RAZÕES TRIGONOMÉTRICAS NO TRIÂNGULO RETÂNGULO
01 – Do quadrilátero ABCD da figura, sabe-se que: os ângulos internos de vértices A e
C são retos; os ângulos CDB e ADB medem, respectivamente, 45º e 30º; o lado CD
mede 2dm. Então, os lados AD e AB medem, respectivamente, em dm:
A)
6 e
3
B)
5 e
3
C)
6 e
2
D)
6 e
5
A
B
C
D
02 – (UFMG) – O triângulo ABC está inscrito num semicírculo de diâmetro AB e centro
O. As medidas do ângulo CÔA e do lado AC são, respectivamente, 120o e 4
medida do raio do círculo, em cm, é
a)
4 3
5
b)
3
c) 2
3 cm. A
C
A
B
0
3
d) 4
03 – (CESGRANRIO) – O quadrado MNPQ está inscrito no triângulo eqüilátero ABC,
como se vê na figura. Se o perímetro do quadrado é 8, então o perímetro do triângulo
ABC é
A
a) 12
b) 10 + 2
3
c) 6 + 4
3
d) 6 + 5
2
M
C
N
Q
P
B
04 – (UFMG) – Na figura, AC ⊥ CB, AD ⊥ DB e CÂD = 30o . Se AC = 2 e BC = 4, então
AD é igual a
a)
B
3
b) 2
D
3
c)
3 +1
d)
3 +2
e)
3 +3
A
C
05 – Um pequeno avião deveria partir de uma cidade A rumo a uma cidade B ao norte,
distante 60 quilômetros de A. Por um problema de orientação, o piloto seguiu
erradamente rumo ao oeste. Ao perceber o erro, ele corrigiu a rota, fazendo um giro de
120º à direita em um ponto C, de modo que o seu trajeto, juntamente com o trajeto
que deveria ter sido seguido, formaram, aproximadamente, um triângulo retângulo
ABC, como mostra a figura.
B (norte)
60
120º
(Oeste) C
A
Com base na figura, a distância em quilômetros que o avião voou, partindo de A até
chegar a B, é:
A) 30 3
B) 40 3
C) 60 3
D) 80 3
06 – (PUC-MG) - No triângulo retângulo da figura AB = 2 cm , AC = 2 3 cm e p = sen
B . sen C . O valor de p é :
B
a)
b)
c)
d)
e)
1
4
3
4
1
2
A
C
3
2
2
3
07 – (FCMMG) - Observe a figura
Nela AB=BC , AC=10 , AE=16 e ABC = 1200. A soma do perímetro da
semicircunferência CDE com os lados AB e BC é igual a
a) 10 + 3π
b) 20 + 3π
c)
20 3
+ 3π
3
d)
5 3
+ 3π
3
08 – (N.Paiva-MG) - Dois nadadores na borda de uma piscina retangular situados
num mesmo lado estão a 5 metros um do outro. Um deles atravessa a piscina sob um
ângulo de 60 graus com relação à borda da piscina, o outro atravessa a piscina
perpendicularmente ao primeiro nadador. Supondo que eles se cruzam , a que
distância , em metros , da borda da piscina eles vão se cruzar ?
(
a) 5 1 + 3
b)
5 3
4
)
c)
5
1+ 3
2
(
)
d) 5 + 3
09-(UFSC) Dois pescadores P1 e P2 estão na beira de um rio de margens paralelas e
conseguem ver um bote B na outra margem. Sabendo que P1P2 = 63m, os ângulos
B P̂1 P2=α e B P̂2 P1 = β e que tgα = 2 e tg β = 4, determine a distância, em metros,
entre as margens.
a) 80
b) 84
c) 86
d) 90
10-(UFC)- Sejam α, β e θ os ângulos internos de um triângulo. Se as medidas desses
ângulos são diretamente proporcionais a 1, 2 e 3, respectivamente, e a bissetriz do
ângulo β mede duas unidades de comprimento (u.c.), a medida do perímetro deste
triângulo é:
a) 3( 3 + 2) u.c.
b) ( 3 + 1) u.c.
c) 3 3 u.c,
d) 3( 3 + 1 ) u.c.
11. (Faap) Uma escada de 10 metros de comprimento forma ângulo de 60° com a
horizontal quando encostada ao edifício de um dos lados da rua, e ângulo de 45° se
for encostada ao edifício do outro lado, apoiada no mesmo ponto do chão. A largura
da rua (em metros) é:
a) 10 2
b) 10 + 3 2
c) (10 5 ) – 5
d) 5 + 5 2
e) 5 + 10 2
12. (Unirio) Dois homens H1 e H2 , com 2m e 1,5m de altura, respectivamente, estão
em pé numa calçada, em lados opostos de um poste de 5m de comprimento,
iluminados por uma lâmpada deste poste, como mostra a figura anterior. A distância
entre os dois homens, em m, é igual a:
a) 5 3 +10
b) 14
c) 3 3 + 7
d) 8 3 - 3
60º
1,5
2
e) 6 3
x
13 – (UFMG) – Observe a figura.
Nessa figura, há uma circunferência de raio r inscrita em um setor circular ABC.
Suponha que CÂB = 60o e AB = 6. O valor do raio r é
A)
3
B) 2
C) 3
D) 2
3
14-( CEFET-MG ). Um topógrafo observa o topo de uma montanha sob um ângulo de
30° em relação à horizontal. Aproximando-se 2 quilômetros, a mesma passa a ser
observada sob o ângulo de 60°. O topógrafo então conclui que a distância, em linha
reta, entre ele e o pé da montanha, a partir deste segundo ponto, em km, é igual a
A) 3 / 2 .
B) 1 .
C) 3 .
D) 2 .
E) 3 .
15 – (FUVEST/SP) - Na figura, ABC é um triângulo isósceles e retângulo em A e
PQRS é um quadrado de lado
2 2
. Então, a medida do lado AB é
3
A
a) 1
b) 2
S
c) 3
R
d) 4
e) 5
B
P
C
Q
16 – (Cefet – MG) - Num triângulo retângulo ABC, como na figura abaixo, temos o
ângulo α = 30º, AC = 1 cm e BC = 2 cm. O comprimento de AP, é igual a
C
a) 1
b)
2
c)
3
d)
2 3
3
e)
3
2
P
A
B
17 – (Fund. João Pinheiro) Observe esta figura:
A
B
Nessa figura, está representada uma parte do engradamento de um telhado, em que
AB corresponde a uma peça de madeira com 6 m de comprimento.
Assim sendo, a quantidade de madeira, em metros lineares, necessária para a
construção dessa parte do telhado é de
a) 17m
b) 9 + 5 3 m
c) 18 + 10 3 m
d) 15 3 m
18 – Duas rodovias retilíneas A e B se cruzam formando um ângulo de 45º. Um posto
de gasolina se encontra na rodovia A, a 4km do cruzamento. Pelo posto passa uma
rodovia retilínea C, perpendicular à rodovia B. A distância do posto de gasolina à
rodovia B, indo através de C, em quilômetros, é:
A)
2
4
B)
3
2
C)
2
D) 2 2
19 – (UFPE) - A distância em linha reta entre duas cidades A e B é 10 km. A empresa
de distribuição de água do Estado necessita construir um reservatório de água para o
abastecimento das respectivas cidades. Estudos verificaram que o reservatório deve
ser construído em um ponto D, tal que os ângulos ADB e ABD tenham por medida, 45°
cada um. O custo pela ligação hidráulica é de R$ 1,50 por metro de encanamento do
reservatório às cidades.
Quanto gastará, aproximadamente, o Estado para levar água às cidades, sabendo que
a ligação do reservatório ás cidades é retilínea?
D
a) R$ 36.000,00
45º
b) R$ 525.000,00
10
10
c) R$ 27.000,00
2
d) R$ 48.000,00
e) R$ 25.900,00
45º
A
10
B
20 – (FEI) – No momento em que a incidência dos raios solares ocorre segundo um
ângulo de 30o , a partir a linha do horizonte, a sombra projetada no solo (horizontal)
por um poste tem comprimento x. No momento em que a incidência ocorre segundo
um ângulo de 60o , o comprimento da sombra é y. Se x – y = 2 m, então a altura do
poste mede
a) 2 m
b) 2 3 m
c) 4 m
d)
3 m
21 – (PUC-MG) Os pontos A, B e C pertencem ao semicírculo de centro O e raio r = 3
cm, conforme a figura. O ângulo BÂC mede 300. Com base nessas informações,
analise as afirmativas :
I.
O triângulo de vértices A, B e C é retângulo.
II.
O triângulo de vértices A, O e C é isósceles.
III.
O perímetro do triângulo de vértices B, C e O mede 9 cm.
IV.
A corda AC mede 3 5 cm.
O número de afirmativas VERDADEIRAS é :
C
a) 0
b) 1
c) 2
d) 3
A
B
0
e) 4
22 – (Fuvest) Na figura a seguir, os quadrados ABCD e EFGH têm, ambos, lado a e
centro O. Se EP = 1, então a é
a)
b)
c)
2
B
A
2 −1
2
3 −1
2
2
E
P
G
O
D
C
H
d) 2
e)
2
2 −1
23 – (PUC/MG) – No triângulo ABC da figura, a projeção de AB sobre o lado AC mede
1,5 cm; o ângulo AB̂M mede 30o e o lado AC mede 4,0 cm.
B
A medida do lado BC, em cm, é
a)
13
b) 2
3
c) 3
d) 3
A
2
M
C
e) 5
24 – (FCMMG) – Observe a figura.
Nessa figura, AB é diâmetro do círculo de centro O e raio r = 1. A distância do ponto P
ao diâmetro AB é
a)
b)
θ é a medida do ângulo PÂB. O valor de cos θ é
7
8
3
8
c)
3
4
d)
7
8
e)
7
e
4
P
A
θ
B
F
14
4
25 – Na figura seguinte ABCD é um quadrado e AC = CE. A tangente do ângulo α
vale:
A
B
A) 1
B)
2 +1
C)
3 +1
D)
2 +1
α
D
E
C
26 – (Fuvest/SP) – Dois pontos A e B estão situados na margem de um rio e distantes
40 m um do outro. Um ponto C, na outra margem do rio, está situado de tal modo que
o ângulo CÂB mede 75o e o ângulo AĈB mede 75o. Determine a largura do rio.
a) 40 m
b) 20 m
c) 20
3 m
d) 30 m
e) 25 m
27– (UFMG) – Observe a figura.
Nessa figura, ABCD representa um quadrado de lado 11 e AP = AS = CR = CQ. O
perímetro do quadrilátero PQRS é
R
D
A) 11
3
B) 22
3
C) 11
2
D) 22
2
C
Q
S
A
P
B
28 – (UFMG) – Observe a figura.
P
Nessa figura, AB é um diâmetro do círculo de
centro O e raio 2 e o ângulo PÂB mede 15o .
A
0
Nesse caso, a distância do ponto P à reta AB é
B
de
A)
3
B)
3
2
C) 1
D)
2
29 – (UFMG) – Observe a figura.
D
T
0
A
0’
B
C
Nessa figura, AB contém os centros O e O’ das circunferências que se tangenciam no
ponto T. Sendo AB = 44, O’B = 16 e AC = 6, a medida TD é
a) 8
2
b) 15
c) 6
3
d) 20
e) 16
3
30- ( CEFET-MG). Um topógrafo vai medir a altura de uma montanha e para tal toma
como referência o ponto P, no pico. A partir de um ponto A no solo, calcula a medida
do ângulo α que o segmento AP forma com a horizontal local e, afastando-se 1 km até
o ponto B, mede o ângulo β de BP com a horizontal. O valor da altura, em km, será
expresso por
A)
1
tgα - tgβ
B)
1+ tgα . tgβ
tgα - tgβ
C)
1 − tgα . tgβ
tgα + tgβ
D)
tgα + tgβ
tgα . tgβ
E)
tgα . tgβ
tgα − tgβ
31. (Unipac) Para obter a altura H de uma torre, um engenheiro que estava no alto de
outra torre de altura h mediu os ângulos α e β a partir da horizontal AB. Assim sendo é
correto afirmar que
A) H = h +
tgα
tgβ
⎛
B) H = h ⎜⎜1 +
⎝
tgα ⎞
⎟
tgβ ⎟⎠
A
⎛
sen α ⎞
C) H = h ⎜⎜1 +
⎟⎟
⎝ sen β ⎠
⎛
D) H = h ⎜⎜1 +
⎝
β
α
B
H
h
tgβ ⎞
⎟
tgα ⎟⎠
32. (UFOP) Um observador vê um prédio segundo um ângulo α. Após caminhar uma
distância d em direção ao prédio, ele passa a vê-lo segundo um ângulo β.
α
β
d
Podemos afirmar que a altura h do prédio é:
A) d . tgα . tgβ / (tgβ - tgα)
B) d . tgα . tgβ / (tg α- tgβ)
C) d . tgα . tgβ / (tgβ + tgα)
D) d
33 – Seja um Δ eqüilátero ABC cujo lado mede 8 3 cm. Sobre o lado AB tomamos um
ponto P e sobre o lado AC um ponto Q de modo PQ ⊥ AB e QM ⊥ AC onde M é o
ponto médio do lado BC. Calcule a medida de AP.
A) 2 3 cm
B) 3 3 cm
C) 4 3 cm
D)
3
3 cm
2
34 – (UFMG) – Observe a figura.
A
D
Q
B
H
C
Nessa figura, tem-se: AB = AC = 6, BC = BD = 4 e CB̂Q = QB̂D . A tangente do ângulo
CB̂Q é
A)
2
4
B)
2
2
C)
1+ 2
2
D)
2 − 1
2
35 – Seja ABCD um quadrado e BCE um Δ eqüilátero, com o ponto E na parte interna
do quadrado. Trace o segmento AC, cuja interseção com BE é o ponto P. Sendo 6 a
medida do lado do quadrado, determine o segmento AP.
( 6 − 2)
4 ( 6 − 2)
2 ( 6 − 2)
A) 3
B)
C)
D)
6− 2
36– (UFMG/06) – Esta figura representa o quadrilátero ABCD:
Sabe-se que
• AB = 1cm e AD = 2cm
•
•
o ângulo ABˆ C mede 120º ; e
o segmento CD é perpendicular aos segmentos AD e BC.
Então, é CORRETO afirmar que o comprimento do segmento BD é
a)
b)
c)
d)
3
5
2
6
2
2