Modulares
Matemática
Apostila
Pedro Evaristo
CAPÍTULO 01
CONJUNTO DOS NÚMEROS
R
Q
N
I
Z
R – Reais
I – Irracionais
Q – Racionais
Z – Inteiros
N – Naturais
NATURAIS
N = {0, 1, 2, 3, 4, ...}
N* = N – {0}
INTEIROS
Z = {..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ...}
Z* = Z – {0} = {..., -3, -2, -1, 1, 2, 3, ...} (inteiros não nulos)
Z+ = (0, 1, 2, 3, 4, ...} (inteiros não negativos)
Z - = {..., -3, -2, -1, 0} (inteiros não positivos)
MÚLTIPLOS NATURAIS
Denominamos múltiplo de um número o produto desse número por um número
natural qualquer. Dessa forma, para obter todos os múltiplos naturais de um número
N, basta multiplicar N por todos os naturais.
EXEMPLOS:
Como os múltiplos de um número são calculados multiplicando-se esse número
pelos números naturais, então os múltiplos de 7 são:
7x0 , 7x1, 7x2 , 7x3 , 7x4 , ... = 0 , 7 , 14 , 21 , 28 , ...
EXEMPLOS:
 M(2) = {0, 2, 4, 6, 8, 10, 12, ...}
 M(3) = {0, 3, 6, 9, 12, 15, ...}
 M(5) = {0, 5, 10, 15, 20, ...}
LINK:
Importante!
 Um número tem infinitos múltiplos.
 Zero é múltiplo de qualquer número natural.
 Existem também os múltiplos negativos (não naturais)
DIVISORES NATURAIS
Um número natural é divisor de outro quando o resto da divisão for igual a 0, ou
seja, quando um número natural N for dividido por qualquer de seus divisores, o
resultado dessa divisão terá que ser inteiro.
EXEMPLOS:
 D(12) = {1, 2, 3, 4, 6, 12}
 D(20) = {1, 2, 4, 5, 10, 20}
 M(35) = {1, 5, 7, 35}
LINK:
Entende a diferença entre “divisível”, “divisor” e
“múltiplo”?
É importante entender essas nomenclaturas! Observe que:
 se 15 é divisível por 3, então 3 é divisor de 15, ou
seja, 15 é múltiplo de 3.
 se 28 é divisível por 7, então 7 é divisor de 28, ou
seja, 28 é múltiplo de 7.
PRIMOS
Um número natural é dito primo quando possui apenas dois divisores naturais
distintos, onde um deles é o 1 e outro é ele mesmo.
LINK:
OS 40 PRIMEIROS NOS PRIMOS
2
3
5
7
11 13 17 19 23 29
31 37 41 43 47 53 59 61 67 71
73 79 83 89 97 101 103 107 109 113
127 131 137 139 149 151 157 163 167 173
LINK:
Interessante!
 Se um número maior que dez terminar em
{0, 2, 4, 5, 6, 8}, então não será primo.
 Se um número maior que dez for primo,
então terminará em {1, 3, 7, 9}.
PRIMOS ENTRE SI
Dois números inteiros A e B são ditos primos entre si quando seu maior divisor comum
é o número 1, ou ainda, o m.d.c.(A, B) = 1 e o m.m.c.(A, B) = A.B. Sendo assim, A/B é
sempre uma fração irredutível.
EXEMPLO:
Os números 14 e 45 são primos entre si, pois o maior divisor comum entre eles é 1,
uma vez que o 14 é divisível pelos primos 2 e 7, enquanto o que o 45 só é divisível
pelos primos 3 e 5. Dessa forma, a fração 14/45 será irredutível.
LINK:
Dois números consecutivos N e N+1, sempre serão primos
entre si.
REGRAS DE DIVISIBILIDADE
2
N = ABCD
Basta que o número seja par
Se D é par então N  M(2)
3
o
A soma dos algarismos é um n divisível por 3
N = ABCD
Se (A+B+C+D)/3  Z então N  M(3)
o
4
Os dois últimos algarismos formam um n divisível por 4
5
Termina em 0 ou 5
6
O número satisfaz a regra do 2 e do 3
7
Separa-se o algarismo das unidades do restante, então a diferença entre esse número e
o dobro do algarismo das unidades, tem que ser divisível por 7.
8
a por 8
Os três últimos algarismos formam um no divisível
9
eb
A soma dos algarismos é um no divisível por 9
N = ABCD
Se CD/4  Z então N  M(4)
N = ABCD
Se D = 0 ou 5 então N  M(5)
N = ABCD
Se N M(2) e N M(3) então N  M(6)
N = ABCD
Se (ABC–2D)/7  Z então N  M(7)
a
10
Termina em 0
11
ra
A diferença entre as somas dos algarismos de ordem ímpar e de ordem par (ou somar e
subtrair os algarismos alternadamente) resulta em um no div. por 11.
da
12
O número satisfaz a regra do 4 e do 3
15
O número satisfaz a regra do 5 e do 3
25
Termina sempre em 00, 25, 50 e 75
b
pb
N = ABCD
Se BCD/8  Z então N  M(8)
N = ABCD
Se (A+B+C+D)/9  Z então N  M(9)
N = ABCD
Se D = 0 então N  M(10)
N = ABCD
Se (A–B+C–D)/11  Z então N  M(11)
N = ABCD
Se N M(3) e N M(4) então N  M(12)
ob
N = ABCD
a2
Se N M(3) e N M(5) então N  M(15)
N = ABCD
a3
s4
s5
e6
a8
e9
10
u11
12
u15
Se AB/25  Z então N  M(25)
EXEMPLO:
Verifique se o número N = 27720 é divisível pelos naturais de 2 a 12.
SOLUÇÃO:
 Como 27720 é par, então ele é divisível por 2;
 A soma dos algarismos é 2+7+7+2+0 = 18. Como 18 é divisível por 3, N também é
divisível por 3;
 Os dois últimos algarismos formam o número 20, que é divisível por 4, logo N
também é divisível por 4;
 Como N termina em 0 ele é divisível por 5;
 Como N é múltiplo de 2 e 3, ele será divisível por 6;
 Aplicando a regra do 7, temos 2772  2.0 = 2772, 277  2.2 = 273 e 27  2.3 = 21,
que é divisível por 7;
 Os três últimos algarismos formam o número 720, que é divisível por 8, logo N
também é divisível por 8;
 A soma dos algarismos é 18. Como 18 é divisível por 9, N também é divisível por
9;
 Como N termina em 0 ele é divisível por 10;
 Somando os algarismos alternando o sinal temos 27+72+0 = 0, que é divisível
por 11;
 Como N é múltiplo de 3 e 4, ele será divisível por 12.
INTERVALOS
No conjunto dos números reais, definem-se alguns subconjuntos chamados de
intervalos, sejam a e b reais a < b temos:
SUBCONJUNTO
REPRESENTAÇÃO NA
NOTAÇÃO DE
NOMENCLATURA
DE R
RETA REAL
INTERVALO
{x  R/ axb}
a
{x  R/ a<x<b}
a
{x  R/ ax<b}
{x  R/a<x b}
{x  R/ x  a}
b
Intervalo fechado
de extremos a e b
[a; b]
b
Intervalo aberto de
extremos a e b
]a; b[
a
b
a
b
a
{x  R/ x > a}
a
{x  R/ x  b}
b
{x  R/ x < b}
b
Intervalo fechado
à esquerda e
aberto à direita:
seus extremos são
aeb
Intervalo aberto à
esquerda e
fechado à direita:
seus extremos são
aeb
[a; + [
Intervalo infinito
]a; + [
Intervalo infinito
]- ; b]
Intervalo infinito
]- ; b[
IMPORTANTE!
Número de páginas de um livro, para os seguintes
intervalos:

De 30 à 40  11 páginas (40 – 30 + 1 ou 40 – 29, inclui
os extremos)
Entre 30 e 40  9 páginas (40 – 30 – 1 ou 39 – 30, não
inclui os extremos)
MÍNIMO MÚLTIPLO COMUM (MMC)
]a; b]
Intervalo infinito
LINK:

[a; b[
O menor múltiplo comum de dois ou mais números, diferente de zero, é chamado de
mínimo múltiplo comum desses números. Podemos usar a abreviação m.m.c.
Dois ou mais números naturais sempre
possuem múltiplos comuns a eles.
EXEMPLOS:
Vamos achar os múltiplos comuns de 10 e 15.
 M(10) = {0, 10, 20, 30, 40, 50, 60,...}
 M(15) = {0, 15, 30, 45, 60, 75,...}
 Múltiplos comuns de 10 e 15 = {0, 30, 60, 90,...}
Dentre os múltiplos desses números, percebe-se que o 30 é menor natural positivo
que é múltiplo comum.
Dessa forma, podemos chamar o 30 de mínimo múltiplo comum de 10 e 15, ou seja,
mmc(10, 15) = 30.
CÁLCULO DO M.M.C.
Podemos calcular o m.m.c. de dois ou mais números utilizando a fatoração.
Acompanhe o cálculo do m.m.c. de 12 e 30:
1º) decompomos os números em fatores primos
2º) o m.m.c. é o produto dos fatores primos comuns e não-comuns:



12 = 2 x 2 x 3
30 = 2 x 3 x 5
m.m.c (12,30) = 2 x 2 x 3 x 5
Escrevendo a fatoração dos números na forma de potência, temos:
12 = 22 x 3
30 = 2 x 3 x 5
m.m.c (12,30) = 22 x 3 x 5
O m.m.c. de dois ou mais números, quando fatorados, é
o produto dos fatores comuns e não-comuns a eles,
cada um elevado ao maior expoente.
PROCESSO DA DECOMPOSIÇÃO SIMULTÂNEA
Neste processo decompomos todos os números ao mesmo tempo,
num dispositivo como mostra a figura ao lado, onde dividimos os
números por um mesmo número primo até que pelo menos um deles
possa ser dividido. O produto dos fatores primos que obtemos nessa
decomposição é o m.m.c. desses números. Ao lado vemos o cálculo
do m.m.c.(15,24,60).
Portanto, m.m.c.(15,24,60) = 2 x 2 x 2 x 3 x 5 = 120
Dados dois ou mais números, se um deles é múltiplo de
todos os outros, então
ele é o m.m.c. dos números dados.
PROPRIEDADE DO M.M.C.
Entre os números 3, 6 e 30, o número 30 é múltiplo dos outros dois. Neste
caso, 30 é o m.m.c.(3,6,30). Observe:
m.m.c.(3,6,30) = 2 x 3 x 5 = 30
Considerando os números 4 e 15, ques são primos entre si. O m.m.c.(4,15) é igual a 60,
que é o produto de 4 por 15. Observe:
m.m.c.(4,15) = 2 x 2 x 3 x 5 = 60
Dados dois números primos entre si, o m.m.c. deles é o
produto desses números.
MÁXIMO DIVISOR COMUM (MDC)
Dois números naturais sempre têm divisores comuns.
Por exemplo: os divisores comuns de 12 e 18 são 1,2,3 e 6. Dentre eles, 6 é o maior.
Então chamamos o 6 de máximo divisor comum de 12 e 18 e indicamos m.d.c.(12,18)
= 6.
O maior divisor comum de dois ou mais números é
chamado de máximo divisor comum desses números.
Usamos a abreviação m.d.c.
EXEMPLOS:
Vamos achar os divisores comuns de 30 e 24.
 D(30) = {1, 2, 3, 5, 6, 10, 12, 15, 30}
 D(24) = {1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24}
 Divisores comuns de 30 e 24 = {1, 2, 3, 6}
Dentre os divisores desses números, percebe-se que o 6 é maior natural positivo que
é divisor comum.
Dessa forma, podemos chamar o 6 de máximo múltiplo comum de 30 e 24, ou seja,
mdc(30, 24) = 6.
CÁLCULO DO M.D.C.
Um modo de calcular o m.d.c. de dois ou mais números é utilizar a
decomposição desses números em fatores primos.
1) decompomos os números em fatores primos;
2) o m.d.c. é o produto dos fatores primos comuns.
Acompanhe o cálculo do m.d.c. entre 36 e 90:
36 = 2 x 2 x 3 x 3
90 = 2 x 3 x 3 x 5
O m.d.c. é o produto dos fatores primos comuns => m.d.c.(36,90) = 2 x 3 x 3
Portanto m.d.c.(36,90) = 18.
Escrevendo a fatoração do número na forma de potência temos:
36 = 22 x 32
90 = 2 x 32 x5
Portanto m.d.c.(36,90) = 2 x 32 = 18.
O m.d.c. de dois ou mais números, quando fatorados, é
o produto dos fatores comuns a eles, cada um elevado
ao menor expoente.
PROCESSO DA DECOMPOSIÇÃO SIMULTÂNEA
Esse processo de decomposição funciona de forma semelhante ao 24, 30, 60 2
m.m.c., onde todos os números são decompostos ao mesmo tempo,
12, 15, 30 3
num dispositivo como mostra a figura ao lado. Mas nesse caso, a
divisão só poderá ser feita se todos os números ferem divisíveis ao
4, 5, 10
mesmo tempo por cada um dos números primos. O produto dos fatores primos comuns
que obtemos nessa decomposição é o m.d.c. desses números. Ao lado vemos o
cálculo do m.d.c.(15,24,60).
Portanto, m.d.c.(24,30,60) = 2 x 3 = 6
LINK:
EM UMA QUESTÃO, COMO DIFERENCIAR MMC E MDC?
 Quando a questão remeter a uma situação cíclica, pense
em MMC.
 Quando a questão quiser dividir em partes iguais de
maior tamanho possível, pense em MDC.
RACIONAIS
Os números racionais são aqueles que podem ser escritos na forma de fração.
Q = {x =
p
/ p  Z e q  Z*}
q
LINK:
POR QUE O DENOMINADOR
NÃO PODE SER ZERO?
Observe, ao lado, que quando
isso ocorre, gera uma situação
impossível ou indeterminada.
EXEMPLOS:
 NATURAIS E INTEIROS
Todos os naturais e inteiros podem ser escritos como fração. Afinal, eles
representam divisões exatas.
Ex.:
2
2 10

1 5
0
0 0

1 8
6 
6 30

1
5
81  9 
9 18

1
2
 DECIMAIS
Esse número pode ser escrito na forma fracionária colocando-se o número sem
vírgula sobre 1 seguido de tantos zeros quanto forem as casas decimais, ou seja,
após a virgula.
Ex.:
0,4 
4
10
0,12 
12
100
8,125 
8125
1000
2,25 
225 15

100 10
DEMONSTRAÇÃO
Seja x = 0,12
então
100.x = 12
ou seja
x = 12100
 DÍZIMA PERIÓDICA SIMPLES
Nem toda dízima pode ser escrita em forma de fração, só as periódicas. No caso
das simples, elas possuem apenas uma parte periódica, ou seja, que se repete.
Para transformar em fração, basta escrever o número que se repete, sobre tantos
noves quantos forem os algarismos que se repetem.
Ex.:
0, 4  0,444... 
4
9
0, 12  0,121212 ... 
12
99
0, 125  0,125125125 .... 
125
999
0, 5526  0,5526552655 26.... 
5526
9999
DEMONSTRAÇÃO
Seja
x = 0,222...
então
10x = 2,222...
10x = 2 + 0,222...
10x = 2 + x
9x = 2
Logo
x = 29
Seja
x = 0,212121...
então
100x = 21,212121...
100x
=
21
+
0,212121...
100x = 21 + x
99x = 21
Logo
x = 2199
Seja
x = 0,218218218...
então
1000x
218,218218218...
1000x
=
218
0,218218218...
1000x = 218 + x
999x = 218
Logo
x = 218999
=
+
 DÍZIMA PERIÓDICA COMPOSTAS
No caso das compostas, elas possuem um parte não periódica (que não se repete)
e outra parte periódica (que se repete). Para transformar em uma fração
equivalente você pode escrever a parte não periódica seguida da parte
periódica, menos a parte não periódica, tudo sobre tantos noves quantos forem os
algarismos que se repetem seguidos de tantos zeros quantos forem os algarismos
que estão após a vírgula.
EXEMPLO:
245  24 221

90
90
812  8 804
0,812  0,8121212 ... 

990
990
22  2 20
2, 2  2,222 ... 

9
9
5384  538 4846

900
900
5384  53 5331
5,384  5,3848484 ... 

990
990
5384  5 5379
5, 384  5,384384384 ... 

999
999
2,45  2,4555 ... 
5,38 4  5,38444 ... 
IRRACIONAIS
Como o próprio nome já sugere são aqueles números que não racionais, ou seja,
que não podem ser escritos na forma de fração, tais como as dízimas não
periódicas.
I = {x 
p
/ p  Z e q  Z*} ou I = R – Q
q
EXEMPLOS:
 DÍZIMAS NÃO PERIÓDICAS
Observe que a raiz de um inteiro que não é quadrado perfeito sempre será uma
dízima não periódica.
2 = 1,414213562...
3 = 1,732050807...
5 = 2,236067977...
 = 3,141592658...
REAIS
É o conjunto formado pela reunião de todos os conjuntos racionais e irracionais.
Dessa forma, temos:
R=QI
EXERCÍCIOS
ANOTAÇÕES:
01. Dois fiscais, Pedro e Diego, visitam
uma mesma empresa a cada 30 e 40
dias, respectivamente. Em uma segundafeira ambos estavam nessa empresa
desempenhando seus trabalhos. Em que
dia da semana eles voltarão a se
encontrar?
a) sexta-feira
b) quinta-feira
c) quarta-feira
d) terça-feira
02. Três rolos de tecido: um Azul com 30m,
um Vermelho com 24m e outro Branco
com 18m, devem ser cortados em peças
iguais, com o maior tamanho possível.
Determine o menor número de peças
após o corte.
a) 24 peças com 3m cada
b) 18 peças com 4m cada
c) 15 peças com 5m cada
d) 12 peças com 6m cada
03. Belarmino leu 3/5 de um livro e ainda
faltam 48 páginas para ele terminar de
ler o livro todo. Qual é o número mínimo
de folhas que tem esse livro?
a) 120
b) 80
c) 60
d) 45
04. Sabendo que após Rodolfo gastar 1/3
do seu salário com aluguel, 1/4 do salário
com alimentação e 1/5 do salário com
lazer e transporte, ainda lhe sobrou R$
260,00. Qual o salário de Rodolfo?
a) R$ 1200
b) R$ 1400
c) R$ 1600
d) R$ 1800
05. Ao entrar em uma loja, Sophia gasta 1/3 do que tem na bolsa, ao entrar em uma
segunda loja gasta 1/4 do que lhe restou e finalmente na terceira loja gasta 1/5 do
que ainda tinha, ficando ainda com R$48,00 na bolsa. Determine a quantia que ela
tinha antes de entrar na primeira loja.
a) 120
b) 130
c) 140
d) 150
06. Quantos algarismos um datilógrafo digita para numerar cada uma das 250 páginas
de um livro?
a) 151
b) 250
c) 453
d) 642
07. Um estudante terminou um trabalho
que tinha n páginas. Para numerar todas
essas páginas, iniciando com a página 1,
ele escreveu 270 algarismos. Então
determine o valor de n.
a) 108
b) 126
c) 158
d) 194
08. Em um livro com 380 páginas, quantas
vezes em sua numeração aparece o
dígito 2?
a) 178
b) 138
c) 98
d) 78
09. Em um domingo, Sophia, Lia e
Mariana encontraram-se no shopping.
Sabendo que Sophia vai sempre ao
mesmo shopping de 12 em 12 dias, Lia
vai de 10 em 10 dias e Mariana de 20 em
20 dias, determine em que dia da
semana poderá ocorrer o próximo
encontro.
a) segunda-feira
b) terça-feira
c) quarta-feira
d) quinta-feira
10. Geovane deseja embalar 60 apostilas
de matemática e 24 apostilas de física,
em pacotes com igual quantidade em
cada um e sem misturar as disciplinas.
Determine o maior número de apostilas
que ele pode colocar em cada pacote.
a) 24
b) 16
ANOTAÇÕES:
c) 12
d) 8
11. (FUNRIO) Num saco de bolinhas de gude, Fernando notou que elas poderiam ser
divididas em grupos de 2, ou em grupos de 3, ou em grupos de 4, ou, ainda, em
grupos de 5, sem que houvesse sobras em nenhum desses tipos de divisão. Esse saco
pode conter um número de bolinhas igual a
a) 180
b) 170
c) 160
d) 150
e) 140
12. Um biólogo, estudando espécies migratórias que cruzavam o estado do Ceará,
observava um grupo de centenas de aves que estavam prestes a pousar nos galhos
de uma grande árvore de galhos secos.
Curiosamente, percebeu que se todas as aves pousassem nos galhos da árvore em
grupos de 3, ou de 4, ou de 5, ou de 6, ou de 7 aves em cada galho, sobrariam
sempre uma ave sozinha em um galho.
ANOTAÇÕES:
Dessa forma, determine o número
mínimo de aves desse bando, de forma
a satisfazer a curiosa condição.
a) 420
b) 421
c) 840
d) 841
e) 842
13. Um estudante de direito que gostava
muito de matemática percebeu que
para numerar todas as páginas de seu
volumoso livro a partir do número 1,
seriam
necessários
4893
dígitos.
Determine quantas páginas têm o livro.
a) 1500
b) 1850
c) 2520
d) 2889
14. Nair tem em seu cofre apenas
moedas de 1 centavo, 5 centavos, 10
centavos, 25 centavos e 50 centavos,
todas em quantidades iguais, totalizando
R$15,47.
Nessas
condições,
qual
importância que ela tem em moedas de
25 centavos?
a) 5,75
b) 5,25
c) 4,75
d) 4,25
15. No tempo em que os animais falavam, um gavião sobrevoando um bando de
pombinhas, cumprimentou-as:
- Bom dia, minhas cem pombinhas!
E uma das pombinhas respondeu:
- Cem pombinhas não somos nós, mas com outro tanto de nós, mais a metade de
nós, mais a quarta parte de nós, mais vós, senhor gavião, cem pombinhas seríamos
nós.
Quantas pombinhas havia no bando?
a) 28
b) 32
c) 36
d) 40
GABARITO
01. D 02. D 03. C 04. A 05. A
06. D 07. B 08. A 09. D 10. C
11. A 12. B 13. A 14. D 15. C
DESAFIO
ANOTAÇÕES:
01. Pedro saiu de casa e fez compras em
quatro lojas, cada uma num bairro
diferente. Em cada uma, gastou a
metade do que possuía e, ao sair de
cada uma das lojas pagou R$2,00 de
estacionamento. Se, no final, ainda tinha
R$ 8,00, que quantia tinha Pedro ao sair
de casa?
a) 188
b) 178
c) 168
d) 158
02. (FCC) Certo dia, um técnico judiciário
foi incumbido de digitar um certo
número de páginas de um texto. Ele
executou essa tarefa em 45 minutos,
adotando o seguinte procedimento:
 nos primeiros 15 minutos, digitou a
metade do total das páginas e mais
meia página;
 nos 15 minutos seguintes, a metade
do número de páginas restantes e
mais meia página;
 nos últimos 15 minutos, a metade do
número de páginas restantes e mais
meia página.
Se, dessa forma, ele completou a tarefa,
o total de páginas do texto era um
número compreendido entre
a) 5 e 8
b) 8 e 11
c) 11 e 14
d) 14 e 17
e) 17 e 20
03. A mercearia do “Seu Zé” tinha certa quantidade de ovos em uma cesta. Ana
entrou na mercearia e comprou a metade dos ovos que tinham na cesta e mais meio
ovo. Em seguida, Bruna comprou a metade dos ovos que restaram na cesta e mais
meio ovo. Por fim, Carine comprou a metade dos ovos restantes na cesta e mais meio
ovo. Se ao final restou apenas um ovo na cesta, então podemos afirmar que Ana
comprou:
a) 15 ovos
b) 8 ovos
c) 7 ovos
d) 3 ovos
CAPÍTULO 02
UNIDADES DE MEDIDAS
INTRODUÇÃO
O mundo como conhecemos certamente não existiria sem que o homem tivesse
inventado uma maneira de medir,
pois isso o ajudou a contabilizar,
mensurar, comparar, construir e até
mesmo guardar
O SISTEMA MÉTRICO DECIMAL é
parte integrante do Sistema de
Medidas. É adotado no Brasil tendo
como unidade fundamental de
medida o metro. Apenas três das 203
nações não adotaram oficialmente esse sistema como seu sistema principal ou único
de medição: Mianmar, Libéria e Estados Unidos.
O Sistema de Medidas é um conjunto de medidas usado em quase todo o
mundo, visando padronizar as formas de medição.
Deste os tempos passados os povos criavam seu método próprio de unidades de
medidas. Cada um, desta forma, tinha seus próprios métodos de medição.
Com o comércio crescente e em expansão na época, ficava cada vez mais
complicado operar com tamanha diversidade de sistemas de medidas e a troca de
informações entre os povos era confusa.
Assim foi necessário que se adotasse um “sistema padrão” de medidas em suas
respectivas grandezas.
Então no ano de 1795, um grupo de representantes de diversos países reuniu-se
para discutir a forma de adotar um sistema de medidas único que facilitasse a troca
de informações entre os povos. Após isso foi desenvolvido o sistema métrico decimal.
AS PRIMEIRAS MEDIÇÕES
No mundo atual, temos os mais diversos meios e instrumentos
que permitem ao homem moderno medir comprimentos. Porém nem
sempre foi desta forma, há 3.000 anos, quando não se existia os
recursos atuais, como o homem fazia para efetuar medidas de
comprimentos?
Esta necessidade de medir espaços é tão antiga quanto à
necessidade de contar. Quando o homem começou a construir suas
habitações e desenvolver sua agricultura e outros meios de
sobrevivência e desenvolvimento econômico, que se fazia necessário medir espaços,
então houve ai a necessidade de se medir espaços.
Desta forma, para medir espaços o homem antigo, tinha como base seu próprio
corpo, por isto que surgiram: polegadas, a braça, o passo, o palmo. Algumas destas
medidas ainda são usadas até hoje, como é o caso da polegada.
Há algum tempo, o povo egípcio usava como padrão para comprimento, o
“cúbito”, que é a distância do cotovelo a ponta do dedo médio.
Como as pessoas, é claro, tem tamanhos diferentes, o “cúbito” variava de uma
pessoa para outra, fazendo com que houvesse muita divergência nos resultados finais
de medidas.
Então, vendo este problema de variação de medidas, o povo egípcio resolveu
adotar uma outra forma de medir o “cúbito”, passaram então ao invés de usar seu
próprio corpo, a usarem uma barra de pedra como o mesmo comprimento, assim
deu-se origem então o “cúbito padrão”.
Como era impossível realizar medições em extensões grandes, o povo egípcio
então começou a usar cordas, para medir grandes áreas. Tinham nós que eram
igualmente colocados em espaços iguais, e o intervalo entre estes nós, poderia medir
“x” cúbitos fixos. Desta forma de medição com cordas, originou-se o que chamamos
hoje de “trena”.
SISTEMA IMPERIAL
Embora atualmente não sejam usadas com muita frequência, principalmente no
meio científico, poderemos nos deparar com unidades expressas no Sistema Imperial.
A Tabela a seguir fornece dados para conversão entre os Sistemas Imperial e
Internacional de Unidades.
Sistema Imperial
Sistema Internacional
1 in (polegada)
=
2,54 cm
1 ft (pé) = 12 in (polegadas)
=
30,48 cm
1 yd (jarda) = 3 ft (pés) = 36 in (polegadas) =
0,9144 m
1 mile (milha) = 1760 yd (jardas)
=
1,609 km
`
O METRO
O metro (m) é uma unidade de medida de comprimento padrão do sistema
numérico decimal, sendo criado com base nas dimensões da Terra. O nome “metro” é
oriundo da palavra grega “métron” e tem como significado “o que mede”.
Inicialmente a medida do “metro” foi definida como a décima milionésima
parte da distância entre o Pólo Norte e Equador, medida pelo meridiano que passa
pela cidade francesa de Paris. O metro padrão foi criado no de 1799 e hoje é
baseado no espaço percorrido pela luz no vácuo Atualmente o metro é definido
como sendo "o comprimento do trajeto percorrido pela luz no vácuo, durante um
intervalo de tempo de 1/299 792 458 de segundo".
SISTEMA MÉTRICO DECIMAL
O Sistema Métrico Decimal tem o metro (m) como unidade fundamental do
comprimento e dele foram criadas outras unidades menos ou maiores a partir de seus
múltiplos e submúltiplos. Os nomes prefixos destes múltiplos e submúltiplos são: quilo (k),
hecto (h), deca (da), deci (d), centi (c) e mili (m).
Os múltiplos do metro são usados para realizar medição em grandes
áreas/distâncias, enquanto os submúltiplos para realizar medição em pequenas
distâncias.
Outras unidades foram criadas de forma direta ou indireta a partir de relação
com o metro. Por exemplo, para criar uma unidade específica de volume foi definido
que um cubo de 1dm de aresta, ou seja, com volume igual a 1dm 3, seria denominado
de litro (L). Para definir uma unidade específica para medidas de massa, foi usada a
água como referência, onde exatamente um litro de água pura pesaria o que se
conhece por quilograma. Dessa forma, outras unidades surgiram.
LINK:
NOMES E FUNÇÕES DE ALGUMAS MEDIDAS
COMPRIMENTO
O metro é uma das unidades básicas do Sistema Internacional de Unidades. A
partir dele são denominadas outras unidades de medida apenas com o uso de
prefixos, pois nem sempre ele é prático
Se queremos medir grandes extensões ela é muito pequena. Por outro lado, se
queremos medir extensões muito "pequenas", a unidade metro é muito "grande", daí a
necessidade do uso de múltiplos e submúltiplos do metro, que são chamados de
unidades secundárias de comprimento.
OBSERVE A TABELA ABAIXO:
10
10
10
10
10
10
km
hm
dam
m
dm
cm
mm
quilômetr
o
hectômetr
o
decâmetr
o
metr
o
decímetr
o
centímetr
o
milímetr
o
x10
x10
x10
x10
x10
LINK:
Para cada unidade de medida que mudamos para esquerda, a vírgula
anda uma casa para esquerda e para cada unidade que mudamos
para direita, a vírgula anda uma casa para direita.
EXEMPLOS:



4,58 m = 45,8 dm
4,58 m = 458 cm
4,58 m = 4580 mm
x10
LINK:
MÚLTIPLOS E SUBMÚTIPLOS DO METRO
ÁREA
As unidades de área representam ao mesmo tempo duas dimensões e por isso
tem um tratamento particular. Área é um conceito matemático que pode ser definida
como quantidade de superfície.
Existem várias unidades de medida de área, sendo a mais utilizada o metro
quadrado (m²) e os seus múltiplos e sub-múltiplos. São também muito usadas as
medidas agrárias: are, que equivale a cem metros quadrados; e seu múltiplo hectare,
que equivale a dez mil metros quadrados. Outras unidades de medida de área são o
acre e o alqueire.
OBSERVE A TABELA ABAIXO:
100
100
100
100
100
100
km2
hm2
dam2
m2
dm2
cm2
mm2
quilômet
ro
hectômet
ro
decâmet
ro
metro
decímetr
o
centímet
ro
milímetr
o
quadrad
o
quadrado
quadrad
o
quadrad
o
quadrad
o
x100
x100
quadrad
quadrad
o
o
x100
x100
x100
x100
LINK:
Para cada unidade de medida que mudamos para esquerda, a vírgula
anda duas casas para esquerda e para cada unidade que mudamos
para direita, a vírgula desloca duas casas para direita.
EXEMPLOS:



2
2
4,58 m = 458 dm
2
2
4,58 m = 45800 cm
2
2
4,58 m = 4580000 mm
LINK:
POR QUE A VÍRGULA DESLOCA DUAS CASAS?
Para unidades de área ocorrem duas transformações, nas
2
duas dimensões: largura e comprimento. Por isso, 1 m
2
equivale a 100 dm .
LINK:
SABE QUANTO MEDE UM QUARTEIRÃO PADRÃO?
O quarteirão padrão é
um quadrado de
100m de lado.
QUARTEIRÃO:
100m x 100m
10000m
2
1hm x 1hm
1hm
2
1ha (hectare)
100a (ares)
VOLUME
O volume de um corpo é a quantidade de espaço ocupada por esse corpo.
Volume tem unidades de tamanho cúbicas (por exemplo, cm³, m³, in³, etc.).
Sua unidade no Sistema internacional de unidades é o metro cúbico (m³). A
seguinte tabela mostra a equivalência entre volume e capacidade. Contudo, não é
considerado uma unidade fundamental do SI, pois pode ser calculado através dos
comprimentos. A unidade mais comum utilizada é o litro.
OBSERVE A TABELA ABAIXO:
1000
1000
1000
1000
1000
1000
km3
hm3
dam3
m3
dm3
cm3
mm3
quilômetr
o
hectômetr
o
decâmetr
o
metro
decímetr
o
centímetr
o
milímetr
o
cúbico
cúbico
cúbico
cúbico
cúbico
cúbico
x1000
x1000
cúbic
o
x1000
x1000
x1000
x1000
LINK:
Para cada unidade de medida que mudamos para esquerda, a vírgula
anda três casas para esquerda e para cada unidade que mudamos
para direita, a vírgula desloca três casas para direita.
EXEMPLOS:



3
3
4,58 m = 4580 dm
3
3
4,58 m = 4580000 cm
3
3
4,58 m = 4580000000 mm
LINK:
POR QUE A VÍRGULA DESLOCA TRÊS CASAS?
Para unidades de volume ocorrem três transformações, nas
três dimensões: largura, comprimento e altura.
3
3
Por isso, 1 m equivale a 1000 dm .
PREFIXOS
As abreviações das unidades derivadas do metro estão expressas na Tabela 1,
bem como a medida equivalente:
Nome
Símbolo
Fator de multiplicação da unidade
yotta
Y
1024 = 1 000 000 000 000 000 000 000 000
zetta
Z
1021 = 1 000 000 000 000 000 000 000
exa
E
1018 = 1 000 000 000 000 000 000
peta
P
1015 = 1 000 000 000 000 000
tera
T
1012 = 1 000 000 000 000
giga
G
109 = 1 000 000 000
mega
M
106 = 1 000 000
quilo
k
10³ = 1 000
hecto
h
10² = 100
deca
da
10
deci
d
10-1 = 0,1
centi
c
10-2 = 0,01
mili
m
10-3 = 0,001
micro
µ
10-6 = 0,000 001
nano
n
10-9 = 0,000 000 001
pico
p
10-12 = 0,000 000 000 001
femto
f
10-15 = 0,000 000 000 000 001
atto
a
10-18 = 0,000 000 000 000 000 001
zepto
z
10-21 = 0,000 000 000 000 000 000 001
yocto
y
10-24 = 0,000 000 000 000 000 000 000 001
UNIDADES DE BASE
As unidades de base do SI são sete, consideradas independentes do ponto de
vista dimensional, definidas para as grandezas e simbolizadas de acordo com o
seguinte quadro:
GRANDEZA
UNIDADE SI
SÍMBOLO
Comprimento
metro
m
Massa
quilograma
kg
Tempo
segundo
s
Intensidade de corrente
eléctrica
ampere
A
Temperatura
termodinâmica
kelvin
K
Quantidade de matéria
Mole
mol
Intensidade luminosa
candela
cd
UNIDADES DERIVADAS
São formadas pela combinação de unidades de base, unidades suplementares
ou outras unidades derivadas, de acordo com as relações algébricas que relacionam
as quantidades correspondentes. Os símbolos para as unidades derivadas são obtidos
por meio dos sinais matemáticos de multiplicação e divisão e o uso de expoentes.
Algumas unidades SI derivadas têm nomes e símbolos especiais.
ALGUMAS UNIDADES SI DERIVADAS SIMPLES EM TERMOS DAS UNIDADES DE BASE
Grandeza
Unidade
Símbolo
área
metro quadrado
m2
volume
metro cúbico
m3
velocidade
metro por segundo
m/s
aceleração
metro por segundo quadrado
m/s2
número de onda
metro recíproco
m-1
densidade
quilograma por metro cúbico
kg/m3
UNIDADES DE USO PERMITIDO COM AS DO SISTEMA INTERNACIONAL
Grandeza
Unidade
Símbolo
Conversão
tempo
minuto
hora
dia
mim
h
d
1 min = 60s
1h = 60 min = 3600s
1d = 24h = 86400 s
volume
litro(a)
l, L
1 L = 1 dm3 = 10-3 m3
massa
tonelada(b)
t
1 t = 103 kg
TEMPO
Este é um item que é muito pedido em grande parte de concursos que exigem
matemática, e é justamente onde muitas pessoas que estudam este tema tem
comprometido seus resultados.
LINK:
POR QUE DIVIDIRAM A HORA E O
MINUTO EM 60 PARTES?
O número 60 é interessante porque é
fácil de fracionar, uma vez que é
divisível por 2, 3, 4, 5 e 6. Observe:
1/2 hora
(30 min)
1/3 hora
(20 min)
1/4 hora
(15 min)
1/5 hora
(12 min)
1/6 hora
(10 min)
2012 Copyright. Curso Agora eu Passo - Todos os direitos reservados ao autor.
Matemática
RESOLVIDOS
01. Determine a equivalência dos tempos
a seguir.
ANOTAÇÕES:
a) 47/2 de hora
47
 46 1 
h 
 
2
 2 2
= 23h 30min
x 60
b) 47/3 de hora
47
 45 2 
h 
 
3
 3 3
= 15h 40min
x 60
c) 47/4 de hora
47
 44 3 
h 
 
4
 4 4
= 11h 45min
x 60
d) 47/5 de hora
47
 45 2 
h 
 
5
 5 5
= 9h 24min
x 60
e) 47/6 de hora
47
 42 5 
h 
 
6
 6 6
= 7h 50min
x 60
f) 47/10 de hora
47
 40 7 
h 


10
 10 10 
x 60
g) 21/5 de hora
21  20 1 
h 
 
5
 5 5
= 4h 42min
= 4h 12min
h) 63/10 de hora
63
 60 3 
h 


10
 10 10 
x 60
= 6h 18min
x 60
Prof. Pedro Evaristo
41
Matemática
i) 16/3 de minuto
16
 15 1 
min 
 
3
 3 3
= 5min 20s
x 60
j) 35/4 de minuto
35
 32 3 
min 
  min
4
 4 4
= 8min 45s
x 60
f) 35/8 de um dia
35
 32 3 
dia 
 
8
 8 8
= 4d 9h
X24
g) 3/10 do dia
3
dia
10
=
36
 35 1 
h 
 
5
 5 5
X24
Prof. Pedro Evaristo
= 7h 12min
X60
42
Matemática
h) 17/36 do dia
17
dia
36
=
34
 33 1 
h 
 
3
 3 3
X24
i) 5,85 horas
0,85h = 51min
51min
ANOTAÇÕES:
= 11h 20min
X60
 5,85h = 5h
X60
j) 8,43 horas
0,43h = 25,8min 
48s
X60
0,8min
=
X60
8,43h = 8h 25min 48s
k) 14,76 horas
0,76h = 45,6min 
36s
X60
0,6min
=
X60
14,76h = 14h 45min 36s
02. Qual a diferença de tempo entre 24h
e 19h14min20s?
24h – 19h 14min 20s
23h60mi
n
23h59min60s
23h 59min 60s – 19h 14min 20s
4h 45min 40s
Prof. Pedro Evaristo
43
Matemática
EXERCÍCIOS
ANOTAÇÕES:
01. Qual a área de um terreno retangular
que mede 3 hm de largura por 500 m de
comprimento?
a) 0,15 ha
b) 1,5 ha
c) 15 ha
d) 150 ha
e) 1500 ha
02. Podemos afirma que 0,3 semana
corresponde a:
a) 2 dias e 1 hora;
b) 2 dias, 2 horas e 4 minutos;
c) 2 dias, 2 horas e 24 minutos;
d) 2 dias e 12 horas;
e) 3 dias.
03. (FCC) Durante todo o mês de março,
o relógio de um técnico estava
adiantando 5 segundos por hora. Se ele
só foi acertado às 7h do dia 2 de março,
então às 7h do dia 5 de março ele
marcava
a) 7h05min
b) 7h06min
c) 7h15min
d) 7h30min
e) 6h54min
Prof. Pedro Evaristo
44
Matemática
04. Na última sexta-feira, cheguei ao trabalho às 8h20min da manhã, trabalhei
durante 21/5 de hora, saí para o almoço e retornei 32/15 de hora depois, trabalhei
por mais 23/6 de hora e finalmente acabei meu expediente. A que horas terminei
o expediente?
a) 18h30min
b) 17h30min
c) 19h20min
d) 16h50min
05. Considerando que um dia equivale a 24 horas, 1,8 dias equivale a:
a) 1 dia e 8 horas;
b) 1 dia e 18 horas;
c) 1 dia e 19 horas;
d) 1 dia, 19 horas e 2 minutos;
e) 1 dia, 19 horas e 12 minutos.
GABARITO
01. C 02.C 03. B 04. A 05. E
Prof. Pedro Evaristo
45
Matemática
CAPÍTULO 03
RAZÃO
A razão entre duas grandezas é o quociente estabelecido entre elas, ou
melhor, é o resultado da divisão entre as grandezas.
Assim, dados dois números reais a e b, com b  0, calcula-se a razão entre a e
b através do quociente da divisão de a por b.
Para indicarmos a razão entre a e b usamos:
a
b
ou a : b (“a” está para “b”).
Na razão de a por b, o número “a” é chamado de antecedente e o número
“b” é chamado de conseqüente.
Razão entre a e b =
a
b
RAZÕES INVERSAS
Duas razões são inversas quando o antecedente de uma é igual ao
a b
conseqüente da outra e vice-versa  e  . Note que, o produto de duas razões
b
a
inversas é sempre igual a 1.
a b
. 1
b a
RAZÕES ESPECIAIS
CONCORRÊNCIA DE UM CONCURSO
É a razão entre o número de candidatos inscritos no concurso e o número de
vagas oferecidas por ele.
Concorrência =
n º de cand . inscritos
n º de vagas oferecidas
VELOCIDADE MÉDIA
É a razão entre a distância percorrida por um móvel e o tempo gasto para
percorrê-la.
Prof. Pedro Evaristo
46
Matemática
Velocidade média =
distância percorriad a
S
Vm 
tempo gasto
t
DENSIDADE DE UM CORPO
Densidade =
massa
m
d 
volume
V
É a razão entre a massa do corpo e o
volume por ele ocupado.
DENSIDADE DEMOGRÁFICA DE UMA REGIÃO
É a razão entre o número de habitantes de uma região e a área dessa região.
Densidade demográfica =
Prof. Pedro Evaristo
n o de habitantes de uma região
área dessa região
47
Matemática
ESCALA NUMÉRICA
É a razão entre um comprimento no desenho e o seu correspondente
comprimento no tamanho real, medidos na mesma unidade.
Escala =
d
compriment o no desenho
E
D
compriment o real
Tamanhos de escala
 Escala grande: É aquela que possui um pequeno denominador, ou seja, é aquela
destinada a pequenos comprimentos reais (áreas urbanas). É rica em detalhes. É
usada em cartas ou plantas.
 Escala pequena: É aquela que possui um grande denominador, ou seja, é aquela
destinada a grandes comprimentos reais (áreas continentais). É pobre em
detalhes gráficos. É usada em mapas e globos.
Obs.: Há ainda um outro tipo de escala, chamada escala gráfica, que se
apresenta sob a forma de um segmento de reta graduado. Nele, cada
0km
200km
400km
600km
graduação
representa
1cm800km
de comprimento no desenho. Exemplo:

Escala = ou 1: 20.000.000.
1cm
1cm

200 km 20.000 .000cm
EXEMPLO
Numa prova com 50 questões, acertei 35, deixei 5 em branco e errei as demais.
Responda os itens à seguir.
a) Qual a razão entre o nº de questões certas e erradas?
b) Qual a razão entre o nº de questões erradas sobre o total de questões da
prova?
c) Qual a razão entre o nº de questões em branco sobre o nº de questões certas?
SOLUÇÃO:
O importante é dividir seguindo a ordem dada, logo
a)
CERTAS
35 7

 =
ERRADAS 10 2
7:2
(proporção de 7 certas para cada 2 questões
1:5
(proporção de 1 errada para cada 5 questões da
erradas)
b)
ERRADAS 10 1

 =
TOTAL
50 5
prova)
Prof. Pedro Evaristo
48
Matemática
c)
BRANCO
5
1

 =
CERTAS
35 7
1:7
(proporção de 1 em branco para cada 5 questões
certas)
VAZÃO (FLUXO)
A vazão de um líquido é o volume desse fluido que passa por uma determinada
seção de um conduto por uma unidade de tempo. Geralmente a unidade
adotada é litros por segundo (l/s), embora existam outras unidades.
Vazão 
Volume
tempo
SOMA DAS VAZÕES
Por exemplo, quando temos duas ou mais torneiras enchendo um mesmo balde,
devemos somar as vazões dessas torneiras para encontrar a vazão
A
B
equivalente, ou seja,
Vazão  VA  VB
O volume do recipiente pode ser representado por uma unidade
qualquer. Podemos então dizer que a vazão da torneira A é de 1
balde em tA minutos, da torneira B é de 1 balde a cada tB minutos e a
vazão equivalente é de 1 balde em tE minutos, ou seja
1
1
1


te t A tB
O conceito de fluxo pode ser aplicado a outras situações diferentes dos líquidos,
dessa forma podemos ter fluxo de carros, de pessoas, de dinheiro, de trabalho,
etc.
EXEMPLO
Uma torneira enche um tanque em 3 horas, uma outra em 4 horas e uma terceira
pode esvaziá–lo em 2 horas. Se forem abertas as três torneiras ao mesmo tempo,
em quantas horas o tanque ficará completamente cheio?
Prof. Pedro Evaristo
49
Matemática
SOLUÇÃO:
Observe que quanto mais torneiras, menor o tempo, portanto o tempo
equivalente será dado por
1 1 1
1
   ... 
te t1 t2
tn
Nesse caso duas torneiras enchem e uma das torneiras esvazia, logo
1 1 1 1

  
te 4 3 2
1 346

te
12

1
1

te 12
 te = 12 horas
PROPORÇÃO
A grandezas podem ser diretamente ou inversamente proporcional.
GRANDEZAS DIRETAMENTE PROPORCIONAIS
Duas grandezas “x” e “y” são diretamente proporcionais quando a razão
entre elas é constante. Além disso, quando o valor absoluto de “x” cresce, o valor
absoluto de “y” cresce na mesma proporção.
GRANDEZAS INVERSAMENTE PROPORCIONAIS
Duas grandezas “x” e “y” são inversamente proporcionais quando o produto
entre elas é constante. Pode-se afirmar também que quando o valor absoluto de
“x” cresce, o valor absoluto de “y” decresce em proporção inversa.
SÉRIE DE RAZÕES IGUAIS
Uma série de razões iguais é uma igualdade de duas ou mais razões.
Também, pode ser chamada de proporção múltipla. Em símbolos, temos:
a1 a2 a3
a


 ...  n  k
b1 b2 b3
bn
A principal propriedade a ser utilizada é:
a  a  a  ...  an
a1 a2 a3
a


 ...  n  1 2 3
=k
b1 b2 b3
bn
b1  b2  b3  ...  bn
Prof. Pedro Evaristo
50
Matemática
DIRETAMENTE PROPORCIONAL
Os números de uma sucessão numérica A = (x, y, z) são ditos diretamente
proporcionais aos números da sucessão numérica B = (a, b, c), quando as razões
de cada termo de A pelo seu correspondente em B forem iguais , isto é:
x
y z
   k
a b c
Este valor “k” é chamado de fator de proporcionalidade ou coeficiente de
proporcionalidade, que pode corresponder a razão entre a soma dos termos de A
em relação a soma dos elementos de B.
x
y
z xyz
  
a b c abc
Prof. Pedro Evaristo
51
Matemática
EXEMPLO
Verificar se os números da sucessão (20, 16, 12) são ou não diretamente
proporcionais aos números da sucessão (5, 4, 3). Em caso afirmativo, determine o
coeficiente de proporcionalidade “k”.
SOLUÇÃO:
Note que:
20
16
12
 4;
4e
 4.
5
4
3
Então as sucessões são
proporcionalidade k = 4.
diretamente
proporcionais
e
o
coeficiente
de
EXEMPLO
Encontrar x e y sabendo que os números da sucessão (20, x, y) são diretamente
proporcionais aos números da sucessão (4, 2, 1)
SOLUÇÃO:
Pela definição de números diretamente proporcionais, temos:
x  10
20 x y
x y
  5  
4
2 1
2 1
y  5
EXEMPLO
(FCC) Certo dia, em uma Unidade do Tribunal Regional Federal, um auxiliar
judiciário observou que o número de pessoas atendidas no período da tarde
excedera o das atendidas pela manhã em 30 unidades. Se a razão entre a
quantidade de pessoas atendidas no período da manhã e a quantidade de
pessoas atendida no período da tarde era 3/5, então é correto afirmar que, nesse
dia, foram atendidas
a) 130 pessoas.
b) 48 pessoas pela manhã.
c) 78 pessoas à tarde.
d) 46 pessoas pela manhã.
e) 75 pessoas à tarde.
SOLUÇÃO:
Seja
T – número de pessoas atendidas no período da tarde;
Prof. Pedro Evaristo
52
Matemática
M – número de pessoas atendidas no período da manhã;
Do enunciado, temos:
T  M  30
T  M  30



M 3
M T


 T 5

3 5
Então
T M T M
 
5 3
53
logo
T 30

5
2
 T = 75
Prof. Pedro Evaristo
e
M 30

3
2
 T = 45
53
Matemática
INVERSAMENTE PROPORCIONAL
Os números de uma sucessão numérica A = (x, y, z) são inversamente
proporcionais aos números da sucessão numérica B = (a, b, c), quando os produtos
de cada termo da sucessão A pelo seu correspondente em B forem iguais, isto é:
x.a=y.b=z.c=k
Este valor k também é chamado de fator ou coeficiente de
proporcionalidade.
Na situação exposta, podemos dizer também que os elementos da sucessão
A são diretamente proporcionais aos inversos dos elementos da sucessão B, assim
como a soma dos elementos de A são proporcionais a soma dos inversos de B.
x
y
z
xyz



1/ a 1/ b 1/ c 1/ a  1/ b  1/ c
EXEMPLO1
Verificar se os números da sucessão (3, 6, 8) são ou não inversamente
proporcionais aos números da sucessão (24, 12, 9). Em caso afirmativo, determine
o coeficiente de proporcionalidade “k”.
SOLUÇÃO:
Note que:
3 . 24 = 72; 6 . 12 = 72; 8 . 9 = 72.
Então as sucessões são inversamente proporcionais e o coeficiente de
proporcionalidade é 72.
EXEMPLO
Encontrar x, y e z, sabendo que os números das sucessões (x, 3, z) e (9, y, 36) são
inversamente proporcionais e têm coeficiente de proporcionalidade k = 36.
SOLUÇÃO:
Pela definição, temos:
 x . 9  36  x  4.

 3 . y  36  y  12 .
 z . 36  36  z  1.

EXEMPLO
Prof. Pedro Evaristo
54
Matemática
Repartir o número 18 em partes diretamente proporcionais a 5 e 4.
SOLUÇÃO:
Sejam x e y as partes procuradas:
 x  y  18
 x  10
x y 18

2
xy   
x y


5 4
9
y  8
5 4 5  4

Prof. Pedro Evaristo
55
Matemática
03. (FCC) No quadro abaixo, têm-se as idades e os tempos de serviço de dois
técnicos judiciários do TRF de uma certa circunscrição judiciária.
IDADE
TEMPO DE
SERVIÇO
JOÃO
36
ANOS
8 ANOS
MARIA
30
ANOS
12 ANOS
Esses funcionários foram incumbidos de digitar as laudas de um processo. Dividiram
o total de laudas entre si, na razão direta de suas idades e inversa de seus tempos
de serviço no Tribunal. Se João digitou 27 laudas, determine o total de laudas do
processo.
SOLUÇÃO:
Sejam
– Laudas de João: x
– Laudas de Maria: y
Então
x
36
8
=
y
30
12
=
xy
36 30

8 12
Como x = 27, temos
27
36
8
=
xy
36 30

8 12
ou seja
27 .
6=
8
36
=
xy
9 5

2 2
xy
7
então
x+y = 42
Prof. Pedro Evaristo
56
Matemática
DIRETAMENTE E INVERSAMENTE PROPORCIONAL

Grandeza diretamente proporcional a dois valores ao mesmo tempo:
x
y
xy


a.b m.n a.b  m.n

Grandeza diretamente proporcional a um valor e inversamente a outro:
x
y
xy


a/b m/n a/bm/n

Grandeza diretamente proporcional a dois valores e inversamente a um
terceiro valor:
x
y
xy


a.b
m.n a.b m.n

c
p
c
p
Prof. Pedro Evaristo
57
Matemática
(FCC) Valdete deu R$ 32,00 a seus dois filhos, apenas em moedas de 25 e 50
centavos. Eles dividiram a quantia recebida entre si, na razão direta de suas
respectivas idades: 7 e 9 anos. Se o mais jovem ficou com todas as moedas de 25
centavos, o número de moedas de 50 centavos era
a) 28
b) 32
c) 36
d) 48
e) 56
SOLUÇÃO:
Do enunciado temos:
A B A B
 
7 9 79
Sabendo que A+B = 32, então
B 32

9 16
 B = 18 reais
Como o mais jovem ficou com todas as moedas de 25 centavos, o mais velho
ficou com todas as de 50 centavos, portanto o número de moedas dele será:
nB = 18/0,50 = 36 moedas
REGRA DE SOCIEDADE
O fato é que: para ser justo em uma sociedade os lucros e os prejuízos devem
ser distribuídos entre os vários sócios proporcionalmente aos capitais empregados
(C) e ao tempo (T) durante o qual estiveram empregados na constituição dessa
sociedade.
É uma aplicação prática da divisão em partes diretamente proporcionais,
portanto:
x
y
z
x  y  z (lucro a ser dividido)



C1.T1 C 2 .T2 C3 .T3
C1.T1  C 2 .T2  C3 .T3
EXEMPLO:
Prof. Pedro Evaristo
58
Matemática
Três sócios lucraram juntamente R$20.200,00. Para tanto, o primeiro entrou com um
capital de R$7.000,00 durante 1 ano, o segundo com R$8.000,00 durante 8 meses e
o terceiro com R$9.000,00 durante 1 semestre. Quanto lucrou cada um?
SOLUÇÃO:
Sejam:
Lucro Investimento
Tempo
x
R$ 7 mil
12 meses
y
R$ 8 mil
8 meses
x
R$ 9 mil
6 meses
1º Sócio
2º Sócio
1º Sócio
Como
x
y
z
x  y  z (lucro a ser dividido)



C1.T1 C 2 .T2 C3 .T3
C1.T1  C 2 .T2  C3 .T3
Então
x
y
z
20200



7.12 8.8 9.6 7.12  8.8  9.6
x
y
z
20200



84 64 54 84  64  54
Ou seja
x
20200

84
202
y
20200

64
202
z
20200

54
202

x = 8400

y = 6400

y = 5400
PROPORÇÃO
Dados quatro números reais a, b, c e d, todos diferentes de zero, dizemos que
eles formam, nesta ordem, uma proporção, quando a razão entre o primeiro e o
segundo (a:b) é igual à razão entre o terceiro e o quarto (c:d). Representamos isto
por:
a c

b d
ou
a:b=c:d
E lemos: “a está para b assim como c está para d”.
Na proporção
a c

b d
, destacamos que os termos a e d são chamados
extremos e os termos b e c são chamados meios.
MEIOS
a : b = c : d
MEIOS
ou
a
c

b d
EXTREMOS
EXTREMOS
Prof. Pedro Evaristo
59
Matemática
PROPRIEDADES DE UMA PROPORÇÃO
PROPRIEDADE FUNDAMENTAL
Em toda proporção, o produto dos meios é igual ao produto dos extremos.
a c

 a.d b.c
b d
SOMA DOS TERMOS
Em toda proporção, temos:
a


a
c


b d
a


b c d

a
c
ou
b c d

b
d
DIFERENÇA DOS TERMOS
Em toda proporção, temos:
a


a c
 
b d
a


b c

a
ou
b c

b
d
c
d
d
SOMA DOS ANTECEDENTES E CONSEQÜENTES
Em toda proporção, a soma dos antecedentes está para a soma dos
conseqüentes, assim como qualquer antecedente está para seu conseqüente.
a c ac
 
b d bd
Prof. Pedro Evaristo
60
Matemática
QUARTA PROPORCIONAL
Dados três números reais, a, b e c, não-nulos, chama-se de quarta
proporcional desses números dados o número x tal que:
a c

b x
Note que, a quarta proporcional forma uma proporção com os números a, b
e c, nessa ordem.
TERCEIRA PROPORCIONAL
Dados dois números reais a e b, não-nulos, chama-se de terceira proporcional
desses números o número x tal que:
a b

b x
REGRA DE TRÊS SIMPLES
É uma regra prática que nos permite comparar duas grandezas
proporcionais, A e B, relacionando dois valores de A e dois valores de B. Nos
problemas, haverá um desses quatro valores que será desconhecido e deverá ser
calculado com base nos três valores dados. Daí o nome regra de três.
Dependendo das grandezas A e B, podemos ter:
 Regra de três direta  A e B são grandezas diretamente proporcionais.
A1
B
 1
A2 B2
 Regra de três inversa  A e B são grandezas inversamente proporcionais.
A1.B1 = A2.B2
EXEMPLO:
Se uma dúzia de ovos custa R$1,40, então quanto deve custar uma bandeja com
30 ovos?
SOLUÇÃO:
Faça uma tabela relacionando a quantidade de ovos ao preço, e por meio de
setas verifique se estas grandezas são diretamente ou inversamente
proporcionais.
Quantidade de ovos
Preço (R$)
12
1,40
30
xxx
As setas têm o mesmo sentido porque as grandezas são diretamente
proporcionais, ou seja, quanto mais ovos se quer comprar, mais dinheiro se tem
que gastar. Logo:
12 1,40
30 . 1,40

x 
 x  3,50
30
x
12
Resposta: Uma bandeja com 30 ovos deve custar R$3,50.
Prof. Pedro Evaristo
61
Matemática
REGRA DE TRÊS COMPOSTA
É uma regra prática utilizada na resolução de problemas que envolvem várias
grandezas proporcionais. A regra de três composta é realizada da seguinte
maneira.
1º Passo: Montamos uma tabela colocando em cada coluna, ordenadamente, os
valores de cada grandeza.
2º Passo: Escolhemos uma grandeza para servir de referência.
3º Passo: Comparamos esta grandeza de referência a cada uma das outras
grandezas, isoladamente,
identificando se há proporcionalidade direta
(seta de mesmo sentido) ou inversa (setas invertidas).
4º Passo:
Colocamos a razão da grandeza de referência isolada no 1º membro
e, no 2º membro, colocamos o
produto
das
razões
das
outras
grandezas, lembrando que se há proporcionalidade inversa em relação a
uma grandeza, devemos inverter os elementos da respectiva coluna e
escrever a razão inversa no produto.
EXEMPLO:
Dezoito operários, trabalhando 7 horas por dia durante 12 dias, conseguem realizar
um determinado serviço. Trabalhando 9 horas por dia, 12 operários farão o mesmo
serviço em quantos dias?
1ª SOLUÇÃO:
Montando a tabela e tomando a quantidade de dias como referência, temos:
Operários
18
12
Horas por dia
7
9
Dias
12
x
Logo:
12  12   9 
   .    18.7
x
 18   7 
= 9.x  x = 14 dias
Resposta: São necessários 14 dias.
2ª SOLUÇÃO:
Montando a tabela e tomando o no de operários como referência, temos:
Operários
18
12
Horas por dia
7
9
Prof. Pedro Evaristo
Dias
12
x
62
Matemática
Logo:
18  9   x 
   .    18.7
12  7   12 
= 9.x  x = 14 dias
Resposta: São necessários 14 dias.
Prof. Pedro Evaristo
63
Matemática
EXERCÍCIOS
Um balde de 5 litros pode ser cheio
por uma torneira A em 3 min ou em 6 min
por uma torneira B. Caso sejam ligadas
as duas torneira concomitantemente, em
quanto tempo o balde estará cheio?
a) 2 min
b) 2 min e 30 seg
c) 4 min e 30 seg
d) 9 min
01.
ANOTAÇÕES:
Antônio demora 6 horas para pintar
uma parede, enquanto seu auxiliar
Baltazar demoraria mais tempo para
executar o mesmo serviço. Sabendo que
juntos eles pintariam essa parede em 4
horas, determine em quantas horas o
auxiliar pintaria sozinho.
a) 7
b) 9
c) 12
d) 16
02.
Sophia tenta encher sua piscina de
plástico usando duas mangueiras do
jardim, sem perceber que o plástico
estava com um pequeno furo na parte
inferior
e
que
poderia
esvaziar
completamente a piscina em 60 min.
Uma das mangueiras encheria toda a
piscina em 10 min e a outra mangueira,
também sozinha e sem furo, enche a
piscina em 20 min. Dessa forma, mesmo
com o furo, em quanto tempo as duas
mangueiras enchem completamente a
piscina?
a) 6 min e 40 seg
b) 7 min e 10 seg
c) 7 min e 30 seg
d) 8 min e 20 seg
03.
No Banco Dimdim será dividido um
prêmio de R$2.400,00 entre os três
04.
Prof. Pedro Evaristo
64
Matemática
funcionários que mais se destacaram no último ano. A parte que caberá a cada
funcionário é diretamente proporcional ao tempo de serviço prestado a empresa.
Sabendo que Aurisvanderson tem 3 anos de empresa, Belarmino 4 anos e
Cleosvaldo 5 anos, determine quanto coube ao funcionário que ficou com a
maior quantia.
ANOTAÇÕES:
a) R$ 1.200,00
b) R$ 1.000,00
c) R$ 800,00
d) R$ 600,00
O dono de uma empresa resolveu
distribuir uma gratificação de R$2.100,00
entre seus dois gerentes, de forma
inversamente proporcional às faltas de
cada um num determinado mês. Quanto
caberá ao mais assíduo, se os gerentes
faltaram 5 e 2 vezes?
a) 600
b) 900
c) 1200
d) 1500
05.
(FCC) Curiosamente, dois técnicos
bancários observaram que, durante o
expediente de certo dia os números de
clientes que haviam atendido eram
inversamente proporcionais às suas
respectivas idades: 36 e 48 anos. Se um
deles atendeu 4 clientes a mais que o
outro, então o total de pessoas
atendidas pelo mais velho foi:
a) 20
b) 18
c) 16
d) 14
e) 12
06.
Uma empresa irá dividir R$ 24.000,00
entre quatro funcionários de forma
diretamente proporcional ao tempo de
empresa e inversamente proporcional ao
número de faltas mais um. Determine o
maior valor recebido por um dos quatro,
sabendo que André trabalha a 6 anos e
faltou 2 vezes, Bruno trabalha a 2 anos e
07.
Prof. Pedro Evaristo
65
Matemática
nunca faltou, Cléber trabalha a 12 anos e faltou 3 vezes e Daniel trabalha a 10
anos e faltou apenas uma vez.
a) R$ 2.000,00
b) R$ 4.000,00
d) R$ 6.000,00
d) R$ 10.000,00
e) R$ 12.000,00
O lucro de R$ 14.000,00 da lanchonete WR, será dividido entre seus dois sócios.
Wendel aplicou na empresa R$2.000,00 por 6 meses e Rinaldo aplicou R$4.000,00
por 4 meses. Quanto, respectivamente, coube a cada um deles?
a) R$ 4.000,00 e R$ 10.000,00
b) R$ 6.000,00 e R$ 8.000,00
c) R$ 7.000,00 e R$ 7.000,00
d) R$ 9.000,00 e R$ 5.000,00
08.
(FCC) Um técnico bancário foi incumbido de digitar as 48 páginas de um texto.
Na tabela abaixo, têm-se os tempos que ele leva, em média, para digitar tais
páginas.
09.
NÚMERO
DE
PÁGINA
S
TEMPO
(MINUTO
S)
1
12
2
24
3
36
4
48
Nessas condições, mantida a regularidade mostrada na tabela, após 9 horas de
digitação desse texto, o esperado é que:
a) ainda devam ser digitadas 3 páginas.
b) Todas as páginas tenham sido digitadas.
c) Ainda devam ser digitadas 9 páginas.
d) Ainda devam ser digitadas 8 páginas.
e) Ainda devam ser digitadas 5 páginas.
Prof. Pedro Evaristo
66
Matemática
Desenvolvendo
uma
velocidade
média de 18km por hora, um pedestre
correu durante 1h 20min. Se tivesse
desenvolvido a velocidade média de
15km por hora, teria feito o mesmo
percurso em quanto tempo?
a) 1h 16min
b) 1h 26min
c) 1h 36min
d) 1h 46min
10.
ANOTAÇÕES:
Quinze teares trabalhando 6 horas
por dia, durante 20 dias, produzem 600m
de pano. Quantos teares são necessários
para fazer 1200m do mesmo pano, em
30 dias, com 8 horas de trabalho por
dia?
a) 15
b) 16
c) 18
d) 20
11.
No Banco Dimdim, em dias normais,
na agência central, 10 caixas atendem
900 pessoas trabalhando 6 horas diárias.
Em uma segunda-feira chuvosa dois
caixas faltaram por conta de uma virose
e o gerente quer uma previsão de
quantas pessoas poderão ser atendidas
nas 2 horas iniciais desse dia atípico,
quando o nível de dificuldade é duas
vezes maior. Podemos afirmar que o
número de pessoas atendidas nesse
intervalo é de aproximadamente:
a) 240
12.
b) 150
c) 120
d) 90
Prof. Pedro Evaristo
67
Matemática
GABARITO
01. A 02. C 03. C 04. B 05. D
06. E 07. D 08. B 09. A 10. C
11. A 12. C
Prof. Pedro Evaristo
68
Matemática
CAPÍTULO 04
PORCENTAGEM
INTRODUÇÃO
A expressão por cento vem do latim per centum e quer dizer por um cento.
Assim, quando você lê ou escuta uma afirmação como "Grande liquidação: 20
por cento de desconto em todos os artigos", significa que você terá 20 reais de
desconto para cada 100 reais do preço do artigo que comprar.
Estabelecemos, então, a
razão
OBSERVAÇÃO:
20
100
e
podemos
afirmar que:
Toda razão a/b na qual b = 100, chama-se taxa de porcentagem.
Assim,
20
100
é o mesmo que 20 por cento. A expressão por cento pode ser
substituída pelo símbolo %. Dessa forma, temos:
20
= 20 %
100
Veja os exemplos:


80
8
ou
ou 80% do grupo.
10
100
21
7
Num total de R$ 300,00, a quantia de R$ 21,00 equivale a
ou
ou 7% do
300
100
8 pessoas em um grupo de 10 correspondem a
total.
EXEMPLO:
Prof. Pedro Evaristo
69
Matemática
Se uma barra de chocolate é dividida em 5 pedaços e uma pessoa come 3 deles,
ela terá comido 3/5 do total, mas se tivesse dividido em 100 partes ela teria
comido 60 partes, o que na verdade representa a mesma coisa. Veja a ilustração.
3
6
60


 60%
5 10 100
FRAÇÃO x PORCENTAGEM
Prof. Pedro Evaristo
70
Matemática
AUMENTOS E DESCONTOS
AUMENTO DE 20%
 Valor inicial  x
 Valor do aumento  20% de x
 Valor após o aumento  120% de x
DESCONTO DE 20%
 Valor inicial  x
 Valor do desconto  20% de x
 Valor após o desconto  80% de x
LINK:
Para ganhar tempo (o que é fundamental em concursos) lembre-se que se um capital x aumenta
20%, ele irá para 120% de x. Dessa forma não é necessário fazer o desenvolvimento:
x + 20%x = 100%x + 20%x = 120%x = 1,20x
Observe os aumentos e descontos a seguir:
+20%
x
+50%
x
+84%
x
x
+136%
120%x
x
150%x
x
184%x
x
236%x
x
20%
50%
84%
+100%
80%x
x
50%x
x
16%x
x
200%x
x
+100%
+200%
+400%
+800%
2x = 200%x
3x = 300%x
5x = 500%x
9x = 900%x
R – Reais
I–
Irracionais
Prof. Pedro Evaristo
Q–
Racionais
71
Z – Inteiros
Matemática
LINK:
Prof. Pedro Evaristo
72
Matemática
PORCENTAGEM DE CABEÇA
O segredo para calcular porcentagem de cabeça é perceber como é fácil
calcular 10% e 1%.
LINK:
LINK:
Para fazer porcentagem de cabeça, basta entender a relação de todas as
porcentagens com 10%.
 10% de 120 = 12
(1/10 de 120 = 120/10 = 12)
 20% de 120 = 24
(20% = 10% + 10%, ou seja 12 + 12 = 24)
 30% de 120 = 36
(30% = 10% + 10% + 10%, ou seja 12 + 12 + 12 = 3.12 =
36)
 5% de 120 = 6
 1% de 120 = 1,20
(5% é a metade de 10%, logo a metade de 12 é 6)
(1/100 de 120 = 120/100 = 1,20)
 21% de 120 = 25,2 (21% = 10% + 10% + 1%, ou seja 12 + 12 + 1,2 = 25,2)
 35% de 120 = 42
(35% = 10% + 10% + 10% + 5%, ou seja 12 + 12 + 12 + 6
= 42)
 52% de 120 = 62,4 (52% = 50% (metade) + 1% + 1%, ou seja 60 + 1,2 + 1,2 =
62,4)
 90% de 120 = 108
(90% = 100% (o todo) – 10%, ou seja 120 – 12 = 108)
 95% de 120 = 114
(95% = 100% (o todo) – 5%, ou seja 120 – 6 = 114)
Prof. Pedro Evaristo
73
Matemática
 99% de 120 = 118,8 (99% = 100% (o todo) – 1%, ou seja 120 – 1,2 = 118,8)
 125% de 120 = 150 (125% = 100% (o todo) + 25% (um quarto), ou seja 120 + 30
= 150)
 151% de 120 = 181,2
(151% = 100% (o todo) + 50% (metade) + 1%, ou seja
120 + 60 + 1,2 = 181,2)
Prof. Pedro Evaristo
74
Matemática
EXERCÍCIOS RESOLVIDOS
01. Em uma sala com 50 alunos, sendo 38 mulheres, qual o percentual de homens?
SOLUÇÃO:
Lembre-se que porcentagem é fração, mas uma fração cujo denominador é 100.
Então, para calcular o percentual que os 12 homens representam diante dos 50
alunos, basta escrever a fração que isso representa, procurando a fração
equivalente cujo denominador seja 100. Observe:
02. Em uma viagem de 200km, já foram percorridos 126km, qual o percentual já
percorridos?
SOLUÇÃO:
A fração do que já foi percorrido, em relação ao total da viagem, pode ser escrito
da seguinte forma:
03. Se João gastou 18/25 do seu salário, qual o percentual que ainda resta?
SOLUÇÃO:
Quem gasta 18 partes de 25 é por que ainda restam 7 partes de 25, logo essa
fração equivale a:
Prof. Pedro Evaristo
75
Matemática
04. Sabendo que 7/20 dos vereadores de um município votaram contra uma
determinada obra, qual o percentual que votou a favor?
SOLUÇÃO:
Se 7 entre 20 vereadores votaram contra é por que os 13 restantes entre 20
votaram a favor, logo:
05. Após uma prova, de cada 8 recursos, 5 foram indeferidos. Qual o percentual de
deferidos?
SOLUÇÃO:
Se foram indeferidos 5 dentre 8 recursos, então foram deferidos 3 dentre 8.
Nesse caso, multiplicaremos o numerador e o denominador por 100, para em
seguida dividir tudo por 8, pois dessa forma surge o denominador 100. Observe:
06. Em uma festa, o DJ tocou 8 músicas nacionais para cada 11 estrangeiras. Qual
o percentual de nacionais nesse repertório?
SOLUÇÃO:
Prof. Pedro Evaristo
76
Matemática
07. Dois aumentos sucessivos de 30% e 20% são equivalentes a um único aumento
de quanto?
SOLUÇÃO:
Podemos empregar nessa questão um artifício aritmético que costumo chamar de
“truque do 100”.
A idéia consiste em escrever o número 100 e seguir os comandos, ou seja,
aumentar 30% em cimas dos 100 e em seguida aplicar mais 20% em cima do novo
valor, no caso 130. Isso de forma cumulativa, observe:
Dessa forma, como iniciamos com 100 e terminamos com 156, percebe-se
facilmente que houve aumento de 56 partes pra cada 100 que colocamos no
início, ou seja, aumento de 56 por 100, ou ainda aumento de 56%.
Um fato interessante é que a ordem dos aumentos não altera o resultado final,
observe:
Isso ocorre pois quando aumentamos 20% estamos multiplicando por 1,20 e
quando aumentamos 30% basta multiplicar por 30%, portanto
x.1,20.1,30 = x.1,30.1,20 = x.1,56 = 156%.x (aumento de 56%).
08. Descontos sucessivos de 30% e 20% são equivalentes a um único desconto de
quanto?
SOLUÇÃO:
Da mesma forma que na questão anterior podemos aplicar o “truque dos 100”,
veja:
Prof. Pedro Evaristo
77
Matemática
Portanto, redução de 44 para cada 100, ou seja, diminuição de 44%.
09. Uma loja, realizando uma promoção, oferece um desconto de 20% nos preços
dos seus produtos. Pra voltar aos preços iniciais, os preços promocionais devem
sofrer um acréscimo de A%. Determine o valor A.
SOLUÇÃO:
Observe que para cada 100 aplicado desconta-se 20, mas na voltar ao original
deve aumentar 20 em relação a 80, ou seja, 1/4 de 80, ou ainda, aumento de 25%.
Observe:
Portanto, para retornar aos preços iniciais, os preços promocionais devem sofrer
acréscimo de 25%.
10. Após um desconto de 30%, Maria pagou por um sofá o valor de R$350,00.
Quanto era o valor original do sofá, sem o desconto de 30%?
SOLUÇÃO:
Do enunciado, temos:
Dessa forma, podemos afirmar que os 350 reais correspondem a 70% do valor
original do sofá, ou seja
70%.x = 350
Logo
70/100.x = 350
Prof. Pedro Evaristo
78
Matemática
Portanto
x = 500
Prof. Pedro Evaristo
79
Matemática
EXERCÍCIOS
ANOTAÇÕES:
01. Na loja de Bosco, os produtos são
anunciados por 80% a mais que seu
custo. Quando vendidos a vista, ele dá
um desconto de 20% sobre o valor
marcado na etiqueta. Dessa forma, após
o desconto, qual o percentual de lucro
que ele obtém sobre o custo?
a) 20%
b) 24%
c) 36%
d) 44%
e) 60%
02. Um comerciante resolve aumentar
em 40% o preço de todos os produtos de
sua loja, para em seguida, anunciar uma
liquidação com desconto de 40% em
todos eles. Podemos afirmar que, após o
desconto, o valor do produto:
a) aumentou 16% em relação ao valor
antes do aumento.
b) reduziu 16% em relação ao valor antes
do aumento.
c) não pode ser definido, pois depende
do valor marcado na etiqueta.
d) não sofreu alteração em relação ao
valor antes do aumento.
03. No semestre passado, sabe-se que
30% dos alunos matriculados no curso de
idiomas “Spanglish” estudavam espanhol
e os outros 70% estudavam inglês, mas
Prof. Pedro Evaristo
80
Matemática
nenhum deles estava matriculado nos dois idiomas. No semestre seguinte, a turma
de espanhol teve aumento de 50% no número de matrículas, enquanto que a
turma de inglês reduziu em 10% o número de alunos matriculados. Com base
nessas informações, podemos afirmar que, em relação ao número de alunos do
semestre passado, o total de alunos matriculados no semestre:
a) aumentou 8%
b) diminuiu 8%
c) aumentou 18%
d) diminuiu 18%
04. Dona Menina investiu 20% de suas economias comprando Euro e o restante
comprando Dólar. Sabendo que o Euro valorizou 10% em 6 meses e o Dólar caiu
20% ao final do mesmo período, determine o que aconteceu com o investimento
que ela fez.
a) rendeu 10%
b) reduziu 10%
c) rendeu 14%
d) reduziu 14%
Prof. Pedro Evaristo
81
Matemática
05. A massa crua com que é fabricado
um certo tipo de pão é composta de
40% de água, 58% de farinha e 2% de sal
e fermento. Enquanto é assada, 75% da
água contida na massa crua evapora,
sendo esta a única substância perdida
nesse processo. Nessas condições,
calcule a massa crua de pão necessária
para obter-se um pão assado de 42g.
a) 65g
ANOTAÇÕES:
b) 60g
c) 55g
d) 50g
06. Que número deve ser somado ao
numerador e ao denominador da fração
23 para que ela tenha um aumento de
20%?
a) 1
b) 2
c) 3
d) 4
07. (FUNRIO) A rede “Lojas BBB”, numa
promoção
relâmpago,
estava
oferecendo um desconto de 20% em
todas as suas mercadorias. Maria se
interessou por um sofá e pagou pelo
mesmo o valor de R$400,00. O valor
original do sofá, sem o desconto de 20%,
era de
a) R$480,00
b) R$500,00
c) R$520,00
d) R$540,00
Prof. Pedro Evaristo
82
Matemática
e) R$560,00
08. (FUNRIO) Um reservatório para água tem a seguinte propriedade: quando está
40% vazio, o volume da água excede em 40 litros o volume do reservatório quando
este está 40% cheio. Dessa forma, podemos concluir que a capacidade do
reservatório é
a) 240 litros
b) 220 litros
c) 200 litros
d) 180 litros
e) 160 litros
09. Uma sala de aula, com 50 alunos, tem 60% de mulheres e o restante de
homens. Entram mais N mulheres e o percentual de homens passa a ser de 25%.
Determine o valor de N.
a) 15
b) 20
c) 25
d) 30
10. Uma pessoa gasta 15% do seu salário com aluguel. Se o aluguel aumenta 26% e
o salário 5%, que percentagem do salário esta pessoa passará a gastar com
aluguel?
a) 15%
b) 16%
c) 18%
d) 20%
Prof. Pedro Evaristo
83
Matemática
ANOTAÇÕES:
11. Dois aumentos sucessivos de 40% e
10% são equivalentes a um único
aumento de:
a) 58%
b) 54%
c) 50%
d) 44%
12. Descontos sucessivos de 30% e 10%
são equivalentes a um único desconto
de:
a) 40%
b) 37%
c) 33%
d) 20%
13. Um produto alimentício sofreu dois
aumentos mensais seguidos de 20% e
30% e no terceiro mês sofreu uma
redução de 50% em seu valor. Podemos
então afirmar que, ao final desses 3
meses, o valor do produto, em relação
ao valor inicial, sofreu:
a) aumento de 10%
b) redução de 22%
c) redução de 15%
d) nem aumento, nem redução
14. Uma loja, realizando uma promoção,
oferece um desconto de 50% nos preços
dos seus produtos. Pra voltar aos preços
iniciais, os preços promocionais devem
Prof. Pedro Evaristo
84
Matemática
sofrer um acréscimo de A%. Determine o valor A.
a) 25
b) 50
c) 80
d) 100
15. (CESGRANRIO) Um aparelho de som pode ser comprado em 4 prestações de
R$ 150,00 ou à vista com 10% de desconto. Quanto será pago, em reais, se a
compra for feita à vista?
a) 480,00
b) 500,00
c) 520,00
d) 540,00
e) 560,00
16. Um refrigerador sofre dois aumentos anuais sucessivos: o primeiro de 25% em um
ano e outro de 35% no ano seguinte. Se ele custava R$1.200,00, determine quanto
passou a custar depois desses aumentos.
a) R$ 1.250,00
b) R$ 2.025,00
c) R$ 1.750,00
d) R$ 2.250,00
17. O salário de Rafaela sofreu um aumento de 32% e passou a valer R$ 2.640,00.
Quanto era seu salário antes desse aumento?
a) R$ 2.000,00
b) R$ 2.100,00
c) R$ 2.200,00
d) R$ 2.400,00
Prof. Pedro Evaristo
85
Matemática
18. Em uma sala de aula de 80 alunos, o
número de mulheres é o triplo do número
de homens. A seguir, aponte a única
alternativa ERRADA.
a) as mulheres representam mais 70% da
sala.
ANOTAÇÕES:
b) os homens representam 25% do total
de alunos.
c) o número de mulheres é 200% maior
que o número de homens.
d) o número de homens é 300% do
número de mulheres.
19. João recebeu um aumento salarial de
15% no início do mês de março e, no
último dia do mesmo mês, recebeu um
outro aumento de 20% sobre seu novo
salário. Qual o percentual total de
aumento que João recebeu em março?
a) 32%
b) 35%
c) 38 %
d) 135%
20. Joãozinho gastou a metade do
dinheiro que tinha com um presente que
comprou para a sua mãe. Em seguida,
gastou 30% do que lhe restou, na
compra de um jogo, e ainda ficou com
R$ 63,00. Quantos reais tinha Joãozinho
antes das compras?
a) 120
b) 150
c) 180
Prof. Pedro Evaristo
86
Matemática
d) 200
e) 420
21. Um produto custava, em certa loja, R$ 200,00. Após dois aumentos consecutivos
de 10%, foi colocado em promoção com 20% de desconto. Qual o novo preço do
produto (em R$)?
a) 176,00
b) 192,00
c) 193,60
d) 200,00
22. Sérgio vendeu um relógio por 150% a mais do que lhe custou. Determine o
percentual de lucro que ele obteve em relação ao preço de venda.
a) 40%
b) 50%
c) 60%
d) 75%
23. Um vendedor ambulante vende seus produtos com um lucro de 50% sobre o
preço de venda (margem de lucro). Dessa forma, qual seria o percentual de lucro
em relação ao preço de custo?
a) 50%
b) 75%
c) 100%
d) 150%
24. Um comerciante obtém lucro de 75% sobre o preço de venda. Determine o
percentual do lucro calculado sobre o preço de custo.
a) 25%
b) 100%
c) 300%
d) 400%
Prof. Pedro Evaristo
87
Matemática
25. O preço de certo produto alimentício
dobrou três vezes seguidas, ou seja,
durante o período da entressafra, que
durou três meses, o produto dobrava de
preço em relação ao mês passado. Esses
aumentos consecutivos podem ser
representados por um único aumento
trimestral de:
a) 300%
ANOTAÇÕES:
b) 500%
c) 600%
d) 700%
e) 800%
26. (CESGRANRIO) Três aumentos mensais
sucessivos de 30%, correspondem a um
único aumento trimestral de:
a) 0,9%
b) 90%
c) 190%
d) 219,7%
e) 119,7%
27. (FUNRIO) Constatou-se num vilarejo
que, em determinado ano, 120 pessoas
foram vitimadas pela dengue. No ano
seguinte, esse número caiu para 90
pessoas. Podemos dizer, então, que
houve uma redução no número de
vitimados da ordem de
a) 20%
b) 25%
c) 30%
d) 35%
Prof. Pedro Evaristo
88
Matemática
e) 40 %
28. (FUNRIO) Luís investiu uma determinada quantia comprando ações de uma
indústria. No final do primeiro ano ele verificou que as ações tinham valorizado
25%. No final do ano seguinte, ele afirmou: “puxa, eu tenho hoje o dobro do
dinheiro que investi”. Dessa forma, a valorização das ações no segundo ano foi de
a) 45%
b) 50%
c) 55%
d) 60%
e) 65%
29. (FUNRIO) Uma jarra tem 800 ml de refresco, em que 60% dessa quantidade
corresponde a água e 40% corresponde ao concentrado de suco de uva. Para
que o concentrado corresponda a 25% da mistura final, a quantidade de água
que deve ser acrescido ao refresco é de
a) 320 ml
b) 400 ml
c) 480 ml
d) 560 ml
e) 640 ml
Prof. Pedro Evaristo
89
Matemática
30. (FCC) O preço de um aparelho é P
reais. Como eu só possuo X reais, que
correspondem a 70% de P, mesmo que
me fosse concedido um abatimento de
12% no preço, ainda faltariam R$ 54,00
reais para que eu pudesse comprar esse
aparelho. Nessas condições, a quantia
que possuo:
a) 210,00
ANOTAÇÕES:
b) 230,00
c) 250,00
d) 270,00
GABARITO
01. D 02. B 03. A 04. D 05. B
06. B 07. B 08. C 09. D 10. C
11. B 12. B 13. B 14. D 15. D
16. B 17. A 18. D 19. C 20. C
21. C 22. C 23. C 24. C 25. D
26. E 27. B 28. D 29. C 30. A
Prof. Pedro Evaristo
90
Matemática
CAPÍTULO 05
JUROS SIMPLES
INTRODUÇÃO
A matemática financeira está presente em nosso cotidiano de forma direta
ou indireta. Quanto mais dominarmos esse assunto, maiores serão os benefícios
que teremos, tanto para ganhar dinheiro como
para evitar perde-lo. Como por exemplo, na
escolha do melhor financiamento de um bem ou
onde fazer aplicações financeiras.
O estudo da Matemática Financeira é todo
feito em função do crescimento do capital (C)
aplicado com o tempo. Definiremos capital como
qualquer quantidade de moeda ou dinheiro.
O montante (M), ou seja, o valor final do
capital aplicado é dado pela soma do capital inicial e uma segunda parcela, que
é uma fração do capital inicial, à qual damos o nome de juro. Juro (J) é, portanto,
a compensação financeira conseguida por um aplicador durante um certo tempo
ou ainda o aluguel pago por uma pessoa que, durante algum tempo, usa o
capital de outra.
O juro é cobrado em função de um coeficiente, chamado taxa de
juro (i), que é dado geralmente em percentagem e sempre se refere a um
intervalo de tempo (ano, semestre, mês, etc), tomado como unidade,
denominado período financeiro ou, abreviadamente período (t ou n).
Existem duas formas de serem calculados os juros a cada período: calculando
sobre o capital inicial ou sobre o montante acumulado. Entenda que no primeiro
caso esse crescimento se comporta como um progressão aritmética (P.A.) e no
segundo caso o montante aumenta segundo uma progressão geometrica (P.G.).
Prof. Pedro Evaristo
91
Matemática
De outra forma temos:


Quando os juros são acrescentados, ao capital inicialmente aplicado,
somente após o término da aplicação, podemos dizer que estamos
calculando juros simples.
Quando os juros são incorporados ao capital após cada período
de tempo, criando assim um novo capital a cada período, dizemos
que estamos fazendo uma capitalização ou calculando juros
compostos.
Observe que na figura a seguir, a pilha de moedas da
esquerda cresce linearmente, ou seja, aumenta a mesma quantidade de moedas
por vez (juros simples), enquanto que a da direita cresce muito mais rápido, pois
seu aumento é exponencial (juros compostos).
CAPITAL (C): Aplicação, investimento, saldo
inicial, valor inicial, valor atual, valor presente
e principal.
MONTANTE (M): Resgate, valor amontoado,
saldo devedor, saldo credor, valor futuro e
capital futuro.
JUROS (J): Ganho, rendimento, excedente e
compessação financeira.
TAXA (i): Taxa de juros, indice da taxa de
juros e percentual de juros.
TEMPO (t): Prazo, período, número de
períodos e unidades de tempo.
Prof. Pedro Evaristo
92
Matemática
JUROS SIMPLES
Na capitalização simples, o juro produzido em vários períodos financeiros é
constante em cada período e proporcional ao capital aplicado, sendo este
coeficiente de proporcionalidade chamado de taxa de juros.
CONSIDEREMOS A SEGUINTE QUESTÃO:
A importância de R$ 600,00 é aplicada numa instituição financeira à taxa de
6% ao mês (a.m.), durante 3 meses. Qual o montante após esse tempo?
No problema apresentado anteriormente, temos:
 capital aplicado ..............
R$ 600,00
 taxa % ao mês .............. 6% = 6/100 = 0,06
 tempo em meses ..........
3 meses
Temos que:
 Após o 1º período, os juros serão:
0,06 . R$ 600,00 = R$ 36,00
 Após o 2º período, os juros serão:
R$ 36,00 + R$ 36,00 = R$ 72,00
 Após o 3º período, os juros serão:
R$ 72,00 + R$ 36,00 = R$ 108,00
Assim, o montante (capital mais rendimentos) será de:
R$ 600,00 + R$ 108,00 = R$ 708,00
Vamos generalizar, deduzindo uma fórmula para calcular os juros simples.
C  capital aplicado

i  taxa % por período de tempo
t  número de períodos de tempo

Prof. Pedro Evaristo
93
Matemática
Então, temos
 Após o 1º período, o total de juros será: C.i;
 Após o 2º período, o total de juros será: C.i+C.i;
 Após o 3º período, o total será: C.i+C.i+C.i;
 Após o t-ésimo período, o total de juros será:
C.i + C.i + C.i + .... + C.i.
t parcelas
Assim, a fórmula que fornece o total de juros simples é:
J = C.i.t
O montante final é de:
M=C+J
Vamos resolver novamente nosso problema, utilizando as fórmulas citadas.
Calculando os juros simples, temos:
J = 600.0,06.3 = 108
O montante será de:
M = C + J = 600 + 108 = 708
Prof. Pedro Evaristo
94
Matemática
TEMPO COMERCIAL
Nas aplicações financeiras, frequentemente os bancos comerciais adotam
convenção diferente para contagem do prazo.
O tempo pode ser contado de duas formas:


ANO CIVIL: 365 dias
ANO COMERCIAL: 360 dias
JUROS COMERCIAL (ORDINÁRIOS)
Adotam o ano comercial, ou seja, 30 dias para os meses e 360 dias para o
ano.
Nas aplicações práticas e por convenção, quando nos referimos apenas ao
número de meses, utilizaremos o mês comercial com 30 dias, de forma indiferente.
JUROS EXATOS
Adotam o ano civil e por isso deve ser contado o tempo exato.
Fica implícito que deve ser usado o juro exato quando forem dadas as datas
da negociação e do vencimento, portanto a contagem dos dias deve ser exata,
inclusive considerando anos bissextos.
É importante saber que os bancos trabalham com juros ordinários e tempo
exato. Na contagem dos dias, em geral, exclui-se o primeiro e inclui-se o último dia.
Taxa Diária (ao dia)
a.d.
Taxa Quinzenal (a quinzena)
a.qi.
Taxa Mensal (ao mês)
a.m.
Taxa Bimestral (ao bimestre)
a.b.
Taxa Trimestral (ao trimestre)
a.t.
Taxa Quadrimestral (ao quadrimestre) a.q.
Taxa Semestral (ao semestre)
a.s.
Taxa Anual (ao ano)
a.a.
Prof. Pedro Evaristo
95
Matemática
TAXAS PROPORCIONAIS
Duas ou mais taxas são ditas proporcionais,
quando ao serem aplicadas a um mesmo capital,
durante um mesmo período de tempo, produzem
um mesmo montante no final do prazo, em regimes
de juros simples.
LINK:
i
i M i B iT
i
ou


 S  A
1
2
3
6 12
i
iD iM
i
i
i

 B  T  S  A
1 30 60 90 180 360
EXEMPLO:
 1%a.m. = 2%a.b. = 3%a.t. = 6%a.s. = 12%a.a.
 2% a.d. = 60% a.m. = 720% a.a.
 24%a.a. = 12%a.s. = 6%a.t. = 4%a.b. = 2%a.m.
Prof. Pedro Evaristo
96
Matemática
SIMPLES x COMPOSTO
O capital inicial (principal) pode crescer, como já sabemos, devido aos juros,
segundo duas modalidades a saber: Juros Simples ou Composto.
Vamos ilustrar a diferença entre os crescimentos de um capital através juros
simples e juros compostos, com um exemplo:
Suponha que $100,00 são empregados a uma taxa de 10% a.m. Teremos:
JUROS SIMPLES  ao longo do tempo, somente o principal rende juros.
PRINCIPAL = 100
NO DE MESES
MONTANTE SIMPLES
1
100 + 10%.100 = 110,00
2
110 + 10%.100 = 120,00
3
120 + 10%.100 = 130,00
4
130 + 10%.100 = 140,00
5
140 + 10%.100 = 150,00
LINK:
 Juros calculado em cima
do principal.
 Não pode aplicar juros
em cima dos juros.
 Cresce como uma P.A..
 Taxa equivalente é
proporcional ao tempo.
As taxas equivalentes para cada período são proporcionais ao tempo.
100
+10%
110
+10
+20%
Prof. Pedro Evaristo
120
+10
+30%
130
+10
140
+40%
97
Matemática
JUROS COMPOSTOS  após cada período, os juros são incorporados ao principal e
passam, por sua vez, a render juros. Também conhecido como "juros sobre juros".
PRINCIPAL = 100
NO DE MESES
MONTANTE COMPOSTO
1
100,00 + 10%.100,00 = 110,00
2
110,00 + 10%.110,00 = 121,00
3
121,00 + 10%.121,00 = 133,10
4
133,10 + 10%.133,10 = 146,41
5
146,41 + 10%.146,41 = 161
,05
LINK:
 Juros é calculado em
cima do saldo..
 Pode aplicar juros em
cima dos juros.
 Cresce como uma P.G..
 Taxa equivalente não é
proporcional ao tempo.
As taxas equivalentes para cada período não são proporcionais.
100
+10%
110
+10%
+21%
121
+10%
+33,1%
133,1
+10%
146,41
+46,41%
Observe que o crescimento do principal segundo M
simples é LINEAR enquanto que o crescimento segundo
compostos é EXPONENCIAL, e portanto tem um
crescimento muito mais "rápido". Isto poderia ser
ilustrado graficamente como no gráfico ao lado.
juros
JUROS
juros
COMPOSTO
JUROS
SIMPLES
C
1
Na prática, as empresas, órgãos governamentais
particulares costumam reinvestir as quantias geradas
pelas aplicações financeiras, o que justifica o
emprego mais comum de juros compostos na
Economia. Na verdade, o uso de juros simples não se
justifica em estudos econômicos.
Prof. Pedro Evaristo
e
t
investidores
98
Matemática
LINK:
Para ganhar tempo em muitas questões, o que é fundamental em concursos, observe que
se um capital x aumenta 20%, ele irá para 120% de x. Dessa forma não é necessário fazer o
desenvolvimento:
x + 20%x = 100%x + 20%x = 120%x = 1,20x
+20%
20%
x
120%x
x
80%x
50%
x
150%x
x
Observe os aumentos e descontos a seguir:
+84%
84%
x
184%x
x
+50%
x
+136%
236%x
x
+100%
x
50%x
x
16%x
x
200%x
x
+100%
+200%
+400%
+800%
2x
3x
5x
9x
R–
Reais
I–
Irracion
ais
Q–
Raciona
is
Z–
Inteiros
N–
Naturai
s
Prof. Pedro Evaristo
99
Matemática
EXEMPLOS
01. Um capital de R$800 é aplicado por 1 ano, em regime de juros simples, com
taxa de 5% a.m.. Determine o resgate e o rendimento dessa aplicação.
1ª SOLUÇÃO:
Sem usar fórmula, temos que:
5% de R$ 800,00 = R$ 40,00 (juros em 1 mês)
Logo, para 1 ano, ou seja, 12 meses, temos:
12 x R$ 40,00 = R$ 480,00 (rendimento em juros simples ao fim de 12 meses)
Portanto, o resgate (montante) será
R$ 800,00 + R$ 480,00 = R$ 1280,00
2ª SOLUÇÃO:
Dados:
C = 800
i = 5% a.m.
t = 1 ano = 12 meses (a unidade da taxa deve coincidir com a unidade do
tempo)
Aplicando na fórmula J = C.i.t, temos
J = 800.5%.12
J = 800.
5
100
.12
J = 480 (rendimento)
Como M = C + J, então
M = 800 + 480
Portanto o resgate (montante) é de 1280 reais.
Prof. Pedro Evaristo
100
Matemática
EXERCÍCIOS
ANOTAÇÕES:
01. (CESGRANRIO) Aplicações financeiras
podem
ser
feitas
em
períodos
fracionários e inteiros em relação à taxa
apresentada, tanto em regimes de
capitalização
simples
quanto
compostos. A partir de um mesmo
capital inicial, é possível afirmar que o
montante final obtido pelo regime
composto em relação ao montante
obtido pelo regime simples:
a) é sempre maior
b) é sempre menor
c) nunca é igual
d) nunca é menor
e) pode ser menor
02. Foi feita uma aplicação de R$
4.000,00 a uma taxa de 20% a.q., em um
regime de juros simples, durante três
trimestres. Determine o valor do resgate
após esse período.
a) R$ 6.200,00
b) R$ 5.800,00
c) R$ 4.500,00
d) R$ 2.400,00
e) R$ 1.800,00
03. Diego atrasou o pagamento de um
boleto bancário de R$120,00, que
venceu dia 12 de março. Em caso de
Prof. Pedro Evaristo
101
Matemática
atraso será cobrada multa de 4% e juros simples de 3% a.m.. Quanto seria o total
pago por ele no dia 19 de agosto do mesmo ano?
a) 139,20
b) 144,00
c) 153,00
d) 162,40
04. (FCC) Em um regime de capitalização simples, um capital de R$ 12 800,00 foi
aplicado à taxa anual de 15%. Para se obter o montante de R$ 14 400,00, esse
capital deve ficar aplicado por um período de
a) 8 meses.
b) 10 meses.
c) 1 ano e 2 meses.
d) 1 ano e 5 meses.
e) 1 ano e 8 meses.
05. (CESGRANRIO) Uma loja oferece uma motocicleta por R$ 4.000,00 a vista ou por
50% deste valor a vista como entrada e mais um pagamento de R$ 2.200,00 após 4
meses. Qual é a taxa de juros simples mensal cobrada?
a) 0,025% ao mês
b) 0,150% ao mês
c) 1,500% ao mês
d) 2,500% ao mês
e) 5,000% ao mês
Prof. Pedro Evaristo
102
Matemática
06. (ESAF) O preço à vista de uma
mercadoria é de $1.000,00. O comprador
pode, entretanto, pagar 20% de entrada
no ato e o restante em uma única
parcela de $922,60 vencível em 90 dias.
Admitindo-se o regime de juros simples, a
taxa de juros anuais cobrada na venda a
prazo é de:
a) 98,4%
ANOTAÇÕES:
b) 122,6%
c) 22,6%
d) 49,04%
e) 61,3%
07. (NCE) Antônio tomou um empréstimo
de R$5.000,00 a uma taxa de juros mensal
de 4% sobre o saldo devedor, ou seja, a
cada mês é cobrado um juro de 4%
sobre o que resta a pagar. Antônio
pagou R$700,00 ao final do primeiro mês
e R$1.680,00 ao final do segundo; se
Antônio decidir quitar a dívida ao final do
terceiro mês, terá de pagar a seguinte
quantia:
a) R$3.500,00
b) R$3.721,00
c) R$3.898,00
d) R$3.972,00
e) R$3.120,00
08. (CESPE) Se o capital for igual a 2/3 do
montante e o prazo de aplicação for de
2 anos, qual será a taxa de juros simples
considerada?
a) 1,04% a.m.
Prof. Pedro Evaristo
103
Matemática
b) 16,67% a.m.
c) 25% a.m.
d) 16,67% a.a.
e) 25% a.a.
09. (CESPE) Um consumidor desejava comprar um computador em determinada
loja, mas não dispunha da quantia necessária ao pagamento do preço à vista,
que era de R$ 1.400. Por isso, o vendedor aceitou que o consumidor desse um
valor qualquer de entrada, no momento da compra, e pagasse o restante em
uma única parcela, no prazo máximo de seis meses, a contar da data da compra,
com juros mensais iguais a 4% ao mês, sob o regime de juros simples. Exatamente
cinco meses após a compra, o consumidor pagou a parcela restante, no valor de
R$ 660,00. Nessa situação, é correto concluir que o valor da entrada paga pelo
consumidor foi igual a
a) R$ 280.
b) R$ 475.
c) R$ 740.
d) R$ 850.
e) R$ 1.120.
Prof. Pedro Evaristo
104
Matemática
10. (FCC) Em determinada data, uma pessoa aplica R$10.000,00 à taxa de juros
simples de 2% ao mês. Decorridos 2
ANOTAÇÕES:
meses, outra pessoa aplica R$8.000,00 à
taxa de juros simples de 4% ao mês.
Determine quantos meses depois da
primeira aplicação o montante referente
ao valor aplicado pela primeira pessoa
será igual ao montante referente ao valor
aplicado pela segunda pessoa.
a) 22
b) 20
c) 24
d) 26
e) 18
11. (FCC) Num mesmo dia, são aplicados
a juros simples: 2/5 de um capital a 2,5%
ao mês e o restante, a 18% ao ano. Se,
decorridos 2 anos e 8 meses da
aplicação, obtém-se um juro total de R$ 7
600,00, o capital inicial era
a) R$ 12 500,00
b) R$ 12 750,00
c) R$ 14 000,00
d) R$ 14 500,00
e) R$ 14 750,00
12. (FCC) Determinado capital aplicado a
juros simples durante 18 meses rendeu R$
7.200,00. Sabe-se que, se o dobro deste
capital fosse aplicado a juros simples com
a mesma taxa anterior, geraria, ao final
de dois anos, o montante de R$ 40.000,00.
O valor do capital aplicado na primeira
situação foi:
a) R$ 24.000,00
Prof. Pedro Evaristo
105
Matemática
b) R$ 20.800,00
c) R$ 15.200,00
d) R$ 12.500,00
e) R$ 10.400,00
GABARITO
01. E 02. B 03. B 04. B 05. D
06. E 07. E 08. E 09. D 10. A
11. A 12. E
Prof. Pedro Evaristo
106
Matemática
CAPÍTULO 06
JUROS COMPOSTOS
INTRODUÇÃO
Na capitalização composta, o juro produzido no final de cada período
financeiro é somado ao capital que o produziu, passando os dois, capital mais
juros a render juros no período seguinte.
Quando estudamos juros simples, calculamos o montante produzido por R$
600,00, aplicados a 6% a.m., depois de 3 meses. Obtivemos um montante final de
R$ 708,00.
No entanto é muito mais comum as aplicações serem feitas a juros
compostos, ou seja, após cada período de tempo, os juros são integrados ao
capital, passando também a render juros, como, por exemplo, nas cadernetas de
poupança.
Vamos refazer aquele problema, utilizando juros compostos:
 Após o 1º período (mês), o montante será:
1,06 . R$ 600,00 = R$ 636,00
 Após o 2º período (mês), o montante será:
1,06 . R$ 636,00 = R$ 674,16
 Após o 3º período (mês), o montante será:
1,06 . R$ 674,16 = R$ 714, 61
Esse é o montante final, representado por M. Observe que esse montante é maior
do que o achado anteriormente, quando utilizamos juros simples.
Assim, como fizemos para juros simples, vamos encontrar uma fórmula para o
cálculo de juros compostos.
Prof. Pedro Evaristo
107
Matemática
Sejam:
C  capital inicial
i  taxa % por período de tempo


t  número de períodos de tempo
M  mon tan te final
Então:
 após o 1º período (mês), o montante será:
M1 = C + i.C

M1 = C.(1 + i);
 após o 2º período (mês), o montante será:
M2 = M1+ i.M1

M2 = C(1 + i).(1 + i)
M2 = M1.(1 + i)

M2 = C.(1 + i)2.
 após o 3º período (mês), o montante será:
M3 = M2 + i.M2 
M3 = M2.(1 + i)
M3 = C(1 + i)2.(1 + i)

M3 = C.(1 + i)3.
Procedendo de modo análogo, é fácil concluir que, após t períodos de
tempo, o valor Mt, que indicaremos simplesmente por M, será:

M = C.(1 + i)t
Assim, resolvendo novamente o problema dado, temos:
M = 600.(1+6%)3
Olhando na tabela 1, temos (1+6%)3 = 1,1910, logo
Prof. Pedro Evaristo
108
Matemática
M = 600.1,1910
então
M = 714,60
Para determinar os juros produzidos, basta calcular a diferença entre o montante
produzido e o capital.
J=M–C
No exemplo dado, teremos:
J = 714,60 – 600
Portanto
J = 114,60
LINK:
Na fórmula para o cálculo do Montante aparecem quatro variáveis: M, C, i e t. Podemos
encontrar qualquer uma delas, desde que se conheçam as outras três.
LINK:
É extremamente importante saber ler e interpretar as tabelas contidas nos anexos. A
tabela I, por exemplo, diz respeito à capitalização composta, dando o fator de
acumulação (1+i)t.
Portanto, você não precisa calcular o valor de (1+5%)10, basta olhar o resultado na linha
10 (período), coluna 5% (taxa) e encontrar 1,6289.
Prof. Pedro Evaristo
109
Matemática
LEITURA NA TABELA
É extremamente importante saber ler e interpretar as tabelas contidas nos
anexos. A tabela 1, por exemplo, diz respeito à capitalização composta, dando o
fator de acumulação (1+i)n.
Portanto, você não precisa calcular o valor de (1+6%)9, basta olhar nessa
tabela o resultado na linha 9 (período) associada à coluna 6% (taxa), para
encontrar 1,6895 (como visto na figura).
TABELA 1
FATOR DE ACUMULAÇÃO DE CAPITAL ÚNICO
1,6895
Prof. Pedro Evaristo
110
Matemática
EXEMPLOS
01. Um capital de R$800 é aplicado por 1 ano, em regime de juros compostos,
com taxa de 5% a.m.. Determine o resgate e o rendimento dessa aplicação
SOLUÇÃO:
Dado:
M  ?

C  R$ 800,00

i  5% a.m.
MESMA UNIDADE DE TEMPO
t  1ano  12 meses
Sendo
M = C.(1 + i)t
então
M = 800.(1+5%)12
Pela tabela 1, temos:
M = 800.1,796 = 1436,8
Portanto o montante final será de R$ 1.436,80.
Prof. Pedro Evaristo
111
Matemática
EXERCÍCIOS
ANOTAÇÕES:
01. (ACEP) Fátima aplicou R$ 1.000,00 a
uma taxa de juros compostos de 10% ao
mês e por um prazo de 1 trimestre. Tendo
sido as capitalizações mensais, qual será
o valor do resgate?
a) R$ 1.331,00
b) R$ 1.300,00
c) R$ 331,00
d) R$ 300,00
e) R$ 1.000,00
02. (FCC) Um capital de R$ 2.000,00 foi
aplicado à taxa de 3% ao mês durante 3
meses. Os montantes correspondentes
obtidos segundo capitalização simples e
composta, respectivamente, valem
a) R$ 2.180,00 e R$ 2.185,45.
b) R$ 2.180,00 e R$ 2.480,00.
c) R$ 2.185,45 e R$ 2.485,45.
d) R$ 2.785,45 e R$ 2.480,00.
03. (CESGRANRIO) Milena tem dois
pagamentos a realizar. O primeiro é de
R$ 1.100,00 daqui a dois meses e o
segundo é de R$ 1.210,00 daqui a três
meses. Milena pretende juntar essas duas
dívidas em uma só, com vencimento
daqui a quatro meses. A taxa de juros
corrente é de 10% ao mês. Qual o valor a
ser pago?
a) R$ 2.310,00
b) R$ 2.600,00
c) R$ 3.074,61
d) R$ 3.003,00
Prof. Pedro Evaristo
112
Matemática
e) R$ 2.662,00
04. (FCC) Um capital de R$ 400,00 foi aplicado a juros simples por 3 meses, à taxa
de 36% ao ano. O montante obtido nessa aplicação foi aplicado a juros
compostos, à taxa de 3% ao mês, por um bimestre. O total de juros obtido nessas
duas aplicações foi
a) R$ 149, 09
b) R$ 125,10
c) R$ 65,24
d) R$ 62,55
e) R$ 62,16
05. A caixa beneficente de uma entidade rende, a cada mês, 10% sobre o saldo
do mês anterior. Se, no início de um mês, o saldo era x, e considerando-se que não
haja retiradas, depois de 4 meses o saldo será de:
a) (11/10)4.x
b) (11/10)3.x
c) x + (11/10)4.x
d) x + (11/10).x
e) x + 40%.x
Prof. Pedro Evaristo
113
Matemática
06. Carol investiu R$3.000,00 em um
fundo de longo prazo, que rende
cumulativamente 4% a.m. Quanto ela irá
resgatar dois anos depois? Dado:
(26/25)24 = 2,563
a) 9.760,00
ANOTAÇÕES:
b) 8.310,00
c) 7.689,00
d) 6.970,00
07. Determine o valor mais próximo da
aplicação que 14 meses mais tarde gera
um montante de R$2.000,00, quando
submetido a uma taxa mensal composta
de 5%. (Use 1,05-14 = 0,505)
a) R$ 1.010,00
b) R$ 1.100,00
c) R$ 1.210,00
d) R$ 1.320,00
08. (FCC) O capital que quadruplica em
2 meses, ao se utilizar de capitalização
composta, deve estar vinculado a uma
taxa mensal de
a) 50%
b) 100%
c) 150%
d) 200%
09. Quantos meses são necessários para
que um capital triplique, se for submetido
a uma taxa de juros compostos de
13%a.m.?
Prof. Pedro Evaristo
114
Matemática
a) 9
b) 8
c) 7
d) 6
10. Por quanto tempo deve ser aplicado um capital de R$5.000,00, em regime de
juros compostos e taxa de 6%a.t., para gerar um montante de R$7.518,00?
a) 7 anos
b) 2 anos e 1 mês
c) 1 ano e 9 meses
d) 1 ano e 3 meses
11. (ESAF) Ao fim de quantos trimestres um capital aplicado a juros compostos de
9% ao trimestre aumenta 100%.
a) 14
b) 12
c) 10
d) 8
e) 6
12. Uma aplicação de R$ 3.000,00 rendeu R$ 2.370,00 em 10 meses. Qual a taxa
mensal composta de juros dessa operação?
a) 2%
b) 4%
c) 6%
d) 8%
GABARITO
01. A 02. A 03. E 04. D 05. A 06. C
Prof. Pedro Evaristo
115
Matemática
07. A 08. B 09. A 10. C 11. D 12. C
Prof. Pedro Evaristo
116
Matemática
Prof. Pedro Evaristo
117
Matemática
Prof. Pedro Evaristo
118
Matemática
CAPÍTULO 07
PROGRESSÃO ARITMÉTICA
INTRODUÇÃO
Todo conjunto de elementos, numéricos ou não, colocados numa
determinada ordem é chamado de seqüência ou sucessão.
Temos uma seqüência de termos quando eles seguem uma lógica. Por
exemplo:

Somamos 3 a cada termo para encontrar o seguinte.
(2, 5, 8, 11, 14)
+3 +3 +3 +3

Estamos multiplicando 3 a cada termo para encontrar o seguinte.
(2, 6, 18, 54, 162)
x3 x3 x3 x3
PROGRESSÃO ARITMÉTICA
É toda seqüência numérica em que cada termo, a partir do segundo, é
igual a soma do termo anterior com uma constante r. O número r é chamado de
razão da P.A.
EXEMPLO:


PA crescente  (2, 5, 8, 11, 14 ...) onde r = 3
PA decrescente  (20, 16, 12, 8 ...) onde r = - 4
Prof. Pedro Evaristo
119
Matemática
OBS.:
Se r >0  PA crescente
Se r < 0  PA decrescente
Se r = 0  PA constante
TERMO GERAL
an = a1 + (n –1).r
an = ak + (n –k).r
LINK:
OBS.:
ATENÇÃO!
Veja como é fácil verificar essa relação:
Observe que pode escrever
qualquer termo em função
de qualquer outro termo e a
razão, não somente do
primeiro termo e da razão.
a2 = a1 + r
a3 = a2 + r = a1 + 2r
a4 = a3 + r = a1 + 3r
a5 = a4 + r = a1 + 4r

an = an+1 + r = a1 +(n – 1)r
EXEMPLO:
Uma sequência é dada pela lei de formação an = 5 + 3n. Encontre os primeiros
termos dessa seqüência e determine a razão.
SOLUÇÃO:
Dada a lei de formação, basta substituir “n” por 1, 2, 3, 4 e 5 para encontrar os
cinco primeiros temos.
Prof. Pedro Evaristo
120
Matemática
a1 = 5 + 3.1 = 8
a2 = 5 + 3.2 = 11
a3 = 5 + 3.3 = 14
a4 = 5 + 3.4 = 17
a5 = 5 + 3.5 = 20
logo, temos que a sequência é uma PA de razão 3. Observe:
PA (8, 11, 14, 17, 20)
EXEMPLO:
Determine o 11º termo da PA (4, 10, 16, ...).
SOLUÇÃO:
Observe que o 1º termo é
a1 = 4
e a razão
r = 10  4 = 6
sabendo que
a11 = a1 + 10r
então temos
a11 = 4 + 10.6 = 64
TERMOS EQUIDISTANTES
Observe que a soma é sempre constante entre dois termos equidistantes.
TERMO MÉDIO
Prof. Pedro Evaristo
121
Matemática

(3, 7, 11, 15, 19, 23, 27)
TERMO MÉDIO
O termo médio só ocorre quando temos um número ímpar de termos, no entanto,
ele representa a média aritmética de todos os termos de uma progressão
aritmética, não importando o número de termos.
Tm =
a1  an
2
LINK:
Podemos afirmar então que de uma PA ( a, b, c ) temos:
b=
ac
2
EXEMPLO:
Com relação a progressão aritmética crescente (x, x+4, 3x2, y), determine:
Prof. Pedro Evaristo
122
Matemática
a) O valor de x.
A sequência (x, x+4, 3x-2) é uma PA, logo
(x+4) – x = (3x-2) – (x+4)
Logo
x=5
b) A razão dessa PA.
Substituindo x = 5, temos:
PA (5, 5+4, 3.5–2, y)
Logo, temos uma PA de razão r=4.
PA (5, 9, 13, y)
c) O valor de y.
Da sequência, percebe-se que
y = 13 + 4 = 17
SOMA DOS n PRIMEIROS TERMOS
Para somarmos todos os termos de uma PA, basta multiplicar o termo médio
(média dos termos) pelo número de termos dessa PA.
Sn=
(a1  an )
.n
2
Prof. Pedro Evaristo
123
Matemática
LINK:
TRÊS TERMOS EM PA
Na maioria das vezes que o problema propuser três números em PA é
interessante escreve-los da seguinte forma:
( x – r , x, x + r )
QUATRO TERMOS EM PA
Nesse caso a razão da PA é r = 2k.
( x – 3k, x – k , x + k, x + 3k )
Prof. Pedro Evaristo
124
Matemática
EXERCÍCIOS
ANOTAÇÕES:
01. Interpole quatro meios aritméticos
entre 10 e 30. Qual a razão dessa
progressão?
a) 3
b) 4
c) 5
d) 6
02. Sabendo que, numa PA, a3 = 13 e a12
= 49, determine a5.
a) 4
b) 5
c) 12
d) 21
03. Determine o valor da soma S = 2 + 5 +
8 + ... + 200.
a) 7676
b) 6767
c) 5858
d) 4545
04. Os lados de um triângulo retângulo
formam uma PA cuja razão é 5. Ache a
medida da hipotenusa.
a) 15
b) 20
Prof. Pedro Evaristo
125
Matemática
c) 25
d) 30
05. Qual a soma dos termos de uma PA cujo primeiro termo é 4, o último termo é 46
e a razão é igual ao número de termos?
a) 175
b) 185
c) 195
d) 205
06. Numa PA, a5 = 10 e r = 6. Qual a soma dos 20 primeiros termos dessa PA?
a) 860
b) 820
c) 780
d) 730
07. Em uma PA, a3 + a6 = 25 e a1 + a7 = 22. Determine a razão dessa PA.
a) 1
b) 2
c) 3
d) 4
08. Seja S = 20 + 30 + ... + 310, determine o valor de S.
a) 4950
b) 2980
c) 1250
d) 620
Prof. Pedro Evaristo
126
Matemática
09. Sabe-se que a seqüência (x–2, 3x,
4x+8, ...) é uma progressão aritmética. O
décimo primeiro termo dessa progressão
é:
a) 128
b) 144
c) 158
d) 162
ANOTAÇÕES:
10. Uma progressão aritmética é tal que o
5º termo é 21 e a diferença entre o 18º e
o 10º termos é 48. Nessas condições, a
soma dos 18 primeiros termos dessa
progressão é:
a) 864
b) 870
c) 976
d) 984
11. Leia com atenção a história em
quadrinhos.
Prof. Pedro Evaristo
127
Matemática
Considere que o leão da história acima tenha repetido o convite por várias
semanas. Na primeira, convidou a Lana para sair 19 vezes; na segunda semana,
convidou 23 vezes; na terceira, 27 vezes e assim sucessivamente, sempre
aumentando em 4 unidades o número de convites feitos na semana anterior.
Imediatamente após ter sido feito o último dos 492 convites, qual o número de
semanas já decorridas desde o primeiro convite?
a) 9
b) 10
c) 11
d) 12
Prof. Pedro Evaristo
128
Matemática
ANOTAÇÕES:
12. (CESGRANRIO) Em 15 partidas que
certo time de futebol disputou em um
campeonato, houve x empates, y
derrotas e z vitórias. Se x, y e z formam,
nessa ordem, uma progressão aritmética
de razão 2, quantos jogos esse time
venceu?
a) 5
b) 6
c) 7
d) 8
e) 9
13. No projeto urbanístico de uma
cidade,
o
paisagista
previu
a
urbanização do canteiro central de uma
das avenidas, com o plantio de 63 mudas
de Flamboyant, todas dispostas em linha
reta e distantes 5 m uma da outra. No dia
do plantio, o caminhão descarregou as
mudas no início do canteiro central, no
local onde seria plantada a primeira
muda. Um jardineiro foi designado para
executar o serviço. Para isso, partindo do
lugar onde as mudas foram colocadas,
ele pegou três mudas de cada vez,
plantou-as
nos
locais
designados,
enfileirando-as uma após a outra.
Calcule, em metros, a distância total
mínima percorrida pelo jardineiro após
finalizar o trabalho.
a) 6350
b) 6410
c) 6580
d) 6720
Prof. Pedro Evaristo
129
Matemática
GABARITO
01. B 02. D 03. B 04. C 05. A
06. A 07. C 08. A 09. B 10. A
11. D 12. C 13. B
Prof. Pedro Evaristo
130
Matemática
SOLUÇÕES
01. SOLUÇÃO:
Interpolar, como próprio nome sugere, significa colocar entre os extremos 10 e 30,
quatro números que gerem uma progressão aritmética. Dessa forma, temos:
PA(10, a2, a3, a4, a5, 30)
Portanto,
a1 = 10
e
a6 = 30
Sendo
a6 = a1 + 5r
temos
30 = 10 + 5r
Logo
r=4
02. SOLUÇÃO:
1ª SOLUÇÃO:
Como
a3 = a1 + 2r e a12 = a1 + 11r
Então
a1 + 2r = 13
(I)
a1 + 11r = 49( II )
multiplicando (1) por 1 e somando as parcelas, temos
a1  2r = 13
a1 + 11r = 49
Prof. Pedro Evaristo
131
Matemática
9r = 36  r = 4
substituindo em ( I ) temos
a1 + 2.4 = 13  a1 = 13  8 = 5
logo
a5 = a1 + 4r
a5 = 5 + 4.4 = 21
2ª SOLUÇÃO:
De uma forma mais simples podemos dizer que a12 = a3 + 9.r
Portanto
49 = 13 + 9r  9r = 36  r = 4
como a5 = a3 + 2r temos
a5 = 13 + 2.4  a5 = 21
03. SOLUÇÃO:
Observe que
r = a2  a1 = 5 2 = 3.
Como
a1 = 2
e
an = 200,
podemos substituí-los na formula do termo geral an = a1 + (n1).r para encontrar n.
200 = 2 + (n1).3
200 = 2 + 3n  3
3n = 201
Logo
n = 67
Prof. Pedro Evaristo
132
Matemática
A soma dos n termos é dada por
Sn =
(a1  an )
.n
2
portanto
S67 =
( 2  200 )
.67 =
2
Prof. Pedro Evaristo
6767
133
Matemática
04. SOLUÇÃO:
1ª SOLUÇÃO:
Como os lados do triângulo estão em PA, podemos escrevelos na forma (x– r, x, x
+ r), onde a hipotenusa (lado maior) é x + 5 e os catetos são x e x – 5.
Aplicando o teorema de Pitágoras, temos:
(x + 5)2 = x2 + (x  5)2
x+5
x5
x2 + 2x.5 + 52 = x2 + x2  2x.5 + 52
x
x2  20x = 0
x.(x  20) = 0
x’ = 20 ou x” = 0 (não convém)
Portanto os lados são 15, 20 e 20.
2ª SOLUÇÃO:
Para ganhar tempo, saiba que todo triângulo retângulo, cujos lados estão em PA,
terão seus lados proporcionais ao famoso triangulo Pitagórico de lados 3, 4 e 5,
onde a razão de proporção é igual a razão da progressão.
Como r = 5, os lados do triângulo são
3r = 15, 4r = 20 e 5r = 25.
5r
3r
4r
05. SOLUÇÃO:
Dados:
a1 = 4
an = 46
r=n
Sendo
Prof. Pedro Evaristo
134
Matemática
an = a1 + (n-1).r
temos
46 = 4 + (n-1).n
Ou seja
n.(n-1) = 42
Ao invés de desenvolvermos, podemos pensar em dois números consecutivos cujo
produto seja 42, assim como 6 e 7. Dessa forma, temos:
n=7
Para calcular a soma desses termos, podemos aplicar na formula
S7 =
(a1  a7 )
.7
2
S7 =
( 4  46 )
2
Logo
.7
Portanto
S7 = 25.7 = 175
06. SOLUÇÃO:
Seja
a5 = a1 + 4r,
então
10 = a1 + 4.6  a1 = 14
Como a soma dos 20 primeiros termos é dado por
S20 =
(a1  an )
.20
2
onde
a20 = a1 + 19.r
então
a20 = 14 + 19.6 = 100
Prof. Pedro Evaristo
135
Matemática
portanto, temos
S20 =
( 14  100 )
2
.20 = 860
07. SOLUÇÃO:
Sejam
a3 + a6 = 25
a1 + a7 = 22
Então
a1 + 2r + a1 +5r = 25
a1 + a1 +6r = 22
Somando as equações
2a1 + 7r = 25
–2a1 – 6r = –22
Temos
r=3
08. SOLUÇÃO:
Seja a soma da PA de 30 termos
S = 20 + 30 + ... + 310
então
S = (20 + 310).30/2
S = 4950
09. SOLUÇÃO:
Como a seqüência
(x–2, 3x, 4x+8, ...)
é uma progressão aritmética, temos
Prof. Pedro Evaristo
136
Matemática
(3x) – (x–2) = (4x+8) – (3x)
x=6
Logo
PA (4, 18, 32, ...)
a1 = 4
r = 14
Portanto, o décimo primeiro termo é
a11 = a1 + 10r
a11 = 4 + 10.14
a11 = 144
10. SOLUÇÃO:
Do enunciado temos
a18 – a10 = 48
a10 + 8r – a10 = 48
Logo
r=6
Ainda do enunciado temos
a5 = 21
a1 + 4r = 21
a1 + 4.6 = 21
Logo
a1 = –3
Portanto
a18 = a1 + 17r
a18 = –3 + 17.6
a18 = 99
Prof. Pedro Evaristo
137
Matemática
Nessas condições, a soma dos 18 primeiros
S18 = (–3 + 99).18/2
S18 = 864
11. SOLUÇÃO:
Do enunciado temos
PA (19, 23, 27, ...)
Sn = 492
(a1 + an).n/2 = 492
Como
an = a1 + (n–1)r
an = 19 + (n–1).4
an = 15 + 4n
Então
(19 + 15 + 4n).n/2 = 492
(17 + 2n).n = 492
Logo
n = 12
12. SOLUÇÃO:
Como x, y e z, formam um PA de razão 2, então
y=z–2ex=z–4
Se
x + y + z = 15
então
z – 4 + z – 2 + z = 15
3z = 21
Prof. Pedro Evaristo
138
Matemática
z=7
13. SOLUÇÃO:
De acordo com o enunciado, como as plantas distam 5m e a 1ª fica no marco
zero, temos a figura:
...
10m
25m
40m
Como são plantadas de 3 em 3 e o total é de 63 mudas, teremos:
n = 63/3 = 21 viagens
O total percorrido (ida e volta) será a soma da progressão
S21 = 20 + 50 + 80 + ... + a21
Onde
a21 = a1 + 20r
a21 = 20 + 20.30
a21 = 620
logo
S21 = (a1 + a21).21/2
S21 = (20 + 620).21/2
S21 = 6720
Como ele termina o serviço depois que planta a ultima muda, não fará a ultima
viagem de volta, portanto
S = 6720 – 310 = 6410 m
Prof. Pedro Evaristo
139
Matemática
CAPÍTULO 08
PROGRESSÃO GEOMÉTRICA
INTRODUÇÃO
É toda seqüência numérica em que cada termo, a partir do segundo, é
igual ao produto do termo anterior por uma constante q (na PA usamos r, de
razão, e agora a letra q, de quociente). O número q é chamado de razão da P.G.
Ex.:

PG divergente  (2, 6, 18, 54, 162...) onde q = 3
x3 x3

x3 x3
PG convergente  (40, 20, 10, 5 ...) onde q = 1/2
x½ x½
x½
OBS.:
Se q > 1  PG divergente (os termos afastam-se de zero)
Se q < 1  PG convergente (os termos aproximam-se de zero)
Se q = 1  PG constante
TERMO GERAL
LINK:
an  a1.q n 1
an  ak .q n k
ATENÇÃO!
Observe que, assim como na
PA, você pode escrever
qualquer termo em função
de qualquer outro termo e a
razão, não somente do
primeiro termo e da razão.
Prof. Pedro Evaristo
140
Matemática
OBS.:
Veja como é fácil verificar essa relação:
a2 = a1 . q
a3 = a2 . q = a1 q2
a4 = a3 . q = a1 q3
a5 = a4 . q = a1 q4

an = an+1 . q = a1 qn – 1
TERMOS EQUIDISTANTES
Observe que o produto é sempre constante entre dois termos eqüidistantes de
TERMO MÉDIO
uma PG.
( 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128)
TERMO MÉDIO
O termo médio só existe quando a PG tem um número ímpar de termos
Tm   a1.an
Prof. Pedro Evaristo
141
Matemática
OBS.:
O seu sinal do termo médio vai depender dos sinais do primeiro termo a1 e da
razão q.
LINK:
Podemos afirmar então que de uma PG ( a, b, c ) temos:
b2 = a.c
SOMA DE UMA PG FINITA
Sn 
a1(q n  1)
q 1
SOMA DE UMA PG INFINITA ( q < 1 )
S 
a1
1 q
Prof. Pedro Evaristo
142
Matemática
LINK:
TRÊS TERMOS EM PG
Na maioria das vezes que o problema propuser três números em PG é
interessante escreve-los da seguinte forma:
(
x
, x, xq )
q
QUATRO TERMOS EM PG
Nesse caso a razão da PG é q=k2.
(
x
k
3
,
x
, xk, xk3 )
k
CURIOSIDADE
Uma lenda interessante conta que um rei após
perder seu filho em um batalha contra um reino
vizinho estava muito triste e inconformado, até que
um sábio o presenteou com um jogo de estratégia
que havia criado, o xadrez. O rei ficou tão feliz e
satisfeito que disse ao inventor que ele poderia pedir o que quisesse, logo o
inventor respondeu: “Quero apenas 1 grão de trigo pela primeira casa do
tabuleiro, 2 grãos pela segunda casa, 4 pela terceira, 8 pela quarta, 16 pela
quinta, e assim por diante, sempre dobrando a quantidade a cada nova casa”.
Prof. Pedro Evaristo
143
Matemática
Como o tabuleiro de xadrez tem 64 casas, o sábio inventor pediu a soma dos
primeiros 64 termos da PG(1, 2, 4, 8, 16, 32, ...), cuja razão q é 2, ou seja,
Sn 
a1(q n  1)
q 1
=
1.(264  1)
2 1
= 264 –1 = 18.446.744.073.709.551.615 grãos
Imagine o prejuízo! Nem todos os grãos de trigo de todo o planeta pagariam
a dívida!
Prof. Pedro Evaristo
144
Matemática
EXERCÍCIOS
ANOTAÇÕES:
01. Qual o valor x que devemos somar
aos números 1, 4 e 10 para obter uma PG
crescente?
a) 2
b) 3
c) 5
d) 6
e) 8
02. Interpolando 4 meios geométricos
entre 10 e 320, obtemos uma PG de
razão q. Determine o segundo termo
dessa PG.
a) 5
b) 10
c) 20
d) 50
e) 165
03. Durante o último jogo da seleção
brasileira, brinquei com minha prima,
apostando quem conseguiria colocar
mais pipocas na boca. Comecei
colocando 2 na boca e fui aumentando
r pipocas por vez, como em uma PA. Ela
começou colocando 1 na boca e foi
multiplicando por r, como numa PG. Na
quarta vez em que colocamos pipocas
na
boca,
descobrimos
que
a
quantidade colocada por nós dois foi a
Prof. Pedro Evaristo
145
Matemática
mesma. Nessa nossa brincadeira, o valor de r é
a) um número quadrado perfeito.
b) um número maior que 3.
c) um divisor de 15.
d) um múltiplo de 3.
e) um número primo.
04. Na seqüência de figuras, cada quadrado tem 1cm2 de área.
Supondo que as figuras continuem evoluindo no mesmo padrão aqui encontrado,
a área da figura 20 terá valor
a) entre 0 e 10.000
b) entre 10.000 e 50.000
c) entre 50.000 e 100.000
d) maior que 100.000
Prof. Pedro Evaristo
146
Matemática
05. Qual o valor de x = 4 + 2 + 1 + 1/2 +
1/4 + 1/8 + ...?
a) 6
b) 7
c) 8
d) 9
ANOTAÇÕES:
06. Qual a condição para que três
números
a,
b
e
c
estejam,
simultaneamente,
em
progressão
aritmética e em progressão geométrica?
a) ac = b2.
b) a + c = 2b.
c) a = b = c.
d) ac = 2b.
07. Uma progressão aritmética (P.A.) e
uma progressão geométrica (P.G.), cujos
termos são inteiros, têm o mesmo primeiro
termo e a mesma razão. Se o quinto
termo da P.A. é 11 e a diferença entre o
segundo termo da P.G. e o segundo
termo da P.A. é 1, então o quinto termo
da P.G. é
a) 243
b) 162
c) 95
d) 48
Prof. Pedro Evaristo
147
Matemática
08. A seqüência (10, b, c) é uma PA e a seqüência (10, b, 40) é uma PG. Então o
valor de c é igual a:
a) 50
b) 30
c) 20
d) 15
e) 10
09. Interpolando três meios geométricos entre 3 e 48 obtemos um PG de razão
positiva q e inserindo dois meios aritméticos entre esses mesmo números obtemos
uma PA de razão r. Determine o valor do produto qr.
a) 30
b) 15
c) 10
d) 5
10. Qual o valor da soma S = 2  1 + 1/2  1/4 + ...?
a) 1/2
b) 3/4
c) 4/3
d) 2/3
e) 2/5
Prof. Pedro Evaristo
148
Matemática
SOLUÇÕES
01. SOLUÇÃO:
Dado
PG (1+x, 4+x, 10+x)
Então
(4+x)/(1+x) = (10+x)/(4+x)
Logo
(4+x)2 = (1+x).(10+x)
16 + 8x + x2 = 10 + x + 10x + x2
6 = 3x
Portanto
x=2
02. SOLUÇÃO:
Do enunciado
Logo
a6 = a1.q5
320 = 10.q5
q=2
portanto
a2 = 20
Prof. Pedro Evaristo
149
Matemática
03. SOLUÇÃO:
Do enunciado temos
PA (2, 2 + r, 2 + 2r, 2 + 3r, ...)
PG (1, r, r2, r3, ...)
Logo
2 + 3r = r3
Portanto, o único inteiro que satisfaz essa equação é
r=2
Que é um número primo.
04. SOLUÇÃO:
Observe que as figuras evoluem aumentando o número de colunas, de forma que
o número de quadrados na nova coluna sempre é igual ao dobro do número de
quadrados da coluna anterior, conforme a figura a seguir:
Dessa forma, a figura 20 terá vinte colunas com “S” quadrados, de acordo a soma
da PG a seguir.
S = 1 + 2 + 4 + 8 + 16 + ... + a20
Sendo
Sn 
a1(q n  1)
q 1
Então
S20 
1.(220  1)
2 1
Prof. Pedro Evaristo
150
Matemática
Logo
S = 220 – 1
S = (210)2 – 1
S = 10242 – 1
Como 1024 é maior que 1000, então
S > 10002
S > 1000000
Portanto, sendo maior que 1 milhão, certamente será maior que 100 mil.
05. SOLUÇÃO:
A soma dada na questão é uma PG infinita e convergente
x = 4 + 2 + 1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 + ...
Dessa forma, podemos usar a fórmula
S 
a1
1 q
Logo
x
4
1  1/ 2
Portanto
x=8
06. SOLUÇÃO:
Seja
PA (a, b, c)
e
PG (a, b, c)
Então
Prof. Pedro Evaristo
151
Matemática
2b = a + c
b2 = a.c
logo
a=b=c
07. SOLUÇÃO:
Seja
PA (x, x + r, x + 2r, ...)
PG (x, xr, xr2, ...)
Logo
x + 4r = 11
xr – (x + r) = 1
então
(11 – 4r)r – (11 – 4r + r) = 1
11r – 4r2 – 11 + 4r – r – 1 = 0
–4r2 + 14r – 12 = 0
2r2 – 7r + 6 = 0
Como r é inteiro
r=2
x = 11 – 4r = 3
Portanto
xr4 = 3.24 = 48
Prof. Pedro Evaristo
152
Matemática
08. SOLUÇÃO:
Dado
PA (10, b, c)
PG (10, b, 40)
Então
b2 = 10.40
b = 20
e
2b = 10 + c
40 = 10 + c
c = 30
09. SOLUÇÃO:
Do enunciado temos
PG (3, a2, a3, a4, 48)
então
a5 = a1.q4
48 = 3.q4
q4 = 16
logo
q=2
Por outro lado temos
PA (3, a2, a3, 48)
então
a4 = a1 + 3r
48 = 3 + 3r
3r = 45
Prof. Pedro Evaristo
153
Matemática
logo
r = 15
Portanto
qr = 30
10. SOLUÇÃO:
Seja
S = 2  1 + 1/2  1/4 + ...
S=
2
1  ( 1/ 2)
S = 4/3
Prof. Pedro Evaristo
154
Matemática
REVISÃO
0
Prof. Pedro Evaristo
155
Matemática
Prof. Pedro Evaristo
156
Matemática
CONJUNTO DOS NÚMEROS
13.
(FCC) Um auxiliar judiciário foi incumbido de arquivar 360 documentos: 192
unidades de um tipo e 168 unidades de outro. Para a execução dessa tarefa
recebeu as seguintes instruções:
 todos os documentos arquivados deverão ser acomodados em caixas, de
modo que todas fiquem com a mesma quantidade de documentos;
 cada caixa deverá conter apenas documentos de um único tipo.
Nessas condições, se a tarefa for cumprida de acordo com as instruções, a maior
quantidade de documentos que
poderá ser colocada em cada caixa é
a) 8
b) 12
c) 24
d) 36
e) 48
SOLUÇÃO:
Como nós temos que dividir os documentos em partes que contenham a maior
quantidade possível, caracterizamos uma questão de mdc, logo
192, 168 2
96, 84 2
48, 42 2
24, 21 3
8,
7
Portanto, o produto dos fatores comuns (mdc) representa a maior quantidade de
documentos, ou seja
Prof. Pedro Evaristo
157
Matemática
mdc(192, 168) = 24
14.
(FCC) A tabela abaixo apresenta as dimensões do papel enrolado em duas
bobinas B1 e B2.
Todo o papel das bobinas será cortado de modo que, tanto o corte feito em B1
como em B2, resulte em folhas retangulares, todas com a mesma largura do papel.
Nessas condições, o menor número de folhas que se poderá obter é
a) 135
b) 137
c) 140
d) 142
e) 149
SOLUÇÃO:
Nesse caso, temos que dividir as bobinas em partes que contenham o maior
tamanho possível da folha, caracterizando uma questão de mdc. Antes devemos
passar os comprimentos de B1 e B2 para centímetros, logo
2310, 1800 10
231, 180
3
77, 60
Portanto, teremos 77 folhas de B1 e 60 folhas de B2, total de 137.
Prof. Pedro Evaristo
158
Matemática
15.
(FCC) Ao dividir o número 762 por um número inteiro de dois algarismos,
Natanael enganou-se e inverteu a ordem dos dois algarismos. Assim, como
resultado, obteve o quociente 13 e o resto 21. Se não tivesse se enganado e
efetuasse corretamente a divisão, o quociente e o resto que ele obteria seriam,
respectivamente, iguais a
a) 1 e 12
b) 8 e 11
c) 10 e 12
d) 11 e 15
e) 12 e 11
SOLUÇÃO:
Do enunciado temos o seguinte algoritmo da divisão:
762 x
(21) 13
Logo
13.x + 21 = 762
Ou seja, o número na ordem errada será
x = 57
Portanto, o correto seria dividir 762 por 75, logo
762 75
(12) 10
16.
(FCC) Se tirarmos 2/3 do conteúdo de um recipiente completamente cheio
de óleo e recolocarmos 50 litros da mesma substância, o conteúdo passa a
ocupar a metade da capacidade do recipiente. É correto afirmar que a
capacidade do recipiente é de:
a) 150 litros.
b) 175 litros.
c) 210 litros.
Prof. Pedro Evaristo
159
Matemática
d) 300 litros.
e) 320 litros
SOLUÇÃO:
Do enunciado, temos as figuras:
Retirou 2/3 de X
Sobrou 1/3 de X
Acrescentou 50L
1/3 de X
1/2 de X
Com base no esquema representado, temos:
x/2 = x/3 + 50
x/2 – x/3 = 50
x/6 = 50
logo
x = 300
17.
(FCC) Sistematicamente, Fábio e Cíntia vão a um mesmo restaurante: Fábio
a cada 15 dias e Cíntia a cada 18 dias. Se em 10 de outubro ambos estiveram em
tal restaurante, então ainda no mesmo ano outro provável encontro dos dois nesse
restaurante ocorrerá em
a) 9 de dezembro.
b) 10 de dezembro.
c) 8 de janeiro.
d) 9 de janeiro.
e) 10 de janeiro.
Prof. Pedro Evaristo
160
Matemática
SOLUÇÃO:
Essa é uma situação cíclica, então podemos usar o MMC para descobrir de
quantos em quantos dias os dois se encontram no restaurante.
15, 18 2
15, 9
5,
3 3
5,
1 5
1,
1
3
Portanto, o produto dos fatores (mmc) representa a menor quantidade de dias
que os dois se encontram
mmc(15, 18) = 90
Lembrando que os meses de outubro e dezembro têm 31 dias, então 30 dias após
uma data desses meses não cai no mesmo dia e sim um dia antes, observe:
+ 30 dias
10/OUT
+ 30 dias
+ 30 dias
9/NOV
9/DEZ
8/JAN
Portanto, o próximo encontro será no dia 8 de janeiro.
Prof. Pedro Evaristo
161
Matemática
18.
(FCC) O controle estatístico de uma indústria produtora de veículos pretende
estabelecer um regime de acompanhamento de 4 itens do produto final da
seguinte maneira:
 A cada lote de 10 unidades é testado o motor da última unidade produzida.
 A cada lote de 6 unidades é testada a injeção eletrônica da última unidade
produzida.
 A cada lote de 4 unidades é testado o ar condicionado da última unidade.
 A cada lote de 3 unidades é testada a qualidade dos freios da última
unidade.
Iniciando o processo descrito no início da manhã de segunda-feira e prevendo
uma produção de 360 unidades até o final da semana, quantas unidades
produzidas terão 3 ou mais itens testados simultaneamente?
a) 6
b) 12
c) 18
d) 30
e) 36
SOLUÇÃO:
Em situações cíclicas, como essa, podemos usar o MMC para descobrir os múltiplos
(dias) comuns às tarefas.
Observe que a cada 6 unidades sempre serão testados dois itens (injeção e freios).
mmc(10, 6, 4, 3) = 60
(a cada 60 unidades todos os itens são testados)
mmc(10,6) = 30 (a cada 30 unidades motor, injeção e freios são testados)
mmc(10,4) = 20 (a cada 20 unidades somente motor e ar são testados)
mmc(6, 4) = 12
(a cada 12 unidades injeção, freios e ar são
testados)
Portanto, em um ciclo de 60 unidades produzidas temos 6 testes simultâneos de
pelo menos três itens, ou seja, a cada 12, 24, 30, 36, 48 e 60 unidades.




Por fim, para um dia com 360 unidades produzidas, temos 6 ciclos de 60 unidades,
logo serão
6.6 = 36 teste simultâneos de pelo menos três itens.
Prof. Pedro Evaristo
162
Matemática
19.
(FCC) De acordo com um relatório estatístico do ano passado, um setor de
certa empresa expediu em agosto um total de 1250 documentos. Se a soma dos
documentos expedidos em setembro e outubro foi o triplo do de agosto e o
número dos expedidos em setembro ultrapassou o de outubro em 750 unidades, a
diferença entre a quantidade de documentos expedidos em setembro e a de
agosto foi
a) 650
b) 800
c) 900
d) 950
e) 1000
SOLUÇÃO:
Dados:
A = 1250
S + O = 3.1250 = 3750
S – O = 750
(1)
(2)
Somando (1) e (2), temos:
2S = 3750 + 750
S = 2250
Portanto, a diferença entre a quantidade de documentos expedidos em setembro
e a de agosto foi
S – A = 2250 – 1250 = 1000
20.
(FCC) Pelo controle de entrada e saída de pessoas em uma Unidade do
Tribunal Regional Federal, verificou-se em certa semana que o número de
visitantes na segunda-feira correspondeu a 3/4 do da terça-feira e este
correspondeu a 2/3 do da quarta-feira. Na quinta-feira e na sexta-feira houve igual
número de visitantes, cada um deles igual ao dobro do da segunda-feira. Se nessa
semana, de segunda à sexta-feira, o total de visitantes foi 750, o número de
visitantes na
a) segunda-feira foi 120.
Prof. Pedro Evaristo
163
Matemática
b) terça-feira foi 150.
c) quarta-feira foi igual ao da quinta-feira.
d) quinta-feira foi igual ao da terça-feira.
e) sexta-feira foi menor do que o da quarta-feira.
Prof. Pedro Evaristo
164
Matemática
SOLUÇÃO:
Sejam
x – segunda;
y – terça;
z – quarta;
w – quinta;
t – sexta;
Do enunciado, temos:
y = 2/3.z
x = 3/4.y

w = 2x
t = 2x
x = 3/4.2/3.z 


w = 2.z/2
t = 2.z/2

x = z/2

w=z
t=z
Portanto,
w=t=z
ou seja, o total de visitantes na quarta, na quinta e na sexta, são iguais.
RAZÃO E PROPORÇÃO
21.
(FCC) Sabe-se que um número X é diretamente proporcional a um número Y
e que, quando X =8, tem-se que Y =24. Assim, quando X = 5/6, o valor de Y é
a) 1/3
b) 2/3
c) 3/2
d) 5/3
e) 5/2
SOLUÇÃO:
Prof. Pedro Evaristo
165
Matemática
Por regra de três, temos:
8
5/6

24
Y
8Y = 5/6.24
8Y = 20
Logo
Y = 20/8 = 5/2
22.
(FCC) Certo dia, em uma Unidade do Tribunal Regional Federal, um auxiliar
judiciário observou que o número de pessoas atendidas no período da tarde
excedera o das atendidas pela manhã em 30 unidades. Se a razão entre a
quantidade de pessoas atendidas no período da manhã e a quantidade de
pessoas atendida no período da tarde era 3/5, então é correto afirmar que, nesse
dia, foram atendidas
a) 130 pessoas.
b) 48 pessoas pela manhã.
c) 78 pessoas à tarde.
d) 46 pessoas pela manhã.
e) 75 pessoas à tarde.
SOLUÇÃO:
Seja
T – número de pessoas atendidas no período da tarde;
M – número de pessoas atendidas no período da manhã;
Do enunciado, temos:
T  M  30
T  M  30

  M T
M 3

 T  5

3 5
Então
T M T M
 
5 3
53
Prof. Pedro Evaristo
166
Matemática
logo
T 30

5
2
 T = 75
e
M 30

3
2
 M = 45
23.
(FCC) Valdete deu R$ 32,00 a seus dois filhos, apenas em moedas de 25 ou
50 centavos, mas não ambas. Eles dividiram a quantia recebida entre si, na razão
direta de suas respectivas idades: 7 e 9 anos. Se o mais jovem ficou com todas as
moedas de 25 centavos, o número de moedas de 50 centavos era
a) 28
b) 32
c) 36
d) 48
e) 56
SOLUÇÃO:
Do enunciado temos:
A B A B
 
7 9 79
Sabendo que A+B = 32, então
B 32

9 16
 B = 18 reais
Como o mais jovem ficou com todas as moedas de 25 centavos, o mais velho
ficou com todas as de 50 centavos, portanto o número de moedas dele será:
nB = 18/0,50 = 36 moedas
24.
(FCC) A impressora X é capaz de tirar um certo número de cópias de um
texto em 1 hora e 15 minutos de funcionamento ininterrupto. A impressora Y, que
tem 75 % da capacidade de produção de X, tiraria a metade do número de
cópias desse texto, se operasse ininterruptamente durante
a) 50 minutos.
b) 1 hora.
c) 1 hora e 10 minutos.
d) 1 hora e 20 minutos.
Prof. Pedro Evaristo
167
Matemática
e) 1 hora e 30 minutos.
1ª SOLUÇÃO:
Do enunciado temos:
TEMPO CAPACIDADE
75 min
100%
x
75%
Como essas grandezas são inversamente proporcionais, temos:
75/x = 75%/100%
ou então
x.75% = 75.100%
logo, o tempo para fazer o mesmo serviço
x = 100 min
para fazer a metade
t = 50 min
2ª SOLUÇÃO:
Do enunciado temos:
TEMPO CAPACIDADE CÓPIAS
75 min
100%
100%
x
75%
50%
A análise foi feita com o tempo como referência. Montando a equação, temos:
75
75 % 100 %

.
x
100 % 50 %
Simplificando, temos:
x = 50 min
Prof. Pedro Evaristo
168
Matemática
25.
(FCC) Operando ininterruptamente, uma máquina é capaz de tirar X cópias
de um texto em 6 horas, enquanto que, nas mesmas condições, outra copiadora
executaria o mesmo serviço em 4 horas. Se essas duas máquinas operassem juntas,
que fração das X cópias elas tirariam após 2 horas de funcionamento ininterrupto?
a) 5/12
b) 1/2
c) 7/12
d) 2/3
e) 5/6
SOLUÇÃO:
1ª Máquina
Se X cópias em 6 horas então X/3 cópias em 2 horas
2ª Máquina
Se X cópias em 4 horas então X/2 cópias em 2 horas
Logo, as duas máquinas juntas farão
X/3 + X/2 = (2x+3x)/6 = 5x/6
Portanto, 5/6 de X.
26.
(FCC) Após vender um imóvel, um senhor dividiu totalmente a quantia que
recebeu em pagamento entre sua esposa, seus dois filhos e uma antiga
empregada da família. A divisão foi feita do seguinte modo:
 a filha e o filho receberam a metade do total na razão de 4 para 3,
respectivamente;
 sua esposa recebeu o dobro do valor recebido pelo filho;
 a empregada recebeu R$ 5.000,00.
Nessas condições, a quantia total recebida pela venda de tal imóvel foi
a) R$ 55.000,00
b) R$ 60.000,00
c) R$ 65.000,00
Prof. Pedro Evaristo
169
Matemática
d) R$ 70.000,00
e) R$ 75.000,00
SOLUÇÃO:
Sejam
x – quantia da filha;
y – quantia do filho;
2y – quantia da esposa;
Se os filhos receberam a metade do total, então a esposa e a emprega ficaram
com a outra metade, logo:
x + y = 2y + 5000
ou seja
x – y = 5000
Como a filha e o filho receberam a metade do total na razão de 4 para 3, temos:
x y xy xy
 

4 3 43 43
Logo, substituindo x – y = 5000, temos:
x  y 5000

43 43
Então, a metade do total é
x + y = 35000
Portanto, o valor total é
2(x + y) = 70000
Prof. Pedro Evaristo
170
Matemática
UNIDADES DE MEDIDAS
27.
(FCC) Godofredo mora a 11 000 metros de seu local de trabalho. Se ele fizer
esse percurso a pé, caminhando à velocidade média de 8 km/h, quanto tempo
ele levará para ir de casa ao local de trabalho?
a) 1 hora, 15 minutos e 20 segundos.
b) 1 hora, 22 minutos e 30 segundos.
c) 1 hora, 25 minutos e 20 segundos.
d) 1 hora, 32 minutos e 30 segundos.
e) 1 hora, 35 minutos e 20 segundos.
SOLUÇÃO:
Dados:
S = 11000 m = 11 km
V = 8 km/h
A velocidade é a razão entre o espaço e o tempo, ou seja
V
S
t
Portanto, o tempo é dado por
t
S
V
 t
11
8
horas
Ou ainda
8 3
t  
8 8
horas = 1h
x 60
45
2
44 1
min = 1h    min = 1h 22 min 30s
 2
2
x 60
28.
(FCC) Uma máquina, operando ininterruptamente por 2 horas diárias, levou
5 dias para tirar um certo número de cópias de um texto. Pretende-se que essa
mesma máquina, no mesmo ritmo, tire a mesma quantidade de cópias de tal
texto em 3 dias. Para que isso seja possível, ela deverá operar ininterruptamente
por um período diário de
Prof. Pedro Evaristo
171
Matemática
a) 3 horas.
b) 3 horas e 10 minutos.
c) 3 horas e 15 minutos.
d) 3 horas e 20 minutos.
e) 3 horas e 45 minutos.
SOLUÇÃO:
O total de horas que a máquina irá trabalhar, será:
t = 2.5 = 10 horas
Dividindo esse tempo em apenas 3 dias, temos:
10
 9 1
h    h  3h
3
3 3
20min
x 60
29.
(FCC) Valfredo fez uma viagem de automóvel, em que percorreu 380 km,
sem ter feito qualquer parada. Sabe-se que em 3/5 do percurso o veículo rodou à
velocidade média de 90 km/h e no restante do percurso, à velocidade média de
120 km/h. Assim, se a viagem teve início quando eram decorridos 69/144 do dia,
Valfredo chegou ao seu destino às
a) 14h18min
b) 14h36min
c) 14h44min
d) 15h18min
e) 15h36min
SOLUÇÃO:

Início da viagem
69/144 do dia = 23/2 h = 11h 30min
x 24
Prof. Pedro Evaristo
172
Matemática

1ª Parte do trajeto
S = 3/5 de 380 = 228 km
t = 228/90 = 38/15 h = 2h 32min

2ª Parte do trajeto
S = 2/5 de 380 = 152 km
t = 152/120 = 19/15 h = 1h 16min

Horário de chegada
t = 11h 30min + 2h 32min + 1h 16min
t = 14h 78min
Portanto, Valfredo chegou as
t = 15h 18min
OBS.:
Lembre-se que velocidade é a razão entre espaço e tempo.
Se V = S/t então t = S/V.
Prof. Pedro Evaristo
173
Matemática
30.
(FCC) Trabalhando ininterruptamente, dois técnicos judiciários arquivaram
um lote de processos em 4 horas. Se, sozinho, um deles realizasse essa tarefa em 9
horas de trabalho ininterrupto, o esperado é que o outro fosse capaz de realizá-la
sozinho se trabalhasse ininterruptamente por um período de
a) 6 horas.
b) 6 horas e 10 minutos.
c) 6 horas e 54 minutos.
d) 7 horas e 12 minutos.
e) 8 horas e meia.
SOLUÇÃO:
Podemos resolver pelo mesmo princípio das torneiras, ou seja
1 1 1
 
t e t1 t 2
Como foi dado o tempo equivalente (te = 4) e o tempo de um dos trabalhadores
(t1 = 9), então
1 1 1
 
4 9 t2

1 1 1
 
4 9 t2

1 94

t2
4.9

1
5

t 2 36
Logo
t2 
36
5
= 7,2 
t2 = 7h e 12min
(0,2h x 60 = 12 min)
31.
(FCC) Dos 343 funcionários de uma Unidade do Tribunal Regional Federal,
sabe-se que o número de homens está para o de mulheres assim como 5 está
para 2. Assim sendo, nessa Unidade, a diferença entre o número de homens e o
de mulheres é
a) 245
b) 147
c) 125
d) 109
e) 98
Prof. Pedro Evaristo
174
Matemática
SOLUÇÃO:
Do enunciado, temos:
H M H M H M



5
2
52
52
Logo, substituindo H + M = 343, temos:
343
H M

52
52
Portanto, a diferença entre o número de homens e o de mulheres é
H – M = 147
SOLUÇÃO (VISÃO ALÉM DO ALCANCE):
Dada a montagem da equação da divisão proporcional
H M H M H M



5
2
7
3
Perceba que H – M tem que ser múltiplo de 3, logo o único item que tem um
múltiplo de 3 é 147.
32.
(FCC) Dois técnicos judiciários deveriam redigir 45 minutas e resolveram
dividir esta quantidade em partes inversamente proporcionais às suas respectivas
idades. Se o primeiro, que tem 28 anos, redige 25 delas, a idade do segundo, em
anos, é
a) 35
b) 33
c) 32
d) 31
e) 30
Prof. Pedro Evaristo
175
Matemática
SOLUÇÃO:
Se um deles já redigiu 25 minutas, o outro deve redigir as 20 restantes. Como a
divisão é inversamente proporcional, o produto da idade e da quantidade é
constante, logo
28.25 = x.20
Portanto
x = 35 anos
33.
(FCC) Em uma gráfica, foram impressos 1200 panfletos referentes à direção
defensiva de veículos oficiais. Esse material foi impresso por três máquinas de igual
rendimento, em 2 horas e meia de funcionamento. Para imprimir 5000 desses
panfletos, duas dessas máquinas deveriam funcionar durante 15 horas,
a) 10 minutos e 40 segundos.
b) 24 minutos e 20 segundos.
c) 37 minutos e 30 segundos.
d) 42 minutos e 20 segundos.
e) 58 minutos e 30 segundos.
SOLUÇÃO:
Do enunciado temos:
MÁQUINAS PANFLETOS TEMPO
3
1200
2,5
2
5000
x
A análise foi feita com o tempo como referência. Montando a equação, temos:
2,5 1200 2

.
x
5000 3

2,5
4 1

.
x
25 1
Simplificando, temos:
x = 15,625 h
Como
0,625h x 60 = 37,5 min = 37 min e 30 s
Prof. Pedro Evaristo
176
Matemática
Portanto, as duas máquinas deveriam funcionar durante
15 horas, 37 minutos e 30 segundos
34.
(FCC) Em uma etapa de certa viagem, um motorista percorreu 50 km. Na
etapa seguinte, ele percorreu 300 km rodando a uma velocidade três vezes maior.
Se ele gastou t horas para percorrer a primeira etapa, o número de horas que ele
gastou para percorrer os 300 km da segunda etapa é igual a
a) t/3
b) t/2
c) t
d) 2t
e) 3t
1ª SOLUÇÃO:
Sabendo que V = S/t, então no primeiro trecho, temos:
V1 = 50/t1
(1)
No segundo trecho, temos:
V2 = 300/t2 (2)
Do enunciado temos que:
V2 = 3.V1
Então
300/t2 = 3.(50/t1)
Portanto
t2 = 2t1
2ª SOLUÇÃO:
Sendo V = S/t, então t = S/V.
Prof. Pedro Evaristo
177
Matemática
Podemos atribuir um valor de 50km/h pra velocidade na primeira etapa. Nesse
caso, o tempo será:
t1 = 50/50 = 1 hora
No segundo trecho a velocidade triplica, então utilizaremos V2 = 150km/h, logo
t2 = 300/150 = 2 horas
Portanto, o tempo dobrou em relação ao primeiro trecho, ou seja
t2 = 2t1
PORCENTAGEM
35.
(FCC) Calculando os 38% de vinte e cinco milésimos obtém-se
a) 95 décimos de milésimos.
b) 19 milésimos.
c) 95 milésimos.
d) 19 centésimos.
e) 95 centésimos.
SOLUÇÃO:
Do enunciado temos:
38% de vinte e cinco milésimos = 38%.0,025 =
38 25
.
100 1000
=
38 1
9,5
95
.


4 1000 1000 10000
Ou seja
95 décimos de milésimos
36.
(FCC) Para o transporte de valores de certa empresa são usados dois
veículos, A e B. Se a capacidade de A é de 2,4 toneladas e a de B é de 32 000
quilogramas, então a razão entre as capacidades de A e B, nessa ordem,
equivale a
a) 0,0075 %
Prof. Pedro Evaristo
178
Matemática
b) 0,65 %
c) 0,75 %
d) 6,5 %
e) 7,5 %
SOLUÇÃO:
Do enunciado temos:
A
2400

B 32000
=
30
7,5

 7,5%
400 100
37.
(FCC) Denis investiu uma certa quantia no mercado de ações. Ao final do
primeiro mês ele lucrou 20% do capital investido. Ao final do segundo mês, perdeu
15% do que havia lucrado e retirou o montante de R$ 5 265,00. A quantia que
Denis investiu foi
a) R$ 3 200,00
b) R$ 3 600,00
c) R$ 4 000,00
d) R$ 4 200,00
e) R$ 4 500,00
1ª SOLUÇÃO:
Para cada 100 unidades monetárias investidas, temos:
+20%
100
-15% de 20
120
117
(perdeu 15% do ganho, ou seja, 15%.20 =
3)
+17%
Para cada 100 o montante é de 117, sendo assim, podemos afirmar que para
cada x o montante é 5265. Logo
Prof. Pedro Evaristo
179
Matemática
100
x

117 5265

x = 4500
2ª SOLUÇÃO:
Seja x o valor investido, então
120%x – 15%.(20%x) = 5265
120%x – 3%x = 5265
117%x = 5265
117
.x  5265
100
x = 526500/117
x = 4500
38.
(FCC) Em agosto de 2006, Josué gastava 20% de seu salário no pagamento
do aluguel de sua casa. A partir de setembro de 2006, ele teve um aumento de 8%
em seu salário e o aluguel de sua casa foi reajustado em 35%. Nessas condições,
para o pagamento do aluguel após os reajustes, a porcentagem do salário que
Josué deverá desembolsar mensalmente é
a) 22,5%
b) 25%
c) 27,5%
d) 30%
e) 32,5%
Prof. Pedro Evaristo
180
Matemática
1ª SOLUÇÃO:
Supondo que o salário de Josué seja R$1.000,00, então
+8%
S = 1000
A = 200
S’ = 1080
A’ = 270
+35%
Portanto, a razão entre o novo aluguel (A’) e o novo salário (S’) será:
A'
270
1

  25 %
S ' 1080 4
2ª SOLUÇÃO:
De maneira formal, podemos dizer que a razão entre o novo aluguel (A’) e o novo
salário (S’) será:
A' 135 %.( 20 %.S ) 1

  25 %
S'
108 %.S
4
39.
(FCC) Do total de processos que recebeu certo dia, sabe-se que um técnico
judiciário arquivou 8% no período da manhã e 8% do número restante à tarde.
Relativamente ao total de processos que recebeu, o número daqueles que
deixaram de ser arquivados corresponde a
a) 84,64%
b) 85,68%
c) 86,76%
d) 87,98%
e) 89,84%
1ª SOLUÇÃO:
Para cada 100 processos, temos:
–8%
100
Prof. Pedro Evaristo
–8%
92
84,64
(sobraram 84,64%)
181
Matemática
–15,36%
2ª SOLUÇÃO:
A cada redução de 8%, restam 92% do valor anterior, logo
92% dos 92% de x = 0,92.0,92.x = 0,8464.x = 84,64%,x
40.
(NCE) Em maio de 2007 o salário mínimo no Estado do Rio de Janeiro é cerca
de 12% maior que o salário mínimo federal. Nesse mês, 14 salários mínimos federais
correspondem, em salários mínimos do Estado do Rio de Janeiro, a cerca de:
a) 11,75;
b) 11,20;
c) 12,50;
d) 13,20;
e) 13,50.
SOLUÇÃO:
Do enunciado temos
Salário Federal – x
Salário no Rio – 112%.x
Portanto, a razão pedida é
14.x/1,12.x = 14/1,12 = 1400/112 = 12,5
41.
(FCC) Em dezembro um comerciante aumentou em 40% o preço de venda
de um produto. No mês seguinte, o novo preço foi diminuído em 40% e, então, o
produto passou a ser vendido por R$ 420,00. Assim, antes do aumento de
dezembro, tal produto era vendido por
a) R$ 420,00
b) R$ 500,00
c) R$ 700,00
Prof. Pedro Evaristo
182
Matemática
d) R$ 520,00
e) R$ 480,00
1ª SOLUÇÃO:
Para cada 100 reais, temos:
+40%
100
–40%
140
84
–16%
Fazendo regra de três, temos:
100
84

x
420
Portanto, o produto valia
x = 500 reais
2ª SOLUÇÃO:
Do enunciado temos:
60% dos 140% de x = 420
Ou seja
60 140
.
.x  420
100 100
Prof. Pedro Evaristo

x = 500
183
Matemática
42.
(FCC) Se um comerciante comprar um artigo por R$ 160,00 e vendê-lo de
forma a lucrar exatamente 40% sobre o valor pago, após ser dado um desconto
de 20% ao cliente, então esse artigo deverá ser anunciado por
a) R$ 224,00
b) R$ 256,00
c) R$ 280,00
d) R$ 296,00
e) R$ 300,00
1ª SOLUÇÃO:
Do enunciado, temos o esquema abaixo:
+40%
160
–20%
224
x
+25%
Sempre que um valor reduz 20%, para voltar ao valor inicial, basta aumentar 25%,
logo
x = 224 + 25%.224 = 280
2ª SOLUÇÃO:
Do enunciado, temos:
 Descontando 20% de x, ele cai para 80% de x;
 Aumentando 40% sobre o custo de 160, o novo preço sobe pra 140% de 160;
Ou seja
80%.x = 140%.160 
80
140
.x 
.160
100
100
Portanto
x = 280
Prof. Pedro Evaristo
184
Matemática
43.
(FCC) Certo dia, devido a fortes chuvas, 40% do total de funcionários de
certo setor de uma Unidade do Tribunal Regional Federal faltaram ao serviço. No
dia seguinte, devido a uma greve dos ônibus, compareceram ao trabalho apenas
30% do total de funcionários desse setor. Se no segundo desses dias faltaram ao
serviço 21 pessoas, o número de funcionários que compareceram ao serviço no
dia da chuva foi
a) 18
b) 17
c) 15
d) 13
e) 12
SOLUÇÃO:
No dia da greve dos ônibus, compareceram ao trabalho apenas 30% do total (x),
logo faltaram 70%, então
70% de x = 21

70/100 . x = 21

x = 2100/70
portanto, o total de funcionários será
x = 30
Se 40% do total faltou devido a fortes chuvas, então 60% compareceram ao
serviço, ou seja
60% de 30 = 18
44.
(FCC) Uma pessoa comprou um microcomputador de valor X real, pagando
por ele 85% do seu valor. Tempos depois, vendeu-o com lucro de 20% sobre o
preço pago e nas seguintes condições: 40% do total como entrada e o restante
em 4 parcelas iguais de R$ 306,00 cada. O número X é igual a
a) 2200
b) 2150
c) 2100
d) 2050
e) 2000
Prof. Pedro Evaristo
185
Matemática
1ª SOLUÇÃO:
Para cada 1000 reais, temos:
-15%
1000
+20%
850
-40%
1020
612
Ou seja, para cada R$1000 do valor inicial ele financia em 4 parcelas que
totalizam R$612.
Fazendo regra de três, temos:
1000
612

x
4.306
 x = 2000 reais
2ª SOLUÇÃO:
Dados:
Valor inicial = x
Valor com desconto = 85% de x
Valor de venda com lucro = 120% dos 85% de x
Valor financiado = 60% dos 120% dos 85% de x
Portanto, do enunciado, temos:
60% . 120% . 85% . x = 4 . 306
60 120 85
.
.
.x  1224
100 100 100
Simplificando, temos:
x = 2000 reais
Prof. Pedro Evaristo
186
Matemática
FUNÇÃO
45.
(FCC) O dono de uma pequena empresa irá distribuir 60 ingressos de um
show entre seus X funcionários. No dia da distribuição, três funcionários faltaram e
cada um dos presentes ganhou um ingresso a mais. Quantos são os X
funcionários?
a) 20
b) 18
c) 15
d) 12
e) 10
1ª SOLUÇÃO:
Do enunciado temos:
 60
N
 x

 60  N  1
 x  3
Portanto
60
60

1
x 3
x
 60x = 60(x – 3) + x.(x – 3)  60x = 60x – 180 + x2 – 3x  x2 –
3x – 180 = 0
Como
x’ + x” = 3 e x’.x” = -180
então
x’ = 15 e x” = -12 (não convém)
portanto a empresa tem 15 funcionários.
Prof. Pedro Evaristo
187
Matemática
2ª SOLUÇÃO:
Uma solução alternativa é testar cada um dos itens dados na questão.
Devemos observar que esse número X deve ser divisor de 60 e ao retirar 3 o valor
de X-3 também deve ser divisor de 60, logo o único item que satisfaz essas duas
condições é 15.
Confirmando a suspeita:
60
4
15
ingressos para cada
Se faltarem 3 funcionários
60
5
12
ingressos para cada (um a mais)
46.
(FCC) Uma pessoa sabe que, para o transporte de 720 caixas iguais, sua
caminhonete teria que fazer no mínimo X viagens, levando em cada uma o
mesmo número de caixas. Entretanto, ela preferiu usar sua caminhonete três vezes
a mais e, assim, a cada viagem ela transportou 12 caixas a menos. Nessas
condições, o valor de X é
a) 6
b) 9
c) 10
d) 12
e) 15
1ª SOLUÇÃO:
Do enunciado temos:
 720
 x  N

 720  N  12
 x  3
Portanto
720
720

 12
x 3
x
Prof. Pedro Evaristo
188
Matemática
720x = 720(x + 3) – 12x.(x + 3)
720x = 720x + 2160 – 12x2 – 36x
x2 + 3x – 180 = 0
Como
x’ + x” = –3 e x’.x” = –180
então
x’ = 12 e x” = –15 (não convém)
portanto ele fez 12 viagens.
2ª SOLUÇÃO:
Testando cada uma das alternativas dados na questão, temos:
720
 120
6
caixas
Com 3 viagens a mais, temos
720
 80 caixas
9
(40 caixas a menos do que se fizesse 6 viagens)
Com 3 viagens a mais, temos
720
 60 caixas
12
(20 caixas a menos do que se fizesse 9 viagens)
Com 3 viagens a mais, temos
720
 48 caixas
15
(12 caixas a menos do que se fizesse 12 viagens)
Portanto, a resposta é x = 12, pois satisfaz as condições do problema.
Prof. Pedro Evaristo
189
Matemática
47.
(FCC) O custo da produção da caixa de 30 dúzias de ovos em certa granja
foi de R$ 24,00. Esta granja vende seus ovos por R$ 1,80 a dúzia. Para que tenha
um lucro de R$ 360,00, o número de dúzias de ovos que será necessário vender é:
a) 150;
b) 200;
c) 270;
d) 360;
e) 450.
SOLUÇÃO:
CUSTO:
30 dúzias  R$ 24,00
C = 24/30 = 0,80 por dúzia
VENDA:
V = 1,8 por dúzia
LUCRO:
L=V–C
L = 1,8 – 0,8 = 1 real por dúzia
Portanto, ele deve vender 360 dúzias pra lucrar R$360,00.
48.
(FCC) O cientista Galileu Galilei (1564-1642) estudou a trajetória de corpos
lançados do chão sob certo ângulo, e percebeu que eram parabólicas. A causa
disso, como sabemos, é a atração gravitacional da Terra agindo e puxando de
volta o corpo para o chão. Em um lançamento desse tipo, a altura y atingida pelo
corpo em relação ao chão variou em função da distância horizontal x ao ponto
de lançamento de acordo com a seguinte equação:
y
5
5
x  x2
2
4
(x e y em metros)
Determine, em metros, a altura máxima em relação ao chão atingida pelo corpo.
a) 25/4
b) 1/2
Prof. Pedro Evaristo
190
Matemática
c) 5/2
d) 5/4
e) 2/3
SOLUÇÃO:
O valor de x que torna a altura máxima é
xV 
b
(5 / 2) 5 / 2


1
2a 2(5 / 4) 5 / 2
Então substituindo esse valor na função
y
5
5
x  x2
2
4
y
5
5
.1  .12
2
4
Temos
Portanto
yMAX = 5/4
JUROS
49.
(FCC) Um capital de R$ 5000,00, aplicado a juros simples, à taxa mensal de
3%, por um prazo de 1 ano e 3 meses, produzirá um montante no valor de
a) R$ 7 225,00
b) R$ 7 250,00
c) R$ 7 320,00
d) R$ 7 500,00
e) R$ 7 550,00
Prof. Pedro Evaristo
191
Matemática
SOLUÇÃO:
Dados:
C = 5000
i = 3% a.m. (simples)
t = 1ano e 3 meses = 15 meses
Sendo
J = C.i.t
Temos
J = 5000.3%.15 = 2250
Portanto
M=C+J
M = 5000 + 2250 = 7250
50.
(FCC) Num regime de capitalização composta, um capital de R$ 1000,00,
aplicado à taxa anual de 10%, produzirá o montante de R$ 1331,00 após um
período de
a) 2 anos e 6 meses.
b) 3 anos.
c) 3 anos e 6 meses.
d) 4 anos.
e) 4 anos e 6 meses.
1ª SOLUÇÃO:
Dados:
C = 1000
i = 10% a.a. (composto)
M = 1331
Prof. Pedro Evaristo
192
Matemática
Sendo
M = C.(1+i)t
Temos
1331 = 1000.(1+10%)t
1,331 = 1,1t
Substituindo valores em t, temos:
1,12 = 1,21
1,13 = 1,331
Portanto
t = 3 anos
2ª SOLUÇÃO:
Aplicando 10% cumulativamente sobre o saldo, temos:
+10%
1000
+10%
1100
+10%
1210
1331
Portanto, em 3 anos o montante de 1331 é atingido.
51.
(FCC) Uma pessoa aplicou certo capital a juro simples de 4% ao mês. Ao final
de 1 ano, retirou o montante e dividi-o entre seus três filhos, na razão direta de suas
respectivas idades: 9, 12 e 15 anos. Se o mais jovem recebeu R$ 333,00 a menos
que o mais velho, o capital aplicado foi
a) R$ 1200,00
b) R$ 1250,00
c) R$ 1300,00
d) R$ 1350,00
SOLUÇÃO:
Prof. Pedro Evaristo
193
Matemática
Sejam A, B e C os valores que cada um dos filhos recebeu, então
A B C
AB C
CA




9 12 15 9  12  15 15  9
Sendo A+B+C igual ao montante M e C–A a diferença de 333 entre o valor do mais
velho e do mais jovem, temos:
M
333

9  12  15 15  9

M = 1998
Se a taxa de juros simples aplicada é de 4% a.m. durante 12 meses, temos:
M=C+J

1998 = C + C.4%.12

148%C = 1998
Logo, o capital investido foi
C = 1350
DESCONTO
52.
Uma duplicata, no valor nominal de R$ 1800,00, foi resgatada antes do
vencimento por R$ 1170,00. Se a taxa de desconto comercial simples era de 2,5%
ao mês, o tempo de antecipação foi de
a) 2 anos e 6 meses.
b) 2 anos e 4 meses.
c) 2 anos e 1 mês.
d) 1 ano e 6 meses.
e) 1 ano e 2 meses.
SOLUÇÃO:
Dados:
N = 1800
A = 1170
i = 2,5% a.m. (comercialmente)
Temos que
DC = N – A
Prof. Pedro Evaristo
194
Matemática
DC = 1800 – 1170
DC = 630
Como o desconto é comercial temos que:
DC = N.i.t
Logo
630 = 1800.2,5%.t
630 = 45.t
t = 630/45 = 14 meses
Portanto, a duplicata foi antecipada 1 ano e 2 meses antes do vencimento.
Prof. Pedro Evaristo
195