, para que o polinômio ( )
8. Calcular
a) do 3° grau
(
)
(
)
seja:
b) do 2° grau
c) 1° grau
9. Quais das seguintes funções são polinomiais? Justifique.
a) ( )
d) ( )
b) ( )
e) ( )
√
c) ( )
10. Sendo ( )
, calcule:
a) ( )
b) (
11. Considere as funções polinomiais ( )
)
e ( )
Calcular:
a)
( )
( )
c)
( )
b)
( )
( )
d)
( )
( )
( )
c) (
.
)
12. (Vunesp-SP) Se
,
são tais que ( )
e
, então o coeficiente de
em ( ) é
a) 7
b) 6
13. (Uniderp-MT) Se ( )
(
a) 10
c) 5
(
)
d) 4
) é um polinômio, então ( ) é igual a
b) 13
c) 16
14. Considere os polinômios ( )
e) 3
d) 18
, ( )
e) 20
e ( )
.
Calcule e dê o grau dos seguintes polinômios:
b) (
a)
15. Determine qual o polinômio que subtraído de
)
( )
(
)
resulta no polinômio
( )
.
( )
16. Sejam os polinômios
18. Determine
(
)
e
para que a diferença ( )
todos os valores reais de
17. Dados ( )
(
)
(
)
a) -5
. Determine
, para que ( )
)(
)
( )
.
.
(
)
(
)
(
) para todo
real,
é
b) -1
20. (UECE) Se os polinômios ( )
a) 2
)
, calcule
19. (Vunesp-SP) Se a, b, c são números reais tais que
então o valor de
(
( ) seja um polinômio do 2° grau.
e ( )
, de modo que: (
( )
c) 1
d) 3
|e ( )
|
b) 3
e) 7
são idênticos, então o valor de
c) 4
d) 5
é
LISTA DE EXERCÍCIOS DIVISÃO DE POLINÔMIOS
1. (UFMG) – O quociente da divisão de P(x) = 4x4 – 4x3 + x – 1 por q(x) = 4x3 +1 é:
a. x – 5
b. x – 1
d. 4x – 5
c. x + 5
e. 4x + 8
2. (UFPE) – Qual o resto da divisão do polinômio x3 – 2x2 + x + 1 por x2 – x + 2 ?
a. x + 1
b. 3x + 2
d. x – 1
c. -2x + 3
e. x – 2
3. (CEFET-PR) – O quociente da divisão de P(x) = x3 – 7x2 +16x – 12 por Q(x) = x – 3 é:
a.
b.
c.
d.
e.
x–3
x3 – x2 + 1
x2 – 5x + 6
x2 – 4x + 4
x2 + 4x – 4
4. (UNICAMP-SP) – O resto da divisão do polinômio P(x) = x3 – 2x2 + 4 pelo polinômio Q(x) = x2 – 4 é:
a.
b.
c.
d.
e.
R(x) = 2x – 2
R(x) = -2x + 4
R(x) = x + 2
R(x) = 4x – 4
R(x) = -x + 4
5. (PUC-PR) – O resto da divisão de x4 – 2x3 + 2x2 + 5x + 1 por x – 2 é:
a. 1
b. 20
c. 0
d. 19
e. 2
6. (PUC-BA) – O quociente da divisão do polinômio P = x3 – 3x2 + 3x – 1 pelo polinômio q = x – 1 é:
a.
x
b.
x–1
c.
x2 – 1
d.
x2 – 2x + 1
e.
x2 – 3x + 3
7. (UEM-PR) – A divisão do polinômio 2x4 + 5x3 – 12x + 7 por x – 1 oferece o seguinte resultado:
a. Q = 2x3 + 7x2 + 7x – 5 e R = 2
b.
c.
d.
e.
Q = 2x3 + 7x2 – 5x + 2 e R = 2
Q = 2x3 + 3x2 – 3x – 9 e R = 16
Q = 2x3 + 7x2 – 5x + 2 e R = 0
Q = 2x3 + 3x2 – 15x + 22 e R = 2
8. (CESGRANRIO-RJ) – O resto da divisão de 4x9 + 7x6 + 4x3 + 3 por x + 1 vale:
a. 0
b. 1
c. 2
d. 3
e. 4
9. (UFGRS) – A divisão de p(x) por x2 + 1 tem quociente x – 2 e resto 1. O polinômio P(x) é:
a.
b.
c.
d.
e.
x2 + x – 1
x2 + x + 1
x2 + x
x3 – 2x2 + x – 2
x3 – 2x2 + x – 1
10. (UFSE) – Dividindo-se o polinômio f = x4 pelo polinômio g = x2 – 1, obtém-se quociente e resto,
respectivamente, iguais a:
a.
b.
c.
d.
e.
x2 + 1 e x + 1
x2 – 1 e x + 1
x2 + 1 e x – 1
x2 – 1 e -1
x2 + 1 e 1
11. (FATEC-SP) – Se um fator do polinômio P(x) = x3 – 5x2 + 7x – 2 é Q(x) = x2- 3x + 1, então o outro
fator é:
a. x – 2
b. x + 2
c. -x – 2
d. -x + 2
e. x + 1
12. (Mack-SP)
( )
( )
Considerando o resto ( ) e o quociente ( ) da divisão acima, se ( )
a) 1
b) -3
13. Qual o resto da divisão do polinômio |
, ( ) vale
c) -5
| pelo polinômio |
d) -4
|?
e) 2
Dispositivo de Briot-Ruffini
1.
Calcule o quociente e o resto da divisão de:
a)
( )
b)
( )
c)
( )
d)
( )
por (
por (
)
por (
por (
)
)
)
2. Ache o quociente e o resto da divisão de:
a)
( )
b)
( )
por
por
3. Os esquemas representam aplicações do dispositivo prático de Briot-Ruffini; calcule o valor dos elementos
desconhecidos em cada um deles:
a)
b)
2
a
b
c
d
1
3
-2
1
-1
a
b
c
d
4
-2
-1
0
4. (UEPG-PR) Na divisão do polinômio ( ) pelo binômio ( ), do 1° grau, usando o dispositivo de Briot-Ruffini,
obteve-se o seguinte:
m
1
a
a
-a
-6
3
0
Então, assinale o que for correto.
01) ( ) é um polinômio do 4° grau.
02) ( ) é divisível por
04) ( )
08) ( )
16) O quociente da divisão é o polinômio ( )
.
A soma dos valores atribuídos às proporções verdadeiras é igual a ____.
5. Determine o quociente e o resto das divisões a seguir.
a) ( )
por (
)
b) ( )
por (
c) ( )
6. Calcule o quociente
por (
)
( ) do polinômio
determine o valor de ( ).
)
quando dividido por
. Em seguida,
Divisibilidade, Teorema de D’Alembert e Teorema dos Restos
1. Calcular o resto da divisão de ( )
( )
a)
por ( ) em cada um dos casos:
b)
2. Determinar
( )
( )
c)
de modo que os restos das divisões de
( )
por
e por
sejam,
respectivamente, 1 e 4.
3. Dado o polinômio
(
( )
, determine
) é 1 e, quando dividido por (
por (
5. (UFSC) Sendo “a” e “b” dois números tais que o polinômio ( )
), calcule
) é 10, qual é valor de ?
é divisível por (
)
.
6. Dado o polinômio ( )
ou
( ) por
), tem resto igual a -5.
4. (UEL-PR) Se o resto da divisão do polinômio
e por (
sabendo que o resto da divisão de
, determine se é divisível por algum polinômio a seguir, por
.
.
7. Determine
em ( )
, sabendo que 1 é raiz de ( ) e que ( )
8. Considere o polinômio ( )
por ( )
, determine o valor de
, em que
.
.
são constantes. Sabendo que ( ) é divisível
Raiz do polinômio, conjunto solução, teorema da decomposição
1.
Determine o conjunto solução das equações:
a)
b)
c)
d)
e)
(
)
(
)
f)
2.(Vunesp-SP) Considere a matriz
[
]. O determinante de
é um polinômio ( ).
a) Verifique se 2 é uma raiz de ( ).
b) Determine todas as raízes de ( ).
3. (FGV-SP) Resolva a equação
no conjunto dos números complexos.
4.(UEPB) Uma fábrica utiliza dois tanques para armazenar óleo diesel. Os níveis
pelas expressões:
( )
e
de um tanque é igual ao outro no instante inicial
a) 1,5h
b) 1,0h
( )
e
, dos tanques são dados
, sendo t o tempo em horas. O nível do óleo
e também no instante:
c) 2,5h
d) 2,0h
e) 0,5h
5. Definir analiticamente a função cuja representação gráfica é mostrada a seguir.
6. (Unesp-SP) A .altura
de um balão em relação ao solo foi observada durante certo tempo e modelada pela função
( )
com ( ) em metros e em minutos. No instante
o balão estava a 510 metros de altura. Determinar em que
outros instantes a altura foi também de 510 metros.
7. Sabendo-se que -1 é raiz dupla da equação
, determinar o seu conjunto solução.
8. Decomponha os seguintes polinômios em fatores:
a) ( )
em que uma das raízes é 1;
b) ( )
em que uma das raízes é 2.
9. (FGV-SP) O polinômio ( )
tem o número 1 como raiz dupla. O valor absoluto da
diferença entre as outras raízes é igual a:
a) 5
b) 4
c) 3
10. Um professor de matemática escreveu um polinômio
d) 2
e) 1
( ) na lousa e falou que suas raízes, todas reais, eram
iguais às idades de suas filhas. Sabendo que suas idades são iguais a 22, 31 e 35 anos, determine o polinômio escrito a
lousa.
11. Sabendo que 2 é raiz da equação
, determine o seu conjunto solução.
12. Resolva a equação
, sabendo que -1 é uma raiz tripla dessa equação.
13. Exercícios 1, 2, 3 e 4 das páginas 37 e 38.
14. Resolva as equações:
a)
b)
c)
d) (
e)
f)
)
(
)
Avaliação de Matemática 1 | Peso: 3,5| 3º Bimestre | Prof. Guilherme Franklin Lauxen Neto
| Aluno:
| Turma: 131 Data: 26/08/2013|
1. (0,5) Se, no universo
, a equação
admite a raiz -1 com
multiplicidade 3. Determine as demais raízes deste polinômio.
______________________________________________________________________________________
2. (0.5) (UEPB-PB) O polinômio ( )
, com a constante, tem
como uma
de suas raízes. Com isso, podemos escrever ( ) como:
a) (
)(
)(
)
b) (
)(
)(
)
c) (
)(
)(
)
d) (
)(
)(
)
e) (
)(
)(
)
Justifique a sua resposta
3. (0,5) (UFRJ) O gráfico a seguir representa uma função
polinomial P de variável real, que possui duas raízes
inteiras e é definida por ( )

Determine o valor da constante representada por m e as
quatro raízes desse polinômio.
4. (0,5) Determine os valores dos parâmetros a, b e c para que o polinômio
(
)
(
)
seja identicamente nulo.
( )
5. (0,4) (UFPel-RS) Para que o polinômio
(
),
a) 1
dê resto 3 quando dividido por
deve valer:
b) -1
c) 3
d) -7
e) 7
__________________________________________________________Justifique a sua resposta_________
6. (0,3) (UFPA) O polinômio ( )
podemos dizer que
a) 6
b) 5
c) 4
é idêntico a
( )
. Então
é igual a:
d) 0
e) -3
_________________________________________________________Justifique a sua resposta__________
7. (0,4) Determine os polinômios quociente e o resto das divisões.
a)
( )
b)
( )
por
( )
por
( )
__________________________________________________________________________________
8. (0,4) (Furg-RS) . Na divisão de um polinômio ( ) pelo binômio ( – ), ao usar o dispositivo prático de
Briot-Ruffini, encontrou-se.
Determine os valores de a, q, p e r.
Recuperação de Matemática: polinômios
| Peso: 3,5| 3º Bimestre | Prof. Guilherme Franklin Lauxen Neto
| Aluno
| Turma: 131 Data: 27/08/2013|
1. (0,5) Veja o gráfico de ( )
, em que
indicados os pontos em que a curva corta o eixo .
a) Qual o valor numérico de ( ) para
b) Quais os valores de
e
são números reais. Nele, estão
?
e ?
c) Escreva o polinômio ( ) e valor o valor numérico de
( ), ( ) e (
).
2. (0,5) (UEPG-PR) No esquema abaixo, foi aplicado o dispositivo prático de Briot-Ruffini, para a
divisão de um polinômio ( ) por um polinômio ( ). Assim, determine a alternativa falsa.
a)
( )
b)
( )é divisível por ( )
c)
( ) é divisível por ( )
d) O quociente da divisão de ( ) por ( ) é ( )
3. (0,4) (UFRGS-RS) Se
a)
é uma raiz do polinômio ( ) e
é uma raiz do polinômio ( ), então:
( )
( )
b)
( )
c)
( )
d)
( )
e)
( )
( )
( )
( )
( )
Esta questão utiliza o conceito teórico de raiz.
4. (0.5) Efetue a divisão de ( ) por ( ) em cada um dos itens.
5. (0,5) Considere os polinômios ( )
valor de
sabendo que ( )
(
7. (0.5) Determine o conjunto solução da equação
9. (0.7)
e ( )
. Calcule o
( ) é o polinômio identicamente nulo.
6. (0.6) Considere os polinômios ( )
Calcule e dê o grau dos seguintes polinômios:
a)
)
(
)
b) (
c)
8. Questão extra (0.5). Resolva a equação
dupla.
)
; ( )
e ( )
.
.
, sabendo que uma de suas raízes é