Universidade Federal de Uberlândia
Faculdade de Matemática
Disciplina: Geometria euclidiana espacial (GMA010)
Assunto: Paralelisno e Perpendicularismo; Distância e Ângulos no Espaço.
Prof. Sato
a
1 Lista de Exercı́cios
1. Quantos são os planos determinados por 4 pontos não coplanares?Justifique.
2. Qual a seção determinada em um paralelepı́pedo ABCDEF GH pelo plano ABG?
3. Qual das afirmações abaixo é verdadeira? Justifique.
(i) Se duas retas distintas não são paralelas, então elas são concorrentes.
(ii) Duas retas não coplanares são reversas.
(iii) Se duas retas não se intersectam, então elas são paralelas.
(iv) Se três retas são paralelas, então existe um plano que as contém.
(v) Se três retas distintas são duas a duas concorrentes, então elas determinam um único
plano.
4. Considere duas circunferências de mesmo raio, centros comuns e contidas em planos distintos. Qual é a intersecção dessas circunferências?
5. Sejam A, B C e D pontos do espaço (não necessariamente coplanares). Sejam M , N , P
e Q pontos médios de AB, BC, CD e DA, respectivamente. Mostre que M N P Q é um
paralelogramo. Use este fato para demonstrar que os três segmentos que unem os pontos
médios das arestas opostas de um tetraedro qualquer ABCD se encontram em um mesmo
ponto.
6. Qual das afirmações é correta? Justifique.
(i) Se duas retas concorrentes de um plano são, respectivamente, paralelas a duas retas de
outro plano, então esses planos são paralelos.
(ii) Por uma reta dada pode-se conduzir um plano paralelo a um plano dado.
(iii) Por qualquer ponto é possı́vel conduzir uma reta que se apoia em duas retas reversas
dadas.
(iv) Se uma reta é paralela a dois planos, então esses planos são paralelos.
(v) Existem planos reversos, isto é, não paralelos e sem intersecção.
7. Sejam r e s duas retas reversas e P um ponto qualquer do espaço. Diga como obter:
a) um plano contendo r e paralelo a s.
b) um par de planos paralelos contendo r e s, respectivamente;
c) uma reta passando por P e se apoiando em r e s.
8. Sejam r e s duas retas do espaço concorrentes em P . Sejam r ′ e s′ retas paralelas a r e s,
respectivamente, traçadas por um ponto Q. Mostre que os ângulos formados por r e s são
iguais aos ângulos formados por r ′ e s′ .
9. Dois triângulos △ABC e △DEF , situados em dois planos distintos, são tais que as retas
←→ ←→ ←→
←→ ←→ ←→
AB, AC e BC encontram as retas DE, DF e EF nos pontos M , N e P , respectivamente.
Mostre que M , N e P são colineares.
10. Dadas duas retas reversas r e s, então:
(i) Existe plano paralelo a ambas.
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(ii) Existe um único plano paralelo a ambas.
(iii) Todo plano perpendicular a uma, encontra a outra em um ponto.
(iv) Existe sempre um plano perpendicular a uma, que contém a outra.
(v) r e s são ortogonais.
11. As retas r, s e t são reversas duas a duas. Então:
(i) Sempre existem inifinitas retas paralelas a r todas tocando em s e t.
(ii) Sempre existem duas retas paralelas a r ambas tocando em s e t.
(iii) Sempre existe uma reta paralela a r tocando em s e t.
(iv) Pode não existir reta paralela a r tocando em s e t.
12. Suponha que os planos α, β e γ têm exatamente um ponto em comum. Existe uma reta
que seja simultaneamente paralela a α, β e γ?
13. Considere um paralelepı́pedo ABCDEF GH tal que AB = AD = AE = 6. Estude
as seções determinadas neste paralelepı́pedo definidos pelos ternos de pontos (M, N, P )
abaixo.
a) M = A, N = ponto médio de CG e P = ponto médio de DH.
b) M = A, N = C e P = ponto médio de F G.
c) M = A, N = ponto médio de CG e P = ponto médio de F G.
d) M =ponto médio de AE, N = ponto médio de BC e P = ponto médio de GH.
14. Seja r uma reta do espaço e P um ponto fora dela. Demonstrar que os pés das perpendiculares tiradas de P a cada um dos planos que passam por r, estão situados em um mesmo
plano.
15. Dados uma reta e um ponto fora dela, considere o feixe de planos por aquela reta. O lugar
geométrico dos traços das perpendiculares conduzidas pelo ponto a cada um dos planos é
uma: (i) reta; (ii) elipse; (iii) circunferência; (iv) parábola; (v) curva reversa, isto é, curva
que não está contida em plano algum.
16. Sejam r e s retas reversas e P um ponto do espaço. Construa uma reta passando por P e
se apoiando em r e s. Considere as diversas situações possı́veis.
17. O segmento P A é perpendicular ao plano que contém o triângulo equilátero ABC. Suponha
que AB = 2.AP e que M seja o ponto médio do segmento BC. Determinar o ângulo
formado pelos segmentos P A e P M .
18. Sejam α, β e γ três planos distintos. Mostre que as posições relativas possı́veis dos planos
são:
a) Os três planos são paralelos.
b) Dois deles são paralelos e o terceiro é secante a ambos, cortando-os segundo retas paralelas.
c) Os três planos se cortam segundo uma reta.
d) Os três planos se cortam dois a dois segundo três retas paralelas.
e) Os três planos se cortam dois a dois segundo três retas concorrentes; o ponto de interseção comum às três retas é o único ponto comum aos três planos.
19. Sejam r uma reta secante a um plano α e P um ponto exterior a α. É sempre possı́vel
traçar uma reta que passa por P , encontra r e é paralela a α?
20. O triângulo △ABC, retângulo em A, esta contido em um plano α. Sobre a perpendicular
a a traçada por C tomamos um ponto D. Por C traçamos, por sua vez, as perpendiculares
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CE e CF a AD e BD, respectivamente. Mostre que: AB é perpendicular a AD; CE é
perpendicular a EF ; DF é perpendicular a EF .
21. Verdadeiro ou falso? Justifique.
(i) Se dois planos são paralelos, toda reta que tem um ponto comum com um, tem um
ponto comum com o outro.
(ii) Uma condição necessária e suficiente para que dois planos concorrentes sejam perpendiculares é que toda reta de um deles, perpendicular à intesecção, seja perpendicular ao
outro.
(iii) Dois segmentos reversos são diagonais de um quadrilátero reverso (isto é, que não
esteja contido em um plano)
22. Considere o plano de uma mesa e um ponto dado deste plano. Você dispõe de uma folha
de papel que possui um só bordo reto. Dobrando esta folha de papel, é possı́vel conduzir
a perpendicular ao plano da mesa, pelo ponto dado. (Pense em como fazer isso!) A justificativa para tal construção é dada por qual teorema?
(i) Se uma reta é perpendicular a um plano, então todo plano que passa por ela é perpendicular ao primeiro.
(ii) Se dois planos são perpendiculares, então toda reta de um deles que for perpendicular
a intersecção, será perpendicular ao outro.
(iii) Se uma reta é perpendicular a duas retas concorrentes de um plano, então ela é perpendicular ao plano.
(iv) Por um ponto exterior a um plano passa uma, e somente uma, reta perpendicular ao
plano.
(v) Todas as perpendiculares a uma reta, traçadas por um de seus pontos, estão em um
plano.
23. Dadas as retas reversas duas a duas r, s e t encontrar uma reta que as encontre nos pontos
R, S e T , respectivamente, de modo que S seja ponto médio de RT .
24. Uma reta r não é paralela e nem está contida em um plano α. Provar que existe uma reta
s em α que é perpendicular a r.
25. o espaço, tome um cubo de aresta a, um plano α paralelo a uma face do cubo e um plano β
que forma com α um ângulo agudo θ e é paralelo a quatro das arestas do cubo. Projeta-se o
cubo sobre α paralelamente a β e obtém-se um retângulo de dimensões a e 3a. Determinar
tgθ.
26. Três retas r, s, e t são duas a duas reversas e todas paralelas ao plano α. O plano β contém
r e concorre com s e t nos pontos P e Q. As projeções das três retas sobre α na direção
←→
P Q são:
(i) três retas coincidentes;
(ii) três retas concorrentes em três pontos distintos;
(iii) três retas concorrentes em um mesmo ponto;
←→
(iv) P Q é paralela a α.
27. O ângulo formado por duas retas reversas é ϕ, e a distância entre elas é a. Toma-se em
uma delas um ponto B, situado à distância b da perpendicular comum às duas retas. Qual
é a distância de B à outra reta?
28. Mostre que dois planos são perpendiculares se e só se duas retas respectivamente perpendiculares a cada um deles são ortogonais.
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29. Dada uma reta r e um plano α, diga se é sempre possı́vel construir um plano perpendicular
a α contendo r.
30. Em um cubo ABCDEF GH mostre que os planos diagonais ABHG e EF DC são perpendiculares.
31. Dizemos que um plano α é um plano de simetria de uma figura F quando a imagem de
F pela reflexão em torno de α é igual a F . Encontre os planos de simetria (se existirem)
das seguintes figuras: a) cubo. b) tetraedro regular. C) pirâmide quadrangular regular d)
cilindro de revolução. E) cone de revolução.
32. Mostre que as arestas de um tetraedro regular são ortogonais entre si.
33. Qual é o lugar geométrico dos pontos eqüidistantes de planos secantes dados? E se os
planos forem paralelos?
34. Um pedaço de papel em forma de um quadrado ABCD é dobrado ao longo da diagonal
AC de modo que os lados AB e AD passem a formar um ângulo de 60 graus. A seguir, ele
é colocado sobre uma mesa, apoiado sobre esses lados. Nestas condições, calcule o ângulo
←→
que a reta AC e o plano que contém △ABC formam com o plano horizontal.
35. Um tetraedro pode ser construı́do a partir de um envelope da forma descrita abaixo.
a) Tome um envelope comum, feche-o e trace as diagonais do retângulo por ele determinado.
b) A seguir, corte o envelope como indicado, removendo seu quarto superior. (B)
c) Agora, dobre o envelope, encaixando uma borda na outra. Pronto! Temos um tetraedro.
Que propriedade interessante possui o tetraedro formado? Sob que condições ele é um
tetraedro regular?
36. Considere três retas mutuamente perpendiculares x, y e z, concorrentes em O. Uma reta
r passa por O e forma ângulos iguais a α, β e γ com x, y e z. Mostre que cos2 α + cos2 β +
cos2 γ = 1.
37. Considere um octaedro regular de aresta a. Determine:
a) A distância entre duas faces opostas.
b) O ângulo do diedro formado por duas faces adjacentes.
38. Qual é seção determinada em um tetraedro regular ABCD por um plano paralelo às
arestas AB e CD e passando pelo ponto médio da aresta AC?
39. Seja P um ponto exterior a um plano α e Q um ponto de α. Qual é o lugar geométrico
dos pés das perpendiculares traçadas de P às retas de α que passam por Q?
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Referências Bibliográficas
[DP] Dolce, O & Pompeo, J. N. Fundamentos de Matemática Elementar. (10 vols). Vol 10:
Geometria Espacial. 4a. ed. São Paulo: Atual Editora. 1985.
[LCW] Lima, E. L., Carvalho, P. C. P., Wagner, E. & Morgado, A. C. A Matemática do Ensino
Médio. (3 vols). Vol 2. 4a. ed., Rio de Janeiro: Sociedade Brasileira de Matemática - SBM.
(Coleção do Professor de Matemática). 2002.
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