Matemática 2
Pedro Paulo
GEOMETRIA PLANA XV
Se
1 – POTÊNCIA DE PONTO
secante
é um ponto exterior, traçando uma reta
e uma tangente
que passam por :
Sejam
um ponto interior ou exterior a uma
circunferência e uma reta que passa por e corta a
circunferência nos pontos e . A potência do ponto
é
, que não depende dos pontos e .
Esse conceito está ilustrado nas figuras abaixo:
1.1 – Potência de ponto interior
e
Se é um ponto interior, traçando duas cordas
que passam por :
Figura 3 – potência de ponto exterior (secante e tangnte)
2 – CIRCUNFERÊNCIAS TANGENTES
Além da tangência entre reta e circunferência
há também o caso de tangência entre duas
circunferência. É bem simples. Oberve a figura abaixo:
Figura 1 – potência de ponto interior
1.2 – Potência de ponto exterior
Se
secantes
é um ponto exterior, traçando duas retas
e
que passam por :
Figura 4 – circunferências tangentes externas (à esquerda);
circunferências tangentes internas (à direita);
Nos dois casos, é o centro da circunferência
maior,
é o centro da circunferência maior e
é o
ponto de tangência. Então o raio da circunferência
maior é
e o raio da menor é
Os centros
e
sempre são colineares!
Figura 2 – potência de ponto exterior (secante e secante)
Observação: Se a reta
fosse tangente à
circunferência (em vez de secante), os pontos
e
seriam coincidentes (pois a reta tangente só corta a
circunferência em um único ponto). Isso está ilustrado
na figura a seguir:
CASD Vestibulares
e o ponto de tangência
No primeiro caso, a distância
centros é:
entre os
No segundo caso, a distância
centros é:
entre os
Logo, a distância entre os centros é a soma
dos raios (se as circunferências são tangentes
externas) e é a diferença dos raios (se as
circunferências são tangentes internas).
Geometria
1
EXERCÍCIOS PROPOSTOS
Nível I
1. (UNESP - 14) Em um plano horizontal encontram-se
representadas uma circunferência e as cordas
e
. Nas condições apresentadas na figura, determine
o valor de .
2. (UFSC - 13) Em um centro de eventos na cidade de
Madri, encontra-se um mural de Joan Miró (1893-1983)
confeccionado pelo ceramista Artigas. O mural está
colocado no alto da parede frontal externa do prédio e
tem
de comprimento por
de altura. A borda
inferior do mural está
acima do nível do olho de
uma pessoa. A que distância da parede deve ficar essa
pessoa para ter a melhor visão do mural, no sentido de
que o ângulo vertical que subtende o mural, a partir de
seu olho, seja o maior possível? O matemático
Regiomontanus propôs um problema semelhante em
1471 e o problema foi resolvido da seguinte maneira:
7. (EPCAR (AFA) - 11) Na figura abaixo, têm-se quatro
círculos congruentes de centros , ,
e
e de
raio igual a
. Os pontos , , , são pontos de
tangência entre os círculos e , , , , , , , são
pontos de tangência entre os círculos e a correia que
os contorna.
Sabendo-se que essa correia é inextensível, seu
perímetro, em cm, é igual a
a) (
)
b) (
)
(
c)
)
d) (
)
8. (UFC - 02) A figura a seguir mostra quatro rodas
circulares, tangentes duas a duas, todas de mesmo
raio
e circundadas por uma correia ajustada.
Determine o comprimento da correia, em termos de .
Obs.: despreze a espessura da correia.
Imagine uma circunferência passando pelo olho
do
observador e por dois pontos
e , verticalmente
dispostos nas bordas superior e inferior do mural. O
ângulo α será máximo quando esta circunferência for
tangente à linha do nível do olho, que é perpendicular
à parede onde se encontra o mural, como mostra a
figura. Com estas informações, calcule a que distância
da parede deve ficar o observador para ter a
melhor visão do mural de Joan.
9. (UERJ - 14)
Uma máquina possui duas
engrenagens circulares, sendo a distância entre seus
centros e igual a
como mostra o esquema:
3. Atividade Proposta nº 4, Geometria Plana XIII
4. Atividade Proposta nº 5, Geometria Plana XIII
5. Atividade Proposta nº 2, Geometria Plana XIII
6. (ITA - 06) Seja E um ponto externo a uma
circunferência. Os segmentos
e
interceptam
essa circunferência nos pontos
e , e,
e ,
respectivamente. A corda
da circunferência
intercepta o segmento
no ponto . Se
,
,
,
e
, então
vale
a)
2
b)
c)
d)
e)
Sabe-se que a engrenagem menor dá
voltas no
mesmo tempo em que a maior dá
voltas, e que os
comprimentos dos dentes de ambas têm valores
desprezíveis.
A medida, em centímetros, do raio da engrenagem
menor equivale a:
a)
Geometria
b)
c)
d)
CASD Vestibulares
Nível II
10. Atividade Proposta nº 7, Geometria Plana XIII
11. (UESPI - 12) Uma circunferência de raio
é
tangente externamente a duas circunferências de raio
, com
. As três circunferências são tangentes à
mesma reta, como ilustrado a seguir. Qual a distância
entre os centros das circunferências de raio ?
a) √
b) √
c) √
d) √
e) √
12. (FUVEST – 01) Um lenhador empilhou troncos de
madeira num caminhão de largura
, conforme a
figura abaixo. Cada tronco é um cilindro reto, cujo raio
da base mede
. Logo, a altura , em metros, é:
a)
√
√
b)
√
c)
√
d)
a)
, o valor de
b)
c)
a) o comprimento
;
b) a área do quadrilátero
c) a área do triângulo
;
.
19. (UFES - 07) A carroceria de um caminhão tem a
forma de um retângulo de dimensões
.
Deseja-se transportar duas peças circulares de
diâmetro
e duas peças circulares menores de
mesmo diâmetro, sem sobreposição.
a) Determine o maior diâmetro das peças menores que
podem ser transportadas na carroceria do caminhão e
acomodadas conforme a figura 1.
b) Sabendo que o motorista do caminhão decidiu
rearrumar as peças maiores conforme a figura 2,
determine o maior diâmetro das peças menores que
podem ser transportadas.
√
e)
13. (UNESP - 04) A figura mostra duas circuferências
de raios
e
, tangentes entre si e tangentes à
reta . e são os centros das circunferências.
Se
18. (FUVEST - 11) As circunferências
e
estão
centradas em
e
, têm raios
e
,
respectivamente, e tangenciam-se externamente. Uma
reta é tangente a
no ponto , tangente a
no
ponto
e intercepta a reta
no ponto . Sendo
assim, determine
20. (FUVEST - 08) O círculo , de raio , está inscrito
no triângulo equilátero
. Um círculo de raio está
no interior do triângulo
e é tangente externamente
a e a dois lados de um triângulo, conforme a figura.
é:
d)
e)
Assim, determine
14. Atividade para Sala nº 1, Geometria Plana XIII
a) a razão entre e
b) a área do triângulo
15. Atividade para Sala nº 2, Geometria Plana XIII
21. (ITA – 07) Seja
uma circunferência de raio
inscrita num triângulo equilátero de altura . Seja
uma segunda circunferência, de raio , que tangencia
dois lados do triângulo internamente e
)
externamente. Calcule (
16. Atividade Proposta nº 8, Geometria Plana XIII
17. Atividade Proposta nº 6, Geometria Plana XIII
CASD Vestibulares
Geometria
em função de
3
6. A figura do problema é a seguinte:
DICAS E FATOS QUE AJUDAM
1 .Por potência de ponto, tem-se:
(
)
(
)
2.
Por potência de ponto, tem-se:
3. Seja
o ponto diferente de
em que a reta
corta a circunferência. Então, por potência de ponto:
Usando potência de ponto no ponto , tem-se:
Seja
o raio da circunferência. Então:
Usando potência de ponto no ponto , tem-se:
4.
é ponto médio de
e
Seja o ponto diferente de em que a reta
circunferência. Então, por potência de ponto:
√
√
√
Seja
7. Como as circunferências são tangentes externas
duas a duas, a distância entre os centros vizinhos é a
soma dos raios. Assim:
√
√
√
corta a
√
√
Logo,
. Além disso, cada
um dos arcos ̂ , ̂ , ̂ e ̂ vale um quarto de uma
circunferência de raio
. Logo a soma dos quatro
arcos é uma circunferência completa de raio
:
̂
̂̂
̂
o raio da circunferência. Então:
O perímetro da correia é:
√
√
√
̂
8. Como as circunferências são tangentes externas
duas a duas, a distância entre os centros vizinhos é a
soma dos raios, que é
. Logo, cada um dos
segmentos retos da correia tem comprimento .
̂
Aplicando Pitágoras no triângulo retângulo
:
√
Além disso, cada um dos arcos da correia vale um
quarto de uma circunferência de raio . Logo a soma
dos quatro arcos é uma circunferência completa de raio
e comprimento
O comprimento da correia é:
Por potência de ponto, tem-se:
√
4
̂
√
5.
Como é uma reta tangente,
̂̂
( segmentos retos)
( arcos)
√
Geometria
CASD Vestibulares
9. Sejam
e
os raios das engrenagens. Como
elas são tangentes externas, a distância entre os
centros vizinhos é a soma dos raios, logo
12. A figura do problema é a seguinte:
Como as engrenagens são tangentes, elas têm a
mesma velocidade linear. Logo, tem-se:
(
(
10. Sejam
)
e
)
(
)
Sejam , ,
os centros das circunferências,
a
altura relativa ao lado
, e os pontos em que a
reta
corta o retângulo e e os pontos em que a
reta
corta o retângulo.
Como a circunferência do meio é tangente externa às
outras duas,
. Então, tem-se:
Usando Pitágoras no triângulo retângulo
:
Como
altura
, o triângulo
é isósceles. Assim, a
também é mediana. Logo:
Usando potência de ponto no ponto :
(
)
(
)(
)
(
)
Usando Pitágoras no triângulo retângulo
:
√
( )
11. A figura do problema é a seguinte:
√
13. A figura do problema é a seguinte:
Sejam o centro da circunferência maior, o centro
da circunferência menor da esquerda,
o ponto em
que a reta tangencia a circunferência da esquerda, o
ponto em que a reta tangencia a circunferência maior e
o ponto de
tal que
é perpendicular a
.
Como as duas circunferências são tangentes externas,
tem-se que
Usando Pitágoras no triângulo retângulo
Seja
o ponto de
tal que ̂
. Como é
̂
tangente à circunferência maior,
. Como
̂
̂ ,
̂
é paralelo a
, logo ̂
:
No triângulo retângulo
(
(
)
(
)
)
(
, tem-se:
̂
)
√
Note que a distância
circunferências de raio é
CASD Vestibulares
entre
os
centros
das
Geometria
5
14. Seja
o centro do circulo interno e do círculo
externo, e
os centros dos quatro círculos
médios. Seja
o raio dos círculos médios. Note que
é um quadrado de lado
e centro
Usando Pitágoras no triângulo retângulo
(
(
)
)
:
(
)
√
(√
√
(√
Note que
e
são dois triângulos equiláteros
de lado
(que é a distância entre os centros). A
altura de cada um desses triângulos é
√
)
√
√
√
Note que o comprimento do retângulo é a soma dos
diâmetros dos círculos de centro , , , , , e .
Logo, o comprimento do retângulo é
√
√
)(√
(√
)
)
15. Sejam
e
os centros das semicircunferências
menores e o centro da circunferência. Note que
e
são os diâmetros das semicircunferências.
Seja o raio das semicircunferências menores.
Então:
Como o raio da circunferência maior é , tem-se:
Usando Pitágoras no triângulo retângulo
(
)
( )
√
Note que a altura do retângulo é a soma do raio do
círculo de centro (que é ) com a altura do triângulo
(que é ) com a altura do triângulo
(que é )
como raio do círculo de centro (que é ).
Logo a altura do retângulo é
ou seja, a altura é
√
,
18. a) A figura do problema é a seguinte:
:
(
)
(
)
√
)
(√
O raio do círculo externo é
(
17. Sejam , , , , , e os centros dos círculos
da fileira de baixo (da esquerda para a direita), , , ,
, e
os centros dos círculosda fileira do meio da
esquerda para a direita) e , , , , ,
e
os
centros dos círcullos da fileira de cima (da esquerda
para a direita). O diâmetro de cada círculo é .
)
Seja o ponto de
tal que
. Como as
circunferências tangenciam-se externamente, tem-se:
16. Seja o centro da circunferência maior, e
centros das três circunferências internas. Então
um triângulo equilátero de lado
e centro .
os
é
Como as circunfências internas são tangentes internas
à circunferência maior,
. Além disso,
éo
raio da circunferência circunscrita ao triângulo
.
Então, como vimos na lista “Geometria Plana X”:
√
(
√
6
√
)
√
√
)
o comprimento
.
Usando Pitágoras no triângulo retângulo
:
b) Como
, o quadrilátero
trapézio de base menor
e altura
√
( √
Seja
(
)
(
é um
, base maior
)
√
Geometria
CASD Vestibulares
c) Como
, os triângulos
semelhantes. Como
e
são
b) A figura do problema é a seguinte:
:
19. Como as peças circulares maiores têm um
diâmetro de
, elas têm um raio de
. Seja o
raio e o diâmetro de cada peça circular menor.
Sejam o centro da peça maior à esquerda, o centro
da peça menor de baixo,
o ponto em que a peça
maior à esquerda tangencia o lado esquerdo do
retângulo, o ponto em que a peça maior à esquerda
tangencia o lado de baixo do retângulo, o ponto em
que a peça menor de baixo tangencia o retângulo e o
ponto de
tal que ̂
. Então, tem-se:
a) A figura do problema é a seguinte:
Usando Pitágoras no triângulo retângulo
(
(
Sejam
o ponto em que a peça maior à esquerda
tangencia o lado esquerdo do retângulo, o centro da
peça maior à direita,
o centro da peça menor de
cima,
o ponto em que a peça maior à direita
tangencia o retângulo, e os pontos em que a peça
menor de cima tangencia o o retângulo e o ponto de
tal que ̂
. Então, tem-se:
(
)
(
(
)
(
)
)
(
)
√
Pelo enunciado, o comprimento do retângulo é
,
logo a sua metade vale
. E o comprimento de
metade do retângulo é
. Logo:
√
√
√
Usando Pitágoras no triângulo retângulo
)
:
(√
:
)
√
(
)
)
(
)
√
Pelo enunciado, o comprimento do retângulo é
.E
o comprimento do retângulo é
. Logo:
√
√
(√
√
)
(
)
ou
Como
CASD Vestibulares
,
.
Geometria
7
20. a) A figura do problema é a seguinte:
GABARITO
1. O valor de
2. A distância
é
é
3. E
4. C
5. B
Sejam
o centro do círculo maior,
o centro do
círculo menor,
o ponto em que o círculo maior
tangencia
,
o ponto em que o círculo maior
tangencia
e
o ponto de
tal que ̂
.
Então, tem-se:
6. D
7. C
(
8. O comprimento da correia é
)
9. B
é o centro do círculo inscrito no triângulo
, logo
é o incentro (que é o encontro das bissetrizes) do
triângulo
. Assim,
é bissetriz de ̂ . Logo:
11. A
̂
̂
10. C
̂
̂
é paralelo a
̂
̂
12. E
̂
13. B
14. A
̂
15. D
(
)
16. D
17. A
b) Seja o lado do triângulo equilátero. Então, como
vimos na lista “Geometria Plana X”:
√
√
18. a) O comprimento
é
b) A área do quadrilátero
√
é
√
c) A área do triângulo
√
√
√
A área do triângulo equilátero
√
( √
) √
19. a) O maior diâmetro das peças menores que
podem ser transportadas na carroceria do caminhão e
acomodadas conforme a figura 1 é
é:
√
é
19. b) O maior diâmetro das peças menores que
podem ser transportadas na carroceria do caminhão e
√
acomodadas conforme a figura 2 é
21. A figura é exatamente a mesma da questão
anterior (é só trocar por
e por )! Pelo mesmo
raciocpinio usado acima para a questão 20a), tem-se
que
20. a) A razão entre
e
20. b) A área do triÂngulo
Note na figura 2 da lista “Geometria Plana X” que a
altura do triângulo equilátero é o triplo do raio do
círculo inscrito, logo
8
21. A razão
Geometria
é
é
√
é
CASD Vestibulares