1.5 Lei dos Gases Ideais
► O volume e,
e
portanto
portanto,
a massa específica
( = massa/volume) dos gases são sensíveis às
variações da pressão e Temperatura.
► Buscando nos cursos de física básica o conceito
básico de pressão e temperatura
temperatura..
Temperatura
grau de agitação
g ç
► Grandeza física relacionada com o g
térmica dos átomos e das moléculas de um sistema
(corpo).
1
Pressão:
► É a razão entre a força normal por unidade de área
exercida
id sobre
b
uma superfície,
fí i
reall ou imaginária,
i
i á i
i
imersa
em um fluido.
► É o resultado do bombardeamento das moléculas do
fluido a esta superfície.
Símbolo: p (minúsculo)
Unidade (SI): N/m2 = Pa (Pascal)
Dimensão: ML-1S-2 ou FL-2
Fn
p
A
► Grandeza Escalar.
Escalar
2
Pressão Atmosférica
► É a pressão exercida pela força peso de uma coluna de ar
atmosférico sobre uma área de 1m2 ao nível do mar.
Valor padrão:
p
po = 101,3 kN/m2
ou
101 3 kPa
101,3
kP
3
Pressão Absoluta:
► É pressão medida em relação à pressão absoluta zero,
zero isto
é, à pressão que ocorreria no alto vácuo.
Pressão absolta em
ponto P1 do fluido:
p
p1 = po + φ(h)
φ(h) -> pressão
relativa
4
...Voltando à lei dos gases ideais,
► Lei de Boyle-Maariotte
1
V
p
k
V  1 (k1 é uma constante)
p
Se po e Vo representam a pressão e o volume iniciais de
um estado inicial de uma certa massa da gás, e p e V a
pressão e o volume de outro estado instantâneo do gás,
então,
ã
poVo  k1 
  pV  poVo
pV
V  k1 
5
► Lei de Charles
V T
V  k 2T (k 2 é uma constante)
Se To e Vo representam a temperatura
e o volume iniciais de um estado inicial
de uma
ma certa
ce ta massa da gás,
gás e T e V a
temperatura e o volume de outro estado instantâneo do gás, então,
V0

 k2 
T0
 V V0
 
T T0
V

 k2 
T

6
► Lei de Avogadro
g
“Volumes iguais de gases diferentes às mesmas condições
de temperatura e pressão conterão o mesmo número de
moléculas.”
V n
V  k3 n (k3 é uma constante e n é o número de moléculas)
7
► Combinando as
Avogadro,
g
obtemos.
leis
de
Boyle-Mariotte,
Charles
e
T
p
pV  nRT
1 m
m R
p
RT 
T  p  T
V M
V M
V n
m é a massa do gás,
M é a massa molar do g
gás,
 é a massa específica do gás,
 é a constante específica do gás (ver tabela da página 15).
8
Tensão de Cisalhamento
► Razão entre a magnitude da força tangente por unidade
de área exercida sobre uma superfície, real ou imaginária,
imersa num fluido.
Símbolo: 
Unidade (SI): N/m2
Dimensão: ML-1T-2 ou FL-2
Ft

A
9
Princípio da Aderência
► Partículas de um fluido, quando juntas a superfícies,
sólidas adquirem as velocidades dos pontos destas
superfícies.
► Entre as partículas de uma camada superior do fluido e
uma imediatamente inferior, existirá atrito, que por ser
uma força tangente ao fluido gera tensões de cisalhamento
entre as camadas do fluido.
► Quando Ft = F, a placa superior irá adquirir movimento
uniforme com velocidade U.
► A velocidade ao longo do
fluido, uy, é, em geral, dada
por,
u y  ay2  by  c (eq. parábola)
como:


para y  0, u y  0  c  0


para y   , u y  U  a 2  b  cte.
  condiçõesde contorno

duy
também, para y   ,
 0 ( já que u y  U  cte.))

dy
11
► Das condições de contorno:
du y
dy
 2ay  b  0 e
du y
dy
 2 a  b  0
y 
2 a  b  0
b  2a
Daí , obtém  se :
U
U
a 2 e b2


Logo :
uy  
U
2
y 2
2
U

y
e
du y
dy

2U
2
y2
U

12
► A quantidade duy/dy é chamada de gradiente de
velocidade e é diretamente proporcional à velocidade U e
inversamente proporcional à distância entre as placas.
placas
► De acordo com a discussão anterior, quanto maior for a
velocidade, maior será
á o atrito entre as camadas do fluido.
Isto nos permite escrever,

du y
dy
  
du y
dy
► μ é uma constante de proporcionalidade e chamada de
viscosidade dinâmica do fluido (varia com a temperatura).
► duy/dy também é chamada de taxa de deformação de
cisalhamento.
13
Fluidos Newtonianos
► São todos aqueles que obedecem a equação
 
du y
dy
► É comum em Mecânica dos Fluidos definir a viscosidade
cinemática por,



Onde ρ é a massa específica do fluido.
14
Propriedade Físicas de alguns gases na pressão
atmosférica padrão
Temperatura
T
(oC)
Massa
espec ca
específica
Ρ (kg/m3)
Viscosidade
dinâmica
d
â ca
μ (Ns/m2)
Constante
do Gás
R (J/kgK)
Razão entre os
Calores
específicos
K
Ar (padrão)
15
1,23 E+0
1,79 E-5
2,869 E+2
1,40
Dióxido de Carbono
20
1,83 E+0
1,47 E-5
1,889 E+2
1,30
Hélio
20
1,66 E-1
1,94 E-5
2,077 E+3
1,66
Hidrogênio
20
8,38 E-2
8,84 E-6
4,124 E+3
1,41
Metano (gás natural)
20
6,67 E-1
1,10 E-5
5,183 E+2
1,31
Nitrogênio
20
1,16 E+0
1,76 E-5
2,968 E+2
1,40
O i ê i
Oxigênio
20
1 33 E+0
1,33
2 04 E-5
2,04
E 5
2 598 E+2
2,598
1 40
1,40
15
► Unidade e dimensão da viscosidade.
Unidade (SI)
μ
V
Dimensão
N.s/m2
MT-1L-1
m2/s
L2 T-1
► Tabelas 1.4, 1.5, B.1 e B.2 trazem valores das
viscosidade dinâmica para alguns líquidos e gases.
gases Tabelas
entregues na sala.
16
Exercício
1)
Um fluido newtoniano, densidade e viscosidade
cinemática
c
e át ca respectivamente
espect a e te iguais
gua s a 0,9
0,92 e 4x10
0-4 m2/s,
escoa entre duas superfícies, uma fixa (inferior) e outra
(superior) que se move com velocidade constante U. O
perfil de velocidade deste escoamento corresponde
p
p
a
uma parábola uy = ay2 + by + c e está mostrado na figura
abaixo.
a) Determine os valores de
a, b e c e reescreva a equação
uy = ay2 + by + c.
B) Determine a tensão de
cisalhamento nas superfícies
inferior e superior.
Fil
Filme
61
6.1
17
Solução
u y  ay 2  by  c
a ) Cálculo de a, b e c.
Aplicando as condições de contorno,
u y  0, para y  0. Logo
L
, 0  a0  b0  c  c  0
u y  U  cte., para y   . Logo, U  a 2  b
du y
dy
 0, para y   . Isto é , 2a 2  b  0
U  a 2  b
Daí , temos : 
2a 2  b  0
18
Continuando,
Continuando
U  a 2  b
Resolvndo o sistema 
, vem qque,
2
2a  b  0
b  2a . Assim,
U  a 2  2a  a 2  2a 2  a 2  a  
U
2
U
 U 
e b  2a  2  2   2

  
Efetuando
f
as devidas substituiçções, chegamos
g
a
uy  
U
2
y 2
2
U

y
e
du y
dy

2U
2
y2
U

19
b ) tensão de cisalhamen to ,
 
du y
.   ? ( viscosidad e )
dy
Foram dados :
Densidade , SG  0,92 

 água 4
   0,92  1000  920
o
C
Viscosidad e cinemátca ,   4  10
Agora , em y   , temos :
e em y  0, temos :
du y
dy
du y
dy
4
m2 
Ns
    4  10  4  920  0,368 2

s
m

y 

y 0
2U

kg
m3
2
2U
2
 2
U
02

2
U

0
U

Finalmente :
Na placa superior , y   e   
Na placa inferior , y  0 e   
du y
dy
0
y 
du y
dy
 0,368  2
y 0
U

 0,736
U

(N / m2 )
20
Exercício
2) Uma distribuição de velocidade do escoamento de um
fluido newtoniano num canal formado por duas placas
paralelas e largas (veja figura) é dada pela equação,
3V
u y  medd
2
  y 2 
1    
  h  
Vmed é a velocidade média de escoamento. O fluido
apresenta μ = 1,92 Ns/m2. Admitindo que Vmed = 0,6m/s e
h = 5mm, determine a Tensão de cisalhamento na: a)
parede inferior do canal. b) no plano central do canal. c) na
parede superior.
p
p
21
Solução
 
du y
dy
3Vméd
uy 
2
  y 2 
du y
3 yVméd

1     
2
h
dy
h




a ) Na parede inferior , y  h. Daí ,
du y
dy

y  h
3(h)Vméd 3Vméd

2
h
h
Assim,  sup.inf .  
du y
d
dy
y  h
3  0,6
N
 1,92 
 691,2 2
3
5 10
m
22
b) Na
N plano
l
médio
édi , y  0. Daí
D í,
du y
dy

y 0
3(0)Vméd
0
2
h
Assim,  plano médio  0
c) Em, y   h,
du y
dy

y h
3(h)Vméd
3Vméd


,
2
h
h
Interpretação:
No plano médio, a tensão de
Cisalhamento é nula, variando
para o valor máximo, em
módulo,, nas p
paredes de 691,2
,
N/m2.
Mas
tem
sentidos
opostos. Positivo na placa
inferior e negativo no plano
superior, (y = +h).
N
 3  0,6 


691
,
2

3
m2
 5 10 
 y  h  1,92   
23
Exercício
3) Um fluido
f
newtoniano, densidade e viscosidade
cinemática iguais a 0,92 e 4x10-4 m2/s, escoa sobre uma
superfície imóvel. O perfil de velocidade deste escoamento,
na região
iã próxima
ó i
à superfície
fí i está
tá mostrado
t d na figura
fi
abaixo. Determine o valor a direção e o sentido da tensão
de cisalhamento que atua na placa. Expresse o resultado
em função de U (m/s) e  (m).
(m)
u 3 y 1 y

  
U 2  2 h
3
24
Solução
u 3 y 1 y
  

U 2  2 
u
3
Calculando a tensão de
cisalhamento em y  0
3U
U 3
du 3U 3U 2
y
y 


y
2
2
dy 2 2
Para y  0,
du 3U

dy 2
du
3U
 
 0,368 
dy
2
  0,552
U

( N / m2 )
Foram dados :
SG  0,92 

 água 4
  4 10 3 
. Daí ,   0,92 1000  920
o
C
kg
m3

Ns
. Daí ,   4 10 3  920  0,368 2

m
25
4) Uma combinação de variáveis muito importante no
estudo dos escoamentos viscosos em tubos é o número de
Reynolds (Re). Este número
ú
é definido por ρVD/μ, onde ρ
é a massa específica do fluido que escoa, V é a velocidade
média do escoamento, D é o diâmetro do tubo e μ é a
viscosidade
i
id d
di â i
dinâmica.
U
Um
fl id
fluido
N
Newtoniano,
t i
que
apresenta μ = 0,38 Ns/m2 e densidade 0,91, escoa num
tubo de 25 mm de diâmetro interno. Sabendo que a
velocidade média do escoamento é igual a 2,6
2 6 m/s,
m/s
determine o valor de Re.
26
Solução
SG 

 água 4
 0,91
o
C
  0,911000  910
kkg
m3
VD (910 kg / m3 )  (2,6 m / s )  (25 10 3 m)
Re 


(0,38 Ns / m 3 )
kgm / s 2
Re  156
 156.
N
O número de Reynolds é adimensional.
27
Turbulência está presente
p
em inúmeros fenômenos.
Filmes 9.1 e 9.3
http://www.youtube.com/watch?v=cA-zJwVqzxg&NR=1
28
1.7 Compressibilidade de um fluido
Módulo de elasticidade volumétrico (coeficiente de compres
compressibilidade)
► Define a capacidade de se comprimir um fluido quando
este está sob pressão. Em outras palavras, determina o quão
compressível é um fluido. É dado por,
EV  
dp
dV / V
► dp é a variação diferencial da pressão capaz de provocar
uma variação
ç
diferencial dV em um volume V.
► Sinal (-) => aumento de pressão provoca diminuição do
volume
volume.
29
► Alterações no volume implicam em alterações na massa
específica.
p
Daí,,
EV  
dp
d / 
Unidade de EV (SI): N/m2
Dimensão: FL-2
► Em geral, Ev, varia com a pressão para os líquidos, mas seu
valor mais importante é medido à pressão atmosférica.
► Tabelas
abe as 1.4 e 1.5
5 ttrazem
a e
os valores
a o es de Ev pa
para
a p
pressão
essão
atmosférica.
30
Compressão e Expansão de Gases
► Relação entre a massa específica e a pressão,
p

k
 constante
Onde k é a razão entre o calor específico à pressão
constante, cp, e o calor específico a volume constante, cV,
k
cp
cV
cp-cv = R, R é constante dos gases (8,31433 J/Kmol)
31
►
Para
uma
transformação
(temperatura constante), k = 1,
p

(processo)
isotérmico
 constante
► Para uma transformação (processo) isoentrópica (sem
atrito e troca de energia), k ≠ 1,
p

k
 constante
32
Exercício
Um metro cúbico de hélio a pressão absoluta de 101,3kPa
101 3kPa
é comprimido isoentropicamente até que seu volume se
torne igual à metade do volume inicial. Qual o valor da
pressão no estado final?
33
Solução
ç
Para uma transforma ção ( processo ) isoentrópi co , isto é , sem
atrito e sem troca de calor ,
 p i
pf



constante
 k
k
 kf
  i
i e f correspond em aos estados inicial e final , respectiva mente .
p
Daí ,
Da tabela do slide 15, k = 1,66.
Assim,
f 
 p i .
p f  

 i 
k
Vi
2
m
Como  i 
Vi
Vf 
f 
m
Vf




   f  2i




1, 66
 2 
p f   i 
 i 
(101,3 kPa)
p f  3,16  (101,3 kPa)  320 kPa
34
Velocidade do Som
► Uma consequência importante da compressibilidade dos
fluidos, é que as perturbações induzidas num ponto do fluido
se propagam com velocidade finita.
► Esta é uma propriedade macroscópica resultante de uma
propriedade microscópica do fluido, como a intensidade das
forças entre as moléculas.
35
... Entendendo
► Gases -> forças
ç
coesivas entre as moléculas são menores ->
maior liberdade de movimento -> maior tempo de propagação
das perturbações induzidas por diferenças de pressão.
► Líquidos -> forças coesivas entre as moléculas são maiores
do que nos gases -> menor liberdade de movimento do que os
gases ->
> menor tempo de propagação das perturbações
induzidas por diferenças de pressão.
36
► Em geral, a velocidade do som nos líquidos é maior do
que nos gases.
► Para o ar,
dp
c
d
► Utilizando a definição de Ev, e que as perturbações de
pressão
ã sejam
j
pequenas, o processo pode
d ser considerado
id
d
isoentrópico. Daí,
c
dp

d
EV


kp

Logo,
c  kRT
37
Exercício
Um avião a jato voa com velocidade de 890 km/h numa
altitude de 10700 m (onde a temperatura do ar é de
-55oC). Determine a razão entre a velocidade do avião, V, e a
do som no ar, c. Admita que no ar, k = 1,40.
c  kRT
k  1,40 (enunciado)
R  286,9 J / kg K
T  273  TCélsius  273  55  218 K
c  1,4  286,9  218  296 m / s
Razão
V
 0,84
c
► A razão V/c define o número Mach, Ma.
- Se Ma <1 o avião está voando com velocidade subsônica.
- Se Ma = 1, V = c e o avião voa com a velocidade do som.
- Se
S Ma
M > 1,
1 o avião
iã voa com velocidade
l id d maior
i
que a do
d som.
38
1.8 Pressão de Vapor
Evaporação
► Ocorre porque algumas moléculas do líquido, localizadas na
superfície livre do fluido,
fluido
apresentam quantidade de
movimento suficiente para superar as forças coesivas entre as
moléculas.
► Se o ar sobre a superfície do líquido for removido, nota-se
o desenvolvimento de uma pressão sobre o líquido devido ao
vapor formado
f
d pelas
l
moléculas
lé l
d fluido
do
fl id que evaporaram.
► Se o número de moléculas que evaporam (deixam o fluido)
se igualar ao número de moléculas que são absorvidas pelo
fluido, o vapor é dito saturado.
39
► A partir do instante que o vapor se torna saturado, a
pressão sobre o líquido é chamada de pressão de vapor (2).
40
1.9 Tensão Superficial
► Entre um líquido e um gás, ou entre dois líquidos
imiscíveis (água e óleo, por exemplo), existe uma
interface .
► Na interface, ocorrem forças superficiais que fazem a
superfície do líquido ficar mais “densa” e se comportar
como uma “membrana”.
► O resultado: essa tensão consegue suportar alguns
objetos feitos de material mais denso.
FILME (1.5).
41
► A tensão superficial surge devido ao “desbalanço” das
forças coesivas:
• Moléculas no interior do fluido estão envolvidas
por outras e se atraem mutuamente.
• Moléculas
é
na interface líquido-gás,
í
á
ou líquidoí
líquido (imiscíveis) estão sujeitas a forças que apontam
para o interior.
►
A consequência física
e macroscópica desse desbalanceamento é a criação
dessa “membrana”.
Filme 1.5
42
Alguns fenômenos associados à tensão de cisalhamento.
► Na interface líquido-gás, a adesão das moléculas do
líquido às paredes do capilar é o resultado de uma atração
f
forte
suficiente
fi i
para sobrepujar
b
j
a atração
ã mútua
ú
(
(coesão)
ã )
das moléculas do líquido.
► Co
Como
o o fluido
u do sobe,
so e, diz-se
d se que e
ele
e molha
o a o tudo.
udo
43
► Analisando o diagrama do corpo livre abaixo, é possível
concluir que
2R cos   R 2 h
Logo ,
h
2 cos 
R
► Se a adesão entre as moléculas
do líquido e a superfície sólida é
fraca, quando comparada à coesão
ã
entre as próprias moléculas do líquido, então o líquido não molhará
o tubo.
t b
► Neste caso, o nível do líquido no
que a
tubo imerso será mais baixo q
superfície do líquido-gás.
44
Exercício
A pressão pode ser medida a partir da coluna de líquido num
tubo vertical.
vertical Qual o diâmetro de um tubo limpo de vidro
necessário para que o movimento de água promovido pela
ação capilar (que se opõe ao movimento provocado pela
pressão no tubo) seja menor do que 1 mm? Admita que a
temperatura é constante e igual a 20 ºC.
Como vimos, h 
2 cos 
R
2  (0,0728 N / m 2 )  1
h  110 m 
(9,789 kN / m 3 ) R
Logo
g ,
3
O diâmetro mínimo
é D  2 R  0,0298 m
2  (0,0728 N / m 2 ) 1
 0,0149 m
R
3
3
(9,789 kN / m )(1 10 m)
45
Outros problemas relacionados à Tensão Superficial
importantes
p
em Mecânica dos Fluidos.
► Escoamento de líquidos através do solo e de outro
meios porosos.
► Escoamentos de líquidos em filmes finos.
► Formação de gotas e na quebra de jatos líquidos.
Tais fenômenos devem ser abordados em cursos mais
avançados de Mecânica dos Fluidos.
46