Cálculo das Probabilidades e
Estatística I
Profa . Juliana Freitas Pires
Departamento de Estatística
Universidade Federal da Paraíba - UFPB
[email protected]
Introdução a Probabilidade
Existem dois tipos de experimentos:
Determinísticos: Os resultados são sempre os mesmos e determinados pelas condições sob as quais o
procedimento seja executado.
Exemplo: Ponto de ebulição da água, ponto de
congelamento da água, Leis da Física.
Não-Determinísticos (Probabilístico ou Aleatório): Os resultados podem variar, mesmo quando
são executados sob as mesmas condições.
Exemplos de um Experimento Aleatório
E1 : Jogar um dado e observar a face acima.
E2 : Jogar uma moeda quatro vezes e observar o número de caras obtidas.
E3 : Jogar uma moeda duas vezes e observar a sequência obtida.
E4 : Em uma linha de produção contar o número de
peças defeituosas em um período de 8h.
E5 : Duração de vida de uma lâmpada (em horas).
Característica de um Experimento Aleatório
•
•
•
O experimento pode ser repetido indefinidamente
sob as mesmas condições.
Embora não sejamos capazes de afirmar o resultado que ocorrerá, seremos capazes de descrever
o conjunto de todos os possíveis resultados.
Quando o experimento for repetido um grande
número de vezes, uma configuração definida ou
regularidade surgirá.
Obs: Essa regularidade torna possível construir modelos matemáticos que possibilitam analisar cada
tipo de experimento.
Conceitos Iniciais
Espaço Amostral: Para cada experimento E, definimos o espaço amostral (S) como o conjunto de
todos os possíveis resultados de E.
Exemplo: Considerando o exemplo anterior:
= {1, 2, 3, 4, 5, 6}.
= {0, 1, 2, 3, 4}.
= {kk, cc, kc, ck}, em que k = coroa e c = cara.
= {0, 1, 2, . . . , N }, onde N é o número máximo
de peças produzidas.
S5 = {t|t ≥ 0}, onde t é uma quantidade em horas.
S1
S2
S3
S4
Conceitos Iniciais
Evento: Dado um espaço amostral S, associado a
um experimento E qualquer, definimos como evento
qualquer subconjunto desse espaço amostral.
Exemplo: Considerando o exemplo anterior:
A1 :
A2 :
A3 :
A4 :
A5 :
um número par ocorre, A1 = {2, 4, 6}.
duas caras ocorrem, A2 = {2}.
pelo menos uma caras ocorrem, A3 = {cc, kc, ck}.
todas as peças são perfeitas, A4 = {0}.
a lâmpada queima em menos de, 3h A5 = {t|0 ≤
t ≤ 3}.
Operações Básicas com Eventos
Sejam A, B e C eventos de um espaço amostral S.
• União: A ∪ B é o evento que ocorrerá se e somente se A ou B ou ambos ocorrerem.
Exemplo:
A = {1, 2, 3}, B = {0}, então A∪B = {0, 1, 2, 3}
•
Intersecção: A ∩ B é o evento que ocorrerá se
e somente se A e B ocorrerem simultaneamente.
Exemplo:
A = {2, 3, 4}, B = {2, 4, 6}, então A∩B = {2, 4}
Operações Básicas com Eventos
Complementar: Se Ac é o evento complementar
de A, então Ac consiste em todos os resultados do
espaço amostral que não estejam incluídos no evento
A.
Exemplo: E1 : Jogar um dado e observar a face acima.
A = {2, 3, 4}, então Ac = {1, 5, 6}
Leis de De Morgan: (A ∪ B)c = Ac ∩ B c
(A ∩ B)c = Ac ∪ B c
Leis Distributivas: A ∪ (B ∩ C) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C)
A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C)
Tipos de eventos
Eventos Mutuamente Exclusivos (ou disjuntos): Dois eventos, A e B, são mutuamente exclusivos se não possuem nenhum elemento em comum,
ou seja, A ∩ B = ∅.
Exemplo: A = {2, 4, 6} e B = {1, 3}
Tipos de eventos
Eventos não mutuamente exclusivos: Se dois
eventos possuem elementos em comum, eles não são
mutuamente exclusivos, ou seja, A ∩ B 6= ∅.
Exemplo: A = {2, 4, 6} e B = {5, 6}
Probabilidade
Probabilidade: é uma medida com a qual podemos esperar a chance de ocorrência de um determinado evento, atribuindo-a um número (valor) entre 0 e 1. Assim, se temos a certeza de que um
evento ocorrerá, diremos que sua probabilidade é 1
(ou 100%), caso contrário (certeza que não ocorrerá)
diremos que sua probabilidade é 0 (ou 0%). Se, por
exemplo, a probabilidade é 1/4 diremos que existe
uma chance de 25% de ocorrência de tal evento.
Obs. Para obtermos o resultado em termos de
percentual é só multiplicar a probabilidade por
100.
Probabilidade
Espaços Amostrais Finitos Equiprováveis: quando associamos a cada ponto amostral ( cada elemento do espaço amostral) a mesma probabilidade,
o espaço amostral chama-se equiprovável.
S = {a1 , a2 , . . . , an }
↓ ↓
↓
p1 p2
pn
Obs. p1 = p2 = · · · = pn =
1
n
Probabilidade
Definição Clássica: Seja um evento A qualquer.
Temos que:
P (A) =
Número de elementos no evento A
Número total de elementos no espaço amostral S
Exemplo: A1 = {sair PAR} = {2, 4, 6}
P(A1 ) =
3
1
= = 0, 5 = (50%)
6
2
Exemplo
Experimento (E): Dois dados são jogados.
Espaço Amostral (S):
Detemine a probabilidade de que:
3
= 0, 083
36
2
B = {a soma seja 11} → P(B) =
= 0, 056
36
A = {a soma seja 4} → P(A) =
Probabilidade
Definição axiomática: Seja S um espaço amostral associado a E. A cada evento A associaremos
um número real, representado por P (A) e denominado probabilidade de A, que satisfaça os seguintes
axiomas.
Axiomas:
A1. 0 ≤ P(A) ≤ 1;
A2. P(S) = 1;
A3. Se A e B forem mutuamente exclusivos, ou
seja, disjuntos (A ∩ B = ∅), então
P(A ∪ B) = P(A) + P(B).
Probabilidade
Propriedades:
P1. Se ∅ é o conjunto vazio, então P(∅) = 0.
P2. Se Ac for o evento complementar de A, então
P(Ac ) = 1 − P(A).
P3. Se A e B são dois eventos quaisquer, então
P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B).
P4. Se A ⊂ B, então P(A) ≤ P(B).
Exemplo
•
Uma carta é tirada de um baralho. Determine
a probabilidade de ser um rei OU ser de naipe
vermelho.
A = {a carta é um rei}
B = {a carta é vermelha}
4
26
2
P(A) =
P(B) =
P(A ∩ B) =
52
52
52
4
26
2
28
P(A ∪ B) =
+
−
=
= 0, 5385.
52 52 52 52
Exemplo
•
Uma carta é tirada de um baralho. Determine a
probabilidade de a carta ser um rei OU um 10.
A = {a carta é um rei}
B = {a carta é um 10}
4
4
P(A) =
P(B) =
P(A ∩ B) = 0
52
52
4
4
8
P(A ∪ B) =
+
=
= 0, 054.
52 52 52
Exercício
Em uma seleção para uma vaga de engenheiro
mecânico de uma grande empresa verificou-se
que dos 100 candidatos 40 tinham experiência
anterior, 30 possuíam curso de especialização
e 20 possuíam tanto experiência como algum
curso de especialização. Escolhendo um candidato ao acaso, qual a probabilidade de que:
a) Ele tenha experiência anterior ou algum curso
de especialização?
b) Ele não tenha experiência anterior nem curso de
especialização?
•
Solução
A = {O candidato possui experiência anterior}
B = {O candidato possui especialização}
P(A) = 0, 4
P(B) = 0, 3
P(A ∩ B) = 0, 2
a) Ele tenha experiência ou algum curso de especialização?
P(A∪B) = P(A)+P(B)−P(A∩B) = 0, 4+0, 3−0, 2 = 0, 5.
b) Ele não tenha experiência anterior nem curso de especialização?
P(Ac ∩ B c ) = P [(A ∪ B)c ] = 1 − P(A ∪ B)
= 1 − 0, 5 = 0, 5
Tabela de Contingência
•
Revela a existência de eventos combinados, e facilita o tratamento probabilístico de tais eventos.
•
É uma tabela que disponibiliza informações diretamente nas linhas e colunas, e que além dessas
informações é possível visualizar também o número de casos comuns às interseções de eventos.
Exemplo
Perguntou-se a uma amostra de adultos em três cidades se eles gostavam de um novo suco. Os resultados estão a seguir.
Determine a probabilidade de sortear um adulto de
Natal ou que tenha gostado do suco.
P(Natal ∪ Sim) = P(Natal) + P(Sim) − P(Natal ∩ Sim)
250
400
150
500
=
+
−
=
= 0, 5
1000 1000 1000
1000
Probabilidade Condicional
Definição: A probabilidade de um evento A ocorrer, dado (ou na condição de) que outro evento B
já ocorreu.
P(A|B) =
P(A ∩ B)
P(B)
Escrevemos essa situação como P(A|B) e lemos “ a
probabilidade de A, dado B ”.
Exemplo
Dois dados são lançados ao acaso. Qual a probabilidade da soma ser igual a 6, dado que o primeiro
dado saiu número menor que 3.
A = {soma igual a 6} = {(1, 5), (2, 4), (3, 3), (4, 2), (5, 1)}
B=
=
=
{1o dado com no < 3}
{(1, 1), (1, 2), (1, 3), (1, 4), (1, 5), (1, 6),
(2, 1), (2, 2), (2, 3), (2, 4), (2, 5), (2, 6)}
A ∩ B = {(1, 5), (2, 4)}
Logo
P (A|B) =
2/36
12/36
=
2
12
=
1
6
Exercício
Considerando a tabela anterior.
Um adulto é selecionada ao acaso. Determine a
probabilidade do adulto:
1 não ter gostado do suco?
2 ser de Natal?
3 ter respondido não, sabendo que ele é de natal?
Solução
1
2
3
não ter gostado do suco?
350
P(Não) = 1000
ser de Natal?
250
P(Natal) = 1000
ter respondido não, sabendo que ele é de natal?
P(Não ∩ Natal)
P(Natal)
95/1000
95
=
=
= 0, 38
250/1000 1000
P(Não|Natal) =
Teorema do Produto
•
•
O teorema do produto (ou regra da multiplicação) é utilizado quando temos o interesse em
determinar a probabilidade de que dois eventos
ocorram em sequência.
Sejam A e B dois eventos quaisquer de um mesmo
espaço amostral S, então:
P(A ∩ B) = P(B) × P(A|B)
P(A ∩ B) = P(A) × P(B|A)
•
Esse teorema é consequência direta da definição
de probabilidade condicional.
Exemplo
•
Dois carros são selecionados em uma linha de
produção com 12 unidades, 5 delas defeituosas.
Determine a probabilidade de ambos os carros
serem defeituosos.
A = {O 1◦ carro é defeituoso}
B = {O 2◦ carro é defeituoso}
5
P(A) = 12
4
P(B|A) = 11
5
4
5
P (A ∩ B) = 12
× 11
= 33
= 0, 1515
Teorema do Produto
•
O teorema da multiplicação de probabilidades
pode ser generalizado para mais de dois eventos.
•
Sejam A1 , A2 , . . . , An eventos quaisquer de um
mesmo espaço amostral S, a probabilidade da
ocorrência simultânea de A1 , A2 , . . . , An é dada
por:
P(A1 ∩ A2 ∩ · · · ∩ An ) =P(A1 ) × P(A2 |A1 )×
· · · × P(An |A1 ∩ A2 ∩ · · · ∩ An−1 )
Exemplo
•
Considerando o exemplo anterior, três carros são
selecionados aleatoriamente. Determine a probabilidade de todos os carros serem defeituosos.
A = {O 1◦ carro é defeituoso}
B = {O 2◦ carro é defeituoso}
C = {O 3◦ carro é defeituoso}
5
P(A) = 12
4
P(B|A) = 11
3
P(C|A ∩ B) = 10
5
4
3
1
P (A ∩ B ∩ C) = 12
× 11
× 10
= 22
= 0, 0454
Independência
•
Dois eventos A e B são independentes se a probabilidade de ocorrência do evento B não é afetada pela ocorrência (ou não-ocorrência) do evento A. Isto é,
P(B|A) = P(B).
•
Os eventos A e B são independentes se
P(A ∩ B) = P(A) × P(B).
•
Dois eventos que não são independentes são dependentes.
Exemplo
Entre os 12 carros de uma linha de produção, 5 têm
defeito e 2 são selecionados ao acaso.
A = {O 1◦ carro é defeituoso}
B = {O 2◦ carro é defeituoso}
A probabilidade de o segundo carro ser defeituoso
depende de o primeiro ter ou não defeito. Os eventos
são dependentes.
Exemplo
Exemplo de eventos independentes:
Dois dados são lançados. Determine a probabilidade
de sair 4 em ambos.
A = {sair 4 no primeiro}
B = {sair 4 no segundo}
1
1
P(B|A) =
4
4
Os eventos são independentes.
P(A) =
Teorema da Probabilidade Total
Sejam B1 , B2 , . . . , Bk uma partição do espaço amostral S, ou seja, eventos mutuamente exclusivos e que
a união deles formem o espaço amostral. Seja A um
evento qualquer associado a S, então:
P(A) = P(A|B1 )P(B1 ) + P(A|B2 )P(B2 ) + · · · + P(A|Bk )P(Bk )
=
k
X
i=1
P(A|Bi )P(Bi )
Exemplo
Em uma turma 60% dos estudantes são homens e 40% mulheres. Além disso, sabe-se que 1% dos homens e 4% das
mulheres tem menos de 1, 60m. Dado que um estudante foi
sorteado aleatoriamente, qual a probabilidade dele ter menos
de 1, 60m?
H = {Homem},
M = {Mulher},
P(H) = 0, 6
P(A|H) = 0, 01
P(M ) = 0, 4
P(A|M ) = 0, 04
A = {menos de 1, 60m}
P(A) = P(A|M )P(M ) + P(A|H)P(H)
= 0, 04 · 0, 4 + 0, 01 · 0, 6
= 0, 022.
Teorema de Bayes
Sejam B1 , B2 , . . . , Bk uma partição do espaço amostral S e seja A um evento qualquer associado a S,
então:
P(Bi |A) =
P(Bi ∩ A)
P(A|Bi )P(Bi )
=
P(A)
P(A|B1 )P(B1 ) + · · · + P(A|Bk )P(Bk )
Exemplo
Em uma turma 60% dos estudantes são homens e 40%
mulheres. Além disso, sabe-se que 1% dos homens e 4% das
mulheres tem menos de 1, 60m. Dado que um estudante
com menos de 1, 60m foi sorteado aleatoriamente, qual a
probabilidade de ser mulher?
H = {Homem},
M = {Mulher},
A = {menos de 1, 60m}
P(M ∩ A)
P(A|M )P(M )
=
P(A)
P(A|M )P(M ) + P(A|H)P(H)
0, 04 × 0, 4
=
= 0, 727
(0, 04 × 0, 4) + (0, 01 × 0, 6)
P(M |A) =