CAPÍTULO VII
INTRODUÇÃO À RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS
I. OBJETIVO FUNDAMENTAL
A Resistência dos Materiais se preocupa fundamentalmente com o comportamento das
diversas partes de um corpo quando sob a ação de solicitações.
Observe-se que o equilíbrio se dá na configuração deformada do
corpo, que admitiremos como igual a configuração inicial pois em estruturas
estaremos sempre no campo das pequenas deformações.
Resumindo, em um corpo que suporta cargas ocorre:
1. Um fenômeno geométrico que é a mudança da sua forma original: Isto é deformação.
2. Um fenômeno mecânico que é a difusão dos esforços para as diversas partes do corpo: Isto é
tensão.
É claro que podemos entender que a capacidade que um material tem de resistir as
solicitações que lhe são impostas é limitada, isto é, pode ocorrer a ruptura do corpo quando o
carregamento for excessivo, portanto é necessário conhecer esta capacidade para que possamos
projetar com segurança.
Podemos resumir um problema de Resistência dos Materiais conforme fluxograma abaixo:
Cargas Externas Ativas
Estrutura
Tensões
Solicitações
Cargas Externas Reativas
Limite Resistente do
Material
Critério de Resistência
(Coeficiente de Segurança)
Deformaçõe
PROJETO
VERIFICAÇÃO
II. TENSÕES
"Suponhamos um corpo carregado e em equilíbrio estático. Se cortarmos este corpo
por uma seção qualquer "S" isolando, por exemplo, a parte da esquerda, podemos dizer
que na seção cortada devem se desenvolver esforços que se equivalham aos esforços da
parte da direita retirada, para que assim o sistema permaneça em equilíbrio. Estes esforços
podem ser decompostos e se constituem nas solicitações internas fundamentais. O
isolamento da parte da esquerda foi um exemplo, pois com a parte da direita o mesmo pode
ser feito."
Partindo deste raciocínio podemos afirmar que em cada elemento de área que constitui a
seção cortada está sendo desenvolvido um elemento de força, cujo somatório (integral) ao longo
da área mantém o equilíbrio do corpo isolado.
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R = ρ.dA
A
A tensão média ( ρ m) desenvolvida no elemento de área citado nada mais é do que a
distribuição do efeito da força pela área de atuação da mesma.
Sejam:∆ A → elemento de área ∆
ρ m → tensão média
ρm =
F → elemento de força
∆F
∆A
Como a tensão é um elemento vetorial poderíamos representá-la aplicada em um
ponto determinado, que obteríamos fazendo o elemento de área tender ao ponto (∆A→0), e então:
Seja:
ρ = lim
∆A → 0
ρ = tensão atuante em um ponto ou tensão resultante em um ponto
∆F
dF
=
∆A
dA
ou graficamente:
Como a tensão é um elemento vetorial ela pode, como qualquer vetor, ser decomposta no
espaço segundo 3 direções ortogonais que queiramos, e, portanto escolheremos como referência
de costume 2 direções contidas pelo plano da seção de referência "S" (x,y) e a terceira
perpendicular à este plano (n).
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Isto nos permite dividir as componentes da tensão do ponto em duas categorias:
-
Tensões Tangenciais ou de Cisalhamento (ττ) - contidas pela seção de
referência
Tensão Normal (σ
σ) - perpendicular à seção de referência
Costuma-se em Resistência dos Materiais diferenciar estas duas tensões pelos efeitos
diferentes que elas produzem (deformações) e poderíamos adiantar que normalmente
trabalharemos com estas componentes ao invés da resultante.
A. TENSÕES NORMAIS (σ)
Conceito:
A tensão normal tem a direção perpendicular à seção de referência e o seu efeito é o de
provocar alongamento ou encurtamento das fibras longitudinais do corpo, mantendo-as paralelas.
Deformação específica longitudinal (εε)
Costuma-se medir a deformação de peças sujeitas a tensão normal pela deformação
específica longitudinal.
a. Conceito: é a relação que existe entre a deformação medida em um corpo e o seu
comprimento inicial, sendo as medidas feitas na direção da tensão.
Seja:
li → comprimento inicial da barra
lf → comprimento final da barra
∆l →deformação total
∆l = l f - l i
ε =
∆l
li
Observe que no exemplo dado ∆ l > 0 portanto ε > 0 (alongamento)
Poderíamos mostrar um outro exemplo onde ∆ l < 0 conseqüentemente
(encurtamento)
ε < 0
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Neste exemplo ∆ l 0
portanto
ε
0
b. sinal:
(+) - alongamento→ Corresponde à uma tensão de tração que também será positiva
(-) - encurtamento → Corresponde à uma tensão de compressão que também será negativa
c. Unidade:
- adimensional quando tomarmos para ∆l a mesma unidade que para li
-Taxa milésima (o/oo) - Nestes casos medimos ∆l em mm e li em m(metros).
B. TENSÕES TANGENCIAIS (
τ)
Conceito:
Tensão desenvolvida no plano da seção de referência tendo o efeito de provocar corte ou
cisalhamento nesta seção.
Distorção Específica ( γ )
Medida de deformação de corpos submetidos a tensões tangenciais.
Vamos supor um bloco com arestas A, B, C e D, submetido a tensões tangenciais em suas
faces. Para melhor visualizarmos a deformação vamos considerar fixa a face compreendida pelas
arestas A e B.
tg γ =
CC' DD'
=
CA DB
Como em estruturas trabalharemos sempre no campo das pequenas deformações e então
γ <<< 1 rad, então arco e tangente se confundem :
γ ≅
CC' DD'
=
CA DB
a. Conceito:
Distorção específica é a relação entre o deslocamento observado e a distância respectiva,
medida perpendicular ao deslocamento. Representa fisicamente a variação que sofre o ângulo reto
de um corpo submetido a tensões de cisalhamento.
b. Unidade:
As observações quanto a unidade da distorção seguem as da deformação específica
longitudinal: adimensional ou taxa milésima, ressalvando-se que quando adimensional representa
um arco expresso em radianos.
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III. DEFORMAÇÕES
Deformação é a alteração da forma de um corpo devido aos movimentos das partículas
que o constituem.
a. Deformações elásticas
Dizemos que uma deformação e elástica quando cessado o efeito do carregamento o
corpo volta a sua forma original.
Exemplo:
No exemplo acima, se medirmos numericamente as grandezas vamos ver que:
P1 P2
P
= ... .. = n = k (constante elástica da mola)
=
d1 d 2
dn
Concluímos que as duas propriedades que caracterizam uma deformação elástica são:
- deformações reversíveis
- proporcionalidade entre carga e deformação.
b. Deformações plásticas:
Se aumentássemos a carga sobre esta mola ela chegaria a uma situação em que
terminaria a proporcionalidade e apesar da tendência do corpo em assumir sua forma original,
sempre restariam as chamadas deformações residuais.
Considera-se então terminado o regime elástico e o corpo passa a atuar em regime
plástico.
Note então que no regime plástico termina a proporcionalidade e a reversibilidade das
deformações.
Se aumentássemos ainda mais a carga, o próximo limite seria a ruptura.
IV. LEI DE HOOKE
Robert Hooke em 1678 enunciou a lei que leva o seu nome e que é a base de
funcionamento dos corpos em regime elástico.
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"As tensões desenvolvidas e suas deformações específicas conseqüentes
proporcionais enquanto não se ultrapassa o limite elástico do material."
são
Expressões analíticas:
σ
= E(mod. de elasticidade longitudinal)
ε
τ
= G( mod. de elasticidade transversal)
γ
Estes módulos de elasticidade são constantes elásticas de um material, e são
determinados experimentalmente.
Exemplo:
Aço Comum :
E = 2,1 . 104 kN/cm2
G = 0,8 .104 kN/cm2
V. LEI DE POISSON ( DEFORMAÇÃO ESPECÍFICA TRANSVERSAL)
notação : εt
Poisson determinou experimentalmente a deformação que as peças sofrem nas direções
perpendiculares a da aplicação da tensão normal.
Conceito:
Deformação específica transversal é a relação entre a deformação apresentada e o seu
comprimento respectivo, ambos medidos em direção perpendicular à da tensão.
εt =
∆D
D
Os estudos de Poisson sobre a deformação transversal nos levam as seguintes
conclusões:
1. ε e εt tem sempre sinais contrários
2. As deformações específicas longitudinais e transversais são proporcionais em um mesmo
material
εt
= −µ
ε
O coeficiente de Poisson é a terceira constante elástica de um material, também
determinada experimentalmente.
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3. Em uma mesma seção a deformação específica transversal é constante para qualquer direção
perpendicular ao eixo.
∆a ∆b
= ε t = cons tan te
=
a
b
4. As constantes elásticas de um mesmo material se relacionam pela expressão:
G=
E
2( 1 + µ )
VI. PROPRIEDADES MECÂNICAS DOS MATERIAIS
Para serem determinadas as características mecânicas dos materiais são realizados em
laboratório ensaios com amostras do material, que são chamadas de corpos de prova.
No Brasil estes ensaios são realizados empregando-se métodos padronizados e
regulamentados pela ABNT.
O ensaio mais costumeiro é o de tração simples, onde determinamos TENSÕES LIMITES
dos diversos materiais, que indica a tensão máxima alcançada pelo material, em laboratório, sem
que se inicie o seu processo de ruptura.
Com a realização destes ensaios já podemos separar os materiais em dois grupos:
Materiais dúcteis
Materiais Frágeis
A. MATERIAIS DÚCTEIS :
São considerados materiais dúcteis aqueles que sofrem grandes deformações antes da
ruptura. Dentre os materiais dateis ainda temos duas categorias:
1. Dúctil com escoamento real:
exemplo: aço comum
Num ensaio de tração axial simples costuma-se demonstrar os resultados através de um
diagrama tensão x deformação específica (σ x ε ).
No caso de material dúctil com escoamento real a forma deste diagrama segue o seguinte
modelo:
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reta
AB
Indica
a
proporcionalidade entre
σ x ε , portanto o período em
que o material trabalha em
regime elástico (lei de Hooke).
Deformações reversíveis.
σp
Tensão
de
proporcionalidade
Representa o limite do regime
elástico.
curva BC - A curvatura indica o fim da proporcionalidade, caracterizando o regime plástico do
material. Podemos notar que as deformações crescem mais rapidamente do que as tensões e
cessado o ensaio já aparecem as deformações residuais, que graficamente podemos calcular
traçando pelo ponto de interesse uma reta paralela à do regime elástico. Notamos que neste trecho
as deformações residuais são ainda pequenas mas irreversíveis.
σe - Tensão de escoamento
Quando é atingida a tensão de escoamento o material se desorganiza internamente (a nível
molecular) e sem que se aumente a tensão ao qual ele é submetido, aumenta grandemente a
deformação que ele apresenta.
trecho CD - Chamado de patamar de escoamento. Durante este período começam a aparecer
falhas no material , ficando o mesmo invalidado para a função resistente.
curva DE - Após uma reorganização interna o material continua a resistir a tensão em regime
plástico, porém agora com grandes e visíveis deformações residuais.
σR - Tensão de ruptura
Conforme pudemos analisar no ensaio acima, para estruturas, o material pode ser aproveitado até
o escoamento, portanto sua TENSÃO LIMITE será a TENSÃO DE ESCOAMENTO.
2. Dúctil com escoamento convencional
Exemplo: aços duros
Se comporta de maneira semelhante ao anterior, mas não apresenta patamar de
escoamento. Como em estruturas não se admitem grandes deformações residuais se convenciona
em 2 o/oo este limite, ficando a tensão correspondente convencionada como TENSÃO DE
ESCOAMENTO, que é também a TENSÃO LIMITE do material.
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OBSERVAÇÕES:
Os materiais dúcteis de uma maneira geral são
classificados como aqueles que apresentam grandes
deformações antes da ruptura, podendo também ser utilizados em regime plástico com pequenas
deformações residuais.
Apresentam uma propriedade importantíssima que é RESISTIREM IGUALMENTE A
TRAÇÃO E A COMPRESSÃO.
Isto quer dizer que o escoamento serve como limite de tração e de compressão.
B. MATERIAIS FRÁGEIS
Exemplo : concreto
São materiais que se caracterizam por pequenas deformações anteriores a ruptura. O
diagrama σ x ε é quase linear sendo quase global a aplicação da lei de Hooke.
Nestes casos a TENSÃO LIMITE é a TENSÃO DE RUPTURA. Ao contrário dos materiais
dúcteis, eles resistem diferentemente a tração e a compressão, sendo necessário ambos os
ensaios e obtendo-se assim dois limites:
σT = Limite de ruptura a tração
σC = Limite ruptura a compressão
Em geral estes materiais
compressão do que a tração.
resistem
melhor
a
IX. CRITÉRIO DE RESISTÊNCIA - COEFICIENTE DE
SEGURANÇA
Em termos gerais um projeto está sempre ligado ao binômio economia x segurança.
Devemos ter um índice que otimize este binômio.
Poderíamos dizer também que mesmo sendo determinada em laboratório a utilização da
tensão limite em projetos é arriscada, pois trabalhamos com diversos fatores de incerteza.
Em vista do que foi exposto adotamos o seguinte critério:
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A tensão limite é reduzida dividindo-a por um número que chamaremos de coeficiente de
segurança (s). Para que este número reduza o módulo da tensão limite, ele deve ser maior do que
a unidade. Então, para que haja segurança:
s ≥ 1
As tensões assim reduzidas, que são as que realmente podemos utilizar, são chamadas de
TENSÕES ADMISSÍVEIS ou TENSÕES DE SERVIÇO que para serem diferenciadas das tensões
limites são assinaladas com uma barra ( σ ).
σ adm =
casos:
σ lim
s
Podemos resumir analíticamente o critério de segurança conforme abaixo, para os diversos
MATERIAIS DÚCTEIS
MATERIAIS FRÁGEIS
σ máxt =
σ máxt =
σ máxc =
σe
= σe
s
σe
= σe
s
(tensão de escoamento
admissível)
(tensão de escoamento
admIssível)
σT
= σT
s
σ máxc =
(tensão de tração admissível)
σc
= σc
s
(tensão de compressão
admissível)
EXERCÍCIOS :
1. Uma barra de latão de seção circular de diÂmetro 3 cm está tracionada com uma força axial de
50 kN. Determinar a diminuição de seu diâmetro. São dados do material o módulo de
elasticidade longitudinal de 1,08 . 104 kN/cm2 e o seu coeficiente de Poisson 0,3.
R: 5,89 . 10-4 cm
2. Uma barra de aço de 25 cm de comprimento e seção quadrada de lado 5 cm suporta uma
força axial de tração de 200 kN. Sendo E = 2,4 . 104 kN/cm2 e ν = 0,3 , qual a variação unitária
do seu volume ?
R: 0,000133
3. Suponha a barra do problema anterior submetida à uma força axial de tração.
Experimentalmente determinou-se o módulo de sua deformação específica longitudinal 0,001.
Sabendo-se que o seu coeficiente de Poisson é de 0,33, pergunta-se qual o volume final desta
barra?
R: 625,212 cm3
4. Uma barra de alumínio de seção circular de diâmetro 1. 1/4" está sujeita à uma força de
tração de 5.000 kgf. Determine:
a. Tensão normal
(a) 651,89 kgf/cm2
b. Deformação específica longitudinal
(b) 0,000815
c. Alongamento em 8"
(c) 0,163 mm
d. Variação do diâmetro
(d) - 0,006 mm
e. Variação da área da seção
(e) ≅ -0,3 mm2
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f.
Admita-se
Variação de volume em um comprimento de 200 mm
E = 0,8 . 106 kgf/cm2
ν = 0,25
(f)≅ 65 mm3
1" = 25 mm
5. Considere um ensaio cuidadosamente conduzido no qual uma barra de alumínio de 50 mm de
diâmetro é solicitada em uma máquina de ensaio. Em certo instante a força aplicada é de 100
kN e o alongamento medido na direção do eixo da barra 0,219 mm em uma distancia padrão
de 300 mm.O diâmetro sofreu uma diminuição de 0,0125 mm. Calcule o coeficiente de Poisson
do material e o seu módulo de elasticidade longitudinal.
R: ν = 0,33
E =0,7 . 104 kN/cm2
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CAPÍTULO VIII
TRAÇÃO OU COMPRESSÃO AXIAL (SIMPLES)
I.
CONCEITO:
Seja uma barra prismática de eixo longitudinal reto e seção transversal constante de área
A. Quando sob ação de duas forças iguais e opostas, coincidentes com o seu eixo (lugar
geométrico de todas as seções transversais) originam-se esforços no seu interior.
Pode-se imaginar a barra sendo cortada ao longo de uma seção transversal qualquer, por
exemplo b-b (fig a).
Assim como todo o corpo está em equilíbrio, qualquer parte sua também estará.
Na seção de corte de área A, deve aparecer uma força equivalente ao esforço normal N,
capaz de manter o equilíbrio das partes do corpo isoladas pelo corte (fig b e c). Observe que se as
partes isoladas forem novamente unidas, voltamos a situação precedente ao corte.
Neste caso, apenas a solicitação de esforço normal N, atuando no centro de gravidade da
seção de corte é necessária para manter o equilíbrio.
Por meio deste artifício (corte) os esforços internos transformaram-se em externos e o seu
cálculo se fez aplicando-se uma equação de equilíbrio.
Admite-se que este esforço normal se distribui uniformemente na área em que atua(A),
ficando a tensão definida pela expressão:
sendo:
σ =
N
A
N → Esforço Normal desenvolvido
A→ Área da seção transversal
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Na prática, vistas isométricas do corpo são raramente empregadas, sendo a
visualização simplificada como:
ΣFy = 0
∴
Q=0
∴
M=0
Σ Fx = 0
∴
N-F=0
Σ Ms = 0
N=F
A tração ou Compressão axial simples pode ser observada, por
exemplo, em tirantes, pilares e treliças.
Lembramos a convenção adotada para o esforço normal (N)
Nas tensões normais, adotamos a mesma convenção.
As deformações desenvolvidas podem ser calculadas diretamente pela lei de Hooke:
ε=
∆l
l
N=P
∆l
σ
=
l
E
∴
∆l
N
=
l
EA
ε=
σ =
σ
E
N
A
ou :
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∆l =
N.l
E. A
II. VALIDADE DA DISTRIBUIÇÃO UNIFORME
Ao aceitarmos as equações acima, deve-se ter em mente que o
comportamento do material é idealizado, pois todas as partículas do corpo são
consideradas com contribuição igual para o equilíbrio da força N.
Podemos calcular a resultante de força N aplicada no centróide da seção
se somarmos todas as resultantes de força que atuam em todos os elementos
de área que constituem a seção transversal.
N = σ.dA
A
Como partimos da premissa de que em todos os elementos de área atua
a mesma tensão, decorre daí que:
N = σ. A
Nos materiais reais esta premissa não se verifica. Por exemplo, os
metais consistem em grande número de grãos e as madeiras são fibrosas.
Sendo assim, algumas partículas contribuirão mais para a resistência de que
outras, e o diagrama verdadeiro de distribuição de tensões varia em cada caso
particular e é bastante irregular.
Os métodos de obtenção desta distribuição exata de tensões são
tratados na teoria matemática da elasticidade e mesmo assim apenas casos
simples
podem
ser
resolvidos.
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Neste caso observa-se que quanto mais perto da carga aplicada estiver a
seção em estudo, maior será o pico de tensões normais.
Em termos práticos porém, os cálculos pela equação da tensão uniforme
são considerados corretos.
Outros dois fatores de concentração de tensões, onde a distribuição
uniforme não é válida, são mostrados abaixo, e representam peças com
variações bruscas de seção.
Deve-se ter um cuidado adicional para com as peças comprimidas, pois
peças esbeltas devem ser verificadas a flambagem. A flambagem representa
uma situação de desequilíbrio elasto-geométrico do sistema e pode provocar o
colapso sem que se atinja o esmagamento.
III. PESO PRÓPRIO DAS PEÇAS
O peso próprio das peças constitui-se em uma das cargas externas ativas que devem ser
resistidas. Podemos observar como se dá a ação do peso próprio:
Podemos notar que nas peças horizontais o peso próprio constitui-se em uma carga
transversal ao eixo, desenvolvendo Momento Fletor e Esforço Cortante.
No caso das peças verticais o peso próprio (G), atua na direção do eixo longitudinal da
peça e provoca Esforço Normal, que pode ter um efeito diferenciado dependendo da sua
vinculação:
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Nas peças suspensas (tirantes) o efeito do peso é de tração e nas apoiadas (pilares) este
efeito é de compressão.
O peso próprio de uma peça (G) pode ser calculado, multiplicando-se o volume da mesma
pelo peso específico do material:
G = A. γ . l
Sendo:
A - área da seção transversal da peça
l - comprimento
γ – peso específico do material
Na tração ou compressão axial a não consideração do peso próprio é o caso mais simples.
A não consideração do peso próprio se dá em peças construídas em materiais de elevada
resistência, quando a mesma é capaz de resistir a grandes esforços externos com pequenas
dimensões de seção transversal, ficando portanto o seu peso próprio um valor desprezível em
presença da carga externa. Nestes casos é comum desprezarmos o peso próprio da peça.
Exemplo: Treliças e tirantes.
EXEMPLO 1:
Consideremos uma barra sujeita a uma carga externa P e ao seu próprio peso, conforme
figura abaixo:
Sejam:
A - área de seção transversal da peça
γ - peso específico do material
l - comprimento da peça
P - carga externa atuante na peça
conseqüente.
Determine uma expressão genérica para o cálculo das tensões
normais desenvolvidas ao longo da barra e a deformação total
SOLUÇÃO:
Usando o método das seções cortamos a barra acima por uma seção S qualquer e isolamos um
dos lados do corte, por exemplo, o lado de baixo.
OBS: Sempre que ao separarmos em 2 partes um corpo uma delas for uma extremidade livre
é conveniente isolarmos esta parte pois evita o cálculo das reações vinculares.
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Resistência dos Materiais E- Notas de aula – Profas Silvia Kalil / Maria Regina Leggerini
Como o peso do material não pode mais ser desprezado, na seção cortada deve aparecer
um esforço normal que equilibre a carga externa e também o peso próprio do material isolado. Isto
já nos indica que a posição da seção de corte tem agora importância pois ela determina o peso da
peça isolado pelo corte.
De acordo com esta conclusão devemos criar uma variável que nos indique a posição da
seção de corte desejada.
Sendo:
x → ordenada genérica da posição da seção à ser analisada e como a barra
tem um comprimento l
0≤x≤l
Aplicando a equação de equilíbrio pertinente:
Σ Fy = 0
N-P-g=0
N = P + g(x)
onde gx é o peso parcial da barra isolada pelo corte
Para avaliarmos o peso de um corpo, multiplicamos o seu volume por seu peso específico
∴
V = A.x
gx = A . γ . x
N=P+A.γ .x
Observe que o esforço normal varia linearmente em função da ordenada x da seção de
referência.
Como
0 ≤ x ≤ l podemos calcular os valores extremos do esforço normal
x=0
N=P
Nmáx = P + A . γ . l
Chamando:
x=l
G - Peso total da barra
G = A. γ . l
Então podemos escrever de outra forma o máximo esforço normal:
Nmáx = P + G
Podemos descrever a variação de esforço normal sob a forma gráfica:
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Da mesma maneira como desenvolvemos as expressões analíticas para o esforço normal
podemos faze-lo com as tensões normais:
σ ( x) =
Sabemos que
Como
N(x) = P + A . γ . x
σ (x) =
N
A
então:
σ ( x) =
P + A. γ . x
A
ou
P
+ γ .x
A
Substituindo x por seus valores extremos teremos:
P
A
x=0
σ =
x=l
σmáx =
P
+γ.l
A
Podemos com modificações algébricas expressar o valor da tensão máxima em função do
peso total da barra,colocando A como denominador comum as parcelas:
P + A. γ .l
A
σmáx =
ou
σ máx
=
P +G
A
Para determinarmos a deformação total ( ∆ l ) sofrida por uma barra sujeita à uma carga
externa (P) e ao seu peso próprio (G), utilizando o método das seções, isolamos um trecho desta
barra cortando-a por duas seções transversais S e S' infinitamente próximas, formando um prisma
de comprimento elementar dx que se alongará apresentando um comprimento dx + ∆dx.
ε =
σ =
σx
E
∆ dx
dx
∴
∴
∆ dx =
∆ dx = ε . dx
σx
. dx (alongamento do trecho de comprimento dx)
E
70
Resistência dos Materiais E- Notas de aula – Profas Silvia Kalil / Maria Regina Leggerini
como vimos anteriormente
σx =
P
+ γ .x
A
então:
∆dx =
P
γ. x
dx +
dx
EA
E
Como queremos o alongamento da barra toda devemos fazer o somatório dos diversos
trechos de comprimento dx que compõem a barra, ou seja:
∆l =
l
0
P
γ.x
.dx +
.dx
EA
E
Efetuando as integrais:
P.l
γ . l2
∆l =
+
E. A
2.E
Podemos expressar a equação da deformação total em função do peso total G da peça,
fazendo algumas modificações algébricas:
∆l =
l
G
P+
EA
2
EXERCÍCIOS:
1. Uma barra de seção transversal retangular de 3 x 1 cm tem comprimento de 3 m. Determinar
o alongamento produzido por uma carga axial de tração de 60 kN, sabendo-se que o módulo
de elasticidade longitudinal do material é de 2 . 104 kN/cm2.
R: 0,3 cm
2. Uma barra de aço e outra de alumínio tem as dimensões indicadas na figura.Determine a
carga "P" que provocará um encurtamento total de 0,25 mm no comprimento do sistema.
Admitimos que as barras são impedidas de flambar lateralmente, e despresa-se o peso
próprio das barras.
Dados: Eaço = 2 . 104 kN/cm2
EAl = 0,7 . 104 kN/cm2
OBS : medidas em cm
71
Resistência dos Materiais E- Notas de aula – Profas Silvia Kalil / Maria Regina Leggerini
R : P ≅ 1.900 kN
3. Uma força axial de 400 kN é aplicada à um bloco de madeira de pequena altura que se apoia
em uma base de concreto que repousa sobre o solo. Determine, desprezando o peso próprio
da madeira:
a. Tensão de esmagamento na base do bloco de madeira
3
b.As dimensões do bloco de concreto que tem peso específico de 25 kN/m , para
2
que não se ultrapasse no solo a tensão de 1,45 kN/cm .
R: (a) 3,33 kN/cm2
(b) l66 mm
4. A carga P aplicada à um pino de aço é transmitida por um suporte de madeira por intermédio
de uma arruela de diâmetro interno 25 mm e de diâmetro externo "d". Sabendo-se que a
tensão normal axial no pino de aço não deve ultrapassar 35 MPa e que a tensão de
esmagamento média entre a peça de madeira e a arruela não deve exceder 5MPa, calcule o
diâmetro "d" necessário para a arruela.
R: 6,32 cm
5. Aplica-se à extremidade C da barra de aço ABC uma carga de 66,7 kN. Sabe-se que Eaço é
de
2,1.104 kN/cm2. Determinar o diâmetro "d" da parte BC para a qual o deslocamento do
ponto C seja de 1,3 mm.
72
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R: 21,8 mm
6. Usando o desenho do problema anterior, suponha as duas partes da barra de alumínio com
módulo de elasticidade longitudinal de 0,7 . 104kN/cm2. O diâmetro da parte BC é de 28 mm.
Determinar a máxima força que pode ser aplicada na extremidade C sabendo-se que o seu
deslocamento não pode ultrapassar 3,8 mm. Sabe-se que a tensão de escoamento
admissível para o alumínio é de 16,5 kN/cm2.
R: P ≅ 84 kN
7. O fio de aço CD de 2 mm de diâmetro tem seu comprimento ajustado para que sem nenhum
carregamento exista uma distancia média de 1,5 mm entre a extremidade B da viga rígida
ABC e o ponto de contato E. Pede-se determinar em que ponto deve ser colocado o bloco de
20 kgf sobre a viga de modo a causar contato entre B e E.
Dados do aço: E = 2 . 104 kN/cm2.
R: x = 10 cm
8.
Uma barra de aço tem seção transversal de 10 cm2 e está solicitada pelas forças axiais
indicadas. Determinar as tensões desenvolvidas nos diversos trechos da barra.
73
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R: trecho 1 : 1.000 kgf/cm2
trecho 2 : 700 kgf/cm2
trecho 3 : 900 kgf/cm2
9. Uma barra de aço colocada na horizontal mede 5 m. Calcular o seu alongamento quando
suspensa verticalmente por uma extremidade. Dados do aço:
γ = 80 kN/m3
E = 2,1 . 104 kN/cm2
R: 0,004763 mm
10. Um pilar de tijolos comuns deve receber uma carga oriunda de um telhado de 32 kN.
Dimensione-o com seção quadrada sabendo que a alvenaria apresenta peso específico de 19
kN/m3 e tem uma tensão de compressão admissível de 6 kgf/cm2.
R: a ≥ 24,2 cm
.
74
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CAPÍTULO IX
MOMENTOS ESTÁTICOS, BARICENTROS E MOMENTOS DE INÉRCIA
I.MOMENTOS ESTÁTICOS
Admitimos uma superfície plana qualquer de área "A", referida à um sistema de eixos
ortogonais x,y.
Sejam:
dA - elemento de área componente da superfície
x e y - coordenadas deste elemento em relação ao sistema de eixos
Define-se:
Momento estático de um elemento de área dA em relação a um eixo é o produto da
área do elemento por sua ordenada em relação ao eixo considerado.
Notação : s
Expressão analítica :
sx = y. dA
sy = x. dA
Define-se:
Momento estático de uma superfície é a soma dos momentos estáticos em relação a
um mesmo eixo dos elementos que a constituem.
Notação : S
Expressão analítica:
Sx =
y. dA
A
Sy =
x. dA
A
OBSERVAÇÕES:
1. unidade: cm3, m3, ...
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2. sinal : O momento estático pode admitir sinais positivos ou negativos, dependendo do sinal da
ordenada envolvida.
3. O momento estático de uma superfície é nulo em relação à qualquer eixo que passe pelo
centro de gravidade desta superfície.
II. DETERMINAÇÃO DO BARICENTRO DE SUPERFÍCIE
A utilização dos conceitos de momento estático se dá no cálculo da posição do centro de
gravidade de figuras planas.
Seja:
G - baricentro da superfície com coordenadas à determinar (xG; yG)
por definição:
Sx =
y. dA
A
se o baricentro da superfície fosse conhecido
poderíamos calcular o momento estático desta
superfície pela definição:
Sx = yG . A
∴
yG =
Sx
A
ou
como A (área total) pode ser calculado pela soma dos elementos de área que a constituem:
A =
dA
então :
A
y. dA
yG =
A
dA
A
analogamente:
x. dA
xG =
A
dA
A
Estas expressões nos permitem determinar as coordenadas do centro de gravidade de
qualquer seção desde que se conheça um elemento da representativo da superfície toda.
São chamadas genericamente de "teorema dos momentos estáticos".
Nos casos mais comuns, quando a superfície em estudo for a seção transversal de um
elemento estrutural, normalmente seções constituidas por elementos de área conhecidos
(perfilados), podemos substituir nas equações a integral por seu similar que é o somatório, e as
expressões ficam:
76
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n
yG =
1
n
Ai . yi
n
1
xG =
ou
Ai
1
Ai . xi
n
1
Ai
OBS: Quando a figura em estudo apresentar eixo de simetria, o seu centro de gravidade
estará obrigatoriamente neste eixo.
III. MOMENTO DE INÉRCIA
Podemos definir momentos de inércia de uma superfície , usando como referência a
mesma superfície de área A referida à um sistema de eixos x,y:
A. MOMENTO DE INÉRCIA AXIAL
Define-se:
"Momento de inércia de um elemento de área em relação a um eixo é o produto da área
deste elemento pelo quadrado de sua distância ao eixo considerado."
Notação : j
(índice com o nome do eixo)
Expressão analítica:
jx = y2 . dA
jy = x2 . dA
Unidade : cm4 , m4, ...
Sinal : sempre positivo
Define-se :
"Momento de inércia de uma superfície em relação a um eixo é a soma dos momentos de
inércia em relação ao mesmo eixo dos elementos de área que a constituem."
2
Jx =
A
y . dA
ou
2
Jy =
A
x . dA
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OBS: Sendo o momento de inércia axial de uma superfície o somatório de valores sempre
positivos, ele só admite valores positivos também.
IV. TRANSLAÇÃO DE EIXOS (TEOREMA DE STEINER)
Este teorema nos permite relacionar momentos de inércia em relação a eixos quaisquer
com momentos de inércia relativos a eixos baricêntricos, desde que eles sejam paralelos.
FORMULÁRIO:
Jx = JxG + A.dy2
Jy = JyG + A.dx2
OBS: PARA A UTILIZAÇÃO DO TEOREMA DE STEINER, OS EIXOS BARICENTRICOS DEVEM
NECESSÁRIAMENTE ESTAR ENVOLVIDOS NA TRANSLAÇÃO.
V. EIXOS E MOMENTOS PRINCIPAIS CENTRAIS DE INÉRCIA
Vimos que o Momento de Inércia de uma área A muda com a mudança do eixo em que o
mesmo é calculado.Denomina-se EIXOS PRINCIPAIS CENTRAIS DE INÉRCIA os eixos que
passam pelo baricentro da área A e em relação aos quais o Momento de Inércia admite valores
extremos (máximo e mínimo).
Com o objetivo de projetar de forma mais racional possível, nos interessa conhecer os
eixos em relação aos quais a peça estrutural apresenta maior e menor Momento de Inércia, assim
como o valor destes Momentos de Inércia.
O estudo da variação desta grandeza nos permite demonstrar e concluir que:
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-Os EIXOS PRINCIPAIS CENTRAIS DE INÉRCIA são ortogonais.
-Se a área A apresentar 2 (dois) eixos de simetria os eixos baricêntricos horizontal e
vertical serão os EIXOS PRINCIPAIS CENTRAIS DE INÉRCIA.
-Se a área A apresentar somente 1(um) eixo de simetria este eixo é um EIXO PRINCIPAL
CENTAL DE INÉRCIA o outro eixo é perpendicular a ele passando pelo baricentro.
EXERCÍCIOS:
1. Determinar a posição do centro de gravidade das figuras abaixo (medidas em cm):
a.
b.
c.
R: XG = 5,00
YG = 9,66
R: YG = 2,60
XG = 6,57
d.
R: XG = 6,00
YG = 9,17
R: YG = 27
XG = 25
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2. Determinar o momento de inércia das figuras em relação aos eixos baricêntricos horizontal e
vertical.
(medidas em cm)
a.
b.
R: Jx = 3.541,33 cm4
J y= 1.691,33 cm4
c.
R: Jx = 553 cm4
Jy = 279,08 cm4
d.
R: Jx = 687,65 cm4
J y= 207,33 cm4
R: Jx = 1.372,29 cm4
Jy= 1.050,27 cm4
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TABELAS:
Jx =
J xG
b. h 3
3
Jy =
b. h 3
=
12
J yG
b. h 3
Jx =
12
J xG =
Jx =
J xG
b. h 3
36
h. b 3
3
h. b 3
=
12
h. b 3
Jy =
12
J yG =
h. b 3
36
b. h 3
12
b. h 3
=
36
Jx = Jy =
J yG
h. b 3
=
48
π.R 4
4
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CAPÍTULO X
FLEXÃO PURA
I . VIGAS CARREGADAS TRANSVERSALMENTE
Uma viga é um elemento linear de estrutura que apresenta a característica de possuir uma
das dimensões (comprimento) muito maior do que as outras duas (dimensões da seção
transversal). A linha que une o centro de gravidade de todas as seções transversais constitui-se no
eixo longitudinal da peça, e dizemos que uma viga é carregada transversalmente quando suas
cargas são perpendiculares à este eixo.
Sabemos que uma viga que tem cargas perpendiculares ao seu eixo, desenvolve em suas
seções transversais solicitações de Momento Fletor (M) e Esforço Cortante (Q) , sendo o Fletor
responsável pela flexão e o Esforço Cortante responsável pelo cisalhamento da viga.
O Esforço Cortante tem muitas vezes uma influência desprezível no comportamento da
peça e podemos, com a finalidade acadêmica, despreza-lo, estudando o efeito da flexão isolada.
Note-se que estamos cometendo uma aproximação ao estudarmos a flexão isolada. Na
prática, temos a obrigação de pelo menos verificar o efeito do esforço Cortante.
Feitas estas considerações, podemos iniciar classificando a flexão em:
FLEXÃO PURA - Desprezado o efeito do Esforço Cortante
FLEXÃO SIMPLES - Momento Fletor e Esforço Cortante considerados.
Sabemos também que a posição do
transversal da peça deve ser analisada.
carregamento em relação à posição da seção
Convencionando por x e y os eixos principais centrais de inércia da seção transversal da
viga (temos condições de determinar estes eixos e também os momentos de inércia que à eles
correspondem).
Vamos chamar de Plano de Solicitações (PS) ao plano onde se desenvolvem as
solicitações, que corresponde ao plano do carregamento.
A posição deste plano pode ser a mais diversa possível, e devemos comparar esta posição
com a posição dos eixos principais centrais de inércia da seção transversal.
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Podemos obter as seguintes situações:
PS contém eixo y
PS contém eixo x
PS não contém nenhum eixo principal central de inércia da seção
De acordo com estas observações podemos classificar a flexão em:
RETA - Ocorre quando o Plano de Solicitações contém um dos eixos principais centrais de inércia
da seção (x ou y), que está representada nos dois primeiros exemplos.
OBLÍQUA - Ocorre quando o Plano de Solicitações é desviado em relação aos eixos principais
centrais de inércia da seção, representada no terceiro exemplo.
A classificação definitiva para a flexão ficaria:
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II. FLEXÃO PURA RETA
É o caso mais simples e o mais comum de flexão. Podemos ainda dizer que na flexão o
natural é o Plano de Solicitações vertical pois é o plano que contém as cargas peso.
Vamos iniciar o nosso estudo por um caso simples de uma viga de seção transversal
retangular, e sujeita a cargas peso, conforme desenho abaixo:
x,y - eixos principais centrais de inércia da
seção retangular
z - eixo longitudinal da peça.
Isolando o trecho compreendido entre as
seções S1
e S2
podemos com a
observação tirar diversas conclusões que
nos levam a conhecer o funcionamento de
uma peça sujeita à flexão.
Conclusões:
1. No exemplo citado as fibras de baixo se alongaram, e
isso nos diz que deve haver uma tensão normal de tração
capaz de provocar este alongamento.
2. As fibras de cima se encurtaram e o fizeram porque
houve uma tensão normal de compressão que as
encurtou.
3. Existe uma linha na seção transversal na altura do eixo
longitudinal constituída por fibras que não alongaram e nem encurtaram, nos fazendo concluir que
nesta linha não existe tensão normal. Chamamos esta linha de LINHA NEUTRA (LN) e neste
exemplo ela coincide com o eixo x , que é principal central de inércia da seção transversal
retangular.
Numa flexão reta a LN é sempre um dos eixos principais centrais de inércia da seção:
PS contendo eixo y → LN coincide com o eixo x
PS contendo eixo x → LN coincide com o eixo y
Numa flexão reta LN e PS são sempre perpendiculares entre si.
OBS: A Linha Neutra (LN) representa fisicamente o eixo em torno do qual a seção gira.
4. Quanto mais afastada for a fibra da LN maior será a sua deformação e conseqüentemente maior
será a tensão que lhe corresponde (lei de Hooke).
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A. TENSÕES NORMAIS DESENVOLVIDAS
Vamos adotar para a formação da expressão que nos permite calcular as tensões normais
desenvolvidas em uma seção transversal, o seguinte exemplo:
- Viga de seção retangular (bxh) , onde os eixos principais centrais de inércia são os eixos
de simetria (x,y).
- Plano de Solicitações verticais (cargas peso).
notações e convenções:
σ - Tensões Normais
:
(+) tração
(-) compressão
Jx - Momento de inércia da seção em relação ao eixo x, principal central de inércia (pci).
Mx - Momento Fletor atuante na seção transversal devido à ação das cargas
(+) traciona as fibras da parte de baixo da seção transversal
(-) traciona as fibras de cima
Eixos Principais Centrais de Inércia:
O sentido convencionado para estes eixos
eixos coordenados:
será contrário
ao dos
y - ordenada genérica da fibra considerada, ou seja, da fibra para a qual se quer
calcular as tensões normais.
sinal: (+) ou (-) , de acordo com a orientação convencionada para o eixo y.
Conhecido o funcionamento da peça e as grandezas que influem em seu funcionamento à
flexão podemos simplesmente montar uma equação que nos permita calcular a tensão normal
desenvolvida nos diversos pontos que constituem a seção em estudo:
85
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σy =
Mx
.y
Jx
Observando esta expressão, podemos notar que a tensão desenvolvida depende
diretamente do momento fletor que atua na seção (responsável pela tendência de giro), e é
inversamente proporcional ao momento de inércia da seção, o que se explica, pois o momento de
inércia representa fisicamente resistência ao giro.
A tensão também é diretamente proporcional a ordenada y, que representa a distância da
fibra em que se deseja calcular a tensão até a linha neutra, ficando de acordo com a lei de Hooke
(proporcionalidade entre tensão e deformação), pois as deformações crescem com a distancia à
Linha Neutra .
OBS:
1. Esta expressão nos permite calcular a tensão normal desenvolvida devido ao momento fletor
em qualquer ponto de qualquer seção da viga considerada.
2. Se tivéssemos exemplificado com o Plano de Solicitações horizontal, as seções girariam em
tôrno do eixo y e a expressão ficaria:
My
σx =
.x
Jy
B. TENSÕES NORMAIS EXTREMAS (MÁX. E MÍN)
As máximas tensões de tração e de compressão ocorrem nos pontos mais afastados da
Linha Neutra, porque são nestes pontos que a deformações são máximas(lei de Hooke).
Para facilitarmos o cálculo das tensões normais máximas, vamos dividir a nossa peça em
duas categorias:
1. Peças Simétricas em relação ao eixo x:
Ex: Seção Retangular
Observe
que
em
peças
simétricas a distancia da fibra mais
tracionada
e da fibra mais
comprimida até a Linha Neutra é
igual à metade da altura total da peça
(h/2)
86
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σmáxT =
Mx
. ymáxT
Jx
ymáxT = |ymáxC | = h/2
σmáxC =
Mx
. ymáxC
Jx
então:
σmáxT = |σmáxC|
2. Seções não simétricas em relação ao eixo x:
Ex: Seção "T"
Nestes casos
|ymáxc | ≠ ymáxt
então:
σmáxT ≠ |σmáxC|
OBS: Nas seções não simétricas as convenções devem ser observadas com cuidado pois a
simples inversão de qualquer sentido ou sinal torna os resultados diferentes dos
observados na prática.
C. MÓDULO DE RESISTÊNCIA À FLEXÃO (W)
Por definição, módulo de resistência à flexão é a relação entre o momento de inércia da
seção em relação à um eixo e a distância do ponto mais afastado da seção àquele eixo.
Como estamos exemplificando o caso de cargas verticais em que o eixo de rotação (LN) é
x, teríamos:
Wx =
Jx
ymáx
Podemos substituir este conceito na expressão que nos dá a tensão máxima e teríamos:
σ máx
=
Mx
. ymáx
Jx
ou
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σ máx
=
Mx
Wx
Note-se que não se faz distinção entre ymáxt e ymáxc , portanto a utilização prática desta
constante se dá no cálculo da tensão máxima em peças simétricas, onde eles são iguais.
Muitas vezes, em peças comerciais , o valor do módulo de resistência à flexão é tabelado.
Se estivéssemos tratando do caso de Momento Fletor em torno do eixo y (rotação em torno
de y), a expressão ficaria:
Wy =
Jy
xmáx
σmáx
=
My
Wy
]
D. SEÇÕES E POSIÇÕES MAIS CONVENIENTES
A melhor forma para a seção transversal de uma viga sujeita à flexão é aquela que tem
grande parte de sua área em regiões o mais afastadas possíveis de sua LN.
Ex:
Para uma mesma seção, ou seja, para um mesmo material empregado, nós
podemos aproveita-lo da melhor forma possível, ou na melhor posição
possível, fazendo uma simples análise do seu módulo de resistência à flexão.
mesma área?
Ex 1: Qual a forma mais conveniente para ser utilizada em uma viga sujeita à
flexão, optando-se entre uma seção quadrada e outra circular, ambas de
Ex 2: Qual a posição mais conveniente de uma seção retangular b x B , para servir como seção
transversal de uma viga, sujeita à flexão (PS vertical)
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EXERCÍCIOS:
1. Uma viga de seção retangular 20 x 30 cm suporta um momento fletor positivo de 20 kN.m. A
peça é construida com material que apresenta σT = 18 MPa e σC = 32 MPa. Determine o
coeficiente de segurança desta viga.
2. Projetar uma peça com seção retangular com altura igual ao dobro da base para servir como
viga conforme a figura abaixo.. A viga será construída com material dúctil que apresenta
tensão de escoamento de 400 MPa. Despreze o esforço cortante e adote segurança 2,5.
3. Determine a medida "b" da seção transversal da viga da figura abaixo. A viga deve resistir ao
carregamento indicado com segurança 5. O material apresenta :
σT = 8 kN/cm2
σC  = 16 kN/cm2
4. Calcular o coeficiente de segurança para a viga abaixo. O material é frágil e apresenta:
σT = 200 MPa
| σC | = 300 MPa
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5.
A viga da figura deve ser construída com material dúctil que apresenta tensão de escoamento
de 300 MPa. A seção transversal deve ser uma coroa circular de Re = 2.Ri. Dimensione-a com
segurança 3.
6. Determinar o máximo valor possível para a carga "q" à fim de que a peça abaixo de seção
retangular 20 x 40 cm resista ao carregamento indicado com segurança 3.
σT = 30 MPa
| σC | = 120 MPa
s=3
Dados:
90
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