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II Congresso Nacional de Formação de Professores
XII Congresso Estadual Paulista sobre Formação de Educadores
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Trabalho Completo
O (RE)PENSAR DA PRÁTICA PEDAGÓGICA: DAS CONCEPÇÕES ESPONTÂNEAS AO
SABER-FAZER ETNOMATEMÁTICO DOS EDUCANDOS
Júlio César Augusto Do Valle
Eixo 1 - Formação inicial de professores para a educação básica
- Relato de Pesquisa - Apresentação Oral
Este artigo tem como propósitos principais: a) a descrição das duas primeiras aulas de uma
sequência didática sobre Semelhança de Figuras Planas para alunos do 9º ano da Escola
de Aplicação da Faculdade de Educação da Universidade de São Paulo em Abril de 2012;
b) refletir sobre a própria prática pedagógica sob a perspectiva do educador-pesquisador,
reconhecendo a transitoriedade do conhecer e dessa prática, situada em um ambiente
histórico e sociocultural. Por meio destes dois tópicos, espera-se evidenciar a pesquisa
como potencial transformadora da prática docente e provocar discussões sobre suas
capacidades no âmbito da formação de professores. Para isso, evidencia-se a transição
“das concepções espontâneas ao saber-fazer etnomatemática” como contingência da
própria prática pedagógica, quando articulada devidamente com a pesquisa.
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Ficha Catalográfica
O (RE)PENSAR A PRÁTICA PEDAGÓGICA: DAS CONCEPÇÕES ESPONTÂNEAS AO
SABER-FAZER ETNOMATEMÁTICO DO EDUCANDO EM AÇÃO
Júlio César Augusto do Valle. Universidade de São Paulo
Meu propósito neste texto é descrever as duas primeiras aulas de uma sequência
didática sobre o assunto de Semelhança de Figuras e Triângulos, aplicada em três
turmas de 9º ano da Escola de Aplicação da Faculdade de Educação da Universidade de
São Paulo, sob a responsabilidade da professora Danielle Canteiro, que acompanhou
todas as aulas descritas a seguir. Em cada turma foram utilizadas duas aulas de 1 hora e
15 minutos para a resolução da atividade, que fora realizada por um total de 74 alunos.
Pretendo, durante a descrição das aulas e, sobretudo, posteriormente, convidar o leitor à
reflexão de alguns aspectos que se destacaram.
É importante destacar que meu olhar – o olhar do educador/pesquisador – se situa,
hoje, no lugar da Etnomatemática, que reconhece de antemão o conhecimento
matemático com o qual os educandos chegam à escola. No momento da elaboração e
aplicação das aulas – todo o mês de Abril de 2012 –, todavia, não tinha conhecimento do
que defendia e denunciava esse campo de pesquisa, concebido por D’Ambrosio (1993;
1997) como uma ampla teoria do conhecimento, e, por isso, a reflexão que segue está
fundamentada em tópicos que sobressaem na análise, a posteriori, das aulas. Ressalto
que, justamente por esse motivo, estes aspectos não orientaram a construção das aulas,
mas emergem e se consolidam frente à leitura que tenho hoje – fortemente
fundamentada na Etnomatemática. Passo, assim, à descrição das aulas, destacando,
anteriormente, que sua narrativa na primeira pessoa do plural evidencia o trabalho
conjunto na elaboração e aplicação das aulas.
A construção das plantas
A primeira aula consistia na proposta de execução de uma atividade de modelagem
bastante conhecida. Atividades de modelagem são exercícios elaborados a partir de
situações reais e cotidianas em que o aluno é estimulado a buscar maneiras próprias de
solução. Este tipo de atividade é frequentemente utilizado quando se pretende despertar
o interesse dos alunos frente à aplicabilidade da disciplina, motivando-o para um estudo
posterior, isto é, podem servir como atividades introdutórias de motivação (BASSANEZZI,
2002). Assim, solicitamos aos alunos que representassem, em uma folha de sulfite, a
planta baixa do espaço de meia sala de aula onde estariam organizados os seguintes
móveis: 25 cadeiras, 20 carteiras, a mesa e a cadeira do professor.
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Para isso, não fornecemos informações e indicações sobre como os alunos
deveriam proceder para elaborar sua representação, além das informações que a
comanda trazia (Figura 1). Isso porque um dos objetivos desta aula era que os alunos
discutissem em seus grupos e buscassem suas próprias maneiras de resolver a atividade
sem seguir alguma orientação que fosse sugestiva para um tipo determinado de solução.
Figura 1- Instruções para a primeira atividade
Os alunos se dividiram, então, em grupos de dois, três ou quatro alunos e cada
grupo recebeu duas folhas de sulfite – uma para esboçar a representação e outra para
representar a planta que deveria ser entregue ao fim da aula – e uma fita métrica. Além
disso, também permitimos que os grupos, que as possuíssem, utilizassem réguas e
calculadoras. Considero, evidentemente, que a entrega de uma fita métrica a cada grupo,
sem questionar a familiaridade que cada aluno ou grupo tinha com este objeto, é, de fato,
bastante indicativa da expectativa que nós, os educadores, tínhamos de que os grupos a
utilizassem – o que confirmava para todos, mesmo que de modo implícito, que as
medidas deveriam ser obtidas por meio da fita métrica. Restava aos alunos, portanto,
identificar de que medidas eles precisariam – algo que não consideraram difícil, como
será explicitado adiante.
Nosso objetivo com essa aula, portanto, era observar a maneira como os alunos se
articulavam em grupo na busca pela solução do problema e de que maneiras eles
executaram essa solução. Isto é, observar como a resolução deste problema seria capaz
de incitar a exploração, discussão e especulação de soluções e ações que permitissem a
construção esperada, conforme sugeria um texto sobre o conhecimento que os alunos
trazem para a escola.
Observamos, inicialmente, que, após a entrega da comanda, os grupos se
mantiveram sentados durante pouco tempo conversando sobre o que deveria ser feito
primeiro. Após esse primeiro momento de discussão e decisão dos procedimentos para
elaborar a planta, os grupos começaram, sem exceção, a obter as medidas de que
precisavam. Os grupos basicamente fizeram as medidas de três formas:
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(1) Contaram quantas vezes a fita métrica cabia nas dimensões do comprimento e
da largura da sala e multiplicaram esses números pelo tamanho da fita métrica
(150cm).
(2) Mediram o tamanho das lajotas que compõem o piso da sala. Contaram quantas
lajotas cada dimensão da sala tinha e depois multiplicaram um número pelo
outro.
(3) Mediram o tamanho do pé de um dos integrantes do grupo e contaram quantos
pés cabiam no comprimento e na largura da sala e multiplicaram estes números.
As medidas dos móveis – carteiras e cadeiras – foram essencialmente feitas
apenas com a fita métrica, uma vez que as dimensões desses móveis tornavam a
medição com a fita métrica mais adequada.
O cálculo da escala também foi feito essencialmente de três formas:
(a) Dividiram a medida do maior lado da sala pela medida do maior lado da folha A4
de maneira a obter o fator de conversão para as outras medidas.
(b) Dividiram as dimensões da sala por alguns números (em um claro processo de
tentativa e erro) na tentativa de obter um número que, quando divisor das
dimensões da sala, permitiria que o desenho ficasse em um bom tamanho.
(c) Inicialmente, devemos destacar que se pode entender este terceiro método
como um raciocínio similar ao primeiro, mas é relevante que se dê destaque e
mérito a ele pela forma como as relações foram construídas, ressaltando o
caráter intuitivo e informal de resolução dessa primeira atividade. Um grupo de
três alunos mediu o maior lado da sala e encontrou que a medida deste lado
seria 10m. Medindo o maior lado da folha com a régua, notaram que este lado
media 30cm. Concluíram, portanto, que cada metro deveria equivaler a 3cm no
desenho. Depois, medindo o maior lado das carteiras, obtiveram a medida de
60cm. Então, para que pudessem continuar com o raciocínio, perceberam que
60cm = m e como cada metro seria representado em 3cm na folha, m seriam
representados em
3= 1,8cm. O lado menor da carteira media 40cm, que
segundo seu raciocínio era
representado por
do outro lado da mesa e, portanto, seria
1,8= 1,2cm. Acreditamos que esse método seja rico porque
esmiúça o que há por trás de cada cálculo da conversão para uma
representação em escala e, mesmo que os alunos não tenham consciência
disso, não tiveram dificuldades em proceder dessa forma.
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Passado esse primeiro momento de obtenção dos dados, pudemos perceber que
um número de grupos relativamente grande sabia, mesmo que não explicitamente, de
pelo menos uma forma de calcular a escala. Esse ponto se tornou claro porque poucos
grupos tiveram dificuldade na hora de efetuar esses cálculos, que foram feitos
majoritariamente das maneiras (a) e (b) descritas anteriormente. Fomos, inclusive,
questionados por um grupo, assim que a atividade começou, se era necessário que o
desenho fosse feito em proporção, revelando que, pelo menos esse grupo, já detinha
certo saber sobre o que estava por trás da elaboração da planta.
Finalmente, resta indicar que houve parte das plantas elaboradas pelos grupos que
estava incompleta na hora da entrega. Como os alunos não haviam estudado ou
discutido sobre escala em Matemática, a maioria dos grupos buscou métodos mais
simples e menos formais de resolução. Portanto, é compreensível que tenham utilizado
grande parte do tempo nos cálculos e raciocínios para obtenção da escala e, por isso,
não concluíram o desenho na maioria dos casos.
Figura 2- Exemplos de plantas completas construídas pelos alunos
Pode-se observar, assim, na Figura 2, exemplos de três plantas baixas completas
construídas pelos estudantes e verificar que alguns grupos elaboraram outras
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disposições para os móveis da sala, diferentes da habitual. Igualmente relevante é
observar que também existem grupos que não utilizaram a escala ou a proporcionalidade
na elaboração das plantas, resultando no que se pode observar na Figura 3.
É interessante pontuar que esta elaboração surpreendeu a professora Danielle, que
afirmou que os alunos responsáveis por estas construções eram “bons alunos em
Matemática”. Posteriormente, eu mesmo pude verificar que, de fato, tratava-se de alunos
empenhados com o aprendizado da disciplina.
Figura 3 - Outros exemplos de plantas baixas
Um movimento de reflexão sobre a aula anterior
Na primeira parte da aula, solicitamos aos alunos que dispusessem as carteiras em
forma de semicírculo para que fosse possível iniciar uma discussão sobre a aula anterior.
Após a reorganização, solicitamos que cada grupo fosse à frente da turma explicar de
que forma encontraram as medidas de que precisavam e como fizeram o cálculo da
escala, além de indicar qual foi a parte mais complicada do trabalho. De maneira geral,
os grupos descreveram exatamente o que foi explicitado na descrição da primeira aula.
Depois da apresentação de todos os grupos, iniciamos um momento de conversa
em que foi possível comparar as maneiras através das quais cada grupo encontrou as
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medidas e obteve a escala ideal, permitindo que os alunos identificassem as vantagens e
desvantagens de cada método.
Finalmente, questionamos que características conferiam maior qualidade à
determinada representação, isto é, se fosse solicitado aos alunos que construíssem um
projeto para uma grande empresa de construções, quais seriam os critérios que
orientariam a avaliação das plantas? Deste modo, conduzimos uma conversa sobre a
importância de uma representação em escala, que conserve uma proporção definida.
Solicitamos, então, que, ao fim da segunda aula, os alunos entregassem um relato
contendo os pontos explicitados durante as apresentações e discussões do início da
aula. Estes relatos fornecem dados bastante ricos para análise da atividade a partir de
comentários que resumem as dificuldades encontradas durante a atividade:
• “Na hora de representar, tínhamos a escala correta, mas o posicionamento dos
objetos não ficou bom”;
• “Não encontramos muita dificuldade na representação, apenas tivemos de
arredondar alguns resultados”;
• “Fomos testando escalas até encontrar”;
• “Na hora de representar, tive dificuldades na hora de fazer as contas, achar que
conta que tinha que fazer”;
• “Depois de algumas contas, tudo ficou mais claro”;
• “A dificuldade na hora de medir foi achar um método rápido e fácil para medir”;
• “Na hora de representar, cada um mostrou suas ideias, discutimos e vimos qual era
a mais fácil”;
• “Nós dividimos as medidas das carteiras pelo mesmo número que dividimos a sala,
desse jeito as carteiras ficaram proporcionais a sala”;
• “Na hora de medir, a principal dificuldade, foi a presença de armários na sala, que
nos impediam de medir a sala”;
• “A escala foi a maior dificuldade de todos os grupos, inclusive o nosso”;
• “A fita métrica não tinha tamanho suficiente para medir somente uma vez a sala”;
• “A gente dividiu tudo por 30 e deu certo”.
É
possível
verificar
pelos
depoimentos
que
os
alunos
fizeram
muitos
questionamentos e reflexões a partir da problemática dessa atividade. Consideramos,
portanto, muito positiva a participação de todos e que as discussões feitas nos grupos
foram bastante proveitosas, reunindo elementos estudados em matemática, nos anos
anteriores, incluindo operações básicas, divisões de decimais, razões, unidades de
medidas de comprimento, medida de áreas e desenho geométrico.
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Um convite à reflexão
Em primeiro lugar, devo observar que, após uma releitura das aulas descritas
anteriormente, percebi que faria diferentes vários momentos de discussão e reflexão com
os alunos. Isso, de fato, revela, em minha concepção, que o caráter transitório, histórico e
sociocultural, da prática pedagógica que, associada à prática da pesquisa, promove a
reflexão constante capaz de orientar o educador com empenho e rigor na produção de
novidades para o ambiente escolar (FREIRE, 2013).
Um exemplo disso é a referência feita ao contexto profissional que demanda o rigor
e a clareza na elaboração de projetos, isto é, “se fosse solicitado aos alunos que
construíssem um projeto para uma grande empresa de construções...” Hoje, percebo
como a relação entre escola e trabalho deve ser tomada com cuidado, o que implica
novos meios de tratar o cotidiano escolar quando o assunto é o trabalho, ou a profissão.
De fato, a menção à “grande empresa de construções” pode conferir o entendimento de
que o rigor é avaliado cruelmente no mundo do trabalho, mas pior, que os alunos devem
se adequar às demandas neoliberais, sem refletir sobre isso. Uma reflexão interessante
sobre aspectos como esse pode ser encontrada em Veiga-Neto (2012).
Outro aspecto sobre o qual minha atenção não estava posta, também, reside no
comentário indignado de um aluno no início da primeira atividade, que disse: “assim não
dá, vocês não explicam o que tem que fazer”. Seu despreparo frente à situação nova no
ambiente escolar é muito revelador da posição ocupada pelo aluno na escola – repleta de
passividade. Isso corrobora e é corroborado pela constatação de Domite (2004), segundo
a qual os alunos não estão de todo fora das preocupações educacionais, mas também
não estão de todo dentro. É preciso, sob essa perspectiva, conferir-lhes a autonomia, tão
cara à prática pedagógica (FREIRE, 2013). Reconheço que isso em muito se deve ao
desconhecimento dos professores sobre os alunos à nossa frente: D’Ambrosio (1999), de
fato, denuncia que, nos cursos tradicionais de formação de professores, pouco se
conhece do contexto sociocultural dos educandos, e, portanto, de sua própria cognição.
Evidência disso, para D’Ambrosio (1997; 2011), é o crédito que o desgastado paradigma
“ensino-aprendizagem” ainda recebe. Para ele, este paradigma só reforça e amplia a
racionalidade segundo a qual a educação funciona com base em uma relação de causa e
efeito.
Efetivamente, um ponto pouco destacado na época, dado a grandeza a que lhe
atribuo atualmente foi a nossa mísera consideração aos saberes que os alunos
apresentaram durante a resolução do que havíamos proposto. À época, conforme
mencionei anteriormente, o conceito de concepções espontâneas orientava meus
estudos e minha concepção era, como o nome sugere, de que os alunos
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espontaneamente concebiam e usavam certas ferramentas matemáticas. É claro que a
partir disso pouco ou nada se podia dizer ou fazer sobre a maneira como calcularam a
razão de proporção, a escala. Hoje, ao conhecer o modo como a Etnomatemática lida
com o saber-fazer do educando, consigo entender de modo muito mais abrangente e
profundo o que me foi apresentado por estes alunos na elaboração das plantas. Tratavase, evidentemente, do reconhecimento de que os mais variados grupos constroem modos
de lidar e resolver matematicamente seus problemas do dia-a-dia, conforme explica
D’Ambrosio (1999; 2011).
Ademais, não se deve menosprezar o método popular de tentativa e erro na
resolução do problema. Isso, em parte, porque sua reiteração – o incentivo a este método
– corrói o discurso de que a Matemática acadêmica é lugar do rigor, da clareza, da
assertividade, da razão... E, no entanto, muito bem sabemos que grande parte dos
ilustres matemáticos que corporificaram o que se estuda hoje nas escolas e faculdades
reconheceram inevitavelmente a legitimidade e o poder deste método.
Estes tópicos refletem, portanto, o meu descontentamento com um trabalho
anterior, cuja potencialidade transcendia os limites dentro dos quais nossa prática se
situou. Espero evidenciar com esta singela ilustração o modo como a pesquisa interfere
na prática, se articula com ela, promovendo, de fato, uma caminhada rumo à direções
mais inusitadas, que nos oferecem mais. Em outras palavras – de acordo com o título
deste artigo – o repensar da prática pedagógica é essencial e me levou, neste caso, das
concepções espontâneas em matemática ao saber-fazer etnomatemático, que, ao lado
de outras concepções da Etnomatemática orientam meus trabalhos hoje (VALLE, 2013a;
2013b; 2013c). Hoje percebo, contudo, que caminhos como este devem ser orientados
intimamente durante a formação de professores. Afinal, é preciso, devido às
complexidades e às contingências do cotidiano escolar, “entender que há necessidade –
e urgência – de uma formação de professores mais apropriada à prática docente, ou seja,
uma formação de professores que se dedique à completa imersão no cotidiano de
professores e professoras” (VALLE, 2013d, p. 3).
Hoje, diferente de antes, portanto, concebo a prática pedagógica colocando em
evidência seu iminente caráter político, seu potencial político, por assim dizer. Nisto a
Etnomatemática tem me dado respostas mais satisfatórias e isso orienta minha prática e
minhas reflexões. Reconheço-me, desse modo, no caminho a me tornar, plenamente, um
etnomatemático e de acordo com os atributos descritos por Gerdes (2007). Acima de
tudo, todavia, reconheço a transitoriedade da prática, associada em seus fundamentos
mais arraigados à historicidade e ao ambiente sociocultural em que nos situamos e, por
esse motivo, defendo reiteradamente que a pesquisa, quando tomados os devidos
cuidados, pode efetivamente transformar, revolucionar.
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