Faculdade de Engenharia da Computação - UFPA
Probabilidade e Processo Estocásticos
Segunda lista de exercícios (05/10/2011).
1. Seja X uma variável aleatória discreta com a seguinte distribuição de probabilidades:
xi
P(X=xi)
0
0,1
1
0,1
2
0,3
3
0,2
4
0,3
a) Determine a função distribuição de probabilidade cumulativa de X.
b) Calcule P(X ≥ 2), P(0<X < 3), P(X < 3) e P(X≥1)
c) Determine E[X], E[X2 ] e a variância de X.
2. Seja X uma variável continua que representa o tempo de falha de um componente, cuja
função densidade de probabilidade é dada por: f(x) = (1/10)exp(-x/10) u(x)
Calcule a probabilidades dos seguintes eventos:
a) P(9 < X < 10).
b) P(X < 3)
c) P(X > 5 / X > 3).
d) E[X] e a variância de X.
3. Suponha que o tempo de duração de uma lâmpada, em horas, segue uma distribuição
exponencial.
f X(x) = (1/100) exp( - x/ 100) u(x)
a) Determine a probabilidade do tempo de vida da lâmpada ser menor que 50 horas.
b) Sabendo que a lâmpada ainda está acesa após 50 horas de uso, qual a probabilidade de não
falhar até 100 horas?
c) Determine a probabilidade da lâmpada durar mais do que 200 horas.
d) Determine o tempo médio de vida da lâmpada.
4- A função densidade de probabilidade de uma variável aleatória X é dada por:
 k(x − x2 ), 0 < x < 1
f ( x) = 
outros valores
 0,
a) Encontre o valor de k para que f(x) seja uma fdp.
b) Determine a função distribuição de probabilidade da variável aleatória X.
c) determine a média e a variância de X.
d) determine P[X>1] e P[X<0,5]
5. Considere a função real de variável real assim definida:
f(x) = ke−|x|, k ∈ R e x ∈ R.
Determine o valor de k de modo que seja função densidade de probabilidade de uma variável
aleatória X.
6. Admita que o número de navios petroleiros que chegam a determinada refinaria por dia tem
distribuição de Poisson de parâmetro λ=2. Admita, ainda, que as atuais instalações do porto
podem atender, no máximo 4 navios por dia, devendo os eventuais excedentes seguir para
outro porto.
a) Num dia, qual a probabilidade de haver navios que tenham de ser enviados para outro
porto?
b) Qual a probabilidade de em um dia não ter nenhum navio no porto.
c) Qual a probabilidade de ter pelo 2 navios no porto.
7. Considere a função real de variável real assim definida:
f(x) = ke−|x|, k ∈ R e x ∈ R.
Determine o valor de k de modo que seja função densidade de probabilidade de uma variável
aleatória X e E[X]
8. Seja X uma variável aleatório com a seguinte função densidade de probabilidade:

f X ( x) = 
0,
a ( x − x 2 ), 0 ≤ x ≤ 1
para outros valores
a) Determine o valor da constante a.
b) Determine a função distribuição de probabilidade da variável aleatória X.
c) Determine a media e a variância variável aleatória X.
9. Um posto de gasolina é reabastecido uma vez por semana. As vendas no passado sugerem
que a função densidade de probabilidade do volume de vendas semanais, X, medido em
dezenas de milhares de litros, é dada por:
1≤ x ≤2
 x −1,

fX (x ) =  3 − x,
2 ≤ x ≤3
0, para outros valores

a) Determine a probabilidade de numa semana o volume de vendas se situar entre os 15000
litros e os 23000 litros.
b) Determine a função distribuição cumulativa da variável aleatória X.
c) Calcule o valor esperado e o desvio padrão do volume de vendas semanais.