Conjunto dos Números Naturais
Quando você faz uma contagem em seqüência, começando ou não com o zero
você está na verdade usando o conjunto dos números naturais, que é representado por N.
N={0,1,2,3,4,5,6,7,...}este conjunto dos números naturais começa com o zero e é
infinito,ou seja, não podemos dizer seu ultimo elemento.
Temos também N*={1,2,3,4,5,6,...} veja que este conjunto não começa com o
zero, o símbolo de asterisco que aparece ao lado do N significa que o conjunto não tem
o zero. Se você pegar sua régua vai perceber que ela começa com o zero e vai até o
trinta, se for uma régua tradicional a sua régua pode ser um exemplo do que chamamos
de reta numérica com uma diferença a reta numérica é infinita.
0
1
2
3
4
5
6
7
...
Veja que na reta numérica acima que começa com o zero não tem uma ponta e
não tem porque é onde ela começa já no outro lado você ver que tem uma ponta isto
significa que depois do numero 7 tem mais números, ou seja, que esta reta numérica é
infinita.
Antecessor e Sucessor
O antecessor de um número é aquele número que está antes dele, exemplo o antecessor
de 9 é 8; o antecessor de 879 é 878 , para saber o antecessor de um numero basta
subtrair uma unidade 9 - 1= 8 por isso 8 é antecessor de 9 e 879 - 1 = 878 por isso 878 é
antecessor de 879.
O Sucessor de um número é aquele número que está depois dele, exemplo o sucessor
de 15 é 16 e de 327 é 328, para saber qual é o sucessor de um número, basta somar uma
unidade 15 + 1 = 16 por isso 16 é sucessor de 15 e 327 + 1 = 328 por isso 328 é
sucessor de 327.
COMPARAÇÃO ENTE NÚMEROS NATURAIS
Os números naturais podem ser comparados utilizando os símbolos:
= ( quando os números são iguais ) Ex: 5 = 5
> ( quando o número é maior que o outro ) Ex: 7 > 5 , 3 > 1
< ( quando o número é menor que o outro ) Ex: 9 < 4 , 5 < 1
≥ ( quando o número é maior ou igual ao outro )
≤ ( quando o número é menor ou igual ao outro )
Escreva os elementos dos subconjuntos dos números naturais.
a) Escreva o subconjunto dos números naturais menores do que 5.
{ 0, 1, 2, 3, 4 }
b) Escreva o subconjunto dos números naturais menores ou igual a 6.
OBS:Como está querendo menor ou igual, escrevemos todos os menores que 6 e o
próprio 6
{ 0 , 1, 2, 3, 4, 5, 6 }
c) Escreva o subconjunto dos números naturais maiores que 12.
OBS:Maiores que 12 é um conjunto infinito, então escreva uns 3 ou 4 elementos e
coloco reticências.
{ 13, 14, 15, 16, ...}
d) Escreva o subconjunto dos números naturais maiores que 5 e menores que 9.
OBS:Maior que 5 e menor que 9, são os números entre 5 e 9.
{ 6, 7, 8 }
e) Escreva o subconjunto dos números naturais maiores que 8 e menores ou igual a 12.
OBS: maiores que 8 começa com o 9 menor ou igual a 12 significa que vai até o 12.
{ 9, 10, 11, 12 }
Esse mesmo tipo de questão pode está escrita na forma de linguagem matemática, veja:
f) Escreva o subconjunto dos números naturais tal que { x ∈ N / x > 7 }.
OBS: Lê-se x pertence ao conjunto dos números naturais, tal que x é maior que 7, maior
que 7 começa no 8 e vai até o infinito.
{ 8, 9, 10, 11, ... }
g) Escreva o subconjunto dos números naturais tal que { x ∈ N / x < 6 }.
OBS: Lê-se x pertence ao conjunto dos números naturais, tal que x é menor que 6.
{ 0, 1, 2, 3, 4, 5 }
h) Escreva o subconjunto dos números naturais tal que { x ∈ N* / x < 4 }.
OBS: Lê-se x pertence ao conjunto dos números naturais, tal que x é menor que 4, o
ASTERISCO no N significa que no conjunto não pode ter o ZERO.
{ 1, 2, 3 }
i) Escreva o subconjunto dos números naturais tal que { x ∈ N / 3 < x < 7 }.
OBS: Lê-se x pertence ao conjunto dos números naturais, tal que x é maior que 3 e
menor que 7, são os elementos entre 3 e 7.
{ 4, 5, 6 }
j) Escreva o subconjunto dos números naturais tal que { x ∈ N / 2 < x ≤ 7 }.
OBS: Lê-se x pertence ao conjunto dos números naturais, tal que x é maior que 2, e
menor ou igual a 7, maior que 2 começa no 3 como é igual a 7 vai até 7.
{ 3, 4, 5, 6, 7 }
ADIÇÃO
É a junção de dois ou mais valores, chamados de PARCELAS e o resultado da
operação chamamos de SOMA ou TOTAL.
Na escola de João estudam alunos, sendo 1 38 4 masculinos e 1 124 femininos.
Quantos alunos estudam nessa escola?
É um típico problema de adição é só somar 1 384 + 1 124, veja:
PROPRIEDADES DA ADIÇÃO
1ª Fechamento
A soma de dois números naturais tem como resultado outro número natural.
Ex: 2 + 5 = 7
2ª Comutativa
A ordem das parcelas não alteram a soma ou resultado.
Ex: 2 + 3 = 3 + 2 tanto faz somar 2 + 3 como somar 3 + 2
3ª Elemento neutro
É a soma de um número natural com o zero.
Ex:
5 + 0 = 0+5= 5
4ª Associativa
A soma de três números naturais pode ser realizada associando os dois primeiros
números ou associando os dois últimos números.
Ex: 5 + 3 + 8 = 5 + 3 + 8 vamos associar o 5 + 3 e 3 + 8
(5 + 3)+ 8 = 5 + (3 + 8)
SUBTRAÇÃO
É a diferença entre dois números naturais em que o primeiro é maior ou igual ao
segundo.
Se o subtraendo é 267 e a diferença é 648, qual o valor do minuendo?
Problemas em que você tem o valor da diferença e deseja saber o valor do minuendo ou
subtraendo, basta somar o valor da diferença com minuendo ou subtraendo.
648 + 267 = 915
ATENÇÃO: as propriedades estudadas na adição NÃO VALEM PARA SUBTRAÇÃO
MULTIPLICAÇÃO
É a forma de se apresentar uma adição com duas ou mais parcelas.
6 + 6 + 6 = 18 temos aqui a soma do 6 por ele mesmo 3 vezes, então podemos
representar como 6 vezes 3, assim:
6 x 3 = 18 ou
3 x 6 = 18
Os termos da multiplicação são os fatores e o resultado é o produto.
PROPRIEDADE DA MULTIPLICAÇÃO
1ª Fechamento
O produto de dois números naturais tem como resultado outro número natural.
Ex: 2 x 5 = 10
2ª Comutativa
A ordem dos fatores não alteram o produto.
Ex: 2 x 3 = 3 x 2 tanto faz multiplicar 2 x 3 como multiplicar 3 x 2
3ª Elemento neutro
É a multiplicação de um número natural por um.
Ex:
5 x 1 = 1 x 5 = 5
4ª Associativa
O produto de três números naturais pode ser realizada associando os dois
primeiros números ou associando os dois últimos números.
Ex: 5 x 3 x 8 = 5 x 3 x 8 vamos associar o 5 x 3 e 3 x 8
(5 x 3) x 8 = 5 x (3 x 8)
5ª distributiva em relação a adição
É a multiplicação de um número natural por uma soma em que esse número
multiplica cada parcela da soma.
Ex: 3 x ( 5 + 4 ) = 3 x 5 + 3 x 4
DIVISÃO
Dividir o 1° número pelo 2° número é encontrar um número que multiplicado
pelo 2° seja igual ou menor que o primeiro.
Atenção: Não existe divisão por zero
Ex:
15 : 5 = ? vamos encontrar um número que multiplicado por 5 der 15
15 : 5 = 3
Termos da divisão
DIVIDENDO : DIVISOR = QUOCIENTE
Veja como realizamos a divisão de 5 546 por 24
Dessa divisão tiramos uma relação muito importante na resolução de alguns problemas
DIVIDENDO ( D ) = QUOCIENTE ( q ) X DIVISOR ( d ) + RESTO ( r )
D= q x d +r
D = 231 x 24 + 2 faz primeiro a multiplicação
D = 5 544 + 2 soma
D = 5 546
OBS: Veja que na relação D = q x d + r temos quatro termos, sabendo três deles é
possível calcular o outro.