Resolução das atividades complementares
Matemática
M23 — Polinômios
p. 68
1 Considere o polinômio P(x) 5
x 2 2 3x 21
x 11
x
. Determine os valores de P(1) e P(22).
P(1) 5 0; P(22) 5 221
Resolução:
P(x) 5 (x2 2 3x) ? x 1 (x 1 1) 5 x3 2 3x2 1 x 1 1
P(1) 5 13 2 3 ? 12 1 1 1 1 5 0
P(22) 5 (22)3 2 3 ? (22)2 1 (22) 1 1 5 28 2 12 2 2 1 1 5 221
2 Seja o polinômio P(a 1 2) 5 2a2 2 3a 1 1.
a) Calcule P(21) e P(4). P(21) 5 28 e P(4) 5 3
b) Determine P(a). P(a) 5 2a2 2 11a 1 15
Resolução:
a) a 1 2 5 21 ⇒ a 5 23
Substituindo a 5 23 no polinômio dado, temos:
P(23 1 2) 5 P(21) 5 2 ? (23)2 2 3(23) 1 1 5 2 ? 9 1 9 1 1 5 28
a1254⇒a52
Substituindo a 5 2 no polinômio dado, temos:
P(2 1 2) 5 P(4) 5 2 ? 22 2 3 ? 2 1 1 5 3
b) a 1 2 5 x ⇒ a 5 x 2 2
P(x) 5 2 ? (x 2 2)2 2 3(x 2 2) 1 1 5 2x2 2 11x 1 15
Fazendo x 5 a, temos: P(a) 5 2a2 2 11a 1 15.
3 (UnB-DF) Considere um polinômio P(x) do 3o grau com coeficientes reais. Dado que 2 é raiz de P(x)
e que o seu gráfico contém os pontos (0, 2), (1, 1) e (3, 5), calcule P(5). 57
Resolução:
P(x) 5 ax3 1 bx2 1 cx 1 d
P(2) 5 8a 1 4b 1 2c 1 d 5 0 (I)
P(0) 5 d 5 2
P(1) 5 a 1 b 1 c 5 21 (II)
P(3) 5 27a 1 9b 1 3c 5 3 (III)
Daí: a 5 1, b 5 23 e c 5 1.
P(x) 5 x3 2 3x2 1 x 1 2
P(5) 5 53 2 3 ? 52 1 5 1 2 5 57
De I, II e III, vem:
8a 1 4b 1 2c 5 2 2

a 1 b 1 c 5 21
27a 1 9b 1 3c 5 3

4 (Uniube-MG) O grau do polinômio q(x) 5 (x 2 1)(x 2 2)2 (x 2 3)3 ... (x 2 100)100 é igual a:
a) 100
b) 100!
c) 5 050
d) 10 100
Resolução:
O grau do polinômio é dado pela sooma dos termos da PA (1, 2, 3, ..., 100).
(a 1 a n)n
(1 1 100) ? 100
Sn 5 1
S100 5
5 5 050  gr(q) 5 5 050
2
2
5 Qual é o polinômio que, subtraído de A(x) 5 2x3 2 x2 2 4x 1 5, resulta no polinômio B(x) 5 x2 1 3x 2 1?
2x3 2 x 1 4
Resolução:
C(x) 2 A(x) 5 B(x)
C(x) 5 A(x) 1 B(x)
C(x) 5 2x3 2 x2 2 4x 1 5 1 x2 1 3x 2 1
C(x) 5 2x3 2 x 1 4
6 (UERN) Se A(x) 5 x2 2 x 1 1, B(x) 5 (x 2 2)2 e C(x) 5 23x, então A(x) 1 B(x) ? C(x) vale:
a) 23x3 1 13x2 2 13x 1 1
b) 23x3 1 13x2 1 13x 1 1
c) 23x3 1 15x2 2 15x
d) 23x3 2 15x2 2 15x
e) 3x3 2 15x2 1 15x
Resolução:
A(x) 1 B(x) ? C(x) 5 (x2 2 x 1 1) 1 (x 2 2)2 ? (23x) 5 x2 2 x 1 1 1 (x2 2 4x 1 4)(23x) 5
5 x2 2 x 1 1 2 3x3 1 12x2 2 12x 5 23x3 1 13x2 2 13x 1 1
7 Sabendo que P(x) 5 x3 1 (a 2 2)x2 1 (b 2 4)x 2 3 admite as raízes 1 e 21, calcule os valores de a e b.
a55eb53
Resolução:
P(1) 5 13 1 (a 2 2)12 1 (b 2 4)1 2 3 5 0
a 1 b 2 8 5 0 (I)
P(21) 5 (21)3 1 (a 2 2)(21)2 1 (b 2 4)(21) 2 3 5 0
a 2 b 2 2 5 0 (II)
a 1 b 5 8

a 2 b 5 2
2a 5 10 ⇒ a 5 5 e b 5 3
8 Dados A(x) 5 (a 1 1)x2 1 (b 2 1)x 1 c e B(x) 5 ax2 1 bx 2 3c, calcule a, b e c, para que A(x) 1 B(x)  0.
a 5 21;b 5 1;c 5 0
2
2
Resolução:
a 1 1 1 a 5 0 ⇒ 2a 1 1 5 0 ⇒ a 5 2 1

2

 b 2 1 1 b 5 0 ⇒ 2b 5 1 ⇒ b 5 1

2

c 2 3c 5 0 ⇒ 2 2c 5 0 ⇒ c 5 0
9 Ache a, b e c de modo que o polinômio P(x) 5 (a 1 1)x2 1 (3a 2 2b)x 1 c seja identicamente nulo.
a 5 21; b 5 2 3 e c 5 0
2
Resolução:
a 1 1 5 0 ⇒ a 5 21
3a 2 2b 5 0 ⇒ 3a 5 2b ⇒ b 5 2 3
2
c 50
10 (UFPA) O polinômio P(x) 5 ax3 1 bx2 1 cx 1 d é idêntico a Q(x) 5 5x2 2 3x 1 4. Então, podemos
dizer que a 1 b 1 c 1 d é igual a:
a) 6
b) 5
c) 4
d) 0
e) 23
Resolução:
P(x)  Q(x)
ax 3 1 bx 2 1 cx 1 d  5x 2 2 3x 1 4
Logo, a 1 b 1 c 1 d 5 6.
a 5 0; b 5 5; c 5 23 e d 5 4
11 (UFJF-MG) Determine as constantes reais A, B e C que satisfazem à igualdade
2x 2 2 25x 2 29
Bx 1 C
A
5
1 2
, para x  IR e x  5. A 5 24; B 5 6 e C 5 5
2
x
2
5
(x 2 5)(x 1 1)
x 11
Resolução:
Reduzindo ao mesmo denominador, teemos:
2x 2 2 25x 2 29
A(x 2 1 1) 1 (Bx 1 C)(x 2 5)
5
(x 2 5)(x 2 1 1)
(x 2 5)(x 2 1 1)
2x 2 2 25x 2 29
Ax 2 1 A 1 Bx 2 2 5Bx 1 Cx 2 5C
5
2
(x 2 5)(x 1 1)
(x 2 5)(x 2 1 1)
2x 2 2 25x 2 29
(A 1 B)x 2 1 (25B 1 C)x 1 A 2 5C
5
(x 2 5)(x 2 1 1)
(x 2 5)(x 2 1 1)
Igualando os coeficientes, temos:
A 5 24
A 1 B 5 2

25B 1 C 5 2 25 ⇒ B 5 6
 A 2 5C 5 2 29
C 55

12 (Fuvest-SP) Considere o polinômio não-nulo P(x) tal que [P(x)]3 5 x2[P(x)] 5 x[P(x2)], para
todo x real.
a) Qual é o grau de P(x)? 1
b) Determine P(x). P(x) 5 x ou P(x) 5 2x
Resolução:
a) grau [P(x)]3 5 3 ? grau ? [P(x)]
grau x 2 ? [P(x)] 5 2 1 grau [P(x)]
grau x ? [P(x 2)] 5 1 1 2 grau [P(x)]
3 grau [P(x)] 5 2 1 grau [P(x)]
3 grau [P(x)] 2 grau [P(x)] 5 2
Então, grau [P(x)] 5 1.
b) Como grau [P(x)] 5 1, então: P(x) 5 ax 1 b.
(ax 1 b)3 5 x 2(ax 1 b)
 2
2
 x (ax 1 b) 5 x(ax 1 b)
(ax)3 1 3(ax)2 ? b 1 3axb2 1 b3 5 ax 3 1 bx 2
 3
3
 ax 1 bx 2 5 ax 1 xb
a 3x 3 1 3a 2x 2b 1 3axb2 1 b3 5 ax 3 1 bx 2
 2
 bx 2 bx 5 0 ⇒ b 5 0
Substituindo em (I), temos:
a 3x 3 5 ax 3
a 3x 3 2 ax 3 5 0
ax 3(a 2 2 1) 5 0
a 2 2 1 5 0 ou ax 3 5 0 e a 5 0
a 5 1
Como é grau 1, então: a 5 1 e b 5 0.
P(x) 5 x ou P(x) 5 21x
(I)
p. 69
13 (Faap-SP) Calcule a, b, c e d para que o polinômio P1(x) 5 a(x 1 c)3 1 b(x 1 d) seja idêntico a
P2(x) 5 x3 1 6x2 1 15x 1 14. a 5 1; b 5 3; c 5 2 e d 5 2
Resolução:
P1(x)  P2(x) ⇒ a(x 1 c)3 1 b(x 1 d)  x3 1 6x2 1 15x 1 14
ax3 1 3acx2 1 (3ac2 1 b)x 1 (bd 1 ac3)  x3 1 6x2 1 15x 1 14
a 5 1

3ac 5 6
Igualando os coeficientes correspondentes, temos:  2
3ac 1 b 5 15
 bd 1 ac 3 5 14
Resolvendo o sistema, obtemos: a 5 1, b 5 3, c 5 2 e d 5 2.
14 (UFPE) Determine p e q reais tais que x(x 1 1)(x 1 2)(x 1 3) 1 1 5 (x2 1 px 1 q)2. Indique p2 1 q2.
10
Resolução:
x(x 1 1)(x 1 2)(x 1 3) 1 1 5 (x2 1 px 1 q)2
x4 1 6x3 1 11x2 1 6x 1 1 5 x4 1 2px3 1 (p2 1 2q)x2 1 2pqx 1 q2
2p 5 6
 2
p 53
p 1 2q 5 11
Igualando os coeficientes, temos: 
⇒
q 51
2pq 5 6
q2 5 1
Portanto: p2 1 q2 5 9 1 1 5 10.
1
.
x(x 1 1)
a) Determine os números A e B de modo que f(x) 5 A 1 B . A 5 1 e B 5 21
x
x 11
b) Considerando o resultado anterior, mostre que: f(1) 1 f(2) 1 ... 1 f(100) 5 100 .
101
15 (UFG) Seja f uma função definida por f(x) 5
Resolução:
(A 1 B)x 1 a
1
B , ou seja,
1
5 A 1
5
 (A 1 B)x 1 A  1
x
x(x 1 1)
x 11
x(x 1 1)
x(x 1 1)
A 1 B 5 0
Temos, então, o sistema linear: 
⇒ A 5 1 e B 5 21
A 5 1
b) Do resultado anterior, temos que:
f(1) 5 1 2 1 ; f(2) 5 1 2 1 ; f(3) 5 1 2 1 ; ...; f(99) 5 1 2 1 ; f(100) 5 1 2 1
2
2
3
3
4
99
100
100
101
Logo:
f(1) 1 f(2) 1 ... 1 f(100) 5 1 2 1 1 1 2 1 1 1 2 1 1 ... 1 1 2 1 1 1 2 1
2
2
3
3
4
99
100
100
101
A segunda parcela de cada parên
ntese, exceto a do último, cancela com a prrimeira parcela do parêntese
subseqüente: f((1) 1 f(2) 1 ... 1 f(100) 5 1 2 1 5 100 .
101
101
a)
(
) (
) (
)
(
) (
)
p. 76
16 (UFU-MG) Dividindo-se o polinômio p(x) por x2 1 4x 1 7, obtêm-se x2 1 1 como quociente e x 2 8
como resto. É correto afirmar que o coefi­ciente do termo de grau 2 é:
c) 8
a) 21
b) 4
d) 5
e) 1
Resolução:
p(x) 5 (x2 1 4x 1 7)(x2 1 1) 1 x 2 8 ⇒ p(x) 5 x4 1 x2 1 4x3 1 4x 1 7x2 1 7 1 x 2 8
p(x) 5 x4 1 4x3 1 8x2 1 5x 2 1
O coeficiente de x2 é igual a 8.
17 (UFPel-RS) Para que o polinômio x3 1 2x2 2 3x 1 m dê resto 3 quando dividido por (x 1 1), m deve
valer:
a) 1
b) 21
c) 3
d) 27
e) 7
Resolução:
p(x) 5 x3 1 22 2 3x 1 m
Pelo teorema do resto, P(21) 5 3; então: (21)3 1 2(21)2 2 3(21) 1 m 5 3 ⇒ m 5 21.
18 (UFSM-RS) Dividindo-se o polinômio p(x) 5 x3 1 x2 1 x 1 1 pelo polinômio q(x) obtém-se o quocien­
te s(x) 5 1 1 x e o resto r(x) 5 x 1 1. Pode-se afirmar que:
c) q(0)  0
a) q(2) 5 0
d) q(3) 5 0
b) q(1)  0
e) q(1)  1
Resolução:
p(x) 5 x3 1 x2 1 x 1 1; s(x) 5 1 1 x; r(x) 5 x 1 1
p(x) 5 q(x) ? s(x) 1 r(x) e q(x) 5 ax2 1 bx 1 c
x3 1 x2 1 x 1 1 5 (ax2 1 bx 1 c)(1 1 x) 1 (x 1 1)
x3 1 x2 1 x 1 1 5 ax2 1 ax3 1 bx 1 bx2 1 c 1 cx 1 x 1 1
x3 1 x2 1 x 1 1 5 ax3 1 (a 1 b)x2 1 (b 1 c 1 1)x 1 c 1 1
a51
a1b51⇒b50
b1c1151⇒c50
Logo, q(x) 5 x2 ⇒ q(1) 5 1.
19 (ITA-SP) A divisão de um polinômio P(x) por x2 2 x resulta no quociente 6x2 1 5x 1 3 e resto 27x.
Qual o resto da divisão de P(x) por 2x 1 1? 5
Resolução:
P(x) 5 (6x 2 1 5x 1 3)(x 2 2 x) 2 7x
P(x) 5 6x 4 2 x 3 2 2x 2 2 10x
2x 1 1 5 0 ⇒ x 5 2 1
2
4
3
r 5 p 21 ⇒ r 5 6 21 2 21 2 2 21
2
2
2
2
1
1
1
r 56 ?
1
2
15 55
16
8
2
( )
( ) ( )
( )
2
( )
2 10 2 1
2
p. 77
20 (UFOP-MG) Sejam os polinômios P(x) 5 x 2 3 e Q(x) 5 4(A 1 B)x2 1 2(B 1 C 2 A)x 1 (A 1 C).
()
a) Determine A, B, C  IR, de modo que P(x 2 3) 5 Q x . A 5 2 7 ; B 5 7 e C 5 2 11
2
3
3
3
b) Determine o quociente e o resto da divisão de Q(x) por P(x). 2 e 0
Resolução:
a) P(x 2 3) 5 x 2 6
2
Q x 5 4(A 1 B) x 1 2(B 1 C 2 A) x 1 (A 1 C)
2
2
2
Q x 5 (A 1 B)x 2 1 (B 1 C 2 A)x 1 A 1 C
2
A 1 B 5 0 ⇒ A 5 2 B

B 1 C 2 A 5 1 ⇒ 2B 1 C 5 1 (I)
 A 1 C 5 26 ⇒ B 2 C 5 6 (II)

De (I) e (II), vem: B 5 7 e C 5 2 11 .
3
3
Então: A 5 2 7 .
3
()
()
()
()
b) A 1 B 5 7 2 7 5 0
B 1 C 2 A 5 7 2 11 1 7 5 3 5 1
3
3
3
3
3
3
A 1 C 5 2 7 2 11 5 2 18 5 2 6
3
3
3
2
Q(x) 5 4(A 1 B)x 1 2(B 1 C 2 A)x 1 (A 1 C) ⇒ Q(x) 5 2 ? 1x 1 (26) ⇒
⇒ Q(x) 5 2x 2 6 5 2(x 2 3)
2(x 2 3)
Q(x)
5
52
P(x)
x 23
Q(x) é divisível por P(x); portanto, o resto é zero.
21 (UFPE) Considere o polinômio p(x) 5 3x3 2 mx2 1 nx 1 1, em que m e n são constantes reais. Sabe-
se que p(x) é divisível por g(x) 5 x 2 2 e que deixa resto igual a (212) quando dividido por h(x) 5 x 1 2.
Nessas condições, tem-se:
a) m 5 2 9 e n 5 7
c) m 5 9 e n 5 5
e) m 5 n 5 6
4
b) m 5 7 e n 5 2 9
d) m 5 2 7 e n 5 7
4
4
4
Resolução:
p(2) 5 0 ⇒ 24 2 4m 1 2n 1 1 5 0
p(2 2) 5 212 ⇒ 2 24 2 4m 2 2n 1 1 5 212
m 5 7
24m 1 2n 5 2 25

4
Daí: 
⇒ 
24m 2 2n 5 11
n 5 2 9
22 (Unimep-SP) O resto da divisão do polinômio (x2 1 x 2 1)60 1 (x 2 2)30 por x 2 1 é:
c) 1
e) nenhuma das alternativas
d) 2 anteriores
a) 21
b) 0
Resolução:
x 5 1: (1 1 1 2 1)60 1 (1 2 2)30 5 1 1 1 5 2
23 (UFPI) Seja R(x) o resto da divisão do polinômio P(x) 5 x5 2 10x3 1 6x2 1 x 2 7 por
D(x) 5 x(x 2 1)(x 1 1). Então, pode-se afirmar que:
c) R(21) 5 8
a) R(1) 5 29
d) R(2) 5 2
b) R(0) 5 7
e) R(x) 5 x2 2 8x 1 7
Resolução:
D(x) 5 x(x 2 1)(x 1 1) 5 x 3 2 x
x 5 1 0x 4 2 10x 3 1 6x 2 1 x 2 7
x3 2 x
2x 5
x2 2 9
1
x3
29x 3 1 6x 2 1 x 2 7
19x 3
2 9x
R(x) 5 6x 2 2 8x 2 7
R(1) 5 6 ? 12 2 8 ? 1 2 7 5 2 9
24 (Uneb-BA) Se o polinômio ax3 1 3x2 2 8x 1 b é divisível por x2 2 4, então ab é igual a:
a) 224
b) 26
c) 2
d) 6
e) 24
Resolução:
Se p(x) 5 ax3 1 3x2 2 8x 1 b é divisível por x2 2 4, então é divisível por (x 1 2)(x 2 2). Logo:
p(22) 5 0 ⇒ 28a 1 12 1 16 1 b 5 0
p(2) 5 0 ⇒ 8a 1 12 2 16 1 b 5 0
28a 1 b 5 2 28
a 5 2
Daí: 
⇒ 
8a 1 b 5 4
 b 5 212
Logo: ab 5 2(212) 5 224.
25 (UFPA) O polinômio P(x) 5 x4 2 ax2 1 bx é divisível por x 1 3 e o resto de sua divisão por x 2 1 é a
abscissa do ponto médio do segmento MN, em que M(29, 3) e N(215, 24).
Encontre os valores de a e b. a 5 10 e b 5 23
Resolução:
29 2 15
xm 5
5 212
2
x 2150 ⇒ x 51
P(1) 5 212
14 2 a ? 12 1 b ? 1 5 212
2a 1 b 5 213 (I)
x 1 3 5 0 ⇒ x 5 23
P(23) 5 0 ⇒ (23)4 2 a ? (23)2 1 b ? (23) 5 0
23a 2 b 5 2 27 (II)
De (I) e (II), vem:
2a 1 b 5 213

23a 2 b 5 2 27
24a 5 240 ⇒ a 5 10 e b 5 23
26 (Vunesp-SP) Considere o polinômio p(x) 5 x3 2 mx2 1 m2x 2 m3, em que m  IR.
Sabendo-se que 2i é raiz de p(x), determine:
a) os valores que m pode assumir; 2 ou 22
b) dentre os valores de m encontrados em a, o valor de m tal que o resto da divisão de p(x) por (x 2 1) seja 25.
2
Resolução:
a) Se 2i é raiz, temos:
p(2i) 5 0 ⇒ (2i)3 2 m(2i)2 1 m2(2i) 2 m3 5 0
28i 1 4m 1 2m2i 2 m3 5 0
24(2i 2 m) 1 m2(2i 2 m) 5 0 ⇒ (2i 2 m) ? (m2 2 4) 5 0
Daí: 2i 2 m 5 0 ⇒ m 5 2i (não satisfaz, pois não é real)
m2 2 4 5 0 ⇒ m2 5 4 ⇒ m 5 2 ou m 5 22
b) m 5 2: p(x) 5 x3 2 2x2 1 4x 2 8
p(1) 5 1 2 2 1 4 2 8 ⇒ p(1) 5 25
m 5 22: p(x) 5 x3 1 2x2 1 4x 1 8
p(1) 5 1 1 2 1 4 1 8 ⇒ p(1) 5 15
Logo, o resto da divisão de p(x) por (x 2 1) é 25, se m 5 2.
27 (UnB-DF) O polinômio p(z) 5 z3 1 mz 1 n 1 p é divisível por z 1 i e deixa resto p na divisão por
z 2 i, em que i é a unidade imaginária.
Para m, n, p reais, determine o valor de m 1 n 1 p. 1
Resolução:
p(z) 5 z3 1 mz 1 n 1 p
p(i) 5 i3 1 mi 1 n 1 p p(i) 5 p
p(2i) 5 2i3 1 m(2i) 1 n 1 p p(2i) 5 0
2i 1 mi 1 n 1 p 2 p 5 0
i 2 mi 1 n 1 p 5 0 i(m 2 1) 1 n 5 0i 1 0  n 5 0 e p 5 0
i(1 2 m) 1 n 1 p 5 0i 1 0 m 1 n 1 p 5 1 1 0 1 0 5 1
i2m50⇒m51
n 1 p 5 0 ⇒ n 5 2p
28 (Fuvest-SP) Determinar um polinômio P(x) de grau 4, divisível por (x 2 1)(x 1 1)(x 2 2), sabendo-se
que P(0) 5 0 e que o resto da divisão de P(x) por x 1 2 é 48. P(x) 5 2x4 2 4x3 2 2x2 1 4x
Resolução:
P(x) 5 ax4 1 bx3 1 cx2 1 dx 1 e
P(0) 5 0 ⇒ e 5 0
P(1) 5 0 ⇒ a 1 b 1 c 1 d 5 0
(I)
P(21) 5 0 ⇒ a 2 b 1 c 2 d 5 0
(II)
P(2) 5 0 ⇒ 16a 1 8b 1 4c 1 2d 5 0
(III)
P(22) 5 0 ⇒ 16a 2 8b 1 4c 2 2d 5 48
(IV)
De (I) e (II), vem: a 5 2c.
De (III) e (IV), vem: 32a 1 8c 5 48.
Daí: a 5 2, c 5 22, b 5 24 e d 5 4.
Então: P(x) 5 2x4 2 4x3 2 2x2 1 4x.
29 (FURRN) Um polinômio P, dividido por x 2 1 e x 1 3, dá restos 22 e 1, respectivamente. Então, o
resto da divisão de P por (x 2 1)(x 1 3) é:
a) 3 x 1 5
c) 3 x 2 5
e) 3 x 2 5
4
4
4
4
4
2
3
5
3
5
b) 2 x 1
d) 2 x 2
4
4
4
4
Resolução:
Resolvendo o sistema: a 5 2 3 ; b 5 2 5
4
4
P(x) 5 Q(x) ? (x 2 1)(x 1 3) 1 ax 1 b
P(1) 5 2 2 ⇒ a 1 b 5 2 2
P(2 3) 5 1 ⇒ 23a 1 b 5 1
Portanto: R(x) 5 ax 1 b 5 2 3 x 2 5
4
4
30 (Furg-RS) Na divisão de um polinômio P(x) pelo binômio (x 2 a), ao usar o dispositivo prático BriotRuffini, encontrou-se:
22 1
q
p
24
23
5
4
r
25
7
Os valores de a, q, p e r são, respectivamente:
c) 2, 22, 22 e 26
a) 22, 1, 26 e 6
d) 2, 22, 1 e 6
b) 22, 1, 22 e 26
Resolução:
Observando o dispositivo de Briot-Ruffini dado:
22 1
p 23 4 25
q 24 5
r
7
e) 2, 1, 24 e 4
Temos: a 5 22; q 5 1
q ? (22) 1 p 5 24 ⇒ p 5 22
5 ? (22) 1 4 5 r ⇒ r 5 26
31 (EEM-SP) O teorema da decomposição para po­linômios afirma que:
Todo polinômio p(x) 5 a0xn 1 a1xn 2 1 1 ... 1 an 2 1x 1 a0 pode ser decomposto em n fatores de 1o grau
multiplicados pelo coeficiente a0, isto é, a0xn 1 a1xn 2 1 1 ... 1 an 2 1x 1 a0 5 a0(x 2 x1)(x 2 x2) ... (x 2 xn), em
que x1, x2, ..., xn são as raízes de p(x) 5 0.
Com base nesse teorema, escreva:
a) a expressão geral dos polinômios de grau 5 que admitem 1, 2, 3, 4 e 5 como raízes;
b) a expressão, na forma fatorada, do polinômio cuja expressão geral foi obtida no item anterior e que
satisfaça p(0) 5 4!.
Resolução:
a) P(x) 5 a0(x 2 1)(x 2 2)(x 2 3)(x 2 4)(x 2 5)
P(x) 5 a0(x5 2 15x4 1 85x3 2 225x2 1 274x 2 120)
b) Se P(0) 5 4! 5 4 ? 3 ? 2 ? 1 5 24, temos:
P(0) 5 a0(0 2 1)(0 2 2)(0 2 3)(0 2 4)(0 2 5) 5 24
a 0(2120) 5 24 ⇒ a 0 5 2 1
5
Portanto: P(x) 5 2 1 (x 2 1)(x 2 2)(x 2 3)(x 2 4)(x 2 5).
5
32 (UERJ) A figura representa o gráfico de um polinômio e de uma reta r que
lhe é secante nos pontos A(2, 23) e B(4, 15).
a) Determine o resto da divisão de P(x) por x 2 4. 15
b) Mostre que a reta r representa graficamente o resto da divisão de P(x) por
(x 2 2)(x 2 4).
Resolução:
Analisando o gráfico:
a) P(4) 5 15; logo, o resto da divisão de P(x) por (x 2 4) é 15.
b) P(x) 5 Q(x) ? D(x) 1 R(x); D(x) 5 (x 2 2)(x 2 4)
gr(P) 5 3, pois o gráfico de P corta o eixo Ox em 3 pontos.
gr(D) 5 2 e gr(R) < 1 ou R(x) 5 0  R(x) 5 ax 1 b
P(x) 5 (x 2 2)(x 2 4) ? Q(x) 1 ax 1 b
Pelo gráfico:
P(2) 5 23 ⇒ (2 2 2)(2 2 4) ? Q(2) 1 2a 1 b 5 23
P(4) 5 15 ⇒ (4 2 2)(4 2 4) ? Q(4) 1 4a 1 b 5 15
2a 1 b 5 2 3 (21)

4a 1 b 5 15
2a 5 18 ⇒ a 5 9 e b 5 2 21; logo, R(x) 5 9x 2 21
y
r
15
B
2
4
�3
A
(I)
Vamos encontrar a equação da reta que passa por (4, 15) e (2, 23):
x y 1
4
15 1 5 0 ⇒ y 5 9x 2 21
(II)
2 23 1
Comparando (I) e (II), verificamos que r representa o resto da divisão de P(x) por (x 2 2)(x 2 4).
33 (UEL-PR) Considere os polinômios p(x) 5 2x 1 1 e q(x) 5 x3 2 x. É correto afirmar:
a) Os polinômios p(x) e q(x) não possuem raiz em comum.
b) O gráfico de p(x) intercepta o gráfico de q(x).
c) O polinômio p(x) possui uma raiz dupla.
d) O resto da divisão de q(x) por p(x) é diferente de zero.
e) O polinômio q(x) possui uma raiz dupla.
Resolução:
p(x) 5 2x 1 1
q(x) 5 x3 2 x
raiz: p(x) 5 0
raízes: x3 2 x 5 0
2x 1 1 5 0
x(x 1 1)(x 2 1) 5 0
x 5 0 ou x 5 21 ou x 5 1
x 5 1
a) Não, pois p(x) e q(x) possuem a raiz 1 em comum.
b) Sim, pois os gráficos de p(x) e q(x) se interceptam no ponto (1, 0).
c) Não, pois p(x) possui uma única raiz.
d) Não, pois q(x) 5 (2x2 2 x) ? p(x).
e) Não, pois as três raízes de q(x) são simples.
10
x
34 (Vunesp-SP) Considere um polinômio da forma f(x) 5 x3 1 (cos u)x.
Sendo i a unidade imaginária, demonstre que f(x) é divisível por x 2 i (sobre o corpo dos complexos) se, e
somente se, u 5 2kp (k  Z
⁄ ).
Resolução:
f(x) 5 x3 1 (cos u)x
f(i) 5 i3 1 i cos u ⇒ f(i) 5 2i 1 i cos u ⇒ f(i) 5 2i(1 2 cos u)
(I) Se f(x) é divisível por (x 2 i), temos: f(i) 5 0, ou 2i(1 2 cos u) 5 0; como 2i  0, então: 1 2 cos u 5 0.
⁄ ).
Logo, cos u 5 1, ou seja, u 5 2kp (k  Z
⁄ ), então: cos u 5 1, ou seja, cos u 2 1 5 0. Logo, f(i) 5 0, isto é, f(x) é (II) Se u 5 2kp (k  Z
divisível por (x 2 i).
35 (Fuvest-SP) P(x) é um polinômio de grau > 2 e tal que P(1) 5 2 e P(2) 5 1.
Sejam D(x) 5 (x 2 2)(x 2 1) e Q(x) o quociente da divisão de P(x) por D(x).
a) Determine o resto da divisão de P(x) por D(x). 2x 1 3
b) Sabendo que o termo independente de P(x) é igual a 8, determine o termo independente de Q(x).
Resolução:
a) Seja R(x) o resto da divisão de P(x) por D(x).
Como D(x) é um polinômio de grau 2,
podemos concluir que R(x) é da forma
ax 1 b, em que a e b são constantes.
Então, temos:
P(x)  (x
2 2)�
? ��
(x 2�
1) ? Q(x) 1 ax
1�b
���
���
D(x)
P(1) 5 2 ⇒ a 1 b 5 2
P(2) 5 1 ⇒ 2a 1 b 5 1
R(x)
2a 1 b 5 1
, obtemos:
Resolvendo o sistema 
a
1
b
5
2

a 5 21 e b 5 3.
Portanto, o resto da divisão de P(x) por D(x)) é
2x 1 3.
5
2
b) O termo independente de P(x) é 8, isto é,
P(0) 5 8.
Do item a, temos que:
P(x)  (x 2 2)(x 2 1) ? Q(x) 2 x 1 3;
então, P(0) 5 (0 2 2)(2 2 1) ? Q(0) 2 0 1 3,
ou seja, P(0) 5 2 ? Q(0) 1 3.
Logo, 2 ? Q(0) 1 3 5 8  Q(0) 5 5 .
2
Portanto, o termo independente de Q(x) é 5 .
2
p. 78
36 (Unifor-CE) Sejam os polinômios f(x) 5 (3a 1 2)x 1 2 e g(x) 5 2ax 2 3a 1 1 nos quais a é uma
constante. O polinômio f ? g terá grau 2 se, e somente se:
a) a  0 e a  1
c) a  0
3
b) a  1 e a  2 2
d) a  2 2
3
3
3
Resolução:
O polinômio f ? g terá grau 2 se: (3a 1 2) ? 2a  0.
6a 2 1 4a  0 ⇒ 2a(3a 1 2)  0
2a  0
3a 1 2  0
a 0
a 22
3
11
e) a  0 e a  2 2
3
37 (Unicamp-SP) O polinômio P(x) 5 ax3 1 bx2 1 cx 1 2 satisfaz as seguintes condições:
P(21) 5 0

, qualquer que seja x real. Então:
e
P(x) 2 P(2 x) 5 x 3

a) P(1) 5 21
b) P(1) 5 0
c) P(2) 5 0
d) P(2) 5 28
e) P(2) 5 12
Resolução:
P(21) 5 0 ⇒ P(21) 5 a ? (21)3 1 b ? (21)2 1 c ? (21) 1 2 5 0 ⇒ 2a 1 b 2 c 5 2 2
P(x) 2 P(2x) 5 x 3 ⇒ (ax 3 1 bx 2 1 cx 1 2) 2 [a ? (2x)3 1 b ? (2x)2 1 c ? (2x) 1 2] 5 x 3 ⇒
⇒ ax 3 1 bx 2 1 cx 1 2 1 ax 3 2 bx 2 1 cx 2 2 5 x 3 ⇒
2a 5 1 ⇒ a 5 1

2
⇒ 2ax 3 1 2cx 5 x 3 ⇒ 
2c 5 0 ⇒ c 5 0
2 1 1 b 2 0 5 22 ⇒ b 5 22 1 1 5 2 3
2
2
2
1
3
3
2
Logo, P(x) 5 x 2 x 1 2. Então:
2
2
1
3
P(1) 5
2
1251
2
2
P(2) 5 1 ? 8 2 3 ? 4 1 2 5 4 2 6 1 2 5 0 ⇒ P(2) 5 0
2
2
()
38 (FGV-SP) Sendo P(x) 5 4x6 1 2x5 2 2x4 1 x3 1 ax2 1 bx 1  e G(x) 5 2x3 1 x2 2 2x 1 1, determine
os valores de a, b e  que tornam P(x) divisível por G(x) e também o polinômio Q(x), quociente da divisão de
P(x) por G(x). a 5 23; b 5 3;  5 21 e Q(x) 5 2x3 1 x 2 1
Resolução:
4x 6 1 2x 5 2 2x 4 1 x 3 1 ax 2 1 bx 1 
2x 3 1 x 2 2 2x 1 1
24x 6 2 2x 5 1 4x 4 2 2x 3
2x 3 1 x 2 1 5 Q(x)
2x 4 2 x 3 1 ax 2 1 bx 1 
22x 4 2 x 3 1 2x 2 2 x
22x 3 1 (a 1 2)x 2 1 (b 2 1)x 1 
2x 3 1
x2 2
2x 1 1
(a 1 3)x 2 1 (b 2 3)x 1  1 1
Se P(x) é divisível por G(x), o resto é zero; logo:
a 13 50
b23 50
1150
a 5 23
b53
 5 21
39 (MACK-SP) Se P(x) = 2x2 1 kx 1 2 é divisível por x 1 2, então 2k vale:
a) 32
b) 16
c) 8
d) 64
e) 4
Resolução:
Se P(x) é divisível por x 1 2, então P(22) 5 0:
2 ? (22)2 1 k ? (22) 1 2 5 0 ⇒ 8 2 2k 1 2 5 0 ⇒ k 5 5, daí: 2k 5 25 5 32.
12
40 (UFU-MG) Considere o polinômio P(x) 5 3x3 2 x2 1 ax 1 9, em que a é uma constante real. Se P(x)
é divisível por x 1 3, então ele também é divisível por:
c) 3x2 1 10x 2 3
a) x2 1 9
d) 3x2 1 10x 1 3
b) x2 2 9
e) 3x2 2 9
Resolução:
Se P(x) é divisível por x 1 3, P(23) 5 0:
P(23) 5 3 ? (23)3 2 (23)2 1 a ? (23) 1 9 5 0 ⇒ 2 81 2 9 2 3a 1 9 5 0 ⇒ a 5 2 27
P(x) 5 3x 3 2 x 2 2 27x 1 9
3x 2 2 10x 1 3 5 0
3x 3 2 x 2 2 27x 1 9 x 1 3
D 5 100 2 36
23x 3 2 9x 2
3x 2 2 10x 1 3
D 5 64
210x 2 2 27x 1 9
x 53
10x 2 1 30x
10  8
x 5
5
3x 1 9
6
23x 2 9
x 5 1
3
0
10
2
 3 x 2
x 1 1 5 3(x 2 3) x 2 1
3
3
Portanto, P(x) é diviisível por 3(x
1 3)(x
2�
3) x 2 1 .
���
���
3
(x2 2 9)
P(x) é divisível por x 2 2 9.
(
)
)
(
(
)
41 (MACK-SP) Se o polinômio P(x) 5 x3 1 3x2 1 a 2 2b é divisível por (x 2 a)2 ? (x 2 b), então o
produto dos números reais a e b é:
a) 22
b) 4
c) 23
d) 2
e) 3
Resolução:
Se P(x) é divisível por (x 2 a)2 ? (x 2 b), suas raízes são a, a e b. Aplicando as relações de Girard, temos:
a 1 a 1 b 5 2 3
2a 1 b 5 23 ⇒ b 5 2 3 2 2a

 2
a ? a 1 a ? b 1 a ? b 5 0 ⇒ a 1 2ab 5 0
a 2b 5 2a 1 2b
a 2b 5 2a 1 2b


Substituindo na segunda equação, teremos:
a 2 1 2a(23 2 2a) 5 0 ⇒ a 2 2 6a 2 4a 2 5 0 ⇒
⇒ 23a 2 2 6a 5 0 ⇒ 23a(a 1 2) 5 0 ⇒ a 5 0 ou a 5 2 2
 a 5 22
Como b 5 23 2 2a, teremos: b 5 2 3 2 2 ? (22) ⇒ b 5 1.
O produto a ? b será (22) ? 1, ou seja, 22.
13
42 (UA-AM) Se o polinômio P(x) 5 x3 1 2x2 1 mx 1 n é divisível por H(x) 5 x2 1 x 1 1, então o valor
de m 1 m é:
a) 1
b) 2
c) 3
d) 5
e) 8
Resolução:
Se P(x) é divisível por H(x), o reesto da divisão é igual a zero, logo:
x 3 1 2x 2 1 mx 1 n
x2 1 x 1 1
2x 3 2 x 2 2 x
x 11
2
x 1 (m 2 1)x 1 n
2x 2 2 x 2 1
(m 2 2)x 1 n 2 1
Então: m 2 2 5 0
m52
e
n 2150
n 51
Portanto, m 1 n 5 2 1 1 5 3.
43 (FGV-SP) O gráfico representa a função polinomial
P(x) 5 x 2 2x 2 49x 1 98.
Sendo r, s, t e 2 as únicas intersecções do gráfico com os eixos,
o valor de r é:
st
a) 25
c) 23
e) 21
d)22
b) 24
3
y
2
r
s
0
2
t
Resolução:
Do gráfico, s, 2 e t são raízes de P(x).
P(0) 5 03 2 2 ? 02 2 49 ? 0 1 98 5 98 5 r
Por uma das relações de Girard: s ? 2 ? t 5 2 r ⇒ r 5 22.
1
s ? t
44 (Unifesp-SP) Dividindo-se os polinômios p1(x) e p2(x) por x 2 2, obtêm-se, respectivamente, r1 e r2
como restos.
y
y � ax2 � bx � c
0
3
5
x
Sabendo-se que r1 e r2 são os zeros da função quadrática
y 5 ax2 1 bx 1 c, conforme o gráfico, o resto da divisão do
polinômio produto p1(x) ? p2(x) por x 2 2 é:
a) 3
c) 8
e) 21
b) 5
d) 15
Resolução:
Sendo r1 e r2 os zeros da função, e sabendo que a abscissa do vértice da parábola é 5, temos:
r1 1 r2
5 5 ⇒ r2 5 7
2
Desse modo, podemos afirmar que r1 5 p1(2) 5 3 e r2 5 p2(2) 5 7, e também que o resto da divisão
de p1(x) ? p2(x) por x 2 2 será p1(2) ? p2(2) 5 3 ? 7 5 21.
14
x
45 (MACK-SP) ax 4 1 5x 2 2 ax 1 4 x 2 2 4
Q(x)
r(x)
Considerando o resto r(x) e o quociente Q(x) da divisão acima, se r(4) 5 0, Q(1) vale:
e) 2
a) 1
c) 25
d) 24
b) 23
Resolução:
Efetuando a divisão, encontraremoss:
ax 4 1 5x 2 2 ax 1 4
x2 2 4
2ax 4 1 4ax 2
ax 2 1 (5 1 4a)
(5 1 4a)x 2 2 ax 1 4
2(5 1 4a)x 2 1 4(5 1 4a)
2ax 1 24 1 16a
Se r(4) 5 0, temos: 2a ? 4 1 24 1 16a 5 0 ⇒ 12a 5 224 ⇒ a 5 2 2
Assim: Q(x) 5 2 2x 2 2 3, então Q(1) 5 22 ? 13 2 3 5 2 5.
46 (IBMEC) Um polinômio de 7o grau p(x), com coeficientes reais, é divisível pelos polinômios
q(x) 5 2x2 2 9 e r(x) 5 x2 1 3x 1 4. Se n é o número de raízes reais do polinômio p(x), então:
c) 2 < n < 4
e) n > 5
a) n 5 3 ou n 5 5
d) n < 3
b) n 5 4 ou n 5 6
Resolução:
p(x) é divisível por q(x) (de grau 2), r(x) (de grau 2) e por s(x) de grau 3; q(x) tem duas raízes reais;
r(x) não tem raízes reais (D , 0), apenas complexas e s(x) pode ter uma ou três raízes reais, pois o
número de raízes complexas é sempre par (Teorema das Raízes Complexas).
Assim, p(x) pode ter 3 raízes reais (se s(x) tiver apenas uma) ou 5 raízes reais (se s(x) tiver três raízes).
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47 (MACK-SP) Se as três raízes reais, não necessariamente distintas, do polinômio
p(x) 5 x3 2 a3x2 1 ax 2 1, a  IR, formam uma progressão geométrica, então o valor de a 2 a3 é:
c) 0
e) 2
a) 22
d) 1
b) 21
Resolução:
Se as três raízes do polinômio esttão em PG, podem ser escritas na forma x , x, x ? q, onde q é a
q
razão da PG.
22
( 1)
Por uma das relações de Girard, temos x ? x ? x ? q 5
; logo, x 3 5 1 ou x 5 1.
q
1
Como 1 é uma das raízes do polinômio p(x), então p(1) 5 0, desse modo:
13 2 a 3 ? 12 1 a ? 1 2 1 5 0 ⇒ 2a 3 1 a 5 0 ⇒ a 2 a 3 5 0
48 (ITA-SP) Seja p um polinômio com coeficientes reais, de grau 7, que admite 1 2 i como raiz de
multiplicidade 2. Sabe-se que a soma e o produto de todas as raízes de p são, respectivamente, 10 e 240.
Sendo afirmado que três raízes de p são reais e distintas e formam uma progressão aritmética, então, tais
raízes são:
a) 3 2 193 , 3, 3 1 193
2
6
2
6
b) 2 2 4 3 , 2, 2 1 4 3
c) 24, 2, 8
e) 21, 2, 5
d) 22, 3, 8
Resolução:
Se p admite 1 2 i como raiz dupla, também admitirá (como raiz dupla) o número 1 1 i (Teorema
das Raízes Complexas). Se as três raízes reais restantes formam uma PA, podem ser escritas na forma
x 2 r, x, x 1 r, em que r é a razão da PA.
Sabendo que a soma de todas as raízes é 10, temos:
(1 1 i) 1 (1 1 i) 1 (1 2 i) 1 (1 2 i) 1 (x 2 r) 1 x 1 (x 1 r) 5 10 ⇒ 4 1 3x 5 10 ⇒ x 5 2
Sabendo também que o produto de todas as raízes é 240, temos:
(1 1 i)2 ? (1 2 i)2 ? (2 2 r) ? 2 ? (2 1 r) 5 240 ⇒ (2i) ? (22i) ? (4 2 r2) ? 2 5 240 ⇒
⇒ 4 2 r2 5 25 ⇒ 2r2 5 29 ⇒ r 5 3
As raízes do polinômio são: 21, 2 e 5.
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