GABARITO
Matemática A – Extensivo – V. 8
Exercícios
01)B
04)B
f(x) = ax
f(x) = g(x)
2log x = log 2x ⇒ da propriedade loga bN = N . loga b
log x2 = log 2x
x2 = 2x
x2 – 2x = 0
x . (x − 2) = 0
x = 0 ou x – 2 = 0
x=2
I. x = 2
y = 16
16 = a2 ⇒ fatorando 16 = 42 ⇒ 42 = a2
II. x = –2
y=
1
16
1
16
1
1
a–2 = 2 ⇒ pela propriedade a–N = N
a
4
a–2 = 4–2
a–2 =
Pela condição de existência: logb N ⇒ N > 0
b > 0 e b ≠ 1
Então eles se interceptam quando x = 2.
De (I) e (II) podemos afirmar que a = 4, então:
1
1
a) log4
= x ⇔ 4x =
⇒ fatorando 16 = 42 ⇒ 16
16
1
1
4x = 2 ⇒ pela propriedade a–N = N
a
4
4x = 4−2 ⇒ x = –2
b) log4 16 = x ⇔ 4x = 16
4x = 42 ⇒ x = 2
x = 16
y=2
logn 16 = 2 ⇔ n2 = 16 ⇒ fatorando 16 = 42
n2 = 42 ⇒ n = 4
02)B
5
log7 3
7 log2 5
)
 log2 7
 log 5
2 2
(
(2
)
log2 5 log7 3
)
⇒ trocando a base log5 7 =
⇒ pela propriedade (aN ) = aN . M
)
⇒ simplificando a fração
M
log2 7 . log2 5
= log2 7 . 1
log2 5
log7 3
(2log 7 )
2
7
log7 3
⇒ da propriedade aloga b = b
=3
03)B
log2 7
log2 5


log2 7 log2 5 log7 3
.
log2 5
Do gráfico temos
I. y = 0
x=1
logb 1 = 0 ⇔ b0 = 1
II. y = 1
x=2
logb 2 = 1 ⇒ b1 = 2
De (I) e (II) podemos afirmar que b = 2.
g(x) = log2 2x ⇒ pela propriedade
logb ac = logb a + logb c
g(x) = log2 2 + log2 x ⇒ log2 2 = y ⇔ 2y = 2 ⇒ y = 1
g(x) = 1 + log2 x ⇒ g(x) = 1 + f(x)
06)C
Multiplicando (a) . (b) = –2 . 2 = –4
((2log
05)C
Então, f(x) = log4 x, logo f(128) = log4 128 = y ⇔
4y = 128 ⇒ fatorando 128 = 27 e 4 = 22
22y = 27
7
2y = 7 ⇒ y =
2
07)B
h(t) = 1,5 + log3 (t + 1)
3,5 = 1,5 + log3 (t + 1)
3,5 – 1,5 = log3 (t + 1)
2 = log3 (t + 1) ⇔ 32 = t + 1
9 = t + 1
9 –1 = t ⇒ 8 = t
08)B
Do gráfico temos x = 4 y = 2
logn 4 = 2 ⇔ n2 = 4 ⇒ 4 = 22
n2 = 22 ⇒ n = 2
Então:
log2 (23 + 8) = log2 (8 + 8) = log2 16 ⇒ fatorando 16 = 24
2x = 24 ⇒ x = 4
Matemática A
1
GABARITO
III.Verdadeiro.
2
3
+
g(x) = ⇒ por mudança de base
log3 10 log2 10
log 10
1
log3 10 =
=
log 3
log 3
log 10
1
log2 10 =
=
log 2
log 2
3
2
g(x ) =
+
1
1
log 3
log 2
g(x) = 2 . log3 + 3 log 2
f(x) = g(x)
09)03
01. Verdadeira. Sabemos que a função logarítmica
admite inversa, logo podemos afirmar que ela é
bijetora, ou seja, injetora e sobrejetora ao mesmo
tempo.
02.Verdadeira. y = 3 + log3 (x – 9)
x = 3 + log3 (y – 9)
x – 3 = log3 (y – 9) ⇔ 3(x – 3) = y – 9
3(x – 3) + 9 = y–1
04.Falso. Por definição, domínio de logb x é R*+ .
08.Falso. Para uma função ser par f(x) = f(–x), então:
f(–x) = 3 + log3 (–x – 9) ≠ 3 + log3 (x – 9) = f(x).
16.Falso. x1 < x2 ⇒ f(x1) < f(x2)
Seja x1 = 10, então:
f(10) = 3 + log3 (10 – 9)
f(10) = 3 + log3 1 ⇒ log3 1 = x ⇔ 3x = 1
f(10) = 3 + 0 3x = 30
f(10) = 3 x = 0
Seja x2 = 36, então:
f(36) = 3 + log3 (36 – 9)
f(36) = 3 + log3 27 ⇒ log3 27 = x ⇔ 3x = 27
f(36) = 3 + 3 3x = 33
f(36) = 9 x = 3
10)B
log(x2 – x) = 2 . log 3 + 3 log 2
log(x2 – x) = log 32 + log 23
log(x2 – x) = log 9 . 8
log(x2 – x) = log 72
x2 – x − 72 = 0
1± 289
1± 1+ 288
x=
⇒
2
2
1± 17 x ’ = 9
x=
2 x " = −8
x" ∉ D
11)C
I. Falso. log (x – x) = 0 ⇔ 10 = x – x
1 = x2 – x
0 = x2 – x – 1
1+ 5
x’ =
−(−1) ± 1+ 4
1± 5 2
⇒
x=
2
2 1− 5
x" =
2
2
0
2
Como as funções 3x e log3 x são inversas, então os
gráficos são simétricos em relação a y = x.
12)D
y = log3 x ⇔ 3x = y–1.
13)A
−t
II. Verdadeiro. f(x) = log (x2 – x) e g(x) = 2 log 2 + log 3.
f(x) = g(x)
log (x2 – x) = 2 log 2 + log 3 ⇒ pela propriedade N . logb a = logb aN
2
log (x – x) = log 4 . 3
log (x2 – x) = log 12 (I)
x2 – x = 12
x2 – x – 12 = 0
x = −(−1) ± 1+ 48 ⇒ 1± 49
2
2
1± 7 x ’ = 4
x=
2 x " = −3 → esse valor não pertence a D.
y = 9 . e3 + 1
−t
x = 9 . e3 + 1
−t
x – 1 = 9 . e3
−t
x −1
= e3
9
−t
n  x − 1 = n e 3

9 
−t
n  x − 1 =
. n e


3
9 
−3 .n  x − 1 = t

9 
−3
n  x − 1

9 
3
=t


n  9  = t
 x − 1
2
Matemática A
GABARITO
14)A
f(x) =
log2 x
⇒ trocando a base do denominador para 2
log3 x
log2 x
log2 3
f(x) = log2 x ⇒ f(x) = log2 x .
⇒ simplificando
log2 x
log2 3
f(x) = 1 . log2 3
f(x) = 1 .log2 3
Note que f(x) é constante.
3
4x = x . 2 . x
4x = 3 x
2x
2 = x 3 ⇒ x = 8
f(x) = logn x
A (9, 2)
2 = logn 9 ⇔ n2 = 9 ⇒ fatorando 9 = 32
n2 = 32 ⇒ n = 3
Então, a1 + a2 + a3 = log2 8 + log4 4 . 8 + log8 8 . 8
log2 8 + log4 32 + log8 64
6 + 5 + 4 15
5
=
3 + + 2 =
2
2
2
* Para B(x, 1) 1 = log3 x ⇔ 31 = x
3 = x
log2 8 = x ⇔ 2x = 8,
2x = 23
x = 3
16)D
1
= 6 ⇒ por mudança de base
logb 2
1
log2 2
logb 2 =
=
log2 b log2 b
1
log2 a +
= 6 ⇒ por operação de fração
1
log2 b
log2 a +
19)D
22
1
=0
log x 2
17)B
log 160
⇒ fatorando 160 = 10 . 24 e 9 = 32
log 9
log 10 . 24
⇒ pelas propriedades
log 32
log 10 + 4 log 2 1+ 4a
log9 160 =
=
2 log 3
2b
log9 160 =
1
DP – DS = 0
22 – log2 x = 0
4 = log2 x ⇔ 24 = x
16 = x
20)E
log2 (10x + 21) = 2 log2 (x + 2)
log2 (10x + 21) = log2 (x + 2)2
10x + 21 = x2 + 4x + 4
x2 + 4x – 10x + 4 – 21 = 0
x2 – 6x – 17 = 0
18)B
De P.A sabemos que
a2 = a1 + a 3 ⇒ 2 . a2 = a1 + a3
2
2 . log4 4x = log2 x + log8 8x ⇒ mudando para a base 2
log2 8x
2 . log2 4x = log2 x +
log2 8
log2 4
log4 32 = y ⇔ 4y = 32
22y = 25
5
2y = 5 ⇒ y =
2
log8 64 = z ⇔ 8z = 64
23z = 26
6
3z = 6 ⇒ z = = 2
3
1 . log2 b = log2 b
1
log2 a + log2 b = 6 ⇒ pela propriedade
logc a + logc b = logc ab
logc ab = 6 ⇒ 26 = ab
64 = ab
log9 160 =
log2 4x = log2 x . 3 8x
3
4x = x . 3 8x . x
1
15)D
log2 4x
log2 8x
= log2 x +
3
2
1
log2 4x = log2 x + log2 8x
3
log2 4x = log2 x + log2 3 8x
2.
6 ± 36 + 68
6 ± 104 ⇒
x=
2
2
6 + 104
2
6 − 104
x" =
2
x’ =
Condição de existência:
I. 10x + 21 > 0
10x > – 21
x > −21 ⇒ x > –2,1
10
Matemática A
3
GABARITO
II. (x + 2)2 > 0
x2 + 4x + 4 > 0
x=
−1± 1+ 120
−1± 121
⇒
2
2
x=
x=
−1± 11 x ’ = 5
x " = −6
2
−4
−4 ± 16 − 16 x =
2
2
x = −2 ⇒ x > − 2
Note que o único valor que satisfaz a condição de existência é:
6 + 104 .
2
Condição de existência:
I. x + 4 > 0
II. x – 3 > 0
x > –4 x > 3
Da intersecção de (I) e (II), então x > 3.
Logo, S = {5}.
21)D
2 . log x + log x = 1
3 log x = 1
1
log x =
3
10
1
3
25)A
log3 (2x – 1) – log3 (5x + 3) = –1
2x − 1
2x − 1
= 3–1
log3
= –1 ⇒ 5x + 3
5x + 3
2x − 1 1
=
5x + 3 3
3(2x – 1) = 5x + 3
6x – 3 = 5x + 3
6x – 5x = 3 + 3
x = 6
=x
22)A
log (3x + 23) – log (2x – 3) = log 4
log (3x + 23) = log 4
(2x − 3)
3x + 23
=4
2x − 3
3x + 23 = 4(2x – 3)
3x + 23 = 8x – 12
23 + 12 = 8x – 3x
35 = 5x
35 = x
5
x=7
26)D
Resolução:
log2 . x2 – 3 log2 x = 0 trocando log2 x = y (I)
y2 – 3y = 0
y(y – 3) = 0
y' = 0 ou y" = 3 = 0
y" = 3
23)B
* Substituindo os valores de y em (I) temos:
a log2 x = y' b log2 x = y"
a log2 x = 0 ⇔ 20 = x log2 x = 3 ⇔ 23 = x
1 = x 8 = x
log2 (x – 2x + 1) = 2 ⇔
x2 – 2x + 1 = 22
x2 – 2x + 1 = 4
x2 – 2x + 1 – 4 = 0
x2 – 2x – 3 = 0
−(−2) ± 4 + 12
2 ± 16
x=
⇒
2
2
2
x=
27)B
2± 4 x’ = 3
2 x " = −1
Logo, somando as raízes x' + x" = 3 +(–1) = 3 – 1 = 2.
log2 (x2 – 7x + 10) – log2 (x – 5) = log2 10 ⇒ pela
propriedade logb a – logb c = logb  a 
 
c
2
log2  x − 7x + 10  = log2 10 ⇒ reescrevendo a


x −5
equação de 2º grau da forma fatorada
24)05
log2 (x + 4) + log2 (x – 3) = log2 18
log2 (x + 4) . (x – 3) = log2 18
(x + 4) . (x – 3) = 18
x2 – 3x + 4x – 12 = 18
x2 + x – 12 – 18 = 0
x2 + x – 30 = 0
4
Somando as raízes: a + b = 1 + 8 = 9
 (x − 5) (x − 2)
 = log 10 ⇒ simplificando
log2 
2


(x − 5)

(x – 5) do numerador com o denominador
Matemática A
GABARITO
* Encontrando as raízes:
8 ± 64 − 16
8 ± 48
x=
⇒
2
2
log2 (x – 2) = log2 10
x – 2 = 10 ⇒ x = 10 +2
x = 12
28)E
8±4 3 x=
2
3 log28 x = log2 x ⇒ mudando para base 2
x’ =
8+4 3
⇒ x’ = 4 + 2 3
2
x" =
8−4 3
⇒ x" = 4−2 3
2
2
 log x 
y
8 = y ⇔ 2
3 .  2  = log2 x ⇒ log2 2y =
=8
23
 log2 8 
y = 3
 log2 x 
3 .  22  = log2 x
 3 
3(:3 ) .
log22 x
x'' = 4 – 2 3 ⇒ x" ≅ 0,6 < 2
= log2 x ⇒ simplificando o numerador e
9
denominador
(:3 )
Sabemos que x > 2, então analisando as raízes temos:
x' = 4 + 2 3 ⇒ x' ≅ 7,5 > 2
30)B
log (x2 – 1) + colog (x – 1) = 2 ⇒ cologb a = – logb a
log (x2 – 1) − log (x – 1) = 2 ⇒ pela propriedade logb a
– logb c = logb  a 
 
c
2
2


x
−
1
 = 2 ⇔ 102 = x − 1 ⇒ por produto notálog 
 x − 1 
x −1
vel a2 − b2 = (a + b)(a – b)
)
(
)(
100 = x + 1 x − 1 ⇒ 100 = x + 1
(x − 1)
100 – 1 = x ⇒ x = 99
2
1 . log 2 x = log2 x ⇒ multiplicando toda equação por 3
3
log22 x = 3log2 x ⇒ trocando log2 x = y (I)
y2 = 3y ⇒ y2 – 3y = 0
y(y – 3) = 0
y' = 0 ou y" – 3 = 0 ⇒ y" = 3
Substituindo y em (I) temos:
a log2 x = y'
b log2 x = y"
log2 x = 0 ⇔ 20 = x
log2 x = 3 ⇔ 23 = x
1 = x 8 = x
31)C
Somando os valores de x ⇒ 1 + 8 = 9.
29)D
log2 (x – 2) – log4 x = 1 ⇒ trocando por base 2
 log x 
log2 (x – 2) –  2  = 1 ⇒ log2 4 = y ⇔ 2y = 4
 log2 4 
2y = 22
log2 (x – 2) – 1 . log2 x = 1 ⇒ pelas propriedades
2
n
m
an
log 2 (x – 2) . log 2 x = 1 ⇒ pela propriedade
a
logb a – logb c = logb  
 c 
 x − 2 
x −2
log2 
 =1 ⇒ 21 =
 x 
x
2 x = x – 2 ⇒ elevando a equação ao quadrado
4x = x2 – 4x + 4
x2 – 4x – 4x + 4 = 0
x2 – 8x + 4 = 0
3
3
log x = log 2 . log 2 ⇒ da propriedade
2
log 2
n . logb a = logb an
y = 2
n logb a = logb aN e a m = logb
Sabemos que a razão da P.G é a 2 = a 3 , então:
a1 a 2
log 8 log x
=
log 4 log 8
log x = log 8 . log 8 ⇒ fatorando 8 = 23 e 4 = 22
log 4
3 log 2 . 3 log 2
⇒ simplificando log 2 do nume-
log x =
rador com o denominador
log x = 9 log 2 ⇒ pelas propriedades
2
2 log 2
N
n . logb a = logb an e a M = M aN
log x = 29
x = 512
x = 16 2
Matemática A
5
GABARITO
34)24
32)D
* Primeiro vamos encontrar o valor de p:
log2 x – log x – 6 = 0 ⇒ log x = y (I)
y2 – y – 6 = 0
1± 1+ 24
1± 25
y=
⇒
2
2
1± 5 y ’ = 3
y=
2 y " = −2
* Se N = N1, então:
N1 = 120 + 10 log I1 ⇒ pela propriedade N . logb a = logb aN
N1 = 120 + log I10
1
* Se N = N2, então:
N2 = 120 + 10 log I2 ⇒ pela propriedade N . logb a = logb aN
N2 = 120 + log I10
2
Substituindo y em I temos:
ay' = log x
b log x = y"
3 = log x ⇔ x = 103
log x = –2 ⇔ x = 10–2
* Sabemos que N1 – N2 = 20 dB, então:
10
120 + log I10
1 – (120 + log I2 ) = 20
10
10
120 + log I1 – 120 – log I2 = 20
log I10
– log I10
= 20 ⇒ pelas propriedades
2
2
Então, p = ab ⇒ p = 103 . 10–2 ⇒ p = 10
N
N
logb a – logb c = logb  a  e a =  a 
 
N
 b 
c
b
10
10
I 
I 
log  1  = 20 ⇒ 1020 =  1 
I2 
I2 
1
da equação a
10
* Agora vamos calcular o valor de m:
10
p
(2−3 ) . 410−7
(2−3 ) . 4p−7
⇒ fatorando 8 = 23
⇒ −p
8−10
8
−10
(2−3 ) . 43
2−30
⇒ note que temos −30 . 43 = 1 . 43
m=
10
−
2
(2−3 )
m=
⇒ elevando os dois lados
1
1
20 10
(10 )
N
 I 10 10
M

=  1   ⇒ pela propriedade (aN ) = a M
I2  
102 = I1
I2
* Com isso podemos afirmar que:
60 < m < 70 e que m > p
35)C
log4 0,5 < log4 0,2 ⇒ 0,5 < 0,2
33)E
log3 (1 – cos x) + log3 (1 + cos x) = –2 ⇒ pela propriedade:
logb a – logb c = logb ac
36)E
log3 [(1 – cos x) . (1 + cos x)] = –2 ⇒ por produto notável:
(a + b)(a – b) = a2 – b2
log3 (1 – cos2 x) = –2 ⇒ sen² x + cos² x = 1
⇒ sen² x = 1 − cos² x
1
log3 sen2 x = –2 ⇔ sen2 x = 3–2 ⇒ a–N = N
a
1
sen2 x = 2
3
1
1
sen2 x = ⇒ sen x ±
3
9
1
.
3
cos (2x) + sen x = cos 2x = cos2 x – sen2 x
cos2 x – sen2 x + sen x ⇒ cos2 x + sen2 x = 1 ⇒
cos² x = 1 – sen2 x
1 – sen2 x – sen² x + sen x
1 – 2 sen2 x + sen x
1
1
2 1 9 − 2 + 3 10
=
1–2.( )+ =1− + =
3
9
9
9
9 3
Como 0 < x < π, então sen x =
6
log4 (x + 3) ≥ 2
(I) Condição de existência: x + 3 > 0
x > –3
(II) Solução da inequação:
log4 (x + 3) ≥ 2 log4 4 ⇒ n logb a = logb an
log4 (x + 3) ≥ log4 42 (base > 1)
x + 3 ≥ 42
x + 3 ≥ 16
x ≥ 16 – 3
x ≥ 13
Fazendo a intersecção de (I) e (II) temos x ≥ 13.
37)B
Matemática A
log 1 (x – 3) ≥ log 1 4
2
2
(I) Condição de existência: x – 3 > 0
x > 3
GABARITO
(II) Solução da inequação:
log 1 (x – 3) ≥ log 1 4 (0 < base < 1)
3
3
x–3≤4
x ≤ 4 + 3 ⇒ x ≤ 7
Fazendo a intersecção de (I) e (II) temos 3 < x ≤ 7.
* Agora vamos analisar a inequação:
log 1 (x2 + 4x – 5) ≥ –4 . log 1 1 ⇒ pela propriedade
2
2 2
N . logb a = logb aN
−4
 1
log 1 (x2 + 4x – 5) ≥ log 1   ⇒ pela propriedade
 
2
2 2
a–N =
38)D
log 1 x ≥ log 1 (4x – 1)
3
x2 + 4x – 5 ≤ 24 ⇒ x2 + 4x – 5 ≤ 16
x2 + 4x – 5 – 16 ≤ 0 ⇒ x2 + 4x – 21 ≤ 0
3
(I) Condição de existência: a) x > 0 e b) 4x – 1 > 0
4x > 1
1
x >
4
(II) Solução da inequação:
log 1 x ≥ log 1 4x – 1 (0 < base < 1)
3
3
* Encontrando as raízes:
x2 + 4x – 21 = 0
−4 ± 16 + 84
−4 ± 100
x=
⇒
2 .1
2
−4 ± 10 x ’ = 3
x=
x " = −7
2
x ≤ 4x – 1
x – 4x ≤ –1
–3x ≤ –1
1
x ≤ −1 ⇒ x ≤
3
−3
x
39)D
Então, temos –7 ≤ x ≤ 3 (II).
Fazendo a intersecção entre (I) e (II) temos
S = {x ∈R/–7 ≤ x < –5 ou 1 < x ≤ 3}.
40)C
log 1 (x2 + 4x – 5) ≥ –4
2
* Primeiro vamos analisar a condição de existência:
x2 + 4x – 5 > 0
* Encontrando as raízes:
x2 + 4x – 5 = 0
−4 ± 16 + 20
−4 ± 36
x=
⇒
2
21
−4 ± 6 x ’ = 1
y=
x " = −5
2
1
log2
1
9 ⇒ pela propriedade a–N = 1
=
1
aN
4 9
log2
4
e fatorando 9 = 32 e 4 = 22
−2
– log2 3 ⇒ pela propriedade N . logb a = logb aN
−2
log2 2
I. Falso. log 1
−2 log2 3 log2 3
=
= log2 3
1
−2 log2 2
x
3
–7
Fazendo a intersecção de (I . a), (I . b) e (II) temos
1
1
< x ≤ .
4
3
–5
1
aN
1
II. Verdadeira.
log2 15 log2 15 1
log4 15 =
=
= . log2 15 = log2 15
log2 4
log2 22 2
Então 2log 15 = 15
III. Verdadeira.log 1 9 < log 1 5 (base 0 < b < 1) ⇒ 9 >
2
3
3
5
Então, temos x < − 5 ou x > 1 (I).
Matemática A
7
GABARITO
41)C
43)A
2
log5 ( x +3 )
 1
 
 2 
log 1 (x – 1) – log 1 (x + 1) < log 1 (x – 2) + 1
2
2
* Vamos verificar a inequação:
log 1 (x – 1) – log 1 (x + 1) < log 1 (x – 2) + log 1 1 ⇒ pelas
2
2
2
2 2
propriedades de logaritmos.
log 1  x − 1 < log 1 (x – 2) . 1 (base 0 < b < 1)


2
2  x + 1
2
x −1 x − 2
>
⇒ 2x – 2 > x2 – x – 2 ⇒ x2 – 3x < 0 ⇒
2
x +1
encontrando as raízes, temos:
x2 – 3x = 0
x(x – 3) = 0
x' = 0 ou x = 3
0 < x < 3(b)
0
log ( x +3 )
 1
 1 5
 
>   ⇒ potência base 0 < b < 1
 2 
 2 
log5 (x + 3) < 0 ⇒ x + 3 < 50
x + 3 < 1
x < –3 + 1
x < –2 (a)
Primeiro vamos analisar a condição de existência:
(I) x – 1 > 0 (II) x + 1 > 0 (III) x – 2 > 0
x > 1 x > –1 x > 2
Então, temos x > 2(a).
> 1 ⇒ pela propriedade de potência
Pela condição de existência: x + 3 > 0
x > –3 (b)
Fazendo a intersecção entre (a) e (b) temos
–3 < x < –2.
44)A
log 1 x > log4 7.
4
* Primeiro vamos mudar a base:
log 1 7 log 1 7
4
4
log4 7 =
=
=
log 1 4
1
4
= –log 1 7 = log 1 7–1 = log 1 1
4
4
4 7
Fazendo a intersecção entre (a) e (b), temos:
S = {x ∈R / 2 < x < 3}
* Voltando para inequação temos:
log 1 x > log 1 1 ⇒ base 0 < b < 1
4
4 7
1
x<
7
42)E
log 1 (x – 3) > –2
2
* Analisando a condição de existência:
(x – 3) > 0
x>3
Para comparar a fração, vamos encontrar uma
equivalente, então:
( x 2)
x< 1
7 ( x 2)
Então, temos x > 3 (I).
x<
* Analisando a inequação:
−2
log 1 (x – 3) > log 1  1 ⇒ (base 0 < b < 1)
 
2
2
2
2
14
45)D
−2
x – 3 <  1 ⇒ pela propriedade de potência
 
2
x – 3 < 4 ⇒ x < 7 (II)
Fazendo a intersecção entre (I) e (II) 3 < x < 7,
então: 6 + 5 + 4 = 15
log2 (2x + 5) – log2 (3x – 1) > 1
* Primeiro vamos verificar a condição de existência:
(I) 2x + 5 > 0 (II) 3x – 1 > 0
2x > –5 3x > 1
1
x > – 5 x >
3
2
1
Então, temos x > (I).
3
* Analisando a inequação:
log2 (2x + 5) – log2 (3x – 1) > log2 2 ⇒ pela propriedade de logaritmo.
8
Matemática A
GABARITO


log2  2x + 5  > log2 2
 3x − 1 
2x + 5
>2
3x − 1
2x + 5 > 6x – 2
5 + 2 > 6x – 2x
7 > 4x
7
x < (II)
4
* Substituindo as raízes em (I) temos:
b log5 x = y"
a log5 x = y'
log5 x = 2
log5 x = –1
1
7
Fazendo a intersecção entre (I) e (II) temos < x < .
3
4
x = 52 ⇒ x = 25
46)C
x = 5–1 ⇒ x =
1
5
log3 (3x + 4) – log3 (2x – 1)
48)E
Verificando a condição de existência:
(I) 3x + 4 > 0 (II) 2x – 1 > 0
3x > –4 2x > 1
4
x > – x > 1
3
2
Então, x > 1 (I).
2
x2 + 2x + log2 m = 0, para que essa equação tenha
raizes Δ ≥ 0, então:
b2 – 4 . a . c ≥ 0
22 – 4 . 1 . log2 m ≥ 0
4 – 4 log2 m ≥ 0
4 ≥ 4 log2 m
4 ≥ log2 m4
24 ≥ m4 ⇒ m ≤ 2
* Analisando a inequação:
log3 (3x + 4) – log3 (2x – 1) > log3 3 ⇒ pela propriedade
de logaritmo.
log3  3x + 4  > log3 3

2x − 1 
3x + 4
>3
2x − 1
x
2
–1
3x + 4 > 6x – 3
4 + 3 > 6x – 3x
7 > 3x
7
x<
(II)
3
Fazendo a intersecção entre (I) e (II) temos
1 < x < 7 .
3
2
Pela condição de existência, m > 0.
Então, 0 < m ≤ 2
49)E
Analisando o domínio de cada função temos:
I.f(x) = (−2x 2 − 6x + 8
− 2x² − 6x + 8 ≥ 0
Encontrando as raízes:
–2x2 – 6x + 8 = 0
6 ± 36 + 64
6 ± 100
x=
⇒
2 .(−2)
−4
−6 ± 10 x ’ = −4
x=
x" =1
4
47)A
(log5 x)2 – log5 x – 2 ≤ 0 ⇒ troque log5 x = y (I)
y2 – y – 2 ≤ 0
Encontrando as raízes, temos:
y2 – y – 2 = 0
1± 1+ 8
1± 9
y=
⇒
2
2
1± 3 y ’ = 2
y=
2 y " = −1
–4
+
1
x
+
–
Então, domínio de f(x) = [–4, 1].
Matemática A
9
GABARITO
II. g(x) = log (x + 2)
x+2>0
x > –2
02.Verdadeiro. x =
+
–
–2
50)E
Pela condição de existência: |x – 3| > 0, sabemos que qualquer
valor em módulo é maior ou igual a zero, então temos que
verificar quando o valor do módulo é diferente de zero, pois o
domínio da função logarítmica é estritamente maior que zero.
I. x – 3 ≠ 0
x ≠ 3
I. x + 3 ≠ 0
x ≠ –3
* Analisando a inequação temos:
log (|x – 3|) + log (|x +3|) + log 5 – log 23 < log 10
log (|x – 3|) + log (|x + 3|) + log 5 – log 8 < log 10 ⇒
pelas propriedades de logaritmo:
log  x − 3 . x + 3 . 5  < log 10 ⇒ base b > 1


8
x − 3 . x + 3 . 5 < 10 ⇒ pela propriedade de módulo
8
|(x – 3)| . |(x + 3)| < 10 . 8 ⇒ por produto notável
5
|x2 – 9| < 16
Caso I
Caso II
x2 – 9 > –16
x2 – 9 < 16
x2 > –16 + 9
x² < 9 + 16
x2 > –7
x2 < 25 ⇒ –5 < x < 5
x
Então, o conjunto solução é: S = ]–5, 5[ \ {–3, 3}.
51)31
01. Verdadeiro. log0,25 32 = x ⇒ (0,25) = 32
x
 25  = 32 ⇒ fatorando 25 = 52,

100 
100 = 22 . 52 e 32 = 25
x
 52 

 = 2 5 ⇒ pelas propriedades de potência
2
2
 2 . 5 
x
(2−2 . 5−2 . 5
2–2x = 25
–2x = 5
5
x=–
2
10
2 x
)
= 25
Matemática A
b
c
a3
log x =
log x = log a3 – (log b2 + log c 2 )
log x = 3 log a – 2 log b – 1 log c
2
Então, domínio de g(x) = ]–2, +∞).
Logo, D(f) ∩ D(g) = ]–2, 1].
a3
2
b2 c
1
04.Verdadeiro. Aplicando a mudança de base
temos: loga b = logc b
logc a
08.Verdadeiro. 4x – 2x = 56
(2x)2 – 2x = 56 ⇒ troque 2x = y (I)
y2 – y – 56 = 0
* Encontrando as raízes
1± 225
1± 1+ 224
y=
⇒
2
2
1± 15 y ’ = 8
y=
2 y " = −7
* Substituindo as raízes em (I) temos:
a) 2x = y'
b) 2x = y"
2x = 8
2x = –7
x
3
2 = 2 x
x=3
−2,3
−1,7
 2
 2
16.Verdadeiro.   >   ⇒ proprieda3
3
de de potência
2,3
1,7
 
 
 3  >  3  ⇒ base b > 1
 2 
 2 
2,3 > 1,7
52)18
01. Falso. log (x2 – 9) ≥ log (3 – x)
* Condição de existência:
(I) x2 – 9 > 0 (II) 3 – x > 0
x < –3 ou x > 3 (a) 3 > x (b)
–3
3
GABARITO
* Analisando a inequação:
log (x2 – 9) ≥ log (3 –x)
x2 – 9 ≥ 3 – x
x2 + x – 9 – 3 ≥ 0
x2 + x – 12 ≥ 0
16.Verdadeiro. log 360 = log 23 . 32 . 5
log 360 = log 23 + log 32 + log 5
log 360 = 3 log 2 + 2 log 3 + log 5
360
180
90
45
15
5
1
Encontrando as raízes:
1± 49
−1± 1+ 48
x=
⇒
2
2
x=
− 1± 7 x ’ = 3
x " = −4
2
1
32.Falso. log N 2 =
3
–4
(c)
1
1
log a
5
loga a
1
02.Verdadeiro. loga 8 .
= loga 3 .
= 1.
loga 3
loga 3
01. Falso. log 5 a = log a 5 =
* Fazendo a intersecção entre (a), (b) e (c) temos:
–3
3
04.Verdadeiro. loga 4 + loga 9 = loga 4 . 9 = loga 22 . 32
= loga (2 . 3)2 = 2 loga 2 . 3 = 2 loga 6.
08.Verdadeiro. 10log3 ⇒ pela propriedade de logaritmo ⇒ = 3
16.Falso. 2A = loga 5 = loga 52 ≠ loga 25 = B
3
–4
1
1
log N =
(–3,412) = –1,706.
2
2
53)14
2
2
2
3
3
5
3
Então, S = (–∞,–4[.
54)F – F – F – V – F
02.Falso. Seja x = –e, tal que x ∈ R*, então
n |x| < ex
n |–e| < e–e
1
n e < e
e
1
1
1 < e ⇒ 0 < < 1
e
e
x
2
Falso. pHA = 2 pHB
 
 
log  1+  = 2 log  1+ 
 HA 
 HB 
 
 
log  1+  = log  1+ 
 HA 
 HB 
2
04.Falso. ex = e
x = x2
x2 – x = 0
x (x – 1) = 0
x = 0 ou x – 1 = 0
x = 1
Note que as duas soluções são inteiras.
08.Falso. Para a > 1, as duas funções são crescentes.
1 =  1 
 +
H+A  HB 
1
1
=
2
H+A
(HB+ )
2
H+A = (HB+ )
Falso. Sabemos que o pH da água é 7, também sabemos que pH abaixo de 7 é ácido. Para deixar a água
com o pH alcalino, é necessário adicionar OH–,
55)V – V – V – V – V
f(x) = 5x e g(x) = log5 x
Verdadeiro. Podemos afirmar que f(x) é crescente, pois
a base é maior que zero.
Verdadeiro. Sabemos que a função logarítmica é bijetora, logo ela é sobrejetora.
Matemática A
11
GABARITO
Verdadeiro. g(f(x)) = log5 f(x) = log5 5x =
= x log5 5 = x . 1 = x
Verdadeiro. log5 x = 1 ⇔ 51 = x
5 = x
Verdadeiro. Sabemos que f(x) é crescente, então, para
a < b, temos f(a) < f(b).
log2 b
+ log2 c = 3 ⇒ multiplicando por 2
2
2 log2 a – log2 b + 2log2 c = 6
log2 a2 – log2 b + log2 c2 = 6
2
2
a2 . c2
= 26
log2  a . c  = 6 ⇒ b
 b 
log2 a –
56)B
a2 . c2
= 64
b
2 2
a c
b =
64
log (x + 2) + log (x – 2) = 1
log (x + 2)(x – 2) = 1
log (x2 – 4) = 1
x2 – 4 = 101
x2 – 4 = 10
x2 = 10 + 4
x = ± 14
60)C
* Analisando a condição de existência, temos:
(I) x + 2 > 0 (II) x – 2 > 0
x > –2 x > 2
Fazendo a intersecção de I e II: x > 2
Então, o único valor que pertence ao domínio da função
é 14 .
a1 = x; a2 = x . 10x = y; a3 = x . 102x = z
log (xyz) = log (x) . (x . 10x) . (x . 102x)
log (xyz) = log (x3 . 103x) = log x3 + log 103x =
log (xyz) = 3 log x + 3x log 10
Então:
log (xyz) = 3x + 3 log x
61)A
log2 8x log2 8x
=
log2 4
2
log
8
x
2
⇒ multiplicando por 2
log2 |x| =
2
2 . log2 |x| = log4 8x
57)E
log4 8x =
log3 (3x) – log9 x – log2 x = 2
log3 3 + log3 x − log9 x − log2 x = 2
1 – log9 x = 2
1
* log 1 3x = log 1 3 . = log 1 1 = 1
9
3
3 3
3
1 – 2 = log9 x
–1 = log9 x ⇔ x = 9–1
1
x =
9
Caso I
log2 x2 = log4 8x
x2 = 8x
58)C
Seja 0 < b < 1, então:
a)Falso. logb 10 > logb 2 ⇒ 10 < 2
b)Falso. logb 12 = logb 22 . 3 = log 2² + log 3 =
log 4 + log 3
c)Verdadeiro. logb 18 = logb 2 . 32 = logb 2 + 2 logb 3
d)Falso. Basta tomar b = 10−2, pois logb b = 1
1
logb 5
1
e)Falso. logb 3 5 = logb 53 = . logb 5 =
3
3
59)D
Caso II
log2 x2 = –log2 8x
log2 x2 = log2 (8x)–1
1
x² − 8x = 0
x2 =
8x
x (–x – 8) = 0
8x3 = 1
1
x' = 0 ou x" = 8
x3 =
8
1
x= 3
8
1
x =
2
1 16 + 1 17
=
=
.
2
2
2
62)D
A 
M = log  
 A 0 
log2 . b
log c
=3
−
1
1
log2 .
log2 .
4
2
log2 b log2 c
log2 a +
=3
−
−2
−1
log2 a +
12
Então, 8 +
A 
A
l. Falso. 9 = log   ⇔ 109 =
.
 A 0 
A0
Matemática A
GABARITO
A 
A
ll. Falso. 5 = log   ⇔ 105 =
 A 0 
A0
A
100 000 =
.
A0
A 
A
Ill.Verdadeiro. 8 = log   ⇔ 108 =
 A 0 
A0
A
A0
lV.Verdadeiro. Dos itens acima, é possível afirmar que
A
quanto menor a magnitude, menor a razão
.
A0
107 . 10 =
63)E
2
log M0
3
2
7,3 = –10,7 + log M0
3
2
7,3 + 10,7 = log M0
3
18 . 3 = 2 log M0
54 = log M
0
2
27 = log M0 ⇔ 1027 = M0
MW = –10,7 +
64)B
h(t) = 1,5 + log3 (t + 1)
3,5 = 1,5 + log3 (t + 1)
3,5 – 1,5 = log3 (t + 1)
2 = log3 (t + 1) ⇔ 32 = t + 1
9 = t + 1
9 – 1 = t
8 = t
65)D
1
H+
I. Verdadeiro. Para que as dimensões possam ser
bem entendidas observando os expoentes das
potências na base 10, por isso o uso do logaritmo
é justificado.
1
1
II. Verdadeiro. 4 = log + ⇔ 104 = +
H
H
H+ = 10–4
1
1
8
8 = log + ⇔ 10 = +
H
H
H+ = 10–8
10−4
Já que −8 = 104, a concentração de H+ para pH = 4
10
é 10 mil vezes maior que a da solução com pH = 8.
III. Falso. log EL = 6 ⇔ 106 = EL
103 . 103 = EL
Er = log EL
pH = log
Matemática A
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