s-1, ou ainda 4.54 litro.m-2hr-1)
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CORRELAÇÕES POR ANALOGIA COM A TRANSFERÊNCIA DE CALOR
TRANSPORTE DE MASSA POR CONVECÇÃO FORÇADA:
⎧~
k D
⎪Sh D ≡ˆ c = f ( Re D , Sc)
DAB
⎪
⎨
⎪~
kc x
⎪Sh x ≡ˆ D = f (Re x , Sc)
AB
⎩
com
ρ A, 1 + ρ A, 2
⎧~
⎪⎪ ρ A, b ≡ˆ
2
⎨
⎪ ρ~ ≡ˆ ρ A, s + ρ A, ∞
⎪⎩ A, f
2
− escoamentos internos
− escoamentos externos
− escoamentos internos (condição de mistura)
− escoamentos externos (condição de película)
(1 e 2 referidos à secção de entrada e de saída)
Desde que a taxa de transferência de massa for pequena, aplicam-se as correlações para a transferência de
calor convectiva em contexto idêntico, substituindo o número de Nusselt Nu pelo número de Sherwood Sh
e o número de Prandtl Pr pelo número de Schmidt Sc:
Conv. Forçada
Conv. Natural
Transfª. de Calor
Nu = f1 (Re, Pr)
Nu = f2 (Gr, Pr)
Transfª. de Massa
Nu = f1 (Re, Sc)
Nu = f2 (Gr, Sc)
O número de Sherwood está para a transferência de massa como o de Prandtl para a transferência de
k x
calor. Obtidos os valores de Sh, o coeficiente de transferência kc tira-se de Sh x ≡ˆ c
D AB
Correlações seguintes: válidas se as taxas de transferência de massa forem suficientemente pequenas
(para não alterarem significativamente a camada limite hidrodinâmica e nomeadamente o seu perfil de
velocidade)
Convecção Forçada sobre uma Placa Plana
processo de evaporação numa placa plana, com Sc > 0.6
~
⎧⎪0.664 Re 0L.5 Sc1 3
Sh L = ⎨
⎪⎩0.037 Re 0L.8 Sc1 3
(escº. laminar, Re L < 5 × 10 5 )
(escº. turbulento, 5 × 10 5 < Re L < 10 7 )
TRANSPORTE DE MASSA POR CONVECÇÃO NATURAL
Número de Grashof:
Gr =
g ( ρ A, s − ρ A, ∞ ) L3
ρf ν2
Nos fluidos homogéneos (fluidos sem gradientes de concentração) as diferenças de densidade motores do
processo são provocadas apenas pelas diferenças de temperatura e pode-se substituir (∆ρ /ρ) por (β ∆T), se
tal for conveniente:
g β (Ts − T∞ ) L3
Gr =
2
ν
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Nos fluidos não homogéneos, as diferenças de densidade são provocadas pelos efeitos combinados das
diferenças de temperatura e das diferenças de concentração; (∆ρ /ρ) não pode ser substituído por (β ∆T) –
mesmo quando apenas se pretende calcular a transferência de calor por convecção natural. A convecção
natural actuada por gradientes de concentração (e não por gradientes de temperatura) baseia-se na diferença
entre as densidades dos componentes da mistura. Isto significa que, em condições isotérmicas, numa mistura
gasosa composta por gases com massas moleculares iguais ou aproximadamente iguais não há convecção
natural.
A evaporação da água num tanque corresponde ao processo de convecção natural a partir da face superior
quente duma placa horizontal, porque o vapor de água (MH2O = 18.02 kg.kmol-1) é mais leve que o ar (Mar =
28.9644 kg.kmol-1) e o vapor tende a subir. Mas se em vez de água for gasolina (Mgas = 114 kg.kmol-1) o
vapor não sobe (ρmist > ρar) – a não ser que a temperatura da mistura ar-gasolina na película à superfície seja
tão elevada que a dilatação térmica β compense a diferença de densidades devida à elevada concentração de
gasolina à superfície.
Convecção Natural sobre Superfícies
~ ⎧⎪0.59 (Gr Sc)1 4
Sh = ⎨
⎪⎩0.1(Gr Sc)1 3
▪ Placas Verticais
(10 5 < Gr Sc < 10 9 )
(10 9 < Gr Sc < 1013 )
~ ⎧⎪0.54 (Gr Sc)1 4 (10 4 < Gr Sc < 10 7 )
Sh = ⎨
⎪⎩0.15 (Gr Sc)1 3 (10 7 < Gr Sc < 1011 )
~
Sh = 0.27 (Gr Sc)1 4 (10 5 < Gr Sc < 1011 )
▪ Face Superior duma Placa Horizontal
▪ Face Inferior duma Placa Horizontal
TRANSFERÊNCIA SIMULTÂNEA DE CALOR E MASSA (TM INTERFÁSICA)
Evaporação da água dum tanque ou piscina:
Em geral o calor é roubado ao ar por convecção. Da analogia de Chilton-Colburn:
⎞ ⎛ pv, s − pv, ∞ ⎞
⎟
⎟⎟ ⎜
⎜
⎟
p
c p Le
⎠⎝
⎠
h As h fg ⎛ M v ⎞ ⎛ p v , s − p v , ∞ ⎞
⎟
⎜
⎟⎜
Q&=
[com hfg(Ts)]
⎟
p
c p Le 2 3 ⎜⎝ M a ⎟⎠ ⎜⎝
⎠
As h fg ⎛ M v ⎞ ⎛ p v , s − p v , ∞ ⎞
⎟
⎜
⎟⎜
Temperatura à superfície do líquido: Ts = T∞ −
⎟
p
c p Le 2 3 ⎜⎝ M a ⎟⎠ ⎜⎝
⎠
m&v =
h As
23
⎛ Mv
⎜⎜
⎝ Ma
(Le pode ser tomado como a unidade, mas para resultados mais exactos → valor real)
O TRANSPORTE DIFUSIVO DE MASSA
Considere-se os seguintes processos:
a evaporação dum líquido dum recipiente aberto, em ar calmo;
a secagem ao ar de troncos de madeira;
a fuga natural de ar através da borracha dum pneu;
a cementação dum aço;
a diluição de gás no interior duma habitação, após uma fuga;
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a evaporação da água contida numa bilha de barro arrolhada;
a infiltração em profundidade no solo dum líquido corrosivo derramado à superfície;
a migração de vapor de água através da parede duma habitação.
Todos eles são casos dum único mecanismo: a difusão molecular – geralmente designado apenas por
difusão. Ao passo que o transporte de calor por condução está directamente relacionado com o gradiente da
temperatura, o motor do transporte de massa difusivo da espécie (substância) A no seio doutra espécie B está
ligado directamente ao gradiente da sua concentração mássica ωA [kgA/kgmistura A+B] (lei de Fick):
m&A, dif ∝ − ∇ω A = −grad ω A
Considere-se uma parede de espessura e e área As: a concentração
mássica de vapor de água nas faces interna e externa da parede vale
ωA1 e ωA2, respectivamente. A massa específica ρ da mistura (vapor
de água + parede) é geralmente tomada como igual à massa
específica da parede, já que esta é muito maior que a do vapor.
Admitindo que o gradiente da concentração mássica de A é
constante, a quantidade de humidade que atravessa a parede por
unidade de tempo é:
ω A, 1 − ω A, 2
m&A, dif = ρ D AB As
e
em que DAB [m2.s-1]é a difusividade mássica de A (neste caso, o
vapor de água) em B (a parede). Fazendo
x
ωA1
ωA2
e
m&A
ωA1
Difusão a
1 atm
nos
de
Carbono
em
ferro
sólidos
Hidrogénio
Oxigénio
Azoto
Amoníaco
ferro
borracha nat.
borracha nat.
Dióx. carbono
líquidos
gases
Cloro
Glucose
Metano
Azoto
Oxigénio
água
água
etileno glicol
etanol
metanol
Amoníaco
Cloro
Vapor água
Naftaleno
ar
T
500 C
1000
C
25 C
25 C
25 C
12 C
25 C
25 C
25 C
20 C
25 C
25 C
25 C
25 C
25 C
25 C
0C
25 C
27 C
ωA2
Rdif
DAB (m2/s)
5.0×10-15
3.0×10-11
m&A, dif =
ω A, 1 − ω A, 2
-13
2.6×10
2.1×10-10
1.5×10-10
1.6×10-9
2.0×10-9
1.4×10-9
0.69×10-9
1.5×10-9
2.6×10-9
2.4×10-9
0.18×10-5
1.2×10-5
1.8×10-5
2.6×10-5
1.2×10-5
2.5×10-5
0.62×10-5
R dif
a resistência à difusão é
e
R dif ≡ˆ
ρ D AB As
A difusividade mássica binária é função
das duas substâncias em causa, da pressão e
da temperatura. Aumenta com a temperatura
e é muito pequena nos sólidos, maior nos
líquidos e ainda maior nos gases. Nos gases
que possam ser considerados perfeitos, DAB
= DBA.
A Transferência de Massa por Difusão Molecular
O mecanismo de transporte difusivo mais importante é o da difusão molecular ou difusão vulgar.
Quando a transferência de massa ocorre num fluido em repouso, a massa é simplesmente transferida pela
difusão molecular provocada pelos gradientes de concentração e o processo é análogo à difusão do calor
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escoamentos com transporte de massa 8
devida aos gradientes de temperatura; quando o fluido está em movimento, a transferência de massa ocorre
não só pelo mecanismo da difusão mas também pelo movimento convectivo da massa do fluido.
Na difusão térmica duma mistura binária, o motor do processo são os gradientes de temperatura: as
moléculas de um dos componentes migram para a região quente, enquanto que as moléculas do outro
componente dirigem-se para a região fria (efeito Soret); inversamente, um gradiente de concentração tende a
gerar um gradiente de temperatura (efeito Dufour). A difusão térmica é utilizada na separação de isótopos.
A difusão por pressão é actuada pelos gradientes de pressão, por exemplo num poço
profundo fechado (gradiente de pressão hidrostática) ou numa centrifugadora para separação de
soluções líquidas ou de isótopos gasosos: o componente mais leve migra para a região de baixa
pressão.
Em geral despreza-se a difusão térmica e a difusão por pressão, a não ser que os gradientes
sejam muito intensos.
A difusão forçada ocorre quando sobre a mistura ou solução age um campo de forças
exteriores (electrostático, magnético, etc., à excepção do gravitacional) tal que a força do campo
actua diferenciadamente sobre os componentes da mistura, separando da mistura moléculas
electrizadas ou magnetizadas – como por exemplo na migração dos iões num electrólito devida a
um campo eléctrico.
Quando ocorre um destes três últimos processos difusivos (térmico, por pressão e forçado)
cria-se um gradiente de concentração que provoca difusão vulgar (molecular) em sentido oposto.
Quando o sistema atinge um estado estacionário, os fluxos dos dois (ou mais) tipos de difusão
compensam-se mutuamente, fazendo com que as propriedades num ponto fixo não variem no
tempo.
Existem ainda outros mecanismos difusivos, que não serão aqui considerados: a difusão de
Knodsen que ocorre quando num sólido poroso (por exemplo, sílica-gel) as dimensões dos poros
são inferiores ao livre percurso molecular, despreza-se as colisões moleculares e o processo difusivo
considera-se um escoamento molecular livre. Quando as dimensões das moléculas gasosas são da
mesma ordem que a dimensão dos poros, as moléculas adsorvidas deslocam-se ao longo das
paredes dos poros – difusão superficial.
As partículas de diâmetro inferior a 0.1 µm (neblina, partículas de cinzas, etc.) actuam como
grandes moléculas e os gradientes de concentração desencadeiam o processo difusivo – movimento
browniano. As partículas de diâmetro superior a 0.1 µm não são afectadas e subordinam-se
dinamicamente à lei de Newton.
No que segue apenas se considera a difusão molecular e despreza-se os restantes mecanismos
que foram mencionados.
Se as concentrações no fluido e os fluxos de transferência forem baixos, os processos
convectivos de transferência de massa são análogos aos de transferência de calor e são aplicáveis os
resultados aí encontrados, mas a analogia cessa se as concentrações ou os fluxos forem elevados ou
se ocorrerem reacções químicas.
A difusão molecular ocorre nos gases, nos líquidos e nos sólidos (soldadura, tratamentos térmicos, etc.).
Devido à distância entre moléculas, é muito mais rápida nos gases que nos líquidos e mais rápida nos
líquidos que nos sólidos.
Exemplo
Determinar a fracção molar do vapor de água junto à superfície dum lago, que está a 15 C e comparar
com a fracção molar da água no lago. A pressão atmosférica é 92 kPa.
Desprezando os sólidos e os gases dissolvidos, a fracção molar da
água do lago junto à superfície é 1.0 (100 %). Na atmosfera, junto à
superfície, o ar está saturado de humidade e portanto
x H 2O – ar satº.
x H 2O = 1.0 – água
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escoamentos com transporte de massa 9
pv = p g (15 C) = 1.705 kPa
x vap. H 2O =
pv
1.705
=
= 0.0185
patm
92
(ou seja 1.85 %). Realça-se a grande queda da fracção molar duma espécie através duma fronteira de fase.
Primeira Lei de Fick da Difusão Molecular: Numa mistura binária cuja composição varia ao longo duma
direcção zz e com difusão molecular devida aos gradientes de concentração, os fluxos de difusão são
proporcionais aos gradientes de concentração (Primeira Lei de Fick da Difusão):
⎧
⎪ J A = − ρ D AB
⎪
⎨
⎪J = −ρ D
BA
⎪⎩ B
d xA
dz
d xB
dz
e onde
- o sinal (–) significa que um gradiente positivo implica um fluxo retrógrado;
- DAB (m2.s-1) é a difusividade mássica ou coeficiente de difusão de A em B. Notar que é:
D AB = D BA = D
Se a massa volúmica ρ da mistura for constante, (6.23) fica:
J A = − D AB
d ρA
dz
que, no caso dum gás perfeito, fica
D AB
⎧
⎪J A = − r T
⎪
A
⎨
⎪ J = − D AB
⎪⎩ A
RT
d pA
dz
d pA
dz
)
com a constante de gás perfeito do gás em questão rA ≡ R M A
[kJ.kg-1.K-1]
onde R = 8.31432 kJ.kmol-1.K-1 é a constante dos gases perfeitos. A pressão parcial do componente A é:
p A = c A RT = x A p = p − p B
[kPa]
Convém realçar a analogia da Primeira lei de Fick com a lei de Fourier da condução (fluxo de calor),
q&= − k
dT
d
= −α
(ρ c pT )
dx
dx
[W.m-2]
e com a lei de Newton da dinâmica (fluxo de quantidade de movimento):
τ = −µ
du
d
= −ν
(ρ u)
dy
dy
[Pa]
A difusividade mássica D, a difusividade térmica α e a difusividade mecânica ν (ou viscosidade
cinemática) têm as mesmas dimensões [m2.s-1] e as equações de definição são formalmente análogas.
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escoamentos com transporte de massa 10
Sequeira Cardoso
O Coeficiente de Difusão
A difusividade mássica ou coeficiente de difusão duma é uma propriedade dum sistema dependente da
pressão, da temperatura e da sua composição. A difusividade mássica é maior nos gases, nos líquidos é
várias ordens de grandeza inferior e nos sólidos ainda é mais baixa. Nos sólidos e líquidos, depende muito da
composição – sendo os resultados apenas experimentais, e aumenta com a temperatura: a difusividade do
carbono no ferro aumenta 6000 vezes quando a temperatura passa de 500 C para 1000 C (operações de
cementação)
Difusividade dos Gases
Com base na Teoria Cinética dos Gases, a expressão de Gilliland utiliza os volumes atómicos ou
moleculares dos constituintes:
D AB =
onde
KT32
p (V A1 3
+ V B1 3 ) 2
1
1
+
MA MB
[m2.s-1]
K = 6.811×10-10 (com a pressão em atm) ou 6.901×10-6 (com a pressão em kPa)
T [K] – temperatura da mistura
p [atm ou kPa] – pressão da mistura
Difusividade no ar, a 1 atm
M [kg.kmol-1] – massa molecular
V [m3.kmol-1] –volume atómico ou molecular
Dgás-ar
T
Para pressões inferiores a 20 atm (≅2 MPa), a Teoria Cinética
dos Gases fornece uma expressão para a difusividade mássica dos
gases, baseada no diâmetro de colisão e num parâmetro dependente
da temperatura e das forças intermoleculares: pela sua
complexidade não é aqui transcrita. No entanto, da Teoria Cinética
dos Gases extrai-se uma conclusão importante:
D AB ∝ (T 3 2 p )
ou seja, conhecido o valor da difusividade mássica à pressão p1 e
temperatura T1, a difusividade às condições (p2, T2) é dada por
D AB , 2
⎛ p ⎞⎛T ⎞
= D AB ,1 ⎜⎜ 1 ⎟⎟ ⎜⎜ 2 ⎟⎟
⎝ p 2 ⎠ ⎝ T1 ⎠
32
Numa mistura gasosa (A+B) em que ambos os componentes
possam ser considerados gases perfeitos, é:
D AB = D BA
As tabelas ilustram a difusividade de várias substâncias no ar
a 1 atm e a difusividade de misturas gasosas a 1 atm.
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Substância
Acetona
Amoníaco
Benzeno
Cloro
Clorofórmio
Dióxido
de
carbono
Dióxº. enxofre
Etanol
Éter etílico
Hélio
Hidrogénio
Iodo
Metanol
Mercúrio
Naftaleno
Oxigénio
Tolueno
Vap. de água
[m2/s]×105
1.1
1.98
2.6
0.77
0.962
1.24
0.91
1.36
1.6
1.22
1.32
0.93
7.2
6.12
7.2
0.834
1.6
4.73
0.611
1.75
2.1
0.844
2.5
[C]
0
0
25
0
25
0
0
0
25
0
25
25
25
0
25
25
25
341
25
0
25
25
25
escoamentos com transporte de massa 11
Sequeira Cardoso
Difusividade de misturas gasosas a 1 atm
de
em
Árgon
Dióxido
carbono
de
Hidrogénio
Monóxido
carbono
de
Oxigénio
Vapor de água
Azoto
Azoto
Benzeno
Hidrogénio
Oxigénio
Vap. de água
Azoto
Dióxido de carbono
Metano
Oxigénio
Hidrogénio
Oxigénio
Amoníaco
Azoto
Benzeno
Dióxido de carbono
Hidrogénio
Vap. de água
Árgon
Azoto
Dióxido de carbono
Hélio
Hidrogénio
Oxigénio
DAB
[m2/s]×105
1.9
1.6
0.72
5.5
1.4
1.6
6.8
5.5
6.25
7.0
42.1
6.5
1.85
10.01
2.5
1.8
0.39
1.39
6.99
2.5
2.4
2.5
1.38
9.2
7.5
0.13
T
[C]
20
20
45
0
0
25
0
0
0
0
500
0
0
450
20
0
23
0
0
25
25
25
0
25
0
450
com a temperatura em [K] e válida para 280 < T < 450 K.
A Solubilidade em Líquidos e Sólidos
A solubilidade dum sólido num líquido a uma dada temperatura é
a máxima quantidade desse sólido que pode ser dissolvido nessas
condições (Tabª. 6-8). Por exemplo, a solubilidade do sal comum em
água a 37 C (310 K) é 36.5 kg por 100 kg de água. Dissolvendo sal
em água a 37 C até à saturação, a fracção mássica do cloreto de sódio
na salmoura é
xsal =
msal
36.5
=
= 0.267
mágua 136.5
ao passo que no sal sólido essa fracção mássica é xsal = 1.0.
Novamente aqui se verifica uma descida na fracção mássica duma
espécie através duma interface, como se viu no Exº. 6-1.
Muitos processos implicam a absorção dum gás por um líquido. A
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Solubilidade em água do cloreto de
sódio e do bicarbonato de cálcio, em
kg de soluto por 100 kg de solvente
T [K]
273.15
280
290
300
310
320
330
340
350
360
370
373.15
NaCl
35.7
35.8
35.9
36.2
36.5
36.9
37.2
37.6
38.2
38.8
39.5
39.8
Ca(HCO3)2
16.15
16.30
16.53
16.75
16.98
17.20
17.43
17.65
7.88
18.10
18.33
18.40
escoamentos com transporte de massa 12
Sequeira Cardoso
maioria dos gases são pouco solúveis em líquidos, como o caso do ar em água, e para estas soluções diluídas
(concentrações muito baixas) aplica-se a lei de Henry: a fracção molar da espécie i na fase líquida é
proporcional à sua fracção molar na fase gasosa.. Resulta que
pi , f. gasª.
xi , f. líqª. =
(na interface)
H
onde H é a constante de Henry, para cada espécie apenas função da temperatura e independente da pressão
abaixo de 5 atm. Resultam as seguintes consequências:
- a concentração dum gás dissolvido num líquido é inversamente proporcional à sua constante de Henry.
Quanto maior esta for, menor a concentração de saturação (menos solúvel é o gás);
- a constante de Henry aumenta com a temperatura, diminuindo xi , f. líqª. e portanto a solubilidade: pode-se
libertar os gases dissolvidos aquecendo o líquido;
- a concentração do gás dissolvido é
proporcional à sua pressão parcial e Constante de Henry [bar] para gases dissolvidos em água, p < 5
portanto a quantidade de gás
atm
dissolvido aumenta se aumentar a
O2
H2
CO
ar
N2
pressão do gás: bebidas gaseificadas T [K] H2S CO2
290
440
1280
38000
67000
51000
62000
76000
com CO2;
560 1710 45000 72000 60000
74000
89000
- a lei de Henry só se aplica à 300
310
700
2170
52000
75000
67000
84000
101000
interface; no interior do líquido, só
830 2720 57000 76000 74000
92000 110000
em caso de equilíbrio termodinâmico 320
330
980
3220
61000
77000
80000
99000 118000
entre fases em todo o líquido.
340
1140
-----
65000
76000
84000
104000
124000
Exemplo
Determinar a fracção molar do ar dissolvido na água dum lago a 17 C (290 K). Pressão atmosférica 92
kPa.
O ar junto à superfície está saturado:
pv = p g (17 C) = 1.92 kPa
H ar-água (290 K) = 62000 bar = 6.2 × 10 6 kPa
par = patm − pv = 92 − 1.92 = 90.08 kPa
par, f. gasª.
90.08
= 1.45 × 10 −5
H ar-água 6.2 × 10 6
e esta concentração (0.001 %) está dentro do domínio de aplicabilidade da lei de Henry.
____________________________________
xar, f. líqª. =
=
Mas quando um gás for muito solúvel num líquido ou num sólido, como é o caso do amoníaco em água?
A lei de Henry não é aplicável ma s a lei de Raoult estabelece que para a interface é
pi , lado gasº. = xi , lado gasº. . p = xi , lado líqº. . pi , sat (Tinterface )
onde p é a pressão total no lado gasoso e pi,sat(Tinterface) é a pressão de saturação do soluto (espécie i) à
temperatura da interface.
A solubilidade dos gases nos sólidos é um fenómeno mais complexo: alguns destes processos são
reversíveis (hidrogénio em titânio), outros irreversíveis (oxigénio em titânio). A lei de Raoult, aplicável a
uma interface gás-líquido ou gás-sólido, relaciona a concentração molar do gás no solvente (líquido ou
sólido) com a sua pressão parcial no lado gasoso:
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Solubilidade de alguns gases em
sólidos
Gás
A
O2
N2
CO2
He
H2
Sólido
B
Borracha
Borracha
Borracha
SiO2
Ni
T
[K]
298
298
298
293
358
SAB
×103
3.12
1.56
40.15
0.45
9.01
ci , lado sólido = S. pi , lado gasº.
em que S é a solubilidade [kmol.m-3.bar-1].
A permeabilidade, medida da capacidade do gás penetrar num
sólido, é dada por
PAB = SAB.DAB
[kmol.s-1.bar-1]
onde DAB é a difusividade mássica do gás no sólido. A permeabilidade
define-se como o fluxo mássico de A por unidade de gradiente de
pressão parcial através de B e varia na razão inversa da espessura.
Difusão Unidireccional de Gases (Difusão através dum Meio Estagnado)
Este tipo de difusão corresponde à situação em que o meio B está imóvel (estagnado) e A difunde-se
unidimensionalmente através de B: é o que se verifica no caso da evaporação dum líquido no ar em repouso e
nos processos de absorção e de dessorção de um gás A por um líquido B (amoníaco ou vapor de água
absorvidos respectivamente por água ou por uma solução aquosa de cloreto de lítio) – Fig. 6-3.
O processo de evaporação pode ser analisado considerando a célula de difusão de Arnold, utilizada para
a medição experimental de difusividades. Contém um líquido puro A que se evapora e se difunde na coluna
de gás estagnado B.
O gás difunde-se até cima e é removido por
B
z
uma corrente gasosa rasante no topo da célula,
como a Figura mostra. O nível de líquido é
xAδ
mantido na posição z = 0.
O fluxo de A na coluna é dado por:
A
N A = − ρ D AB
1 ∂ xA
1 − xA ∂ z
Por outro lado, aplicando a conservação da
massa ao vapor de A na coluna, obtém-se
facilmente
∂ NA
=0
∂z
xA
δ
x
xAs
A
O objectivo aqui é determinar o fluxo mássico, para se conhecer a
taxa de evaporação. Mostra-se que é:
z
xAδ
N As
p D AB [rA + (rB − rA ) x Bs ] x Bδ
~
ln
= NA =
[rA + (rB − rA ) x Bδ ] x Bs
r A Tδ
xB
1.0
caudal principal
A+B
δ
camada em deslocação
muito lenta
xAs
Removendo a parede duma célula de Arnold, para que o processo
difusivo decorra da mesma forma é necessário admitir a existência
xA
duma camada limite de gás quase estagnada imediatamente
adjacente à interface líquido-gás, com uma espessura δ tal que a
camada oponha a mesma resistência à difusão que uma célula de
Arnold. Este conceito de película ou camada limite de difusão é muito útil em processos de transferência
de massa.
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Geralmente é necessária uma aproximação pois pelo menos uma das fracções mássicas é desconhecida.
Uma simplificação consiste em considerar ρ constante, o que não acontece, e finalmente obtém-se
x B ⎛ x Bδ
=⎜
x Bs ⎜⎝ x Bs
⎞
⎟⎟
⎠
zδ
Notar que a transferência de massa de B não é constante, embora em princípio B esteja estagnado: a sua
distribuição mássica é afectada pela difusão de A. Mas geralmente o que se pretende é o fluxo mássico de A.
x − x Bs
~
x B = Bδ
≡ˆ ( x B ) ml
ln (x Bδ x Bs )
– fracção mássica média logarítmica (diferença dos valores extremos ÷ logaritmo natural da sua razão).
Escolhendo como estação de referência a superfície livre do líquido, a taxa de evaporação de A é:
N As =
ρ D AB rδ p Bδ
ln
δ
rs p Bs
Como as concentrações de A no meio são geralmente muito pequenas, geralmente admite-se que ρ é
constante. Assim e nestas condições, a taxa de evaporação dum líquido l em ar a estagnado é dada por
Nl ≅
p Dla
p
p Dla
ln aδ =
( p ls − p lδ )
r Tδ
p as r Tδ ( p a ) ml
Este resultado é aproximado. Ainda outra aproximação habitual é fazer r ≅ ra e finalmente vem:
Nl ≅
p Dla
p
ln aδ
ra Tδ
p as
Exemplo
Um derrame de 20 l de gasolina espalha-se por uma área de 2.5 m2. Estimar o tempo necessário para a
gasolina se evaporar em condições de ar seco e parado. Admitir que a evaporação ocorre numa camada
com 15 cm de espessura.
Dados:
Temperatura ambiente: 21 C
Difusividade da gasolina no ar: 0.604 m2/hora
Pressão de vapor da gasolina a 21 C: 14 kPa
Massa volúmica média da gasolina: 730 kg m-3
Solução:
Junto à superfície, o vapor de gasolina está saturado, em equilíbrio com a gasolina líquida e portanto:
p gas,s = p v ( 21 C) = 14 kPa → p ar, s = p − p gas, s = 87.325 kPa
p ar,δ ≅ p = 101.325 kPa
Vem:
N gas,s ≅
(101.325) (0.604)
101325
ln
= 0.7184 kg h −1 m − 2
(0.2871) (294.15) (0.15)
87.325
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t=
e
(0.020) (730)
= 8.13 h = 8 h 8 min
(2.5) (0.7184)
____________________________________
Os processos de absorção/dessorção têm o
mesmo tratamento que os de evaporação. Na
figura, um caudal NA de gás é injectado em z =
0, à pressão pA1; esse mesmo caudal é
absorvido na interface gás-líquido em z = δ,
quando a sua pressão parcial é pA2. As pressões
parciais de A e do vapor de B evoluem ao
longo de z como mostra o gráfico da figura.
Vem:
N As
p D AB
( p A1 − p A2 )
=
rTδ ( p B ) ml
A (caudal
constante)
pA1
0
p
pA
A+B
PB
p = pA + pB
A
δ
B
pA2
z
Difusão através de Paredes Porosas
Em primeiro lugar, aborde-se o caso muito simples da difusão
unidimensional através duma placa plana de espessura e. O mecanismo é
semelhante ao da difusão através dum gás estagnado.
Ao trabalhar com barreiras de vapor utiliza-se a permeabilidade, que é
o fluxo mássico de A por unidade de gradiente de pressão parcial através
da barreira:
N A1
D
P AB ≡ˆ
= AB
( p A,1 − p A, 2 ) / e rAT
e
z1
xA,1
z2
xA,2
z
A permeabilidade é uma medida da capacidade da membrana para
deixar passar o vapor.
A resistência molar à difusão da parede é
Rdif, parede =
e
c D AB Ap
[s.kmol-1]
Conclui-se que a transferência por difusão através da parede é tanto maior:
- no respeitante à parede, quanto maior a sua densidade média ρ e a sua área e quanto menor a sua
espessura;
- no respeitante à espécie A, quanto maior a diferença de concentrações através da parede.
Admite-se que a densidade da parede é aproximadamente constante, assim como a difusividade, porque
as concentrações de A são pequenas.
p − p A, 2
p − p A, 2
N&A, dif = N A . Ap = DAB S AB Ap A,1
= PAB Ap A,1
e
e
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e como 1 kmol dum gás perfeito ocupa o volume de 24.414 m3 a 0 C e 1 atm (da equação de estado), vem
que se a espécie A for considerada um gás perfeito, o caudal volúmico que atravessa a parede é
22.414 T &
V&A, dif =
N A, dif
273.15
[m3.s-1]
com T em [K].
A migração de vapor de água através da envolvente dos edifícios é um problema com consequências
muito importantes na conservação dos edifícios e na eficiência energética dos mesmos. Embora as
quantidades de vapor envolvidas na difusão através da envolvente sejam desprezáveis em comparação com a
quantidade de vapor que penetra juntamente com o ar infiltrado por frinchas e outras aberturas, a importância
reside nos efeitos da migração de vapor sobre a longevidade dos materiais e da estrutura do edifício. Com
efeito, veja-se os seguintes efeitos da migração de vapor em edifícios:
∗ Alterações dimensionais, em materiais higroscópicos como as madeiras: um aumento de 4.5 % no
conteúdo de humidade provoca, em madeira de carvalho branco, um aumento de 2.5 % no volume.
Para além dos empenos, as variações cíclicas provocam fendas e enfraquecem juntas;
∗ Corrosão dos metais;
∗ Apodrecimento de madeiras: a madeira com um conteúdo de água de 24 – 31 % sofre
apodrecimento rápido a 10 – 38 C;
∗ Aparecimento de fungos nas madeiras quando HR > 85 %;
∗ Descolamento da tinta nas superfícies interiores e exteriores das paredes;
∗ Destruição das paredes das células dos materiais porosos provocada pela dilatação da água ao
congelar;
∗ Aumento da condutibilidade térmica efectiva de meios porosos (solos, materiais de construção,
isolamentos): a condutibilidade varia linearmente com o conteúdo de humidade. Um aumento de 1 %
no conteúdo de humidade (por volume) provoca um aumento de 3 a 5 % em k; portanto, um
isolamento com 5 % de água (em volume) sofre um aumento de 15 a 25 % em k, relativamente ao
isolamento seco.
∗ Mecanismo indesejado de transporte alternado de calor: em dias quentes e húmidos, o vapor migra
para o interior mais seco e menos quente da habitação e condensa-se na superfície interior das
paredes libertando o calor latente; à noite, o exterior está menos húmido e quente que o interior e o
processo inverte-se, com evaporação interna e migração para o exterior.
O combate à migração de vapor em paredes, tectos e pavimentos é feito interpondo superfícies que
oferecem resistência à difusão do vapor:
Barreiras de vapor – impermeáveis ao vapor, sob a forma de chapa metálica fina, folha metálica forte
ou telas plásticas espessas;
Retardantes de vapor – atenuam a difusão, sob a forma sólida, flexível, de folha ou película e de
revestimento: plásticos ou metais reforçados, folhas finas, películas plásticas, papéis tratados, feltros
revestidos, camadas de tinta polimérica ou asfáltica.
Como nas paredes dos edifícios é inevitável a penetração do vapor, através de caixas de derivação
eléctricas, tubos de passagem de cabos eléctricos e telefónicos, passagens das canalizações, etc., são
utilizados retardantes em vez de barreiras com o objectivo de permitir a saída do vapor infiltrado.
As linhas de água gelada e outras superfícies impermeáveis sempre frias ou são revestidas com um
isolamento impermeável ou então têm de ser envoltas por um colete barreira de vapor. Se estiverem
revestidas com isolamento permeável, o vapor migra em direcção à superfície fria, condensa e/ou congela e
assim permanece indefinidamente, o que anula o isolamento.
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