CAPÍTULO I
REVISÃO DE MECÂNICA GERAL
CONCEITOS BÁSICOS
I . FORÇA
A. Conceito:
Força é toda a grandeza capaz de provocar movimento, alterar o estado de movimento ou provocar
deformação em um corpo. É uma grandeza vetorial cuja intensidade pode ser obtida pela expressão da
física:
F= m.a
onde:
F = força
m = massa do corpo
a = aceleração provocada
Sendo força um elemento vetorial se caracteriza por:
direção
sentido
módulo ou intensidade
ponto de aplicação
Exemplo 1 :
efeito: movimento
Exemplo 2 : PESO DOS CORPOS
P=m.g
O peso é uma força oriunda da ação da aceleração da gravidade, tendo características definidas:
direção vertical
sentido de cima para baixo
módulo P = m.g (onde g representa a aceleração da gravidade)
ponto de aplicação - centro de gravidade do corpo
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Na maioria das estruturas serão com cargas peso que trabalharemos.
B. UNIDADES
N - Newton
1 kgf = 10 N
kN - kiloNewton
1 kN = 103 N
kgf - kilograma força
1 kN = 102 kgf
1 kN = 103 N = 102 kgf
C. PRINCÍPIO DA AÇÃO E REAÇÃO
A toda a ação corresponde uma reação igual e contrária (3ª lei de Newton).
Podemos observar que estas duas forças tem pontos de aplicação diferentes e portanto causam efeitos
diferentes, cada uma atuando no seu ponto de aplicação.
D. CLASSIFICAÇÃO DAS FORÇAS
As forças são classificadas em forças de contato (ex: locomotivas, musculares, etc..) e de ação à
distância (ex: elétricas, gravitacionais, magnéticas, etc...)
Em análise estrutural as forças são divididas conforme esquema abaixo:
FORÇAS EXTERNAS: atuam externamente em uma estrutura e podem ser:
ações : São forças independentes que podem atuar em qualquer ponto de uma estrutura . Correspondem
às cargas as quais estaremos submetendo a estrutura, normalmente conhecidas ou avaliadas. Ex: peso
do pedestre em uma passarela, peso próprio das estruturas, etc...
reações : São forças que surgem em determinados pontos de uma estrutura (vínculos ou apoios), sendo
consequência das ações portanto não são independentes, devendo ser calculadas para se equivalerem as
ações.
FORÇAS INTERNAS : são aquelas que mantém unidos os pontos materiais que formam o corpo
rígido (solicitações internas). Se o corpo rígido é estruturalmente composto de diversas partes, as forças
que mantém estas partes unidas também são chamadas de forças internas (forças desenvolvidas em
rótulas).
E. DECOMPOSIÇÃO DE FORÇAS
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Qualquer força no espaço pode ser decomposta segundo três direções . Normalmente usamos como
referência três direções ortogonais entre si, escolhidas de acordo com o problema.
Qualquer força em um plano pode ser decomposta segundo duas direções. Normalmente nos interessam
duas direções perpendiculares entre si,também escolhidas de acordo com o problema.
Vamos nos ater ao caso plano que é o mais usual
Exemplo:
F - força a ser decomposta
x,y - direções ortogonais escolhidas como referência
- ângulo formado por F em relação a x
Fx , Fy- componentes da força nas direções x e y
por trigonometria
Fx = F . cos
Fy = F . sen
Fy/ Fx = tg
A força F decomposta também pode ser chamada de resultante da soma vetorial de suas componentes
Fx e Fy . Observe que soma vetorial ou geométrica não correspode a soma algébrica.
II . MOMENTO DE UMA FORÇA
A. DEFINIÇÕES:
1.MOMENTO POLAR (momento de uma força em relação à um ponto)
DEFINIÇÃO : Chama-se momento de uma força F em relação à um ponto "0", o produto vetorial do
vetor OA pela força F ,sendo "A" um ponto qualquer situado sobre a reta suporte da força F . Logo
também é um vetor, e para a sua caracterização precisamos determinar o seu módulo,direção e sentido.
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Mo = F ∧ OA
O efeito do vetor momento é o de provocar um giro com determinado sentido em relação ao ponto
considerado. O vetor momento apresenta as seguintes características:
direção : perpendicular ao plano formado pela força e pelo vetor OA
sentido : regra da mão direita
módulo: produto do módulo da força F pela menor distancia do ponto "0" a reta suporte da força.
ponto de aplicação : ponto "O" em relação ao qual se calculou o momento.
Mo = F . OA .sen α
ou
Mo = F . d
Regra da mão direita:
OBS 1 : posiciona-se os dedos da mão direita no sentido da rotação da força em torno do ponto O e o
polegar indica o sentido do momento.
OBS 2:. a distância d que representa o módulo do vetor OA é também chamada de braço de alavanca.
Ela é a menor distância entre a reta suporte da força e o ponto em relação ao qual se calcula o
momento , isto é, pode ser obtida pela perpendicular à reta que passa pelo ponto.
OBS 3 : Podemos representar o sentido do momento no plano usando convenções simples
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Podemos também convencionar sinais +
escolha.
ou - para cada um dos sentidos, de acordo com a nossa
Exemplo 1 : Determine o peso que devemos colocar na extremidade direita da gangorra a fim de que
ela permaneça em equilíbrio estático.
P1 = 30 kN
a= 2m
b= 4m
P= ?
Exemplo 2 : Determine a força desenvolvida no tirante da estrutura, a fim de que ela permaneça em
equilíbrio, sabendo-se que a barra pesa 5 kN. A barra é presa a uma parede por meio de um pino O.
G = 10 kN
L=3m
= 15º
T= ?
B. MOMENTO AXIAL ( momento de uma força em relação a um eixo)
DEFINIÇÃO:
- É o valor algébrico da projeção ortogonal sobre o eixo do momento polar produzido pela força em
relação a um ponto qualquer do eixo. Pode ser representado por uma grandeza escalar quando se adota
uma convenção para a orientação do eixo.
- É o momento polar produzido pela projeção ortogonal da força sobre uma reta perpendicular ao plano
do eixo, em relação a este eixo
Exemplo 1: Força perpendicular ao plano do eixo
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Mx = F . d
Exemplo 2 : Força inclinada em relação ao plano do eixo
Mx = Fz . d
Fz = F . sen
Exemplo 3 : Força no espaço (direção qualquer)
F=F1+F2+F3
Mx = 0
F1
My =.0
Mz = -4 . F 1
F2
Mx = 0
My=0
Mz = - 1 . F 2
F3
Mx = + 4 . F 3
My = - 1 . F 3
Mz = 0
OBSERVAÇÃO:
O momento de uma força em relação à um eixo é nulo sempre que a força e o eixo forem coplanares
(concorrentes ou paralelos).
C. UNIDADE DE MOMENTO
Sendo o momento produto de uma força por uma distancia,a unidade desta grandeza é o produto de
uma unidade de força por uma unidade de distancia.
Exemplos: kgf.m , kN.m , N.m , kN.cm , etc
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III . SISTEMA DE FORÇAS
A. DEFINIÇÃO :
É o conjunto de forças que atuam simultaneamente em um corpo rígido ou em um ponto material.
B. PRINCÍPIO DA TRANSMISSIBILIDADE OU FORÇAS EQUIVALENTES:
Este princípio estabelece que as condições de equilíbrio ou de movimento de um corpo rígido
permanecem inalteradas se uma força F, que atua em um dado ponto do corpo rígido é substituida por
uma força F' de mesmo módulo, direção e sentido, mas que atua em um ponto diferente, desde que as
duas tenham a mesma linha de ação (mesma reta suporte). As forças citadas tem o mesmo efeito sobre
o corpo e são chamadas de equivalentes.
Exemplo:
C. RESULTANTE DE VÁRIAS FORÇAS CONCORRENTES:
A resultante de várias forças que concorrem em um ponto é a soma geométrica à partir
do ponto de forças equipolentes as que constituem o sistema, formando um polígono.
Obs: Forças equipolentes são aquelas que tem mesmo módulo, mesma direção e mesmo sentido.
RESULTANTE:
Origem no ponto escolhido como referência e extremidade com a última força.
Lembrando que uma força pode ser decomposta segundo eixos de referência, podemos determinar a
resultante de uma forma mais simples,obtendo-se cada componente pela soma algébrica das projeções
de todas as forças sobre este eixo.
Exemplo 1: Soma geométrica
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R ≠ 0
Exemplo 2 :
R = 0
OBSERVAÇÃO: Se o polígono formado pelas forças for fechado a resultante é nula.
Exemplo 3 : Forças concorrentes em um ponto de um plano
A resultante de forças concorrentes em um ponto de um plano pode ser calculada atravéz da
decomposição destas forças em relação à duas direções ortogonais escolhidas.
F1x = F1 . cos
F1y = F1 . sen
F2x = F2 . cos β
F2y = F2 . sen β
Fx = F1x + F2x
Fy = F1y + F2y
R = Σ ( Fx ) 2 + Σ ( Fy ) 2
PITÁGORAS
IV . PRINCÍPIO DA SUPERPOSIÇÃO DE EFEITOS
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" O efeito produzido por um conjunto de forças atuando simultaneamente em um corpo é igual a
soma do efeito produzido por cada uma das forças atuando isolada"
A partir deste princípio podemos dizer que:
- O momento polar resultante de um sistema de forças é a soma algébrica dos momentos polares,
produzidos em relação ao mesmo ponto, por cada uma das forças atuando isolada.
- O momento axial produzido por um sistema de forças atuando simultaneamente em um corpo é igual
a soma algébrica dos momentos axiais,produzidos em relação ao mesmo eixo, de cada uma das forças
atuando isolada.
V. BINÁRIO OU PAR DE FORÇAS
A. CONCEITO
Denomina-se binário a um sistema constituido por um par de forças paralelas de módulos iguais e
sentidos opostos. A resultante em termo de forças é nula, entretanto há um momento polar resultante de
módulo igual ao produto da força pela distância entre as duas direções paralelas.
Exemplo 1:
F=
a=
b=
c=
d=
MA =
MD =
ME =
CONCLUSÃO: O binário é um vetor livre pois seu efeito independe do ponto de aplicação, sendo
que para qualquer ponto do plano o binário tem o mesmo valor.
B . SITUAÇÕES REPRESENTATIVAS
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C. EQUIVALENCIA DE BINÁRIOS
Dois binários são equivalentes quando tem o mesmo momento polar resultante
Exemplo 1: convenção (sentido antihorário positivo)
M1 = 60 kN . 2m = 120 kN.m
M2 = 30 kN . 4m = 120 kN.m
Superposição de efeitos:
Se quizermos o efeito de dois binários atuando simultaneamente:
M = M1 + M2 = 240 kN.m
MA =
MB =
Obs: Veja que podemos transformar a soma vetorial de binários em uma soma algébrica a partir da
adoção de uma convenção.
Exemplo2: (adote convenção anterior)
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Supomos
M1 = - 60 kN . 2m = - 120 kN.m
M2 = + 30 kN . 4m = + 120 kN.m
M = M 1 + M2 = 0
CONCLUSÃO : Os dois binários não são equivalentes pois tem sentidos contrários . Observe-se
que em qualquer ponto do plano a superposição dos binários deve ser nula.
MA = 0
MB = 0
VI . TRANSLAÇÃO DE FORÇAS
Transladar uma força (como artifício de cálculo) é transportá-la de sua direção para outra direção
paralela. Isto implica no acréscimo de um momento devido à translação, cujo módulo é igual ao
produto da força pela distância de translação.
VII . REDUÇÃO DE UM SISTEMA DE FORÇAS À UM PONTO
Qualquer sistema de forças pode ser reduzido à um sistema vetor-par , onde o vetor é a resultante das
forças , localizada à partir de um ponto arbitrariamente escolhido e o par é o momento polar resultante
do sistema em relação ao mesmo ponto.
Exemplo 1: Reduzir o sistema de forças da figura ao ponto B indicado.
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Exemplo 2 : Reduzir o sistema acima ao ponto A.
R:
VII . EQUIVALÊNCIA DE UM SISTEMA DE FORÇAS
Dois sistemas de forças são equivalentes quando tem resultantes iguais e momentos polares em relação
ao mesmo ponto também iguais.
Exemplo:
F=
Fx =
Fy =
a=
b=
α=
F - sistema inicial
Fx , Fy - sistema equivalente
MA (sistema inicial) =
MA (sistema equivalente) =
OBS: O uso de sistemas equivalentes é um artifício de cálculo muito útil
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VIII . EQUILÍBRIO ESTÁTICO DOS CORPOS RÍGIDOS
Existem diversas possibilidades de movimento em um corpo livre no espaço.
Se tomarmos 3 eixos ortogonais como referencia de espaço, e isto se faz necessário por uma questão de
classificação e organização de método, podemos dizer que um corpo no espaço tem 6 possibilidades de
movimento:
- translação segundo as tres direções de referência
- rotação em torno das tres direcões de referência
Dizemos que um corpo está em equilíbrio estático quando as forças atuantes formam entre si um
sistema equivalente a zero, isto é, sua resultante e o seu momento polar em relação a qualquer ponto é
nulo.
R =0
Mp = 0
Como costuma-se traballhar com as forças e momentos referenciadas a um sistema tri-ortogonal de
eixos, desta maneira o equilíbrio se verifica se as 6 equações abaixo são satisfeitas:
Fx = 0
Mx = 0
Fy = 0
My = 0
Fz = 0
Mz = 0
EQUAÇÕES FUNDAMENTAIS DA ESTÁTICA
___________________________________________________________________________________
EXERCÍCIOS:
1. Suponha um plano formado pelos eixos x e y, conforme desenho, onde atuam as cargas F1 e F2.
Calcule:
a. Momentos desenvolvidos por F1 em relação aos pontos A , B e C.
b. Momentos desenvolvidos por F2 em relação aos pontos A , B e C.
c. Momentoda resultante do sistema em relação aos pontos A , B e C .
d. Resultante do sistema na direção x
e. Resultante do sistema na dieção y
Convencione o giro no sentido horário positivo.
F1 = 20 kN
F2 = 30 kN
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R: a) M1A = 0
M1B = 69,28 kN.m M1C = 109,28 kN.m
b) M2A = 120 kN.m M2B= 120 kN.m M2C = 0
c) MA = 120 kN.m
MB = 189,28 kN.m MC = 109,28 kN.m
d) Fx = + 17,32 kN
e) Fy = - 20 kN
2. Suponha no espaço as forças F1 e F2. Calcule:
a. Momentos da força F1 em relação aos eixos x,y,e,z,.
b. Momento da força F2 em relação aos eixos x,y e z .
c. Momento da resultante em relação aos eixos x , y, e z .
F1 = 10 kN
F2 = 15 kN
R: a) Mx1 = 0 My1 = 0 Mz1 = 20 kN.m
b) Mx2 = 31,5 kN.m My2 = 31,5 kN.m
Mz2 = 21 kN.m
3. Suponha as forças indicadas no desenho atuando perpendicularmente ao eixo x.O sistema 1
representa
um binário e o sistema 2 representa outro. Convencione anti horário positivo.
a. Quanto vale o binário 1
b. Quanto vale o binário 2
c. São equivalentes? Porque?
d. Quanto vale o momento polar do sistema 1 em relação aos pontos A , C e E.
e. uanto vale o momento polar do sistema 2 em relação aos pontos B , D e E.
f. Quanto vale o momento polar resultante destes dois sistemas em relação aos pontos A,B,C D e E.
R: a) + 20 kn.m
b) + 20 kN.m
c)sim
d) M1A = M1B=M1E = + 20 kN.m
e) M2B=M2D=M2E = + 20 kN.m
f) MA = MB = .....=ME = + 40 kN.m
4. Suponha forças como as do exercício 3 perpendiculares ao eixo formando 2 binários. Responda as
perguntas do exercício 3 usando a mesma convenção.
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R: a)- 60 kN.m
b) + 60 kN.m
c) não
d) M1A=M1C=M1E = - 60 kN.m
e) M2B=M2D=M2E = + 60 kN.m
f) MA =MB = .....= ME = 0
5. Suponha as hastes do desenho em um plano e as cargas perpendculares à este plano.
a. Translade a força de 10 kN para os pontos C ,B A.
R: ponto C
Fy = 10 kN
Mz = 20 kN.m
ponto B
Fy = 10 kN
Mz = 20 kN.m
Mx = 20 kN.m
ponto A
Fy = 10 kN
Mz = 50 kN.m
Mx = 20 kN.m
b. Translade as forças indicadas para os pontos B e D.
R: ponto B : Fy = 20 kN
Mz = - 20 kN.m
ponto D : Fy = 20 kN
Mz = - 20 kN.m
Mx = + 80 kN.m
6. Qual a força horizontal que atua nos parafusos 1 e 2 da ligação abaixo, considerando o momento
provocado pelo peso na ponta da haste
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R : P1 = 100 kgf
P2 = 100 kgf
7. Suponha as estruturas planas representadas abaixo. Determine,se necessário usando sistemas
equivalentes Σ Fx ,Σ Fy, ΣMA, ΣMB e ΣMC
a.
R: Σ Fx = 25,98 kN
Σ Fy = 65 kN
ΣMA = 138,04 kN.m
ΣMB = 70 kN.m
ΣMC = 330 kN.m
b.
R: Σ Fx =16,64 kN ΣFy = -4,96kN
Σ MA = -36 kN.m
Σ MB = -84 kN.m
Σ MC = -98,96 kN.m
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8. Reduzir no ponto A o sistema de forças da figura:
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