LISTA DE EXERCÍCIO 02
1. O presidente de uma empresa Z está considerando duas alternativas de investimento,
X e Y. Se cada uma das alternativas for levada adiante, há 4 possibilidades de resultado.
O valor presente líquido e sua respectiva probabilidade de ocorrência são mostrados
abaixo:
a) Qual é o valor esperado do valor presente do lucro para os investimentos X e Y? E
qual das oportunidades é a mais interessante (maior valor esperado do VPLucro)?
b) Qual a variância do valor presente do lucro para os investimentos X e Y? E qual das
oportunidades é a mais arriscada (maior variância do VPLucro)?
2. Dois dados são lançados. Determinar a função de distribuição de probabilidade, a
média, a variância, o desvio padrão e o coeficiente de variação da variável aleatória Z,
dada pela soma dos pontos obtidos.
3. Uma variável aleatória contínua tem a seguinte função de densidade de
probabilidade:
a. Determine o valor da constante k;
b. Determine a função de distribuição acumulada;
c. Determine a probabilidade de se obter um valor superior a 1,5;
d. Determine o valor esperado e a variância da variável aleatória.
4. Uma empresa que fornece computadores pelo correio tem 6 seis telefônicas. Seja X o
número de linhas em uso em determinado horário. Suponha que a fmp de X seja
conforme a tabela a seguir:
x
p(x)
0
0.1
1
0.15
2
0.2
3
0.25
Calcule a probabilidade de cada um dos eventos:
a) {no máximo 3 linhas estão em uso};
b) {menos de 3 linhas estão em uso};
c) {pelo menos 3 linhas estão em uso};
d) {entre duas e cinco linhas, inclusive, estão em uso};
4
0.2
5
0.06
6
0.04
e) {entre duas e quatro linhas, inclusive, não estão em uso}.
5. Seja X uma v.a. Binomial com E(X) = 2 e V(X) = 4/3. Descreva a função massa de
probabilidade de X.
6. Um industrial fabrica peças, das quais 1/5 são defeituosas. Dois compradores, A e B,
classificam as peças adquiridas em categorias I e II e pagam R$ 30,00 ou R$ 20,00 por
peça, conforme a peça seja classificada como I ou II. Cada comprador tem uma forma
de classificar: o comprador A retira uma amostra de 5 peças e, se encontrar mais que
uma defeituosa, classifica as 5 como II. O comprador B retira uma amostra de 10 peças
e se encontrar mais que duas defeituosas, classifica as 10 como II. Em média, qual
comprador paga mais por peça?
7. A probabilidade de um lançamento de foguete ser bem sucedido é de 80%. Suponha
que tentativas de lançamento sejam feitas até que 3 lançamentos sejam bem sucedidos.
Qual a probabilidade de que exatamente 3 tentativas sejam necessárias?
8. Suponha que X tenha uma distribuição Poisson. Sabendo-se que P(X=2) = 2/3, e
P(X=1) = 1/3; calcule P(X=0) e P(X=3).
9. Suponha que o número de chegadas a uma fila tenha média de 1 chegada a cada 2
minutos. Qual a probabilidade de que em 5 minutos ocorram pelo menos 2 chegadas?
10. O resultado denominado desigualdade de Chebyshev diz que, para qualquer
distribuição de probabilidade de uma v.a X e qualquer número k ao menos igual a 1,
. Em palavras, a probabilidade do valor X estar a pelo menos
k desvios padrão da média é de, no máximo,
.
a) Use tabelas de distribuição Normal padronizada para mostrar que a relação é válida
para k=1, k=2, e k=3.
b) Com base nos resultados obtidos em ‘a’, é razoável considerar que o limite superior
de Chebyshev é conservativo, em relação à probabilidade correspondente?
11. Certo tipo de fusível tem duração de vida que segue uma distribuição exponencial
com vida média de 100 horas. Cada fusível tem um custo de R$10,00 e, se durar menos
de 200 horas, existe um custo adicional de R$8,00. Pergunta-se:
a) Qual a probabilidade de um fusível durar mais de 150 horas?
b) Foi proposta a compra de outra marca, que tem uma vida média de 200 horas e um
custo de R$15,00. Considerando também a incidência do custo adicional, deve ser feita
a troca de marca?
12. Seja X o tempo entre detecções de uma partícula rara em um contador geiger
(utilizado para medir radiações ionizantes) e considere que X tenha uma distribuição
exponencial, com taxa de ocorrência de 1,4 minutos.
a) Calcule a probabilidade de ser detectada uma partícula dentro de 30 segundos a partir
do começo da contagem.
b) Agora, suponha que o contador geiger tenha sido ligado e foram observados 3
minutos sem a detecção de nenhuma partícula. Qual a probabilidade de uma partícula
ser detectada nos próximos 30 segundos? (Dica: Calcule P(X < 3.5 | X > 3))
c) O que pode ser concluído a partir dos resultados obtidos em a e b?
13. A variável aleatória X tem distribuição uniforme com parâmetros a e b, isto é,
, se
; e
, caso contrário. Sendo a=5 e b=10,
calcule as probabilidades:
a) P(X<7)
b) P(8<X<9)
c) P(X>8,5)
d) P(|X-7,5|>2)
14. A duração de um certo tipo de pneu, em quilômetros rodados, é uma variável
aleatória com distribuição normal, duração média de 60.000 km e desvio-padrão de
10.000 km.
a. Qual a probabilidade de um pneu escolhido ao acaso durar mais de 75.000 km?
b. Qual a probabilidade de um pneu durar entre 63.500 km e 70.000 km?
c. Qual a probabilidade de um pneu durar entre 50.000 km e 70.000 km?
d. O fabricante deseja fixar a garantia de quilometragem, de tal forma que, se a duração
do pneu for inferior a garantia, o pneu será trocado. De quanto deve ser essa garantia
para que somente 1% dos pneus sejam trocados?
15. Pela experiência de anos anteriores verificou-se que o tempo médio gasto por um
candidato a supervisor de vendas, em determinado teste, é aproximadamente normal,
com média de 60 minutos e desvio-padrão de 20 minutos.
a) Qual porcentagem de candidatos levará menos de 60 minutos para concluir o teste?
b) Qual porcentagem não terminará o teste se o tempo máximo concedido for de 90
minutos?
c) Se 50 candidatos fazem o teste, quantos podemos esperar que o terminem nos
primeiros 40 minutos?