I NSTITUTO DE M ATEMÁTICA E E STATÍSTICA
U NIVERSIDADE DE S ÃO PAULO
MAT-2457 — Álgebra Linear para Engenharia I
Primeira Lista de Exercícios - Professor: Equipe da Disciplina
E XERCÍCIOS
1. Resolva os
 seguintes sistemas:
 x1 + 2x2 − 3x3 = 9
2x1 − x2 + x3 = 0
( a)

4x1 − x2 + x3 = 4

 2x1 + x2 = 3
4x1 + x2 = 3
(c)

2x1 + 5x2 = −1
(e)
(d)
x1 + 2x2 + x3 = 1
x1 − 3x2 + 2x3 = 2

 2x1 + x2 − 2x3 + 3x4 = 1
3x1 + 2x2 − x3 + 2x4 = 4
( g)

3x1 + 3x2 + 3x3 − 3x4 = 5
(i )

 x1 − 3x2 − 2x3 = 0
− x1 + 2x2 + x3 = 0
(b)

2x1 + 4x2 + 6x3 = 0
x1 + x3 + x5
= 1
x2 + x3 + 2x5 + x6 = 2

x4 + 3x5
= 3


(f)














1
2 x1 + x2 − x3 − 6x4
1
1
6 x1 + 2 x2 − 3x4 + x5
1
3 x1 − 2x3 − 4x5
= 2
= −1
= 8
x2 + 3x3 + x4 − x5
=
x1 − x2 + x3 − 4x4 + 2x5 =
x1 + x2 − x3 + 2x4 + x5 =
x1 − x3 + x5
=

x1 + 2x2 − 3x3



 x + 3x + x
2
3
1
(h)

2x1 + 5x2 − 4x3



2x1 + 6x2 + 2x3
( j)
= 4
= 11
= 13
= 22

 x1 + 2x2 − 3x3 = 6
2x1 − x2 + 4x3 = 2

4x1 + 3x2 − 2x3 = 4
2. Encontre condições que as constantes b devem satisfazer para que o sistema
compatível:


x1 − x2 + 3x3 + 2x4
=


= b1
 x1 − 2x2 + 5x3

−2x1 + x2 + 5x3 + x4 =
4x1 − 5x2 + 8x3 = b2
( a)
(b)
−3x1 + 2x2 + 2x3 − x4 =



−3x1 + 3x2 − 3x3 = b3

4x1 − 3x2 + x3 + 3x4 =


abaixo seja
b1
b2
b3
b4


x2 + x3
= 2
x + x2 + x3 = b
(c)
 1
x1 + x2
= 2
x2 + x3
= 2
x + bx2 + x3 = 2
(d)
 1
x1 + x2
= 2
3. Encontre
 X tal que:

 uma matriz
1 −1 1
2 −1 5 7 8
0  X = 4 0 −3 0 1;
(a) 2 3
0 2 −1
3 5 −7 2 1




1 2 3
−2 1 1
(b) 2 3 4 X = −2 1 1.
3 4 5
−2 1 1
4. Determine os valores de a e b que tornam o sistema

3x − 7y



x+y
5x + 3y



x + 2y
2
6
1
1
=
a
=
b
= 5a + 2b
= a+b−1
compatível e determinado. Em seguida, resolva o sistema.
5. Considere o sistema linear nas variáveis x, y, z. Ache os valores de a e b para que o conjunto
solução do sistema

ax + bz
= 2

ax + ay + 4z = 4

ay + 2z
= b
seja: (a) unitário; (b) vazio; (c) infinito.
AX + BY = C
, encontrando X e Y, onde
BX + CY = A




3 1 1
4 0 0
B = 0 5 1 e C = 5 1 0 .
0 0 7
7 1 0
6. Resolva o sistema de equações matriciais


1 0 0
A = 0 1 0 ,
0 0 1
7. Seja A ∈ Mm,n (R). Considere o sistema não-homogêneo AX = B e o sistema homogêneo
associado AX = 0. Prove ou dê contra-exemplo.
(a) Se AX = B tem infinitas soluções então AX = 0 tem infinitas soluções.
(b) Se AX = 0 tem infinitas soluções então AX = B tem infinitas soluções.
(c) Se AX = B não tem solução então AX = 0 só tem a solução trivial.
(d) Se AX = 0 só tem a solução trivial então AX = B tem solução única.
8. Sejam A, B ∈ Mm,n (R). Considere a equação matricial AX = B, onde a incógnita é uma
matriz de ordem n. Mostre que se essa equação possuir mais do que uma solução então ela
terá infinitas soluções.




1 0 0
1
0 0
−a
1 0 .
9. Mostre que a matriz  a 1 0  é invertível e que a sua inversa é 
b c 1
ac − b −c 1
10. Mostre que as seguintes matrizes são invertíveis e calcule as suas inversas:




0
0
1
1
1 0 1
1 0 0 1 
1 2

A=
, B = 1 1 0 e C = 
1 1 1 −1 .
2 2
0 2 1
0 2 0 3
11. Determine se as seguintes matrizes são invertíveis e, caso sejam, calcule suas inversas:




3 4 −1
−1 3 −4
6 −4
E=
, F = 1 0 3  , G =  2 4 1  ,
−3 2
2 5 −4
−4 2 −9




0 0 2 0
1 0 0 0
1 0 0 1 


 e J = 1 3 0 0 .
H=
0 −1 3 0 
1 3 5 0
2 1 5 −3
1 3 5 7
12. (a) Sejam A ∈ Mn (R) e B, C ∈ Mn,p (R) com A invertível. Mostre que se AB = AC então
B = C.
(b) Existe alguma matriz invertível tal que A2 = 0?
(c) Dê um exemplo de uma matriz A ∈ Mn (R), não nula, tal que A2 = 0.
13. Ache uma solução não-trivial para o sistema:

 x1 + 2x2 + 3x3 + 4x4 = 0
2x1 + x2 + x3 − x4 = 0

3x1 − 2x2 + x3 − 2x4 = 0
e, a partir daí, obtenha uma combinação linear nula dos vetores v1 = (1, 2, 3), v2 =
(2, 1, −2), v3 = (3, 1, 1) e v4 = (4, −1, −2) na qual os coeficientes não são todos iguais a
zero.
14. Para que valores de a ∈ R o conjunto B = {( a, 1, 0), (1, a, 1), (0, 1, a)} é base de R3 ?
15. Determine ~x em função de ~u e ~v na equação 2~x − 3~u = 10(~x + ~v).
16. Resolva o sistema abaixo para as incógnitas ~x e ~y:
(
~x + 2~y = ~u,
3~x − ~y = 2~u + ~v.
−→
−→
−→
17. Dados quatro pontos A, B, C e X tais que AX = m XB, A 6= B e m 6= −1, exprima CX em
−→ −
→
função de CA, CB e m.
C
A
X
B
F IGURA 1. Figura para questão 17
−→
−→
Sugestão: na relação AX = m XB faça aparecer C em ambos os membros.
−→
→
−→ −→
−→ −
18. São dados um triângulo ABC e pontos X, Y, Z tais que AX = m XB, BY = nYC e CZ =
−→
−→ −→ −→
−→ −
→
p ZA. Exprima CX, AY e BZ em função de CA, CB, m, n e p.
−→
−→
19. Num triângulo ABC é dado X sobre AB tal que k AX k = 2k XBk e é dado Y sobre BC tal
−
→
−→
que k BY k = 3kYC k. Mostre que as retas CX e AY são concorrentes.
−→
−→
Sugestão: suponha que CX = λ AY e deduza uma contradição.
−→
−
→
20. Sejam A, B e C pontos de E3 e sejam ~c = BA e ~a = BC. Mostre que o vetor ~u =
~c
b Interprete geometricamente esse resultado,
+ k~~aak é paralelo à bissetriz do ângulo A BC.
k~ck
relacionando-o com uma conhecida propriedade dos losangos.
Sugestão: calcule os cossenos dos ângulos entre ~u e ~c e entre ~u e ~a, e compare-os.
Nos exercícios de 21 a 27 assumimos que as coordenadas dos vetores estão expressas em
relação a uma base ortonormal.
√
~ = (2, −4, 6). Dos ~u ’s
21. Determine ~u tal que k ~u k = 3 3 e ~u é ortogonal a ~v = (2, 3, −1) e a w
encontrados, qual é o que forma um ângulo agudo com o vetor (1, 0, 0)?
√
22. Determine ~u tal que k ~u k = 2, a medida em graus do ângulo entre ~u e (1, −1, 0) seja 45 e
~u ⊥ (1, 1, 0).
√
23. A medida em radianos do ângulo entre ~u e ~v é π4 . Sabendo que k ~u k = 5 e k~v k = 1,
determine a medida em radianos do ângulo entre ~u + ~v e ~u − ~v.
−→ −→
24. Calcule AB · DA sabendo que o tetraedro ABCD é regular e de aresta unitária.
~ na direção do vetor ~v nos casos:
25. Determine a projeção do vetor w
~ = (1, −1, 2), ~v = (3, −1, 1);
(a) w
~ = (−1, 1, 1), ~v = (−2, 1, 2).
(b) w
~ = (−1, −3, 2) como soma de dois vetores w
~1 e w
~ 2 , sendo w
~ 1 paralelo ao
26. Decomponha w
~ 2 ortogonal a este último.
vetor (0, 1, 3) e w
~ = (1, 0, 3) como soma de dois vetores w
~1 e w
~ 2 , sendo w
~ 1 , (1, 1, 1), (−1, 1, 2)
27. Decomponha w
~ 2 ortogonal a estes dois últimos.
linearmente dependentes e w
28. [Processo de Ortonormalização de Gram–Schmidt] Dada uma base { ~f 1 , ~f 2 , ~f 3 }, descreva
um procedimento para encontrar uma base ortonormal {~e1 , ~e2 , ~e3 } tal que ~e1 // ~f 1 e ~e2 seja
combinação linear de ~f 1 e ~f 2 . Aplique esse procedimento para ~f 1 = (1, 2, 2), ~f 2 = (1, 0, 1) e
~f 3 = (1, 1, 1).
29. Mostre (usando vetores) que as diagonais de uma paralelogramo têm a mesma medida se
e somente se o paralelogramo é um retângulo.
u+
u−
v
v
v
u
F IGURA 2. Figura para questão 29
Sugestão: traduza o problema para k ~u + ~v k = k ~u − ~v k ⇐⇒ ~u ⊥ ~v.
30. Mostre (usando vetores) que:
(a) as diagonais de um losango são perpendiculares e, reciprocamente, se um paralelogramo tem as diagonais perpendiculares então ele é um losango;
(b) as diagonais de um losango bissectam os ângulos internos.
31. Dê a matriz de mudança da base E para a base F, onde E = {~e1 , ~e2 , ~e3 }, F = { ~f 1 , ~f 2 , ~f 3 }, nos
casos:

~f 1 = −3~e1 +~e2 +~e3 ,
~f = ~e1 −~e3 ,





 1
(a) ~f 2 = ~e1 − 2~e2 +~e3 , ;
(b) ~f 2 = 3~e1 ,
.




~
~
f 3 = ~e1 + 2~e2 ,
f 3 = 4~e1 − 3~e2 .
32. Sendo ~v = −4~f 1 + ~f 2 − ~f 3 , determine ~v em função de ~e1 , ~e2 e ~e3 nos casos do Exercício 31.
33. Sendo E = {~e1 , ~e2 , ~e3 }, F = { ~f 1 , ~f 2 , ~f 3 } bases com:
~f 1 = 2~e1 −~e3 ,
~f 2 = ~e2 + 2~e3 ,
~f 3 = 7~e3 ,
~ = ~e1 +~e2 +~e3 , determine as coordenadas de w
~ na base F.
ew
34. Sejam E = {~e1 , ~e2 , ~e3 }, F = { ~f 1 , ~f 2 , ~f 3 }, G = {~g1 , ~g2 , ~g3 } bases tais que:
√
3~
1
~e1 =
f 1 − ~f 3 ,
~g1 = ~e1 +~e2 +~e3 ,
2
√2
~g2 = ~e1 +~e2 ,
1
3~
e
~e2 = ~f 1 +
f3,
2
2
~g3 = ~e1 .
~
~e3 = f 2 ,
Determine todas as possíveis matrizes de mudança de base envolvendo E, F e G.
−→
−→
35. Na figura 3, temos um cubo de aresta unitária. Considere os vetores ~e1 = DH, ~e2 = DC,
−→
−→ −
→
−→ −
→
−→
~e3 = DA, ~u = CD + CB, ~v = DC + CB e w
~ = GC.
A
B
C
D
E
H
F
G
F IGURA 3. Figura para questão 35
(a)
(b)
(c)
(d)
(e)
Explique por que E = (~e1 , ~e2 , ~e3 ) é uma base ortonormal.
~ em relação à base E. Calcule k~uk e k~vk.
Calcule as coordenadas de ~u, ~v e w
~.
Mostre que F = { ~f 1 , ~f 2 , ~f 3 } é uma base ortonormal, sendo ~f 1 = k~~uuk , ~f 2 = k~~vvk e ~f 3 = w
Determine as matrizes de mudança da base E para a base F e da base F para a base E.
−→
Calcule as coordenadas do vetor HB em relação à base E e em relação à base F.
~ =
36. Seja E = {~ı,~,~k } uma base ortonormal. Sendo ~u = √13 (~ı +~ − ~k ), ~v = √1 (~ + ~k ) e w
2
√1 (2~ı −~ +~k ), prove que F = {~
~ } é uma base ortonormal e calcule as coordenadas do
u, ~v, w
6
vetor ~a = 3~ı − 2~ −~k em relação à base F.
37. Sabe-se que ~x é ortogonal a (1, 1, 0) e a (−1, 0, 1), tem norma
ângulo entre ~x e (0, 1, 0), tem-se cos θ > 0. Determine ~x.
√
3 e, sendo θ a medida do
38. Dados ~a = (0, 1, 1), ~b = (0, 1, 0), ~c = (1, 1, 0), determine o vetor unitário ~u tal que ~u é
√
ortogonal a ~c, proj~a~u = (0, 21 , 12 ) e ~u · ~b > 0. Determine os vetores ~v de norma 8, sabendo
que o ângulo entre ~v e ~a é π3 radianos e que os vetores ~a, ~c, ~v são linearmente dependentes.
Questões de escolha múltipla
39. Sejam α, β, γ ∈ R e considere o sistema linear:


x + w = 0
αx + 2y + z + 2w = β


x − 2y − z = γ
,
com incógnitas x, y, z e w. Assinale a alternativa contendo uma afirmação FALSA:
a) se α 6= 1 então o sistema possui uma única solução;
b) se α = 1 e β + γ = 0 então o sistema possui infinitas soluções;
c) se α = 2 e β + γ = 1 então o sistema possui infinitas soluções;
d) para quaisquer α, β, γ ∈ R o sistema possui infinitas soluções ou não possui solução;
e) se α = 3 e γ = 2 então o sistema possui infinitas soluções.
40. Considere o sistema linear:


 x + y + 2z = 1

 x + y + 3z + v + 2w = 2

x + y + 3z + v = 4



x + y + z − v − w = −1
.
Assinale a alternativa correta:
a) existem A, B, C ∈ R5 tais que A 6= (0, 0, 0, 0, 0), B e C não são proporcionais e tais que
{ A + λB + µC : λ, µ ∈ R} é o conjunto solução do sistema;
b) existem A, B ∈ R5 tais que { A + λB : λ ∈ R} é o conjunto solução do sistema;
c) o sistema possui uma única solução;
d) o sistema não possui solução;
e) existem B, C ∈ R5 tais que {λB + µC : λ, µ ∈ R} é o conjunto solução do sistema.
41. Considere as seguintes afirmações:
(I) seja A uma matriz n × n. Se para quaisquer b1 , . . . , bn ∈ R, o sistema linear:
   
x1
b1
 x2   b2 
   
A  ..  =  .. 
. .
xn
bn
possui uma única solução, então é possível obter a matriz identidade fazendo operações elementares de escalonamento sobre as linhas da matriz A;
(II) se P e Q são soluções de um sistema linear então P + Q necessariamente é solução
desse sistema;
(III) se P e 2P são soluções de um sistema linear então λP necessariamente é solução desse
sistema, para todo λ ∈ R.
Assinale a alternativa correta:
a) apenas as afirmações (I) e (III) são verdadeiras;
b) apenas as afirmações (II) e (III) são verdadeiras;
c) todas as afirmações são verdadeiras;
d) apenas as afirmações (I) e (II) são verdadeiras;
e) apenas a afirmação (I) é verdadeira.
42. Sejam m, n, p ∈ R e considere o sistema linear

x+y+z = m



 x + 2z = n

−2x + y − z = p



− x + 3y − z = 5
.
Pode-se, então, afirmar que este sistema tem uma única solução se, e somente se, 2m − n + p
é igual a
a) 5/2;
b) 5;
c) 6;
d) 3/2;
e) 10.
43. Sejam a, b ∈ R e considere o sistema linear:


 x1 + x2 + x3 = 1,
2x1 + ax2 − x3 = 2a,


3x1 + 2x2 + bx3 = 0,
com incógnitas x1 , x2 e x3 . Qual das alternativas contém as condições sobre a e b que
tornam esse sistema impossível?
a) ( a − 2)(b + 3) + 1 = 0 e a 6= 1;
b) (2 − a)(3 − b) − 3 = 0 e a 6= 4;
c) ab − 3a − 2b + 7 6= 0;
d) ( a − 2)(b + 3) 6= 0 e ab − 3a 6= 0;
e) a 6= 1 e b = 2a.
~ ∈ V 3 vetores distintos e seja L = {~u, ~v, w
~ }. Considere as seguintes afirmações:
44. Sejam ~u, ~v, w
~ = 2~u + ~v então L é linearmente dependente;
(I) se w
~ então L é linearmente independente;
(II) se ~v não é combinação linear de ~u e w
~ então L é linearmente dependente.
(III) se ~u + ~v é paralelo a w
Assinale a alternativa correta:
a) apenas as afirmações (I) e (III) são verdadeiras;
b) todas afirmações são verdadeiras;
c) apenas as afirmações (I) e (II) são verdadeiras;
d) apenas as afirmações (II) e (III) são verdadeiras;
e) apenas a afirmação (II) é verdadeira.
45. Assinale o vetor que é uma combinação linear de ~u = (0, 2, −2) e ~v = (1, −3, 0)
a) (−1, −5, 0);
b) (0, 4, 5);
c) (2, −6, 2);
d) (1, −2, 2);
e) (−1, 1, 2).
46. Para que valores de a ∈ R o conjunto {( a, 1, 0), ( a, 0, a), (−1, 0, a)} ⊂ R3 é base de V 3 ?
a) para a = 0;
b) para a < 0;
c) para a > 0;
d) para a 6= 0;
e) para todo a ∈ R.
47. A medida em radianos do ângulo entre ~u e ~v é π3 . Sabendo que k~uk = 2 e k~vk = 1 e que θ
é a medida em radianos do ângulo entre ~u + ~v e ~u − ~v, temos que cos θ vale:
a) − √3 ;
24
b) − √3 ;
c)
d)
e)
21
√3 ;
21
1
;
7
√3 .
24
48. Sejam ~u, ~v ∈ V 3 vetores não nulos. Se ~u e ~v são paralelos e têm sentidos contrários, k~uk = a
e k~vk = b, com a 6= b, então pode-se afirmar que a projeção ortogonal de ~u − ~v sobre ~u + ~v
é igual a:
−b
a) aa+
u + ~v);
b (~
b) − ba (~u + ~v);
+b
c) aa−
u − ~v);
b (~
a+b
d) a−b (~u + ~v);
e) − ba (~u + ~v).
~ } a base de V 3 tal que ~u = (1, 0, 0) E ,
49. Seja E uma base ortonormal de V 3 e seja F = {~u, ~v, w
~v = (1, 1, 0) E e w
~ = (1, 1, 1) E . Dados α, β, γ ∈ R, sabendo-se que os vetores (α, β, γ) F e
(2, −1, −1) F são ortogonais, pode-se afirmar que:
a) 3β + 2γ = 0;
b) 2β + 3γ = 0;
c) 2β − 3γ = 0;
d) 3β − 2γ = 0;
e) 2α − β − γ = 0.
50. Sejam E = {~e1 , ~e2 , ~e3 } e F = { ~f 1 , ~f 2 , ~f 3 } bases de V 3 tais que ~f 1 = ~e1 −~e3 , ~f 2 = 3~e1 , ~f 3 =
4~e1 − 3~e2 . As coordenadas de ~v = (1, 2, −1) F na base E são:
a) (3, −3, −1) E ;
b) (−3, −3, 1) E ;
c) (3, 3, −1) E ;
d) (−3, 3, 1) E ;
e) (3, 3, 1) E .
Questões de aplicações
51. Neste exercício usamos como referência o modelo de economia aberta de Leontief, que
pode ser visto em http://aix1.uottawa.ca/~jkhoury/leonteif.htm
Considere uma economia aberta, durante um certo período, com os seguintes setores/atividades: alimentos, eletricidade, indústria básica, tecnologia, serviços. Considere
que:
• para produzir $ 1 em alimentos são necessários necessários $ 0,05 em alimentos, $ 0,10
de eletricidade e $ 0,3 em serviços.
• para produzir $ 1 em eletricidade são necessários $ 0,35 em eletricidade, $ 0,1 em indústria básica, $ 0,1 em tecnologia e $ 0,15 em serviços.
• para produzir $ 1 em indústria básica são necessários $ 0,1 em alimentos, $ 0,25 em
eletricidade, $ 0,05 em tecnologia e $ 0,25 em serviços.
• para produzir $ 1 em tecnologia são necessários $ 0,1 em eletricidade, $ 0,2 em indústria básica, $ 0,15 em tecnologia e $ 0,1 em serviços.
• para produzir $ 1 em serviços são necessários $ 0,1 em alimentos, $ 0,15 em eletricidade, $ 0,05 em tecnologia e $ 0,2 em serviços.
Ainda, admita que devido aos mercados externos, há as seguintes demandas externas:
• alimentos: $ 10.000
• eletricidade: $ 25.000
• indústria básica: $ 15.000
• tecnologia: $ 30.000
• serviços: $ 20.000
Encontre os níveis de produção de cada um dos setores/atividades com base nas informações dadas durante este período, que satisfaça exatamente as demandas internas e
externas.
52. Neste exercício usamos como referência o texto sobre redes acessível em http://aix1.
uottawa.ca/~jkhoury/networks.htm. É interessante notar que o argumento do mesmo
funciona em qualquer rede que atenda a leis similares às leis de Kirchhoff, havendo preservação do fluxo em cada um dos nós da rede. Desta forma, o mesmo raciocínio serve, como
exposto em detalhes na referência citada, em contextos como circuitos elétricos.
Considere o seguinte diagrama do tráfego em uma região da cidade, onde os números
indicam a média de veículos na hora de pico em pontos de monitoração do sistema.
400
800
u
G
600
1000
800
H
p
x
q
y
A
B
r
s
C
t
w
D
v
E
500
F IGURA 4. Figura para questão 52
Determine as demais médias indicadas.
500
F
600
1200
R ESPOSTAS
1. (a) (2, 5, 1). (b) t(1, 1, −1). (c) Incompatível. (d) (24, −10, 0, 0, 0) +
r (6, −2, 1, 0, 0) + s(0, 6, 0, 1, 0) +
t(12, −6, 0, 0, 1) com r, s, t ∈ R.
(e) ( 57 , − 15 , 0) + t(−7, 1, 5), com
1
11
t ∈ R. (f) ( 43 , 11
2 , − 4 , − 4 , 0) +
t(−1, −10, 3, 5, 4), com t ∈ R.
(g) Incompatível.
(h) (1, 3, 1).
(i) (1, 2, 0, 3, 0, 0) + r (−1, −1, 1, 0, 0, 0) +
s(−1, −2, 0, −3, 1, 0) + t(0, −1, 0, 0, 0, 1),
com r, s, t ∈ R. (j) (3, 0, −1) +
t(−1, 2, 1), com t ∈ R.
2. (a) b1 = b2 + b3 . (b) b1 = b3 + b4 e
b2 = 2b3 + b4 . (c) b ∈ R. (d) b 6= 2.


11
12 −3 27
26
1 −18 −17.
3. a. X =  −6 −8
−
15 −21 9 −38 −35


2+λ
−1 + µ −1 + γ
b. X = −2 − 2λ 1 − 2µ 1 − 2γ .
λ
µ
γ
4. a = 2 e b = 4, x = 3 e y = 1.
5. Tem infinitas
soluções se a =
0 e
b = 2 ( ( x, y, 1) : x, y ∈ R ), ou
se a 6= 0 e b = 2 ( ( x, x, 1 − 2a x ) :
x ∈ R ). Tem uma única solução se
a 6= 0 e b 6= 2. Não tem solução se
a = 0 e b 6= 2.
6. X = C − B (C − B2 )−1 ( A − BC ) ,
Y = (C − B2 )−1 ( A − BC ).
7. (a) verdadeiro. (b) falso. (c) falso.
(d) falso
−1 1
−
1
10. A =
1 ,
1 − 2

1
2 −1
1 e
B−1 = 13 −1 1
2 −2 1


−2 7
2 −1
 −3 −3 3
3 

C −1 = 91 
 7 −2 2 −1.
2
2 −2 1
11. 
E e G não são inversíveis.
F −1 =

3
11
6
− 10 − 5
2
 −1
1
1 ,
1
7
2
− 2 10
 4 53
1 
− 5 5 15
5
3


0
−
1
0
2
e
H −1 = 
1

0 0
0 

J −1
2
4
5
1
− 1
3
=
 0
0
2
5
− 15 − 15

0
0 0
1
0 0
3
.
1
− 5 15 0 
0 − 71 17
13. Uma solução não trivial é:
(11, 1, −15, 8), logo 11v1 + v2 −
15v3 + 8v4 = 0.
√
√
14. a 6= 0, a 6= − 2 e a 6= 2.
15. ~x = − 38 ~u − 54 ~v.
16. ~x = 57 ~u + 27 ~v e ~y = 17 ~u − 17 ~v.
−→
−
→
−→
17. CX = 1+mm CB + 1+1m CA.
−→
18. Para CX ver a resposta do Exercício
−→ 17. 1 −
→ −→
AY = n+1 CB − CA
→ −
→
−→
p −
BZ = 1+ p CA − CB.
21. ~u = (3, −3, −3) ou ~u = (−3, 3, 3);
ângulo agudo; (3, −3, −3).
√
√
22. ~u = 22 , − 22 , 1 ou
√
√
~u = 22 , − 22 , −1 .
23. arccos √426 .
24. − 21 .
5
6
11 (3, −1, 1). (b) 9 (−2, 1, 2).
3 9
~ 1 = 0, 10
w
, 10 e
11
~ 2 = − 1, − 33
w
.
,
10 10
1 3
~ 1 = 2, 2, 2 e w
~ 2 = 12 , − 32 , 1 .
w
~e1 = 31 (1, 2, 2), ~e2 = 13 (2, −2, 1)
~e3 = 13 (2, 1, −2).


25. (a)
26.
27.
28.
e
−3 1 1
31. (a) MEF =  1 −2 2
1
1 0


1 3 4
(b) MEF =  0 0 −3
−1 0 0
32. (a) (12, −8, −3). (b) (−5, 3, 4)
1
33. 12 , 1, − 14
√

3
1
0
2
 2

34. MFE =  0 √0 1
3
−1
0
 2 2
1 1 1
MEG = 1 1 0
1 0 0
35. (b) ~u = (0, −1, 1) E , ~v =
√ (0, 1, 1) E ,
~ = (−1, 0,0) E , k ~u k = 2 = k~v k
w
0
0 −1
− √1 √1
0 
(d) MEF = 

2
2
√1
√1
0
2
2 

1
1
√
0 −√
2
2


MFE =  0
√1
√1 
2
2
−1
0
0
√
−→
(e) HB = (−1, 1, 1) E = (0, 2, 1) F
36. ~a =
√2 , − √3 , √7
3
6 F
2
37. ~x = (−1, 1, −1)
38. ~u = − 32 , 23 , 31 ), ~v = (−2, 0, 2) ou
~v = (2, 2, 0)
Múltipla Escolha:
Ex.39 a)
Ex.40 a)
Ex.41 a)
Ex.42 b)
Ex.43 b)
Ex.44 a)
Ex.45 e)
Ex.46 c)
Ex.47 c)
Ex.48 d)
Ex.49 b)
Ex.50 c)

 

$ alim.
31.629, 3
 $ eletr.
  65.542, 3 

 




51.  $ ind. básica 
 =  48.781, 9 
 $ tec.
  59.774, 7 
$ srvs.
44.978, 8
52. Dados

r, t, u,
 as demais médias
 são
p
400 + u
 q  

800 + u

 

 s   −500 + r + t 

 

 v =

800 + r

 

 w   1800 − t 

 

 x  

400 + r
y
1300 − t + u