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Turma:
Disciplina: Cálculo
III
Professor: Dani, Milton e Rebello
Nota:
Data: ago
/ 2012
Aluno (a):
LISTA 2 de exercícios - Integrais Triplas
1. Calcule
∫∫∫ x
2
− yz dV onde D = {( x , y , z) / 0 ≤ x ≤ 2, 0 ≤ y ≤ 3, − 1 ≤ z ≤ 1}
R : 16
D
2. Calcule
∫∫∫ x + y dV
onde D = {( x , y , z) / 0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ 4, x 2 ≤ z ≤ y 2 }
R : 71
D
3. Faça os exercícios do livro Howard Anton; vol. 2; 6°edição: lista 7.5 { 1, 2, 5 e 6 }
4. Faça os exercícios do livro James Stewart; vol. 2; 5°edição: lista 15.7 { 10, 11, 13 e 15 }
5. Calcule o volume do sólido, no primeiro octante, limitado por:
y = x2 , x = 2 e
z = 1 + xy
R: 8
y=
x
z =1− y
6. Faça três montagens distintas para o cálculo do volume do sólido ao lado.
1
Calcule seu volume. R :
12
A massa de um sólido pode ser determinada pela integral:
m=
∫∫∫ mesp . dV
onde mesp = massa específica
R
7. Determine a massa do sólido da questão 6, sabendo que sua massa específica é dada por
2
mesp ( x , y , z) = x + y + 4 ( g / cm3 )
R: g
5
O centro de massa de um sólido pode ser determinado pela fórmula genérica:
∫∫∫ xi . mesp . dV
xi =
R
∫∫∫
mesp . dV
( direção xi ) , se mesp for constante as coordenadas xi coincidem com o centroide.
R
8. Determine a massa e o centro de massa do sólido limitado por z = 1 − y 2 , x + y = 1 no 1° octante, considere
25
9 7 11
a massa específica como 5 g/cm3. R =
g , (
,
,
) cm
12
25 25 25
O valor médio de uma função é determinado por:
∫∫∫ f (x1 , x2 , x3 )dV
fm =
R
∫∫∫
, para qualquer sistema de coordenadas.
dV
R
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9. Considere o sólido da questão 6 submetido a uma condição térmica onde a temperatura varia conforme a
função T ( x , y , z) = 40 + 50 y + 60 x 2 (o C ) . Determine a temperatura média.
R : 74, 3 oC
10. Faça montagem da integral para o cálculo do volume do sólido ao
lado, em coordenadas retangulares e cilíndricas e determine o volume
usando a integral mais conveniente. Determine também a sua
temperatura média sabendo que: T (r , θ , z) = 6 r + 20 (o C )
125π
R:
, 35 oC
12
11. Determine o volume e a temperatura média da casca esférica ao lado onde:
117π
100
T ( ρ , θ , φ ) = 50 − 2 (o C )
R:
, 42, 3 oC
2
ρ
12. Faça os exercícios do livro George B. Thomas; vol.2; 11° edição: Lista 15.6 { 15, 18 , 38 e 45 }
Podemos determinar o momento de inércia de um sólido em relação a cada eixo fazendo:
I x = ∫∫∫ (y 2 + z 2 ).mesp . dV
I y = ∫∫∫ ( x 2 + z 2 ).mesp . dV
Iz = ∫∫∫ ( x 2 + y 2 ).mesp . dV
R
R
R
13. Determine o momento de inércia, em relação ao eixo z, para o paralelepípedo limitado por:
x = −4 , x = 4 , y = −3 , y = 3 , z = −2 e z = 2 (cm) e mesp = 6g/cm3
R : 9600 g cm2
14. Determine o momento de inércia, em relação ao eixo z, para o paralelepípedo com centro na origem,
considerando lados: A , B e H nas direções x, y e z respectivamente. Use como massa específica 1.
ABH 2
R:
( A + B2 )
12
15. Uma peça será usinada com base nas equações dadas. Em função da geometria do sólido, muitas vezes
torna-se fundamental a mudança da geometria do espaço. Sabendo que a massa específica do material varia
conforme a função
Dica:
2
( g / cm3 ) , indique qual a integral válida para o cálculo da massa da referida peça.
y
m = ∫∫∫ mesp . dV
dV = ρ 2 senφ d ρ dθ dφ
e
R
Equações:
x 2 + y 2 + z 2 = 25 ; x 2 + y 2 + z 2 = 64 ;
π π
2ρ
a) ∫ ∫ ∫
d φ dθ d ρ
sen θ
5 0 0
8 3 6
y = 3 x e z = 3x 2 + 3 y 2
π
π
8 6 π
8 3 π
2ρ
b) ∫ ∫ ∫
d φ dθ d ρ
sen θ
5 0 π
3
c)
2ρ
∫ ∫ π∫ sen θ
d φ dθ d ρ
5 0
6
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π
π 3 64
d)
π π
6 3 8
2
∫π ∫0 25∫ r. senθ d ρ dθ dφ
2
∫ ∫ ∫ r. senθ
e)
d ρ dθ d φ
0 0 5
6
16. Na engenharia é de grande importância saber definir os limites de integração. Em muitas situações, podemse construir integrais equivalentes, embora diferentes, para o mesmo domínio. Concebendo que montagens
diferentes levam a técnicas diferentes, então, isso pode representar uma vantagem no calculo do valor da
integral.
Analisando a região e as integrais abaixo, indique qual a alternativa correta para o cálculo do volume do
sólido.
3
x
2
3 1− y
3
I)
∫ ∫ ∫
0
0
3
dzdydx
II)
0
∫∫ ∫
III)
0
1
V)
0
dzdydx
IV)
dzdydx
0
3y
∫ ∫ ∫ dxdzdy
0
0
y=
3
x
3
z = 1− y2
0
2
3 1− y
∫ ∫ ∫
0
3
x
3
2
1 1− y
0
1− y 2
∫ ∫ ∫
0
2
3 1 1− y
1
3x
dzdxdy
0
a) Somente a V atende ao cálculo;
b) II , IV são equivalentes e atendem ao cálculo;
c) Somente a I atende ao cálculo;
d) As integrais III e a V apresentam sinais opostos e valor, em módulo, igual ao volume;
e) Somente IV atende ao cálculo;
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