12ºANO
ESCOLA SECUNDÁRIA DE ALBERTO SAMPAIO
Matemática B
Probabilidades
2007/08
1. Num universo S os acontecimentos A e B são incompatíveis.
Sabe-se que: P ( B ) = 0,1 e que P ( A ∩ B ) = 0, 6 .
Determina P ( A ) .
2. Sabendo que :
P ( A ) = 0, 4 ; P ( A ∪ B ) = 0, 7
2.1. P ( B )
e
2.2. P ( A ∩ B )
P ( A ∩ B ) = 0,3 , Calcula :
2.3. P ( A ∪ B )
3. Uma urna contém 10 bolas , sendo 4 azuis e 6 vermelhas . Tiram-se sucessivamente
duas bolas (sem reposição). Qual é a probabilidade de :
3.1. Serem ambas azuis?
3.3. Serem da mesma cor?
3.2. A primeira ser azul e a segunda vermelha?
4. Interrogaram-se os funcionários de uma firma e concluiu-se que:
• 85% têm telefone de rede fixa;
• 70% têm telemóvel;
• 10% não têm qualquer tipo de telefone.
Seleccionou-se, ao acaso, um trabalhador de firma. Qual é a probabilidade de ele ter:
4.1. telefone de rede fixa e não ter telemóvel ?
4.2. ter telefone de rede fixa e telemóvel ?
4.3. ter telemóvel e não ter telefone de rede fixa?
5. O código de um cartão Multibanco é uma sequência de quatro algarismos, como por
exemplo 0355.
5.1. Quantos códigos diferentes existem com um e só um algarismo zero ?
5.2. Imagina que um amigo teu vai adquirir um cartão Multibanco. Admitindo que o
código de qualquer cartão é atribuído ao acaso, qual é a probabilidade de o código
desse cartão ter quatro algarismos diferentes ?
6. Considera os algarismos 0, 1, 3, 4 e 6. Quantos números de quatro algarismos
diferentes se podem escrever, nas seguintes condições :
6.1 os números são pares
6.2 contendo o algarismo 1
7. Seja X uma variável definida pela seguinte função massa de probabilidade :
xi
2
4
6
8
P ( X = xi )
0,25
0,12
0,33
0,3
7.1 Determina o valor médio e o desvio padrão
7.2 Determina a probabilidade de o valor da variável pertencer ao intervalo :
a ) ]µ − σ , µ + σ [
b ) ]µ − σ , µ + 2 σ [
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8. Com os algarismos 0, 1, 2, 5 e 8 :
8.1. Quantos números de quatro algarismos se podem escrever?
8.2. Quantos números de quatro algarismos diferentes se podem escrever?
8.3. Quantos números de quatro algarismos diferentes contém o algarismo 2?
9. Dos ouvintes de uma estação radiofónica, 37% ouvem o programa X, 53 % ouvem o
programa Y e 15 % ouvem os dois programas . Ao escolher aleatoriamente um
ouvinte desta estação qual é a probabilidade de que :
9.1 Escute apenas um dos referidos programas?
9.2 Não escute nenhum destes dois programas ?
10. Seja S o conjunto de resultados associado a uma experiência aleatória .
Sejam A e B dois acontecimentos (A e B são, portanto, subconjuntos de S).
Prova que:
__
p( A) + p( B) + p( A∩ B ) = 1 + p( A ∩ B)
11. As idades dos 500 alunos de uma escola seguem uma distribuição normal , sendo a
média das idades igual a 15 anos e o desvio padrão 2 anos .
11.1 Escolhe-se um aluno ao acaso . Qual é a probabilidade de ter mais de 17 anos ?
11.2 Quantos alunos têm menos de 11 anos ?
11.3 Escolhido um aluno ao acaso, a probabilidade de ele ser mais novo do que o
Manuel é, aproximadamente, 16% . Que idade tem o Manuel ?
12. Foi feito um estudo e concluiu-se que o peso médio de um jogador de futebol
profissional é 74 kg e o desvio padrão 4 kg.
12.1 Calcula a percentagem de jogadores com um peso entre 70 kg e 82 kg.
12.2 Se existirem1200 jogadores , quantos jogadores têm menos de 66 kg ?
13. Numa caixa estão três cartões, numerados de 1 a 3. Extraem-se ao acaso, e em
simultâneo, dois cartões da caixa. Seja X o maior dos números saídos .
Define a tabela de distribuição de probabilidade da variável X .
14. Uma variável aleatória discreta X admite a seguinte função probabilidade :
xi
-1
0
1
2
P ( X = xi )
1
6
1
6
1
3
1
3
14.1 Calcula o valor médio µ e o desvio padrão σ .
14.2 Determina a probabilidade de o valor da variável pertencer ao intervalo :
]µ − σ , µ + σ [
15. Sejam A e B dois acontecimentos de uma mesma experiência aleatória .
⎛ ________ ⎞
⎛ __ ⎞
⎛ __ ⎞
⎛ _______ ⎞
Prova que: P ⎜ A ∪ B ⎟ = P ⎜ A ⎟ + P ⎜ B ⎟ − P ⎜ A ∩ B ⎟
⎝
⎠
⎝
⎠
⎝ ⎠
⎝ ⎠
16. Um estojo tem cinco marcadores , cinco canetas e três lapiseiras , indistinguíveis ao
tacto. Retiram-se dois objectos do estojo, ao acaso, sucessivamente e com reposição
Qual a probabilidade de retirar:
16.1 um marcador seguido de uma caneta? 16.2 duas lapiseiras ?
16.3 pelo menos uma caneta ?
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17. Realizou-se um inquérito a 500 alunos de uma escola sobre a ocupação dos tempos
livres . Os dados obtidos foram os seguintes:
• 10% ocupam o tempo na Internet e a praticarem desporto ;
• 50% praticam desporto ;
• 30% não praticam desporto nem utilizam a Internet .
17.1 Escolhido um aluno ao acaso, qual a probabilidade de responder que ocupa os
tempos livres exclusivamente na Internet ?
17.2 Escolhido um aluno ao acaso, qual a probabilidade de responder que ocupa os
tempos livres praticar desporto ou na Internet ?
17.3 De entre os alunos que praticam desporto, quantos utilizam a Internet ?
18. Sejam A e B dois acontecimentos de uma mesma experiência aleatória .
⎛ __ ⎞
Sabe-se que P ⎜ A ⎟ = 0,25 , P ( B ) = 0,15 e P ( A ∪ B ) = 0,8 .
⎝ ⎠
Os acontecimentos A e B são incompatíveis? Justifica a resposta.
19. Num saco estão 12 bolas, indistinguíveis ao tacto, numeradas do seguinte modo:
Seis com o número 1 , quatro com o número 2 e duas com o número 3 .
Extrai-se, ao acaso , uma bola e anota-se o valor xi do número da bola extraída .
19.1 Indica a distribuição de probabilidades da variável X.
19.2 Constrói o gráfico de barras da distribuição.
19.3 Determina o valor médio, µ , e o seu desvio padrão σ .
20. Considera a seguinte distribuição de probabilidades :
xi
1
2
3
4
5
6
Pi
0,15
0,2
a
0,2
0,15
2a
20.1 Calcula o valor de a.
20.2 Calcula o valor médio e o desvio padrão (arredondados às décimas).
20.3 Calcula a probabilidade de a variável pertencer ao intervalo ]µ − σ , µ + σ [ .
21. A concentração de um poluente na água libertada diariamente por uma fábrica segue
uma distribuição normal N ( 8 ;1,5 ) .
Qual a probabilidade de que num dia, escolhido ao acaso, a concentração de poluição:
21.1 exceda o limite regulamentado de 9,5 ppm ( partes por milhão ) ?
21.2 se encontre entre os valores 5 ppm e 6,5 ppm ?
22. Numa certa experiência estão definidos dois acontecimentos A e B tais que :
P ( A ) = 0,5; P ( B ) = 0,3 E P ( A ∩ B ) = 0,1
Calcula as seguintes probabilidades :
22.2 P ( A ∪ B )
22.1 P ( A )
22.3 P ( A ∩ B )
23 . Um dado tem em três faces o número 1, em duas faces o número 2 e numa face o
número 3 .
23.1 Determina a probabilidade de ao lançar o dado sair 1.e 2? e 3 ?
23.2 Determina a probabilidade de em dois lançamentos seguidos sair soma 3.
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24. Num dado não equilibrado a probabilidade de "sair 6" é 0,4, tendo as restantes faces
igual probabilidade de ocorrer.
24.1 Mostre que, efectuando apenas um lançamento deste dado, a probabilidade de "sair
1" é 0,12.
24.2 Lançando cinco vezes consecutivas o dado referido qual é a probabilidade de se
obter duas e só duas vezes "um número ímpar"?
25. Lança-se três vezes um dado equilibrado com as faces numeradas de 1 a 6.
Indique, justificando, qual dos acontecimentos seguintes é mais provável:
- nunca sair o número « 6 »;
- saírem todos os números diferentes.
26. O João frequenta a Escola Secundária da cidade mais próxima do local onde vive.
Diariamente, só tem duas possibilidades para se deslocar até à escola: de comboio
ou de autocarro. Como prefere o autocarro, 60% das vezes escolhe esse meio de
transporte. Sabendo que a probabilidade de chegar atrasado às aulas é 22% e que a
probabilidade de ir de autocarro e chegar atrasado é 12%, calcule a probabilidade de o
João:
26.1 Não chegar atrasado e não ir de autocarro.
26.2Chegar atrasado ou ir de autocarro.
26.3Ir de autocarro dado que chegou atrasado.
27.Consideremos a experiência aleatória que consiste em observar se, após a refeição,
os clientes de um determinado restaurante pedem ou não sobremesa e se pedem ou não
café. Os dados registados revelam que 57% dos clientes pedem sobremesa, 65% pedem
café e 25% pedem sobremesa e café.
Determine a probabilidade de um cliente desse restaurante, escolhido ao acaso:
27.1 Pedir café ou sobremesa.
27.2 Pedir café sabendo que pediu sobremesa.
27.3 Pedir sobremesa sabendo que pediu café.
27.4 Não pedir café nem sobremesa.
28. Seja X a variável aleatória que representa o número de vezes que determinado
indivíduo vai ao cinema (por semana).
A distribuição de probabilidades de X é a seguinte:
X = xi
0
1
2
3
4
P(X=xi)
0,20
0,45
0,20
0,10
0,05
28.1 Determine a média e o desvio padrão desta distribuição.
28.2 Qual é a probabilidade de o número de idas ao cinema pertencer ao intervalo
] µ − σ , µ + 2σ [
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4
Soluções:
2
4
7
3.2
3.3
15
15
15
4.1 20% 4.2 65% 4.2 5%
5.1 2916 5.2 0,504
6.1 60
6.2 78
7.2 45% 75%
7.1 µ = 5,36 δ = 2,3
8.1 500
8.2 96
8.3 78
9.1 60% 9.2 25% 11.1 15.87% 11.2 11
11.3 13
12.1 81.85%
1. 0,3
2.1 0, 4
12.2 27
16.1
25
169
2.2 0,1
9
169
16.3
105
169
20.2 µ = 3,6; σ = 1,7
25. 0,58;
27.2 0, 44
17.1 0, 20
20.3 0, 65
21.1 15,87
23.1 1 ; 1 ; 1
22.3 0, 4
2 3 6
0,56
26.1 0,30 26.2 0, 70
27.3 0,38
27.4 0, 03 28.1 µ =1,35; σ
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14.2 0,5
17.2 0, 7
19.3 µ = 1,67 ; σ = 0,75
19.1
22.2 0, 7
3.1
14.1 µ = 0,83; σ = 1,07
13
16.2
2.3 0, 7
17.3 50
20.1 0,1
21.2 13,59
22.1 0,5
23.2 1
24.2 0,34
3
26.3 0,55
27.1 0,97
= 1,06
28.2 0, 75
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