10ª aula
Sumário:
Aplicação da conservação da energia mecânica a movimentos em campos gravíticos.
Energia potencial elástica. Forças não conservativas e variação da energia mecânica.
Aplicação da conservação da energia mecânica a movimentos em campos
gravíticos
Vamos estudar alguns exemplos que põem em destaque a vantagem de utilização
de considerações energéticas, como a conservação da energia mecânica. Em aulas
anteriores vimos que a energia potencial de um corpo de massa m num campo gravítico
é dada por E p ( y ) = mgy , sendo y a coordenada vertical da partícula relativamente a
uma origem. Suponhamos que o objecto é atirado verticalmente com velocidade v0.
Qual é a altura máxima que vai atingir? (Recorda-se que questão semelhante já foi
abordada, tanto de um ponto de vista cinemático, nas aulas teórico-práticas, como do
ponto de vista do teorema da energia cinética.) Designando por A o ponto de arremesso
e por B o ponto de altura máxima (ver Fig. 10.1), a conservação de energia mecânica
exprime-se através da igualdade E mA = E mB .
B
h
A
Figura 10.1
A energia mecânica em A é simplesmente a energia cinética da partícula no momento
do arremesso vertical, escolhendo o zero da energia potencial no ponto A. Designando
1
2
por v0 o módulo da velocidade inicial, tem-se E mA = E cA = m v 02 . Por outro lado, a
energia mecânica em B é unicamente energia potencial (já que a velocidade da partícula
se anula nesse ponto): E mB = E pB = m g h . De
1
m v 02 = m g h
2
(10.1)
resulta a seguinte expressão para a altura máxima atingida pelo corpo:
h=
v 02
.
2g
(10.2)
1
Vejamos seguidamente o caso do lançamento oblíquo, sendo θ o ângulo que a
velocidade inicial faz com a direcção horizontal (eixo dos xx na Fig. 10.2).
y
B
h
θ
A
x
Figura 10.2
1
2
Em A, a energia mecânica é apenas a energia cinética: E mA = E cA = m v 02 . Em B a
energia mecânica é a soma da energia potencial e da energia cinética. Ao longo do
movimento a velocidade da partícula permanece inalterada segundo o eixo dos xx, pois
a única força que actua na partícula é a força gravítica que aponta no sentido negativo
do eixo dos yy. Essa velocidade é inicialmente v 0 cosθ e, no ponto de altura máxima a
velocidade tem este mesmo valor pois é nula a sua componente vertical. Assim, em B a
energia mecânica é E mB = m( v0 cosθ )2 + mgh . Da igualdade das energias mecânicas em
A e B resulta
1
2
de onde se obtém
1
1
m v 02 = m v 02 cos 2θ + m g h
2
2
h=
v 02 sin 2θ
.
2g
(10.3)
(10.4)
Esta expressão reduz-se a (10.2) para θ = 90º .
Energia potencial elástica
A energia potencial elástica é uma forma de energia potencial diferente da
gravítica. Está associada a forças elásticas as quais estão presentes em muitas situações
físicas. A este nível introdutório não iremos considerar materiais elásticos. Iremos antes
considerar um sistema particularmente simples: um corpo de massa m ligado a uma
mola que está presa na outra extremidade (Fig. 10.3).
Figura 10.3
2
Quando a mola é comprimida ou distendida relativamente à sua posição de equilíbrio,
exerce sobre o corpo uma força que, experimentalmente, se verifica ser proporcional à
compressão ou distensão, e com o sentido oposto a estas. Considerando que o corpo
apenas se pode deslocar em uma dimensão (direcção do eixo dos xx) aquela lei
experimental (conhecida por lei de Hook) exprime-se matematicamente por
F = −k x .
(10.5)
A constante de proporcionalidade k designa-se por constante elástica e, como o próprio
nome indica, traduz a maior ou menor elasticidade da mola. O sinal negativo em (10.5)
indica que a força tem sentido oposto ao deslocamento
F
F
x
Figura 10.4
A força é uma função da posição e o gráfico F = F ( x ) está representado na Fig. 10.5.
F
x
Figura 10.5
A lei de Hook só é aproximadamente válida para pequenos deslocamentos. Se os
deslocamentos forem grandes a relação linear entre força e deslocamento já não se
observa mais.
A energia potencial associada à força elástica é calculada a partir de [ver (9.2)]
x
E p (x ) − E p (0 ) = − F (x ) dx ,
(10.6)
0
estando a escolher-se x = 0 para ponto de referência que é a posição de equilíbrio: nesse
ponto a força que actua no corpo é nula. Escolhendo o valor zero para a energia
potencial elástica nesse ponto e usando a expressão da lei de Hook para a força
[Eq. (10.5)], tem-se
3
x
x
0
0
E p ( x ) = − F ( x ) dx = k x dx
Ora, a primitiva1 de x é
1
2
(10.7)
x 2 e, portanto,
1 2
E p (x ) =
kx
2
x
=
0
1 2
kx .
2
(10.8)
O gráfico da função E p (x ) é uma parábola, como mostra a Fig. 10.6.
Ep
x
Figura 10.6
Deve notar-se que a energia potencial elástica, sendo uma função quadrática da posição,
não distingue x > 0 de x < 0 . Tanto faz que a mola seja distendida como encolhida:
para a energia potencial só importa a grandeza dos deslocamentos, x , relativamente à
origem.
Se nos tivesse sido dada inicialmente a expressão da energia potencial para a
partir daí saber qual a força a ela associada, só tínhamos de aplicar a expressão (9.5), ou
seja, tomar o simétrico da derivada de (10.8) em ordem a x:
F ( x) = −
dE p
dx
= − kx
(10.9)
que é a expressão de que partimos [ver (10.5)]. Fica assim patente a coerência do
formalismo que estamos a desenvolver.
O movimento de um corpo ligado a uma mola é um movimento de vaivém (que
será estudado pormenorizadamente mais tarde neste curso), cuja energia mecânica, dada
por
1
1
E m = m v 2 + k x 2 = C te
(10.10)
2
2
se conserva. O movimento de vaivém da massa ocorre entre as posições extremas
x = ± A relativamente à origem x = 0 . Naqueles pontos (chamados pontos de retorno),
a partícula inverte o sentido do movimento, sendo A chamada amplitude do movimento.
1
Ver 9ª aula.
4
Nos pontos de retorno toda a energia mecânica é energia potencial. Ao invés, quando a
partícula passa pela origem, a sua energia potencial é nula e, portanto, a sua energia
cinética é máxima.
Consideremos um exemplo que pode tornar mais claro o que acabámos de dizer.
Um corpo de massa m num campo de forças elásticas é afastado da posição de
equilíbrio para a posição x = A e largado (ponto A na Fig. 10.7). Qual é a sua
velocidade quando passa na origem (ponto B na mesma figura)?
B
A
0
A
x
Figura 10.7
Em A, a energia mecânica é só energia potencial: E mA = E pA =
1
k A2 . Em B a energia é
2
1
m v 2 . Da igualdade destas duas energias (conservação da
2
energia mecânica) resulta a seguinte expressão para a velocidade no ponto B:
só cinética: E mB = E cB =
k
A
(10.11)
m
Vimos já dois tipos de energias potenciais: a gravítica e a elástica. Mas há
muitos outros tipos mais e todas essas energias potenciais podem coexistir se várias
forças conservativas estiverem aplicadas numa partícula. A sua energia mecânica é a
soma da energia cinética e de todas as energias potenciais correspondentes a cada uma
das forças. A energia mecânica conserva-se se só existirem forças conservativas.
Havendo forças não conservativas, já não se conserva. É o assunto a abordar já a
seguir.
v=
Forças não conservativas e variação da energia mecânica
A energia mecânica conserva-se sempre que sobre o sistema só actuem forças
conservativas. Mas o mesmo já se não se passa se estiverem presentes forças não
conservativas, como, por exemplo, forças de atrito. Na presença de forças de atrito
cinético ou de resistência a energia mecânica diminui. Dizemos, nestes casos, que há
“dissipação” de energia. Claro que a energia não se perde! Sabemos que a energia se
conserva! Dizer que a energia se dissipa significa simplesmente que a energia deixa de
ser útil.
A massa ligada à mola que é posta em movimento, não fica a oscilar
indefinidamente. De facto, devido às forças de atrito, as amplitudes de oscilação vão
sendo sucessivamente menores e o corpo acaba por parar.
Consideremos o caso geral de uma partícula que está sob a acção de várias
forças, sendo umas conservativas mas outras não. O teorema de energia cinética, que
tem validade geral, permite-nos escrever
∆E c = W .
(10.12)
5
A variação de energia cinética é igual ao trabalho realizado pela resultante das forças
ou, o que é o mesmo, pela soma dos trabalhos realizados por cada uma das forças
aplicadas. Se existirem, forças conservativas e não conservativas, W = Wcon + Wnc , onde
Wcon representa o trabalho de todas as forças conservativas (pode haver mais do que
uma) e Wnc o trabalho de todas as forças não conservativas (pode também haver mais do
que uma). A expressão (10.12) passa a escrever-se
∆E c = Wcon + Wnc .
(10.13)
Ora, o trabalho das forças conservativas é, por definição, o simétrico da variação da
função energia potencial2: Wcon = − ∆E p . A expressão (10.13) toma a forma
ou ainda
∆E c + ∆E p = Wnc ,
(10.14)
∆ (Ec + E p ) = Wnc .
(10.15)
A soma no primeiro termo desta equação é a energia mecânica e, então, finalmente,
∆E m = Wnc .
(10.16)
Se não existirem forças conservativas, este resultado traduz a conservação da energia
mecânica. Se as forças não conservativas forem forças de atrito cinético ou de
resistência, Wnc < 0 e, portanto, a energia mecânica diminui. Mas pode haver forças não
conservativas que realizam trabalho positivo (um puxão ou um empurrão, por exemplo).
Nesse caso, a energia mecânica do corpo aumenta.
Consideremos um exemplo de aplicação da expressão (10.16). Um corpo é
deixado cair de uma altura h acima de um chão de areia. Quando atinge o solo, penetra
na areia percorrendo uma distância d no seu interior. Qual é a força média que a areia
exerce sobre o corpo? A energia mecânica no ponto de onde é largado o corpo é
simplesmente a energia potencial gravítica, dado por mg (h + d ) se se tomar para
origem da energia potencial o ponto à profundidade d relativamente ao nível do solo (ou
seja o ponto onde o corpo acabará por parar). A energia mecânica no ponto onde pára o
corpo é zero. A variação de energia mecânica é, pois, ∆E m = E mfinal − E minicial = − mg (h + d ) .
Se a força de resistência ao movimento na areia puder ser considerada constante, o
trabalho desta força não conservativa é simplesmente W nc = − Fd (o sinal negativo vem
do facto desta força e do deslocamento terem sentidos opostos). Da aplicação directa da
Eq. (10.16) resulta
(10.17)
− mg (h + d ) = − Fd
e, consequentemente, a força média que procuramos é
F = mg 1 +
2
h
.
d
Se existirem várias forças conservativas, haverá várias energias potenciais. Por
(10.18)
E p estamos a designar a
soma de todas essas energias potenciais.
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