ISBN 978-85-8015-053-7
Cadernos PDE
VOLUME I I
Versão Online
2009
O PROFESSOR PDE E OS DESAFIOS
DA ESCOLA PÚBLICA PARANAENSE
Produção Didático-Pedagógica
SECRETARIA DE ESTADO DA EDUCAÇÃO
SUPERINTENDÊNCIA DA EDUCAÇÃO
UNIVERSIDADE ESTADUAL DO OESTE DO PARANÁ - UNIOESTE
MATERIAL DIDÁTICO PEDAGÓGICO
A RESOLUÇÃO DA EQUAÇÃO DO 2º GRAU UTILIZANDO O MÉTODO DE
“COMPLETAR QUADRADOS”.
IBEMA
2010
1
SILVIA ADELI DROSS
A RESOLUÇÃO DA EQUAÇÃO DO 2º GRAU UTILIZANDO O MÉTODO DE
“COMPLETAR QUADRADOS”.
Proposta de Unidade Didática apresentada no
PDE como produção didática pedagógica sob
orientação da Professora Fabiana Garcia
Papani
IBEMA
2010
2
SUMÁRIO
APRESENTAÇÃO.......................................................................................................4
EQUAÇÃO DO 2º GRAU ............................................................................................5
UMA ABORDAGEM HISTÓRICA: COMO SURGIU A EQUAÇÃO DO 2º GRAU? ....7
MÉTODOS DE SOLUÇÕES .................................................................................... 15
O MÉTODO DE “COMPLETAR QUADRADO”..........................................................17
RECURSOS DIDÁTICOS .........................................................................................24
REFERÊNCIAS..........................................................................................................28
3
Apresentação
O que fundamenta esta pesquisa histórica é o posicionamento da Secretaria
de Estado da Educação do Paraná, através das Diretrizes Curriculares da Educação
Básica, na qual diz que A abordagem histórica deve vincular as descobertas
matemáticas aos fatos sociais e políticos, às circunstâncias históricas e às correntes
filosóficas que determinaram o pensamento e influenciaram o avanço científico de
cada época. A história da Matemática é um elemento orientador na elaboração de
atividades, na criação das situações-problema, na busca de referências para
compreender melhor os conceitos matemáticos. Possibilita ao aluno analisar e
discutir razões para aceitação de determinados fatos, raciocínios e procedimentos. A
história deve ser o fio condutor que direciona as explicações dadas aos porquês da
Matemática. “Assim, pode promover uma aprendizagem significativa, pois propicia
ao estudante entender que o conhecimento matemático é construído historicamente
a partir de situações concretas e necessidades reais” (DCEs, 2008, p. 66).
O material didático pedagógico encontra-se na forma de uma seqüência didática,
pois contém uma série de atividades planejadas, articuladas e orientadas com o
objetivo de promover uma aprendizagem significativa e contextualizada do conteúdo
“Equação do Segundo Grau”. Tem como objetivo auxiliar alunos e professores com
relação ao conteúdo proporcionando-os conhecer novos caminhos durante seu
trabalho em busca das soluções de uma equação do segundo grau. Esta seqüência
didática está dividida em etapas:

uma abordagem histórica. Realizada pelos alunos em forma de pesquisa
bibliográfica;

Atividades propostas após realização de exemplos para enriquecimento e
revisão do conteúdo apresentado.

Atividades com o material manipulável ALGEPLAN. Este material será
apresentado através de slides e posteriormente será construído pelos alunos;
Todas as atividades serão desenvolvidas pelos alunos sob a orientação e
acompanhamento do professor.
4
A Equação do 2º Grau
Uma equação é uma sentença aberta expressa por uma igualdade envolvendo
expressões matemáticas, ou seja, a equação é composta por incógnitas e
coeficientes.
Exemplos:
3
sen2 x  cos 2 x
4
b) 4 x  5 y  2 z  42
a) senx  cos x 
c) x 2  2 x  3  0
d)
=3
Uma
equação algébrica são as equações em que as incógnitas são
submetidas apenas às chamadas operações algébricas, ou seja, soma,
subtração, multiplicação, divisão, potenciação inteira e radiciação.
Operação algébrica linear.
Exemplos:
a) 4 x  5 y  2 z  42
b) x 2  2 x  3  0
=3
c)
Uma
equação algébrica na qual as incógnitas são submetidas apenas a
soma (subtração) e ao produto é chamada equação polinomial.
Exemplos:
a)
b)
5
c)
d) x3 – 2x2 + x – 2 = 0
Toda equação polinomial sobre IR, pode ser representada sob a forma:
anxn + an-1 xn-1 + an-2 xn-2 + … + a0 = 0, an
Uma equação do segundo grau é toda equação polinomial do tipo:
ax2 + bx + c = 0, a, b e c  IR e a ≠ 0.
Exemplos
a) 2x2 - 5x + 3 = 0
b)
c)
Uma
solução de uma equação é um número real que ao ser atribuído à
variável transforma a equação numa sentença matemática verdadeira.
Exemplo
½ é raiz da equação 2x2 + 7x + 3 = 0, pois
2.(½)2 + 7.(½) + 3 = 0 
 2 . (1/4) – (7/2) + 3 = 0 
 2 – 14 + 12 =0 
4
 -14 + 14 = 0 
 0 = 0 (sentença verdadeira)
Decidir se determinado número real é ou não solução de uma dada
equação é tarefa simples, agora resolver uma equação é o encontrar o conjunto
formado por todas as soluções da equação. Sabemos que uma equação
polinomial do tipo anx
n
+ an-1 xn-1 + an-2 xn-2 + … + a0 = 0,
a n  0 tem no
máximo n raízes em IR. Assim, no caso das equações do segundo grau, ax2 + bx
+ c = 0, a ≠ 0 o conjunto solução poderá ser vazio, unitário ou ter dois elementos.
6
Uma abordagem histórica: Como surgiu a
equação do 2º Grau
A equação do 2º grau teve diversas formas de representação e resolução
desde o antigo Egito até os dias atuais. Dentro deste período histórico a
representação
e
resolução
da referida
equação
recebeu
as seguintes
denominações: retórica, geométrica, sincopada e simbólica.
Retórica: representação da equação e sua solução através de palavras.
Exemplo: Qual é o lado de quadrado se a área menos o lado dá 870?
Tome a metade de um (coeficiente de x), que é 0,5, e multiplique 0,5 por
ele mesmo, o que dá 0,25. Some o resultado a 870 (termo independente,
ou seja, o termo não acompanhado da incógnita), o que dá 870,25. Isto
é, na verdade o quadrado de 29,5, que, somado a metade de um vai dar
o lado do quadrado, que é igual a 30 (Fragoso, 2999, p.17)
Atualmente este problema seria solucionado através da equação
Geométrica: representação e solução feitas através de figuras geométricas. O
Método geométrico que exploraremos neste texto é um exemplo dessa
denominação.
Sincopada:
utilização
de palavras
abreviadas
e
ou letras
iniciais
na
representação das equações.
Exemplos
α Δ ι γ ε
(incógnita ao quadrado 13, incógnita 5)
13x2 + 5x.
7
ηΔε α
((incógnita 8) menos (incógnita ao quadrado 5, unidades 1))
-5x2 + 8 x – 1.
Simbólica: utilização de símbolos para representar e solucionar as equações.
Trata-se da simbologia adotada nos dias atuais.
Vejamos um pouco mais da história da álgebra:
Egito:
A álgebra surgiu no Egito quase que ao mesmo tempo em que na
Babilônia; a julgar pelos Papiros Rhind e de Ahmes- documentos egípcios que
datam de cerca de 1850 a.C. e 1650 a.C., respectivamente, mas refletem
métodos matemáticos de um período anterior. Para equações lineares, os
egípcios usavam um método de resolução consistindo em uma estimativa inicial
seguida de uma correção final - um método ao qual os europeus posteriormente
deram o nome de "regra da falsa posição". A álgebra do Egito, como a da
Babilônia, era retórica. No exemplo Aha, seu total, sua sétima parte, resulta 24.
Aha é a quantidade indefinida, (hoje seria assim: x 
x
 24 ).
7
Para se resolver esta equação pelo método da falsa posição deve-se inicialmente
escolher um valor qualquer para x ("aha"), digamos x = 7. Com este valor
computa-se a expressão x 
x
 8 . Deste modo o fator de correção deve ser
7
24
 3 , pois este vezes 8 resulta o lado direito da equação original (24), ou seja, o
8
valor correto de "aha", ou x, deve ser 3 * 7  21 .
O método da falsa posição, considerado pelo babilônios como uma receita
infalível e descrito acima demonstra que a proporcionalidade já era conhecida.
valor suposto da incógnita
novo resultado
=
valor real da incógnita
resultado enunciado no problema
8
O sistema de numeração egípcio, relativamente primitivo em comparação
ao babilônio, ajuda a explicar a falta de sofisticação da álgebra egípcia. Os
matemáticos europeus do século XVI tiveram de estender a noção indo-arábico
de número antes de poderem avançar significativamente além dos resultados
babilônios de resolução de equações. Já apresentavam uma abordagem para a
equação do 2º grau, apesar de não disporem de um simbolismo algébrico.
Mesopotâmia:
O problema seguinte mostra o relativo grau de sofisticação da álgebra da
Mesopotâmia, denominada álgebra babilônica e registrada em placas de argila.
Na explanação, naturalmente, usa-se a notação decimal indo-arábico em vez da
notação sexagesimal cuneiforme (escrita usada em pedras e tabuinhas de barro
cozido e cujos caracteres tinham a forma de cunha). Entre parênteses
fornecemos as passagens correspondentes em notação moderna.
Etapa 1 ( Formulação do problema): Comprimento, largura. Multipliquei
comprimento por largura, obtendo assim a área: 252. Somei comprimento e
largura: 32. Pede-se: comprimento e largura. (Determine o comprimento e a
largura de um retângulo de área 252, sabendo que a soma dessas medidas é
32.).
Etapa 2 – apresentação dos dados: 32 soma; 252 área.( x+y=k = 32
xy = P = 252).
Etapa 3 – apresentação da resposta: 18 comprimento; 14 largura.
Etapa 4 – explicação da solução:
 Tome metade de 32 (que é 16)
 16 x 16 = 256
 256 - 252 = 4
 A raiz quadrada de 4 é 2.
 16 + 2 = 18 comprimento.
 16 - 2 = 14 largura
(Em linguagem atual:
 k/2
 (k/2)2
 (k/2)2 - P = t2
9

 (k/2) + t = x.
 (k/2) - t = y.
Etapa 5 Prova: Multipliquei18 (comprimento) por 14 (largura).
18 x 14 = 252 área (((k/2) +t) ((k/2)-t) = (k2/4) - t2 = P = xy)
A "receita" acima era usada repetidamente em problemas semelhantes. Ela tem
significado histórico.
Grécia
Quanto aos gregos podemos distinguir duas épocas diferentes: a via de
inspiração geométrica com Euclides (séc. III a.C.) e a via de inspiração aritmética
com Diofanto (séc. M d.C).
Na época de Euclides, os problemas do 2° grau eram de natureza
geométrica, resolvidos geometricamente e acompanhados sempre de uma
demonstração também geométrica. Desta forma, o raciocínio algébrico era em
Euclides totalmente expresso de uma forma geométrica.
Já com Diofanto, os problemas considerados eram de natureza aritmética,
sendo a resolução dada de índole algébrica. Em Diofanto encontramos ao que se
pensa a primeira utilização sistemática de símbolos algébricos.
Grécia
Quanto aos gregos podemos distinguir duas épocas diferentes: a via de
inspiração geométrica com Euclides (séc. III a.C.) e a via de inspiração aritmética
com Diofanto (séc. M d.C).
Na época de Euclides, os problemas do 2° grau eram de natureza
geométrica, resolvidos geometricamente e acompanhados sempre de uma
demonstração também geométrica. Desta forma, o raciocínio algébrico era em
Euclides totalmente expresso de uma forma geométrica.
10
Já com Diofanto, os problemas considerados eram de natureza aritmética, sendo
a resolução dada de índole algébrica. Em Diofanto encontramos ao que se pensa
a primeira utilização sistemática de símbolos algébricos.
Arábia
Os matemáticos Árabes, influenciados pela habilidade algébrica dos
Babilônios e pelo rigor científico dos Gregos, foram os primeiros a sistematizar a
resolução das equações do 2º grau, resolvendo os problemas por um processo
algébrico e apresentando uma demonstração geométrica. Como ainda não eram
aceitas as soluções e os coeficientes negativos, havia a necessidade de dividir as
equações do 2º grau em vários tipos e, consequentemente, continuavam a existir
diferentes algoritmos de resolução.
Há a destacar o proeminente matemático Al Khowarizmi, que conseguiu com
clareza e simplicidade resolver tais problemas apresentando demonstrações
geométricas originais relativamente a Euclides.
Abu Kamil, outro matemático árabe também merecedor de destaque,
utilizava nas demonstrações apresentadas para a resolução dos mesmos tipos de
equações, proposições dos Elementos de Euclides, tomando assim as
demonstrações mais rápidas. Outra grande inovação deste matemático consistiu
na introdução de um novo método de resolução das equações quadráticas, que
permitia
obter
diretamente
o
valor
do
quadrado.
Nas
demonstrações
apresentadas para este método, Abu Kamil aceitava que um segmento de reta
pudesse representar um quadrado, pondo assim de lado a aritmetização dos
segmentos. Assistiu-se à evolução, embora lenta, da resolução dos problemas na
forma sincopada.
Índia
Em 628, Brahmagupta forneceu a primeira solução geral para a equação
quadrática:
Na Índia as equações polinomiais do 2.o grau eram resolvidas
completando
quadrados.
Esta
forma
de
resolução
foi
apresentada
geometricamente por Al-Khowarizmi, no século IX. Eles descartavam as raízes
negativas, por serem "inadequadas" e aceitavam as raízes irracionais. Tinham
11
também uma "receita" para a solução das equações de forma puramente
algébrica.
No século XII d.C., Bhaskara (1114-1185), em duas das suas obras,
apresenta e resolve diversos problemas do segundo grau. Antes de Bhaskara, no
princípio do século IX d.C., o matemático árabe Al-Kowarismi, influenciado pela
álgebra geométrica dos gregos, resolveu, metodicamente, as equações do
segundo grau, chegando à fórmula do modo descrito a seguir.
Al-Kowarismi interpretava, geometricamente, o lado esquerdo da equação
x2 + px = q como sendo uma cruz constituída por um quadrado de lado x e por
quatro retângulos de lados p/4 e x. Então, como mostra a figura abaixo,
"completava" esta cruz com os quatros quadrados pontilhados de lado p/4, para
obter um "quadrado perfeito" de lado x + p/2.
p2
16
p2
16
px
4
px
4
p2
16
p2
16
Usando este artifício geométrico, Al-Kowarismi demonstrou que se
adicionando 4 vezes p2/16, soma das áreas dos quatros quadrados de lado p/4,
ao lado esquerdo da equação x2 + px = q, obtinha-se (x + p/2)2, que é a área do
quadrado de lado x + p/2, isto é, x2 + px + 4 p2/16 = (x + p/2)2. Portanto, a
12
equação x2 + px = q poderia ser escrita como (x + p/2)2 = q + p2/4 implicando que
x
p
p2
 q
, que é a formula conhecida como fórmula de Bhaskara.
2
4
China
A abordagem chinesa para a resolução destas equações foi o método fanfan, publicado por Zhu Shijie (também chamado de Chu Shih-Chieh), no século
XIII, no seu Tratado das Nove Seções. O método foi redescoberto no século XIX,
pelos ingleses William George Horner e Theophilus Holdred e, um pouco antes,
pelo algebrista italiano Paolo Ruffini. O método fan-fan ficou conhecido na Europa
como método de Horner. Na verdade, ele já tinha sido antecipado por Isaac
Newton em 1669.
Europa
Os matemáticos Europeus que contribuíram nesta área foram: Girard que
aceitou já as soluções negativas; Descartes que, com a sua capacidade inventiva
característica de mentes geniais, introduziu a notação que é usada nos dias de
hoje. Descartes destaca-se também pelo fato de apresentar demonstrações
geométricas, para problemas algébricos que se propunha resolver, originais em
relação ao modo habitual de resolução característico do seu tempo.
Somente a partir do século XVI, a álgebra simbólica começou a ser
formalizada pelas mãos do advogado e matemática amador, o Francês François
Viète, que ficou conhecido como o pai da álgebra.
Em 1676 Leibniz, completou a descoberta do cálculo infinitesimal. Leibniz
calculava através do infinitamente pequeno. Outra contribuição é do sinal para
indicar a multiplicação através do ponto, 9 x 3 = 9. 3
Thomas Harriot, fundador da escola inglesa de álgebra e introdutor de
vários símbolos e notações empregados em álgebra ainda hoje, como os sinais >
13
(maior que) e < (menor que). E que uma equação “n” tinha “n” raízes, supôs haver
uma relação entre as raízes de uma equação e seus coeficientes.
Por fim, MacLaurin, um matemático Britânico que apresentou no séc. XV a
resolução das equações do 2° grau duma forma geral e cuja demonstração é a
base daquela que é ensinada hoje em dia aos alunos do Ensino Básico.
PERÍODO
-1650___________EGITO – PAPIROS
– Fases retóricas.
-350 a - 300
GRÉCIA (ALEXANDRIA)
Euclides
(os elementos)
Fase geométrica
Diophanto
Fase Sincopada
628___________________________________________
830 a 1150
MESOPOTÂMIA
Tabulas de Argila
Fase Retórica
IMPÉRIO ÁRABEA
AL-Khowarizmi
Abu Kamil
Fase retórica
Fase Geométrica
ÍNDIA
Brahmagupa
Fase Sincopada
Bháskara de Akaria
Lilavati e Vija- Ganita
Fase Retórica
CHINA
Chu Shih chieh
(Ssu Yuan Yuchien
Fase Retórica
EUROPA
François Viète
1300 a 1570
Fase Sincopada
Harriot
Descartes
Leibniz
1620 a 1640_________________________________________ Fase Simbólica
1700
atualmente
MUNDO ATUAL
Fase Simbólica e
Geométrica
14
Métodos de soluções
Figura 1
http:/0 /www.educ.fc.ul.pt/icm/icm99/icm22/images/Image361.gif
Como dissemos anteriormente encontrar a solução de uma equação é
encontrar todos os números reais que são soluções desta equação.
“Uma maneia bem conhecida de resolver estas equações é aplicar diretamente à
“famosa” formula de Báskara que diz:” Dada uma equação quadrada ax2+bx+c=0,
as soluções da equação são x1=
x2=
 b  b 2  4ac
e
2a
 b  b 2  4ac
2a
15
Exemplo:
Nesse caso a = 1; b = -10 e c = 25. As raízes (soluções) dessa equação são:
x1= x2=
10  100  100
=5
2
Exercício
Encontre as soluções das equações, aplicando diretamente a fórmula de Báskara.
a)
b)
c) (x + 3)2 =16
Motivados pela história da matemática, pensamos em trabalhar com os
alunos, na busca das soluções de uma equação do segundo grau, o processo que
originou a famosa fórmula, que chamamos de “Método de Completar Quadrados”,
ao invés de trabalhar simplesmente com a aplicação da fórmula, como é feito
tradicionalmente. Acreditamos que essa
abordagem
metodológica não só
possibilita uma maior compreensão do conteúdo, como possibilita rever outros
conteúdos tais como cálculo de áreas e produtos notáveis.
Apresentamos abaixo o método em duas abordagens: simplesmente
algébrica e utilizando a geometria como aliada do processo.
16
O método de “completar quadrado”
Abordagem algébrica
O método de “completar quadrados”, no qual se baseia a fórmula de
Báskara, consiste em primeiramente transformar a equação ax2 +bx+c=0, que se
encontra na forma geral, em outra forma mais conveniente, chamada forma
canônica. Exemplos:
1) x2 + 10x – 39 ( forma geral)
x2 + 10x – 39 = (x-5)2 – 64 (forma canónica)
2) -2x2 + 3x +2 ( forma geral)
2
2



3
9
3
25 
3
-2x2 + 3x +2 = -2(x2 - x -1) =  2  x     1  2  x    
2
4  16 
4  16 


(forma canónica)
Generalização
2
2


b
c
b 
b2
c
b 
b 2  4ac 
ax +bx+c = a (x + x + ) = a  x 
 
  2    a  x 

a
a
2a 
a 
2a 
4a 2 
4a


2
2
ax2+bx+c (forma geral)
2

b 
b 2  4ac 
a  x 
 
 (forma canónica)
2a 
4a 2 

Exercícios propostos
Coloque as equações do segundo grau abaixo na forma canônica
a)
b)
2
c)
d)
2
17
Usando o método de “completar quadrados”, encontre as raízes das equações:
a) x2 + 10x – 39 = 0
b) -2x2 + 3x +2 = 0
Solução:
a) x2 + 10x – 39 = 0  (x-5)2 – 64 = 0  (x-5)2 = 64  x-5 =  8 
x = 5  8. Logo as raízes da equação são 13 e -3.
2
3
25
3
3

b) -2x + 3x +2 = 0  -2 (x - x -1) = 0  (x2 - x -1) = 0   x   
2
2
4
16

2
2
2
3
5
3 5
3
25

= 0  x   
 x   x  .
4
4
4 4
4
16

1
As raízes da equação são 2 e - .
2
Generalização
2
b
c
b
c
b  b 2  4ac

ax +bx+c = 0  a (x + x + ) = 0  (x2 + x + ) = 0   x   
=
a
a
a
a
2a 
4a 2

2
2
b 
b 2  4ac
b
b 2  4ac
b
b 2  4ac

0  x 








x
x
 
2a 
2a
2a
4a 2
4a 2
4a 2

2
Exercícios propostos
Use o método de “completar quadrados” e encontre as raízes das equações.
a)
b)
c)
Abordagem geométrica: A geometria ajudando a álgebra
18
Exemplos
1) x2 + 12x – 64 = 0
Soluções
a) Passo 1) Primeiro, desenhe um quadrado de lado "x" para representar o
termo x2. Depois, represente o termo 12x por quatro retângulos de lados 3
e "x", como mostra a figura 1, abaixo:
Figura 1
Note que no centro temos um quadrado de lado "x", portanto sua área é x2.
Em cada retângulo um dos lados mede "x" e o outro 3, portanto, a área de cada
retângulo é 3x.
Desta forma x2+12x é a soma das áreas do quadrado com as áreas dos 4
retângulo da figura. Como desejamos que x2 + 12x – 64 = 0 devemos ter x2+12x =
64, isto é, a área da figura 1 deve se 64.
De modo a obter um quadrado, acrescente na figura 1 quatro quadrados de lado
3, obtendo a figura 2
19
Figura 2
Como a figura 1 tem área de 64, a figura 2 tem área 100 (64 + a área de 4
quadrados de lado 3 = 64+36). Sendo assim, o lado do quadrado formado tem
medida 10.
Figura 3
Logo, 3 + x + 3 = 10 e, portanto x = 4.
b) 2x2 + 4x – 70 = 0
No caso em que a é diferente de zero, neste exemplo temos a = 2.
Devemos proceder da seguinte maneira:
2
2x + 4x – 70 = 0  2(x2 + 2x – 35) = 0  x2 + 2x – 35 = 0.
Devemos então repetir os passos do exemplo a) para resolver a equação
x2 + 2x – 35 = 0.
20
Generalização
Para encontrar as raízes da equação
devemos proceder da
seguinte forma:
a) Passo 1) Primeiro, desenhe um quadrado de lado "x" para representar o
termo x2. Depois, represente o termo bx por quatro retângulos de lados
b
4
e "x", como mostra a figura 1, abaixo:
Figura 1
Note que no centro temos um quadrado de lado "x", portanto sua área é x2.
Em cada retângulo um dos lados mede "x" e o outro
retângulo é
b
, portanto, a área de cada
4
bx
.
4
Desta forma x2+bx é a área da figura 1. Como desejamos que x2 + bx + c = 0
devemos ter x2+12x = - c, isto é, a área da figura 1 deve ser –c..
De modo a obter um quadrado, acrescente na figura 1 quatro quadrados de lado
b
, obtendo a figura 2.
4
21
Figura 2
Como a figura 1 tem área de -c, a figura 2 tem área – c +
quadrados de lado
b2
(- c + a área de 4
4
b
=). Sendo assim, o lado do quadrado formado tem medida
4
b2
c.
4
b2
c
4
Figura 3
Logo,
b
b
+x+
=
4
4
b2
b2
b
 c e, portanto x = - +
c.
4
2
4
22
È claro que na resolução geométrica, somente medidas positivas, fazem sentido.
Observação: As raízes da equação ax2+bx+c são as mesmas da equação
b
c
b
c
b
c
x2+ x+ uma vez que ax2+bx+c = 0  a (x2+ x+ ) = 0  x2+ x+ = 0.
a
a
a
a
a
a
Sendo assim, sempre que a  0 para encontrar as raízes de ax2+bx+c = 0
devemos aplicar o método geométrico à equação x2+
b
c
x+ = 0.
a
a
Exercícios propostos
Faça em seu caderno a representação geométrica e use o método de “completar
quadrados” para determinar a raiz positiva de cada equação.
a) X2 +6x -16 = 0
b) X2 +4x = 5
c) X2 + 10x -11 = 0
d) X2 +2x = 3
e) X2 + 8x – 33 = 0
f) X2 + 6x - 55 = 0
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Recursos didáticos - O ALGEPLAN
O algeplan é composto de 40 peças retangulares, coloridas, cujas medidas
dos lados representam a unidade ou as variáveis. Manipulando algumas peças
pode-se efetuar operações, fatorações e resolver problemas algébricos. Sua
utilização facilita a compreensão das operações algébricas, das
expressões
algébricas, dos produtos notáveis e da resolução de equações com até duas
variáveis.
CONSTRUÇÃO DO ALGEPLAN
Atividade 1:
Construir, usando EVA:

Quatro quadrados grandes, cujos lados medem x; (15x15);

Quinze retângulos cujos lados medem u=1 (unidade comprimento) e x
(1x15);

Trinta quadrados pequenos cujos lados medem u (1x1)
Atividade 2:
Qual a área de cada uma dessas peças?
Instrução para o uso do material
 Os quadrados pequenos serão chamados unidades
 Os retângulos serão chamados barras;
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 Os quadrados maiores serão chamados quadrados;
 Ao colocar uma peça justaposta à outra, estaremos adicionando;
 Ao colocar uma peça sobre a outra, estaremos subtraindo sua áreas (para
visualizar melhor, colocar o subtraendo com outra cor).
Modele as expressões
Simplificação, Adição e Subtração
Exemplo: Utilizando o Algeplan determine (x2 + 2x - 4) + (- 3x + 2). Para isso,
primeiro modela-se, com as diferentes peças, as expressões x2 + 2x - 4 e -3x + 2.
A seguir, efetua-se os cancelamentos/simplificações (de acordo com a regra
estabelecida) e obtém-se o resultado.
X2 + 2x - 4
x2 – x - 2
-3x + 2
+
=
Figura 6
Exercícios propostos: Utilizando o Algeplan determine:
a)
b)
c)
Exemplo
Encontre as raízes da equação x2 + 2x + 1 = 0
Temos as peças:
x
x
x
1
x
1
1
1
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Agrupando estas peças temos um quadrado de medidas x+1.
x+1
x+1
A área deste quadrado deve ser zero, isto é, (x + 1)2 = 0  x+1 = 0 
 x = -1
Exercícios Propostos
1) Fatore os trinômios usando as peças do Algeplan e depois resolva as
equações:
a) x2 +3x+2
b) x2 – 1
c) x2 – 9
d) x2 – 2x + 1
e) x2 – 4x + 4
f) x2 + x -2
g) x2 + 6x – 7
h) x2 –x -2
i) x2 – 3x
j) 2x2 + 8x + 6
k) 2x2 + 7x + 6
l) x2 +3x+2
m) x2 – 1
n) x2 – 9
o) x2 – 2x + 1
p) x2 – 4x + 4
q) x2 + x -2
r) x2 + 6x – 7
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s) x2 –x -2
t) x2 – 3x
u) 2x2 + 8x + 6
v) 2x2 + 7x + 6
w) 2x2 + 13x + 15
x) 2x2 + 13x – 15
y) 3x2 + 10x + 8
z) x2 + 3x + 2 = 0
2) Sejam p e q as raízes da equação x² + bx + c= 0.
Que relação existe entre p, q, e o número c?
Que relação existe entre p e q e o número b?
3) Sejam p e q as raízes da equação ax² + bx + c= 0.
Que relação existe entre p, q, e os números c e a?
Que relação existe entre p e q e os números b e a?
Atividades complementares
Uso do livro “Equação do 2º Grau” de Imenes – Jacubo – Lellis.
a) Seminário;
b) Um ou dois exercícios em prova avaliando a leitura;
c) Uma redação sobre o livro ou parte dele;
d) Trabalho com a resolução das questões propostas pelo livro;
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REFERÊNCIAS
DANTE, L.R. Tudo é matemática. 8ª. Série. São Paulo : Ática, 2002.
FANTI, E.L.C., Modelando expressões algébricas; resoluções de equações
do primeiro grau e fatoração de trinômios. Notas de aula - Teia do Saber –
UNESP - São José do Rio Preto, 2005.
_______, E. L. C, ROSA, R. A., DIAS, F. M., MEDEIROS, L. T.; O Algeplan
como um recurso didático na exploração de expressões algébricas e
fatoração. In: III Bienal da SBM, 2006, Goiânia. Pôsteres da III Bienal da SBM,
2006.
FRAGOSO, Wagner da Cunha. Equações do 2º Grau: Uma abordagem
histórica. 2ª ed. Editora UNIJUI : Rio Grande do Sul, 1999.
JAKUBO, J. LELLIS, M. CENTURIÓN, M., Matemática na medida certa. 8ª.
Série. Editora Scipione, São Paulo, 2006.
JAKUBOVIC, José. Equação do 2º grau. São Paulo : Atual, 1992.
Site:
Ageplan
Disponível
http://www.google.com.br/#hl=ptBR&source=hp&q=algeplan&aq=f&aqi=g1&aql=&
oq=&gs_rfai=&fp=a3916fe3d80529dc. Acessado no dia 20/04/2010.
http://matematica-na-veia.blogspot.com/2007/10/verdadeira-histria-da-frmulade.html . Acessado no dia 10/07/2010.
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