Curso de linguagem matemática – Professor Renato Tião
1. Considere o polinômio
3
4. Considere os polinômios do terceiro grau, definidos
5
0
P(x) = 2x + 3x − 5x(1 − x) + 4x + 7(x + 2)
e faça o que se pede em cada um dos itens a seguir:
a) Determine o grau de P(x).
b) Determine o seu termo independente.
a seguir, e faça o que se pede em cada item.:
A(x) = (x − 2)(x − 3)(x − 4)
B(x) = x 3 − 9x 2 + 26x − 24
a) Determine o termo independente, a soma dos
coeficientes e o conjunto das raízes do polinômio A(x).
b) Determine o termo independente e a soma dos
coeficientes de B(x).
c) Escreva a seqüência dos coeficientes de P(x).
c) Calcule A(−1), B(−1), A(10) e B(10).
d) Calcule P(0) .
e) Calcule P(1 ) .
f) Calcule P( i ) .
2.
Discutir, em função do parâmetro m, o grau do
polinômio:
P(x) = (m 2 − 2m)x 4 + mx 3 + (m + 2)x 2 + 5x + 1
d) Mostre que A(x) ≡ B(x).
e) Calcule A( i ) .
f) Resolva a equação B(x) = 0.
g) Esboce o gráfico de ambos os polinômios.
3 Unifesp.
Se
x
a
b
é
x − 3x + 2 x − 1 x − 2
verdadeira para todo x real, x ≠ 1, x ≠ 2, então o valor de
a⋅b é:
A) – 4
B) – 3
C) – 2
D) 2
E) 6
2
=
+
h) Resolva a inequação B(x) < 0.
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5 AFA.
8.
A) {x∈ℝ / x ≤ 3}
Q(x) = − x 3 − 2x 2 + 7 e R(x) = 3x 2 − 5x + 6 , determine
os polinômios definidos em cada item:
B) {x∈ℝ / x ≥ 2}
a) A(x) = P(x) + Q(x) + R(x)
A inequação (x 2 − 5x + 6)(x − 3) ≥ 0 tem
para conjunto solução:
Dados os polinômios
P(x) = x 3 − 5x 2 + 4x − 2 ,
C) {x∈ℝ / 2 ≤ x ≤ 3}
D) {x∈ℝ / x ≤ 2 ou x ≥ 3}
b) B(x) = xP(x) − 2Q(x)
c) C(x) = P(x) ⋅ R(x)
6. Fuvest
d) D(x) = P(2x) + R(x − 1)
Este gráfico pode ser a representação cartesiana do
polinômio:
A) x2(1 – x)
B) x(x2 – 1)
C) x(1 – x2)
D) x2(x2 – 1)
E) x2(1 – x2)
9.
Determine o quociente e o resto da divisão do
polinômio P(x) pelo polinômio d(x) nos seguintes casos:
a) P(x) = x 5 + 2x 4 + 8x 3 + 4x 2 + 5
d(x) = x 3 + x 2 + 2x − 3
7 Unifesp. Considere as funções quadráticas q (x)
1
e q2(x) cujos gráficos são exibidos na figura e faça o
esboço de um possível gráfico da função produto q(x) =
q1(x)q2(x).
b) P(x) = x 4 + 4
d(x) = x 2 − 2x + 2
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10.
Sobre dois polinômios de 3º grau A(x) e B(x),
foram feitas as seguintes afirmações:
I. A(x)+B(x) resulta num polinômio de 3º grau.
II. A(x)⋅B(x) resulta num polinômio de 6º grau.
Então, podemos concluir que:
A) A afirmações I não é necessariamente correta, mas a
afirmação II é necessariamente correta.
B) A afirmações I é necessariamente correta, mas a
afirmação II não é necessariamente correta.
C) As duas afirmações são necessariamente corretas.
D) A afirmação I está correta se, e somente se a
afirmação II também estiver correta.
E) Nenhuma das duas afirmações é necessariamente
correta.
11 Unesp.
Seja x um número real positivo. O
volume de um paralelepípedo reto-retângulo é dado, em
função de x, pelo polinômio x 3 + 7x 2 + 14x + 8 .
Se uma aresta do paralelepípedo mede x + 1 , a área
da face perpendicular a essa aresta pode ser expressa
por:
A)
B)
C)
D)
E)
14. Dividindo-se o polinômio P(x) por
x 2 + 1 obtémse quociente x − 7 e resto x + 2 . Nestas condições
podemos afirmar que o resto da divisão do polinômio
P(x) por x − 10 é igual a:
A) 305
B) 310
C) 315
D) 320
E) 325
15 UFSC.
Um polinômio p(x), de grau n > 2 ,
dividido por x − 3 , dá resto 5, e dividido por x + 1 , dá
resto 2. Então, qual é o resto da divisão de p(x) por
(x − 3)(x + 1) ?
x 2 − 6x + 8
x 2 + 14x + 8
x 2 + 7x + 8
x 2 − 7x + 8
x 2 + 6x + 8
12. Sendo P(x) = x
3
+ 4x 2 − 2x − 5 , determine:
a) P( 2 )
b) o resto da divisão de P(x) por x − 2 .
16. Considere a seguinte equação polinomial:
(x 3 − x)(x 2 − 2x + 1)(x + 3) 2 = 0
a) Reescreva esta equação usando apenas fatores de
primeiro grau.
c) P(−1)
d) o resto da divisão de P(x) por x + 1 .
e) P( 0 )
f) o resto da divisão de P(x) por x .
g) P( i )
h) o resto da divisão de P(x) por x − i .
b) Escreva seu conjunto solução.
13 Fuvest. O polinômio p(x) = x
+ ax 2 + bx , em
que a e b são números reais, tem restos 2 e 4 quando
dividido por x − 2 e x − 1 , respectivamente. Assim, o
valor de a é:
A) −6
B) −7
C) −8
D) −9
E) −10
3
c) Determine a multiplicidade de cada uma de suas
raízes.
d) Determine o grau desta equação.
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17.
Determine o conjunto solução da equação
5
3
2
polinomial x − 16x − 38x − 33x − 10 = 0 , sabendo que
o número −1 é raiz tripla.
21. Sendo r, s e t as três soluções distintas da equação
polinomial 5x 3 − 4x 2 − 3x + 2 , determine os valores de:
a) r + s + t
b) r⋅s + r⋅t + s⋅t
c) r⋅s⋅t
d)
1 1 1
+ +
r s t
18 Unesp. A altura de um balão em relação ao
e) r2 + s2 + t2
solo foi observada durante certo tempo e modelada pela
função h(t) = t 3 − 30t 2 + 243t + 24 com h(t) em metros
e t em minutos. No instante t = 3 min o balão estava a
510 metros de altura. Determine em que outros instantes
t a altura do balão também foi de 510 m.
22 Fuvest. As raízes da equação de terceiro grau
x 3 − 14x 2 + kx − 64 = 0 são todas reais e formam uma
progressão geométrica. Determine:
a) as raízes da equação;
b) o valor de k.
19.
Quantas são as raízes racionais da equação
polinomial 3x 4 − 11x 3 + 9x 2 − 11x + 6 = 0 ?
A) 0
B) 1
C) 2
D) 3
E) 4
20 Puc.
4
3
2
Sabe-se que a equação polinomial
x + x + 4x + x + 1 = 0 admite raízes inteiras.
Se m é a maior das raízes não inteiras dessa equação,
1
então o valor de m +
é:
m
A) −6
B) −3
C) 0
D)
5
E) 2 5
23 UFMS.
Sabe-se que o polinômio P(x),
definido a seguir, tem duas raízes reais opostas e que
P(1 + i) = 0 .
P(x) = 9x 4 + ax 3 + bx 2 + cx − 90
Então qual é o valor de (a + b + c) ?