O CONCEITO DE SEMELHANÇA DE TRIÂNGULOS EM UMA
AULA
Elaine de Queiroz Souza
Kátia Renata Pelegrini
Acadêmicas do curso de Licenciatura em Matemática e bolsista
do PIBID da Unidade Universitária de Nova Andradina – UEMS
[email protected]; [email protected]
José Felice
Professor Doutor do Curso de Licenciatura em Matemática e Coordenador
de área do PIBID, da Unidade Universitária de Nova Andradina – UEMS
[email protected]
Resumo: Este trabalho representa uma das atividades de bolsista do Programa Institucional de Iniciação à
Docência – PIBID, e tem como proposta a preparação de aulas para exercícios da docência. O planejamento
da aula apresentada neste artigo foi fundamentado na Teoria das Situações Didáticas e no Processo de
Estudo, levando em conta que as situações devem ser criadas pelo professor e partilhado com os alunos.
Como orientador da aprendizagem, o professor deve procurar situações onde os alunos possam dar sentido ao
conhecimento, através da contextualização e personalização do saber, num movimento de vivenciar o
conhecimento pelo aluno. Nesta aula foi proposto o estudo do conceito de semelhança de triângulo, para ser
estudado a partir do conceito de proporcionalidade definido por Tales.
Palavras-chave: Teoria das situações didáticas, Contextualização, Semelhança de Triângulos, Práticas iniciais
da docência.
Introdução
As atividades que estamos desenvolvendo no curso de formação e no PIBID está
voltada para o estudo de temas matemáticos com o intuito de preparar aulas que serão úteis
quando estivermos em sala de aula.
Os estudos que estamos fazendo têm nos tornado cientes que o desenvolvimento de
um tema relacionado a um saber matemático, deve ser apresentado dentro de um universo
em que ele faça sentido aos alunos. Dessa forma, acreditamos estar fazendo a
contextualização, ou seja, proporcionando a interação dos alunos com o objeto a ser
estudado e um determinado meio. Essa ideia sugere a apresentação de uma “situação” que
possa provocar ações sobre o objeto que será estudado.
A fundamentação teórica para o desenvolvimento das aulas teve por base estudos
sobre a Teoria das Situações Didáticas. Para Brousseau (2008, p. 20) “Uma situação é um
modelo de interação de um sujeito com um meio determinado”.
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Considerando que uma aula envolve um saber a ser estudado e as relações do
professor e do aluno com esse saber. Destacamos essas ações segundo Brousseau (2008),
como sendo “situações didáticas”, onde o professor deixa de ser somente aquele que
ensina, para desempenhar o papel de orientador da aprendizagem.
O pensamento de Chevallard, Bosh e Gascon (2001 apud FELICE 2012) sobre o
professor orientador, destaca:
O professor orientador produz uma importante mudança no equilíbrio das
responsabilidades atribuídas tradicionalmente tanto para o professor como para o
aluno, ele já não tem como decidir a cada instante qual será a atividade pontual
dos alunos e deixa de ser considerado como único (e principal) responsável pela
atitude, motivação e tarefas deles.
Nesse tipo de situação os alunos, orientados pelo professor, podem organizar
enunciados, escrever suas ideias, desenvolver técnicas matemáticas, explicar a validade
dessas técnicas e chegar aos conhecimentos que estão contidos no saber matemático que
está sendo estudado. Levando em conta essas possibilidades, preparar uma aula significa
providenciar situações favoráveis, de modo, que o aluno nessa ação efetiva sobre o saber, o
transforme em conhecimento.
Para o desenvolvimento da aula utilizamos dos estudos de Felice (2012, p. 114),
que propõe como procedimento metodológico o processo de estudo como uma das
alternativas para a organização do conhecimento de um objeto em estudo. Para o autor
(ibidem, 2012):
[...] no processo de estudo é possível estabelecer uma relação aberta – mesmo
porque não se está “preso” somente ao ensino – e que nessa relação podem-se
exercitar diversas tarefas, de preferência em grupo de estudos, com
possibilidades de ocorrer uma evolução dos conhecimentos prévios sobre o
objeto a ser estudado.
Para levar em frente às premissas delineadas anteriormente, a preparação de uma
aula necessita da organização antecipada de ações que serão propostas aos alunos. Nossas
atividades como estagiários e bolsistas do PIBID, entre outras, é exercitar a elaboração de
aulas que possam aproximar o trabalho dos alunos do modo como é produzida a atividade
científica verdadeira, ou seja, permitir que os alunos se tornem um estudante, testando
ideias, formulando hipóteses, construindo modelos, e socializando os resultados.
No sistema de estudo idealizado pelo autor (ibidem, pg. 114), o professor propõe
uma situação (a tarefa) em que nem tudo fica explicito (o objeto de estudo), que demonstra
a existência da intencionalidade. Aos alunos, cabe pensar em possíveis caminhos para
resolvê-la, formulando hipóteses sem ter a necessidade de dar resposta imediata, mas
argumentar técnicas já institucionalizadas. Em seguida, usam as práticas e argumentos para
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produzir ideias, esse é o momento de explicações e abstrações. Finalmente, ocorre à
síntese, o resultado que representa o concreto ou as relações internas do saber, em que os
alunos realizam a organização coerente do conhecimento.
Baseando-se nessas ideias, traçamos o objetivo dessa aula.
Objetivo
Essa aula tem como objetivo:
Criar situações de estudo, de modo a aproximar os alunos do saber sobre o conceito
de semelhança de triângulos, do qual ele deve se apropriar, por meio da definição de
proporcionalidade desenvolvida por Tales.
Desenvolvimento da Aula
A aula será organizada levando em conta as seguintes etapas:
Primeiro Momento
Aproveitar a história de Tales, que ao medir a altura da pirâmide construiu um
modelo onde se podem comparar dois triângulos retângulos formados pela sombra e pela
altura.
A tarefa consiste em fazer os alunos observar a maquete da pirâmide. Eles poderão
manipular os triângulos isósceles colocando-os um sobre o outro, e manifestando por
frases, pelo discurso e até mesmo pela escrita sobre os fatos observados. Da manipulação
poderão surgir explicações sobre ângulos correspondentes congruentes já que os lados
correspondentes são proporcionais, definição obtida de Tales.
No Segundo Momento
É o momento de discutir o conceito matemático. Para isso, encaminharemos a
discussão sobre os triângulos sobrepostos. O triângulo grande contém a altura da Pirâmide;
o triangulo pequeno contém a altura do bastão.
A
A
D
D
B
C
AeD
E
F
BeE
A
D
E
B
F
C
B
E
CeF
F
C
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A tarefa agora é discutir, sobre as sobreposições dos triângulos até que os alunos
consigam descrever as seguintes observações (manipulando triângulos reais conforme o
desenho):
a) na primeira sobreposição, o ângulo B tem a mesma medida do ângulo E;
b) na segunda sobreposição, o ângulo A tem a mesma medida do ângulo D;
c) na terceira sobreposição, o ângulo C tem a mesma medida do ângulo F;
d) em todas as sobreposições ocorre que sempre temos o lado de um triângulo
paralelo ao lado correspondente do outro triângulo;
No Terceiro Momento
Dando sequência, podemos manipular com os alunos a definição de
proporcionalidade institucionalizada anteriormente, ou seja:
Podemos representar
AB
BC
=
DE
EF
leitura “igualdade entre duas razões”. E o conceito: “se duas razões
tem o mesmo valor então são proporcionais”.
No Quarto Momento
Nesse momento, para manipular o conceito de proporcionalidade podemos
apresentar um texto histórico retirado da coleção Contando a História da Matemática
(GUELLI, 1998):
O texto se refere a uma reportagem do século XVII: “O matemático alemão
Leibniz acaba de criar um sinal para a divisão. Leibniz está escrevendo uma proporção,
por exemplo, três está para seis assim como quatro está para oito: 3 : 6 = 4 : 8. Um
número cada vez maior de matemáticos está usando essa notação. Além disso, ela também
tem feito sucesso que os matemáticos estão também usando o sinal (:) para indicar uma
divisão. O fato mais importante é que Leibniz descobriu que na proporção 3x8 = 6x4 e
conseguiu dizer que o produto dos números extremo é igual ao produtos dos números do
meio”.
O importante dessa representação de Leibniz, é procurar refletir com os alunos a
possibilidade de escrever 3 : 6 = 4 : 8 ou 3 : 4 = 6 : 8, e chegar á conclusão de que as duas
igualdades representam a mesma proporção.
No Quinto Momento
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Dando sequência as reflexões, podemos sugerir a escrita da proporção representada
pelos dois triângulos, ou seja:
AB
BC
=
DE
EF
já foi visto que as razões são proporcionais (as
razões tem o mesmo valor), logo podemos instigar os alunos a escrever
AB
BC
=
,
DE
EF
segundo a propriedade definida por Leibniz.
Sobre a representação
AB
BC
=
DE
EF
podemos discutir, com os alunos, as seguintes
questões:
a) quem é AB ? (a resposta esperada é “a altura da pirâmide”);
b) quem é DE ? (a resposta esperada é “a altura do bastão”);
c) quem é
BC
? (a resposta esperada é “a sombra da pirâmide”);
d) quem é EF ? (a resposta esperada é “a sombra do bastão”).
O último momento é generalizar o que foi observado, esperando a manifestação dos
alunos através da verbalização da comparação que fizeram entre os dois triângulos,
esperando que as falas sejam próximas de: “a altura da pirâmide está para a altura do
bastão assim como a sombra da pirâmide está para a sombra do bastão”.
No final da discussão devem teorizar a existência das características necessárias
para a existência da semelhança entre dois triângulos, por meio da verbalização e a
linguagem deve se aproximar do que já se encontra institucionalizado:
“Dois triângulos são semelhantes, se os ângulos correspondentes são congruentes e os
lados correspondentes são proporcionais”.
Resultados Esperado
De acordo com o objetivo proposto, a intencionalidade é de aproximar os alunos do
saber que será estudado de forma que eles possam manipular as ideias que vão surgindo e
poder se manifestar. Essas ações podem garantir a participação ativa na elaboração e
compreensão do conceito. A devolução que os alunos fazem ao se manifestarem sobre os
fatos observados e vivenciados durante as ações significa assumir a responsabilidade pela
aprendizagem. Por isso, o professor deve organizar a aula no sentido de ceder parte dessa
responsabilidade aos alunos.
Compreendido o conceito o que se espera são as aplicações em exercícios e
problemas. O que temos de certeza é que durante as aplicações do conceito de semelhanças
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de triângulos esses alunos terão sempre como referência as experiências vivenciadas por
meio das ideias de Tales.
Referencias Bibliográficas
BROUSSEAU, Guy. Introdução ao estudo da teoria das situações didáticas: conteúdos
e métodos de ensino. São Paulo: Ática, 2008.
FELICE, José. O processo de estudo de temas matemáticos, relativos ao ensino
fundamental, por intermédio de situação-problema: práticas vivenciadas por
acadêmicos do curso de Licenciatura em Matemática. Campo Grande/MS: Tese de
Doutorado, UFMS: 2012.
GUELLI, Oscar. Matemática uma Aventura do Pensamento: Ensino Fundamental. 3ª
edição V 1 ao 4. São Paulo: Ática, 1998.
_____________. Contando a História da Matemática. Volume 2, Equação: O idioma da
Álgebra. São Paulo: Ática 1995.