A Soma dos Ângulos Internos de um Triângulo
nem sempre é 180o
Andrea de Jesus Sacramento, Érica Boizan Batista,
Michelli Maldonado Carretero
Orientadora: Prof. Dra. Aparecida Francisco da Silva
1 Introdução
Neste minicurso pretendemos apresentar algumas idéias simples das geometrias não euclidianas e
alguns modelos que permitam sua visualização. Não daremos um tratamento rigoroso, demonstrando
ou comentando todos os resultados. Procuramos apresentar apenas um fio condutor que permita
vislumbrar este intrigante assunto que permitiu um grande desenvolvimento científico e tecnológico
no final do século XIX e início do século X.
1.1 Os Axiomas e Postulados de Euclides
1.1.1 Noções Comuns
1. Coisas iguais a uma terceira são iguais entre si.
2. Se quantidades iguais são adicionadas a iguais, os totais são iguais.
3. Se quantidades iguais são subtraídas de iguais, os restos são iguais.
4. Coisas que coincidem uma com a outra são iguais.
5. O todo é maior do que qualquer de suas partes.
1.1.2 Postulados
1. Uma linha reta pode ser traçada de um ponto a outro, escolhidos a vontade.
2. Uma linha reta pode ser prolongada indefinidamente.
3. Um círculo pode ser traçado com centro e raio arbitrários.
4. Todos os ângulos retos são iguais.
5. Se uma reta secante a duas outras forma ângulos, de um mesmo lado desta secante, cuja soma é
menor que dois ângulos retos, então essas retas se prolongadas suficientemente encontrar-se-aõ
em um ponto desse mesmo lado.
1.2 O Escândalo da Geometria
Por cerca de dois mil anos a Geometria de Euclides foi considerada como a única geometria possível. A obra os Elementos era inquestionável. Pela forma como era apresentado o 5o postulado, os
matemáticos, por cerca de 2000 anos, pensavam que ele fosse uma consequência dos demais, isto é,
um teorema. Os trabalhos independentes de Bolyai e Lobachevsky provam que não.O 5o Postulado
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não é uma conseqüência lógica dos quatro anteriores. Substituindo-o, criam-se novas geometrias, tão
boas e consistentes quanto a Euclidiana.
2 Substitutos do 5o Postulado
2.1 O que são substitutos?
Afirmar que uma determinada proposição P é um substituto do 5o postulado é o mesmo que dizer que
a teoria desenvolvida usando os quatro primeiros postulados e mais a proposiçao P coincide com a
geometria de Euclides.
2.2 Como Provar que P é um substituto?
A maneira de provar que um proposição P é um substituto para o 5o postulado é a seguinte: Primeiramente, devemos demonstrar que P é uma proposição da geometria euclidiana. Depois, devemos
demonstrar que, na teoria desenvolvida usando os quatro primeiros postulados e mais P, pode se
provar o 5o postulado como uma proposição.
2.3 Alguns Substitutos do 5o postulado
1. Axioma de Playfair: Por um ponto fora de uma reta pode-se traçar uma única paralela à
reta dada.
Demonstração. 1o ) Vamos provar o axioma de Playfair: Sejam m e P uma reta e um ponto fora
da reta dada, respectivamente. Então de acordo com os quatro primeiros postulados e de acordo
com a seguinte proposição da geometria euclidiana: "Se uma reta corta duas outras formando
ângulos correspondentes iguais, então, as duas retas são paralelas", existe uma reta m0 paralela
a m, cuja construção é a seguinte: trace uma reta n perpendicular a m po P e, a partir de P, a
reta m0 perpendicular a n. Então m0 é a paralela a m.
Para provar a unicidade basta supor que exista outra reta m00 , paralela a m por P. Esta reta forma
um ângulo agudo com n. Portanto pelo quinto postulado temos que m00 intercepta m. O que
contradiz nossa hipótese.
Portanto m00 = m0 .
2o ) Vamos provar o quinto postulado usando a teoria desenvolvida a partir dos quatro postulados de Euclides mais o axioma de Playfair, para isso faremos uso da figura abaixo.
2
m'
S
n'
β
β'
α
m
T
Supondo α + β < 180o e que as retas m e m0 são paralelas, traçamos pelo ponto S uma reta n0
formando um ângulo β 0 tal que α + β 0 = 180o . Então n0 é paralela a m. Logo temos duas retas
distintas passando por S e paralelas a uma mesma reta, o que é absurdo segundo V1 . Portanto m
e m0 se encontram.
2. A soma dos ângulos internos de um triângulo é sempre igual a dois ângulos retos
Demonstração. 1o ) Vamos provar a proposição acima através da teoria de Euclides. Para isso
utilizaremos a seguinte proposição:
Proposição 1. Se duas retas paralelas são cortadas por uma transversal, então os ângulos
correspondentes são congruentes.
Seja ABC um triângulo. Pelo vértice C trace uma reta paralela ao lado A. Númere os ângulos
formados com o vértice C, como indicado na figura seguinte.
C
1
2
3
B
A
3
Tem-se 1̂ + 2̂ + 3̂ = 180o . Como AC é transversal às duas paralelas, é uma consequência direta
da proposição anterior que 1̂ = Â. Como BC é também transversal às duas paralelas, então o
3̂ = B̂. Portanto
 + B̂ + AĈB = 1̂ + 3̂ + 2̂ = 180o
2o ) Agora vamos provar o 5o postulado usando os quatro primeiros postulados mais o subtituto.
Queremos provar que se soma dos ângulos de qualquer triângulo é dois ângulos retos, então,
por um ponto fora de uma reta, passa uma única reta paralela a uma reta dada. Para isso
precisaremos dos seguintes lemas e o axioma de Pasch:
Lema 1. Um ângulo externo de um triângulo é sempre igual à soma dos dois ângulos internos
que não lhe são adjacentes.
Lema 2. Por um ponto P, pode-se sempre traçar uma reta, formando, com uma reta dada,
ângulo menor do que qualquer número positivo pré fixado.
Axioma 1. Sejam A,B e C três pontos não colineares e seja m uma reta que não contem nenhum
destes pontos. Se m corta o segmento AB, então ela também corta o segmento AC ou o segmento
CB.
Admintindo a validade dos lemas, sejam P um ponto e m uma reta. A perpendicular à reta m
passando por P intercepta m no ponto A1 . Sabemos como construir uma reta paralela à reta m
passando por P: basta tomar a reta n perpendicular ao segmento PA1 passando por P.
P
n
n'
m
B
A1
Seja n’ qualquer outra reta que passa pelo ponto P. Seja ε o ângulo entre n e n’. A reta n’ forma
com o segmento PA1 um ângulo α complementar de ε . Observamos que, de acordo com o lema
2, podemos traçar uma reta pelo ponto P que intercepta m em um ponto B, formando um ângulo
menor do que ε .
Então o triângulo PA1 B, que é retângulo em A1 tem o ângulo em P maior do que α . Portanto, a
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reta n’ entra no triângulo PA1 B pelo vértice P e, pelo axioma de Pasch, corta o lado oposto que
é o segmento A1 B. Portanto não é paralela a m. Isso completa a demonstração.
3. Existe um par de retas equidistantes
Demonstração. 1o ) Vamos provar que o substituto acima pertence a teoria de Euclides.
Sejam m e n retas paralelas. Sobre m tome dois pontos A e A’ e deles, baixe perpendiculares
à reta n. Sejam B e B’ respectivamente os pés dessas perpendiculares. Devemos provar que
AB = A0 B0 . Para isso trace A’B como indicado na figura seguinte.
A
A'
B
B'
Observe que AÂ0 B = A0 B̂B0 e que A0 ÂB = 90o , portanto os triângulos AA’B e B’BA’ são triângulos retângulos com um ângulo agudo e hipotenusa congruentes, logo estes triângulos são
congruentes. A congruência é a que leva A em B’, A’ em B e B em A’. Logo AB=A’B’.
2o ) Vamos provar que se o substituto acima for adotado, podemos deduzir o 5o postulado
mostrando que existe um triângulo cuja soma dos ângulos internos é igual a dois ângulos retos.
De fato, se m e n são as duas retas equidistantes, de pontos O e Q na reta n, baixe perpendiculares à reta m e designe por P e R, respectivamente, os pés destas perpendiculares. De um ponto
qualquer S do segmento PR, baixe uma perpendicular ST à reta n. Por hipótese, PO=ST=RQ.
m
P
S
R
O
T
Q
n
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Por construção, os triângulos OPS, STO, SQR e QTS, são retângulos. É fácil que os dois
primeiros e os dois últimos são congruentes, de onde se segue que: T ÔS = PŜO e T Q̂S = QŜR.
Portanto a soma dos ângulos internos do triângulo OSQ é igual a dois ângulos retos, já que:
T ÔS + OŜQ + SQ̂T = PŜO + OŜQ + QŜR = PŜR = 180o
3 Geometria Hiperbólica
3.1 Postulado de Lobachevsky
Na Geometria Hiperbólica os quatro primeiros postulados de Euclides são válidos e o quinto postulado é substituído pelo que segue:
Postulado 3. Por um ponto P fora de uma reta r passa mais de uma reta paralela à reta r.
Há vários modelos para essa geometria. No que segue apresentaremos dois deles: o de Klein e
o de Poincaré, que permitem "visualizar"não apenas os postulados, mas também os resultados mais
importantes desta teoria, como os seguintes:
Proposição 2. Dados uma reta r e um ponto P fora desta reta, existem exatamente duas retas a e b
que passam pelo ponto P e que separam o conjunto das retas secantes e não-secantes a r.
a
P
b
r
Definição 4. Sejam m uma reta e P um ponto não pertencente a m, ângulo de paralelismo é o ângulo
formado por uma das paralelas com a perpendicular baixada do ponto a reta.
Proposição 3. As retas paralelas a r passando por P formam ângulos de paralelismo iguais e agudos
com a perpendicular baixada de P a r.
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3.2 Modelo de klein
No modelo de Felix Klein tomamos como "plano"o interior de um círculo no plano euclidiano. As
retas desse "plano"são as cordas do círculo.
Na figura abaixo traçam-se NA e MB, paralelas a AB que contêm P.
As infinitas retas não-secantes estão situadas no interior do ângulo θ .
M
N
P
θ
B
A
3.2.1 Fatos que podem ser visualizados no modelo de Klein
1. - o ângulo de paralelismo é agudo.
2. - o ângulo de paralelismo é variável, ou seja, depende da distância do ponto P à reta AB.
3. - duas retas distintas e perpendiculares à reta AB formam um quadrilátero PQMK, que vem a
ser o "retângulo"da Geometria Hiperbólica, como na figura abaixo.
P
Q
A
K
M
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B
3.3 Modelo de Poincaré
O modelo de Henri Poincaré é muito semelhante ao de Klein, a não ser pelo fato de que as retas são
arcos de círculos perpendiculares ao círculo que representa o plano hiperbólico, como no exemplo a
seguir.
É "fácil"visualizar neste modelo que a soma dos ângulos internos é menor que 180o . Antes porém,
a fim de apresentarmos uma argumentação razoável para este resultado apresentaos os quadriláteros
de Saccheri e de Lambert.
3.4 Quadrilátero de Saccheri
Girolamo Saccheri foi um padre jesuíta professor da universidade de Paiva que como tantos outros
matemáticos tentou provar o quinto postulado sem sucesso. Porém ele foi o primeiro a contemplar a
possibilidade de outras hipóteses que não a de Euclides e a trabalhar com suas consequências.
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C
B
F
E
D
A
Saccheri considerou um quadrilátero ABCD, onde AB e DC são congruentes e perpendiculares a
BC.
Os dois teoremas, a seguir, são os resultados mais importantes de seus estudos.
Teorema 5. O seguimento que une os pontos médios da base e do topo do Quadrilátero de Saccheri
é perpendicular a ambos.
Demonstração. Seja ABCD o quadrilátero de Saccheri com base AB. E e F são os pontos médios de
AB e de CD respectivamente. Ligam-se os pontos C e D a E formando os triângulos congruentes:
ADE e BCE. Com isto, DE é congruente a CE, e como F é ponto médio de CD, segue-se que EF é a
mediatriz do segmento CD e, portanto, perpendicular a este segmento.
Da congruência dos pares de triângulos ADE, BCE, CEF E DEF, conclui-se que os ângulos BÊF e
AÊF são congruentes, logo FE é perpendicular à base AB.
Teorema 6. Os ângulos do topo do Quadrilátero de Saccheri são congruentes e agudos.
3.5 Quadrilátero de Lambert
A grande semelhança entre o trabalho de Johann Heinrich Lambert e o de Saccheri é que a figura
fundamental de seus estudos era um quadrilátero com três ângulos retos.
A
D
B
C
Na Geometria Hiperbólica prova-se que o quarto ângulo é agudo, para isso basta observar que o
quadrilátero de Saccheri nada mais é do que dois quadriláteros de Lambert.
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3.6 A soma dos ângulos internos de um triângulo é menor do que 180o
Teorema 7. A soma das medidas dos ângulos internos de um triângulo retângulo é menor que 180o .
Demonstração. Seja ABC um triângulo retângulo e E o ponto médio da hipotenusa AC. ED é perpendicular a BC. Constrói-se AF tal que CÂF = AĈB e DC=AF. Com isso formam-se os triângulos
congruentes AFE e DEC. Consequentemente, E,F e D são pontos alinhados e o ângulo em F é reto.
Portanto, ABDF é um quadrilátero de Lambert com ângulo agudo em A, ou seja, BÂC +CÂF < 90o .
Como CÂF é congruente ao ângulo interno AĈB do triângulo retângulo segue que:
AB̂C + BĈA +CÂB
Teorema 8. A soma das medidas dos ângulos internos de qualquer triângulo é menor que 180o .
Demonstração. Seja ABC um triângulo.
Se ABC é retângulo segue do teorema anterior.
Supondo ABC não-retângulo. Traça-se AD perpendicular a BC. Ficam formados os dois triângulos
retângulos em D, ADC e ADB, cujas somas das medidas dos ângulos internos é menor que 180o .
Considerando os dois triângulos, tem-se:
2D̂ +  + B̂ + Ĉ < 360o , ou + B̂ + Ĉ < 180o
4 Geometria Elíptica
Com a descoberta de Lobachevsky passou a ser considerada a possibilidade de existência de outras
geometrias não-euclidianas.
O alemão Riemann (1826-1866) desenvolveu a geometria Elíptica, onde a noção de estar entre foi
abandonada e as retas deixaram de ser infinitas para serem ilimitadas.
Riemann considerou a seguinte negação do quinto postulado:
4.1 Postulado de Riemann
Postulado 9. Quaisquer duas retas em um plano tem um ponto de encontro.
Modelos (esferas).
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