Graduação FGV-Rio | Vestibular 2007
Espaço para rascunho
Questão 1
No primeiro turno da eleição para governador em certo estado, suponha que todas as urnas tenham, aproximadamente, o mesmo número de
votos. Tendo sido apuradas 75% das urnas, verificou-se que o candidato X possuía 75% do total de votos apurados. Você pode concluir que:
a) o candidato X ganha no primeiro turno.
(um candidato ganha no primeiro turno se tiver mais de 50% dos votos)
b) haverá certamente o segundo turno.
c) até o momento a situação está indefinida.
Escolha uma das alternativas acima e justifique sua resposta.
Solução
Opção A.
75% de 75%=
[2]
3⋅3 = 9 > 1
4 4 16 2
Prova dicursiva de Matemática
Questão 2
Espaço para rascunho
Em um depósito há caixas grandes e pequenas. Cada caixa grande pesa 70kg,
e cada caixa pequena pesa 40kg. Sabe-se que 70% das caixas são grandes e
30% são pequenas.
a) Qual é o peso médio dessas caixas?
b) Se há no depósito 40 caixas distribuídas como descrito acima, e se essas
caixas devem ser transportadas por um elevador que pode transportar, no máximo, 360kg, determine quantas viagens, no mínimo, serão necessárias para
transportar todas as caixas. Justifique.
Solução A
m = 70x70x30x40 = 61kg
100
Solução B
28 caixas grandes = 1960kg
12 caixas pequenas = 480kg
Total=2440kg
ou
40x61kg=2440kg
Como 7x360kg=2520kg>2440kg, aparentemente 7 viagens são suficientes.
É necessário verificar se há uma disposição de caixas para transportar tudo em
7 viagens.
Observe que 4x70+2x40=360. Então
1. 4 grandes + 2 pequenas = 360kg
2. 4 grandes + 2 pequenas = 360kg
3. 4 grandes + 2 pequenas = 360kg
4. 4 grandes + 2 pequenas = 360kg
5. 4 grandes + 2 pequenas = 360kg
6. 4 grandes + 2 pequenas = 360kg
7. 4 grandes = 280kg
Resp: 7 viagens.
[3]
Graduação FGV-Rio | Vestibular 2007
Questão 3
No antigo Egito uma das unidades usadas para medir comprimentos era o “cúbito”, equivalente a cerca de 52cm. O jovem Abdal, que viveu no século II a.C.
e curioso em Matemática, desejava saber a altura da grande pirâmide que tinha
sido construída mais de dois mil anos antes. Ele sabia que a pirâmide foi construída de forma que, no primeiro dia do verão, suas faces ficavam voltadas para
os quatro pontos cardeais e, nesse dia, fez a seguinte experiência.
No meio da manhã, a sombra da pirâmide era um triângulo isósceles de vértice
P (veja o desenho).
Ele mediu a distância de P ao ponto M, médio do lado da base (portanto a altura
do triângulo da sombra) e achou 130 cúbitos. Nesse momento, ele percebeu
que uma vara reta PA de 4 cúbitos de comprimento, colocada verticalmente,
projetava uma sombra PB de 5 cúbitos. Abdal mediu também o lado da base da
pirâmide, que é quadrada, e achou 440 cúbitos.
Determine, em metros, um valor aproximado para altura da grande pirâmide
do Egito.
Solução
4=
h
→ h=280 cúbitos=145,60m.
5 130 + 220
[4]
Espaço para rascunho
Prova dicursiva de Matemática
Espaço para rascunho
Questão 4
n
Considere a seqüência cujo termo geral é an = (–1) (2 + 3n), onde n = 1, 2, 3, … .
a) Escreva os seis primeiros termos dessa seqüência.
b) Calcule a soma dos 2007 primeiros termos dessa seqüência.
Solução A
–5, 8, –11, 14, –17, 20
Solução B
a2007 = − (2 + 3 ⋅ 2007) = − 6
−5
+ 8) + (−11
+ 14) +
... + (−6023)
S = (
1003 pares
S = 3 ⋅1003 − 6023 = −3014
[5]
Graduação FGV-Rio | Vestibular 2007
Espaço para rascunho
Questão 5
Os números reais x, y e z são tais que x + y + z = 6 e 3x + 4y + 2z = 17.
a) Encontre uma solução do sistema formado por essas duas equações.
b) Determine todas as soluções do sistema.
c) Calcule o valor de 9x + 11y + 7z.
Solução A
⎧y +z = 5
Fazendo, por exemplo, x=1, temos: ⎨
⎩4 y + 2z = 14
o que dá y=2 e z=3.
(1, 2, 3) é uma solução do sistema.
Solução B
⎧ y+z =6−t
Fazendo x=t, temos: ⎨
⎩4 y + 2z = 17 − 3t
5− t, z = 7− t.
Resolvendo, encontramos y =
2
2
{
}
O conjunto de todas as soluções do sistema é: S = ⎛⎜ t, 5 − t , 7 − t ⎞⎟; t ∈ 2
2 ⎠
⎝
Solução C
9x + 11y + 7z = 9t + 11⋅ 5 − t + 7 ⋅ 7 − t = 18t + 55 − 11t + 49 − 7t = 52
2
2
2
ou
9x+11y+7z=3 ( x+y+z ) + 2 ( 3x + 4 y + 2z ) = 3 ⋅ 6 + 2 ⋅17 = 52
[6]
Prova dicursiva de Matemática
Questão 6
Espaço para rascunho
No retângulo ABCD da figura abaixo, AD = 6m e AB = 4m, e os pontos M, N, P e Q
dos lados AD, AB, CB e CD, respectivamente, são tais que AM = AN = CP = CQ.
Determine o valor máximo da área do quadrilátero MNPQ.
Solução
Observe que 0 < x ≤ 4.
S=6.4-x2-(4-x).(6-x)
S=-2x2+10x, 0 < x ≤ 4.
102 − 4 ( −1) ⋅ 0
Smax= − Δ = −
= 12, 5m2
4a
4 ( −2)
[7]
Graduação FGV-Rio | Vestibular 2007
Espaço para rascunho
Questão 7
5
4
2
O polinômio P(x) = ax + bx + 1 é divisível por D(x) = (x – 1) .
a) Determine os coeficientes a e b.
b) Encontre o quociente da divisão de P(x) por D(x).
Solução A
⎧a + b = −1
⎨
⎩5a + 4b = 0
Resolvendo, a=4, b=-5.
Solução B
Refazendo o algoritmo:
O quociente é Q(x)=4x³+3x²+2x+1.
[8]
Prova dicursiva de Matemática
Espaço para rascunho
Questão 8
Dois jogadores de pingue-pongue X e Y jogaram entre si, no passado, muitas
partidas e cada um ganhou metade das partidas disputadas.
Na rodada final de um torneio recente, os mesmos jogadores, X e Y, disputam o
prêmio de R$ 600,00. Segundo as regras, partidas serão realizadas até que um
dos jogadores consiga 3 vitórias, sendo declarado o vencedor do torneio.
Entretanto, quando X tinha duas vitórias e Y tinha uma, faltou luz no local, e a
rodada foi interrompida. Na impossibilidade de adiar a continuação para outro
dia, o diretor do torneio determinou que o prêmio fosse dividido entre os dois
finalistas.
Qual é a forma correta de dividir o prêmio entre os dois jogadores?
Solução
Um espaço amostral equiparável é formado pelos vencedores de duas partidas a
mais. Mesmo que x vença a primeira, haveria uma segunda amistosa. Portanto,
E={xx, xy, yx, yy}
Logo x ganha o prêmio com probabilidade 3 e y com 1 .
4
4
A forma correta de dividir é:
x → 3 ⋅ 600 = R$450
4
y → 1 ⋅ 600 = R$150
4
[9]
Graduação FGV-Rio | Vestibular 2007
Espaço para rascunho
Questão 9
Considere a função f( x )=
x
, para todo x ≥ 0.
x +2
2
a) Resolva a equação f ( x )=
9
.
2
b) Calcule x – f(x) e use o resultado para mostrar que f(x) > x – 2.
Solução A
x2 = 9 ⇒ 2x2 − 9x − 18 = 0
x+2 2
x = 9 ± 81− 144
4
→x=6
→ x = −3
2
Como − 3 não está no domínio de f, x=6.
2
Solução B
2
2
2
x − f ( x ) = x − x = x + 2x − x = 2x
x+2
x+2
x+2
Para todo x ≥ 0 ,a fração
x − f(x) < 2
− f ( x ) < −x + 2
f(x) > x − 2
[ 10 ]
x é menor que 1. Logo 2x é menor que 2.
x+2
x+2
Prova dicursiva de Matemática
Questão 10
Espaço para rascunho
Sejam A, B e C pontos da hipérbole xy = 1, mostre que o ortocentro do triângulo
ABC pertence à hipérbole.
Obs.: ortocentro de um triângulo é o ponto de interseção de suas alturas.
Solução
Sejam: A = ⎛⎜ a, 1 ⎞⎟ , B = ⎛⎜ b, 1 ⎞⎟ , C = ⎛⎜ c, 1 ⎞⎟ .
⎝ a⎠
⎝ b⎠
⎝ c⎠
Como os pontos são distintos, a ≠ b ≠ c.
1− 1
mBC = c b = − 1
c −b
bc
Reta r: y − 1 = bc ( x − a ) ou y = bcx − abc + 1
a
a
1− 1
mAC = c a = − 1
c−a
ac
Reta s: y − 1 = ac ( x − b ) ou y = acx − abc + 1
b
b
r ∩ s : bcx − abc + 1 = acx − abc + 1
a
b
bcx − acx = 1 − 1
b a
cx (b − a ) = a − b ⇒ x = − 1
ab
abc
⎛
⎞
Substituindo na equação de r: y = bc ⎜ − 1 ⎟ − abc + 1 = −abc
a
⎝ abc ⎠
Assim: H = ⎛⎜ − 1 , − abc ⎞⎟ que pertence à hipérbole xy=1.
⎝ abc
⎠
[ 11 ]